100 hsg 16 thanh hoa nhu thuy dung

a Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD BC, hai góc bằng nhau.. b Về phía ngoài tứ giác ABCD , dựng hai tam giác bằng nhau ADE và BCF.. Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (4,0 điểm)

Cho

P

a) Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P 1

b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình

4

3 3 2

x x

  



b) Tìm số nguyên x thỏa mãn x2xy y 2 x y2 2

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Cho

1

a x

x

 

,

1

b y

y

 

,

1

c xy

xy

 

Tính giá trị của biểu thức

2 2 2

A a b c  abc

b) Chứng minh rằng với mọi x  ta luôn có 1

Câu 4: (4,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD có AD BC , AB CD Gọi I Q H P, , , lần lượt là trung điểm của AB AC CD BD, , ,

a) Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD BC, hai góc bằng nhau

b) Về phía ngoài tứ giác ABCD , dựng hai tam giác bằng nhau ADE và

BCF Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB CD EF, , cùng thuộc một đường thẳng

Câu 5: (2,0 điểm)

Tam giác ABC có BC 40cm, phân giác AD 45cm, đường cao AH  cm.36

Tính độ dài

,

BD DC

Câu 6: (2,0 điểm)

Với a b, là các số thực thỏa mãn đẳng thức    

9

4

Hãy tìm GTNN của P 1a4  1b4

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC

2015-2016 Câu 1: (4,0 điểm)

Cho

P

a) Rút gọn P Với giá trị nào của x thì P 1

b) Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất

Lời giải

a) Điều kiện: x 0; x 1; x 4

P

 

1

x

x





1

x

  Kết hợp với điều kiện suy ra: P 1 khi x 1 và x 4

b) Với x 0; x 1; x  , 4

 

2

x P



P nguyên  x là ước của 1 4

P đạt giá trị nguyên lớn nhất  x  1 1 x 2

Vậy P đạt giá trị nguyên lớn nhất bằng 6 khi x  2

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình

4

3 3 2

x x

  



b) Tìm số nguyên x thỏa mãn x2xy y 2 x y2 2

Lời giải

a) Điều kiện: x 3 3 2  x 0

Phương trình

4

3 3 2

x x

  



    5 3 x  x1 4 x 3 3 2  x

 5 3 x  x1 4 3 2  x  4x12 0 *  

Ta xét các trường hợp sau:

 Với

3 2

x 

, phương trình  *  3x   5 x 1 4(2 x 3) 4  x12 0

 2x28 x14 (thỏa mãn đk)

 Với

3

1



 

, phương trình  *  3x   5 x 1 4(2 x 3) 4  x12 0

2

7

(thỏa mãn đk)

 Với

5 1

3

x

 

, phương trình  *  3x 5 x 1 4(2 x 3) 4  x12 0

3

8

(loại)

 Với

5 3

x 

, phương trình  *  3x 5 x 1 4(2 x 3) 4  x12 0

2

10 4

5

(loại)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

2 14;

7

S   

 

2

x xy y x y  x y xy xy

Ta xét các trường hợp:

 TH1: x y 0  1 0 0

1

xy

xy xy

xy





Với xy 0 và x y 0 suy ra x y 0 Với xy 1 và x y 0 suy ra

1 1

x y









 hoặc

1 1

x y









 TH2: x y 0  x y 2 là số chính phương mà xy xy  1 là tích của hai số nguyên liên tiếp (là hai số nguyên tố cùng nhau)

Do đó phương trình    

2

1

x y xy xy không có nghiệm nguyên

Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là:

x y ;   0;0 ; 1; 1 ;    1;1 

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Cho

1

a x

x

 

,

1

b y

y

 

,

1

c xy

xy

 

Tính giá trị của biểu thức

2 2 2

A a b c  abc

b) Chứng minh rằng với mọi x  ta luôn có 1

   

Lời giải

a) Ta có:

2 2

2

1 2

a x

x

,

2 2

2

1 2

y

,

2 2 2

2 2

1 2

c x y

x y

Lại có:

          

2 2

                    

Khi đó: 2 2 2  2 2 2 

A a b c  c a  b  

b) Xét

2 2

             

2 2

       

     1 (Vì x  nên 1 x  1 0 )

Đặt

2

2

Khi đó  1 t2 3t 2 0  t 2 2 1  t   0  2

Vì x  nên 1 x 12  0

x

hay t 2  2 đúng   1 đúng

Vậy ta có đpcm

Câu 4: (4,0 điểm) Cho tứ giác ABCD có AD BC , AB CD Gọi I Q H P, , , lần lượt

là trung điểm của AB AC CD BD, , ,

a) Chứng minh IPHQ là hình thoi và PQ tạo với AD BC, hai góc bằng nhau

b) Về phía ngoài tứ giác ABCD , dựng hai tam giác bằng nhau ADE và

BCF Chứng minh rằng trung điểm các đoạn thẳng AB CD EF, , cùng thuộc một đường thẳng

Lời giải

a) Vì IP HQ// và IP HQ (tính chất đường trung bình của tam giác)

nên IPHQ là hình bình hành

Mặt khác IP IQ (do AD BC )

Suy ra IPHQlà hình thoi

Gọi P và 1 Q lần lượt là giao điểm 1

Nhận thấy HPQ cân đỉnh H  HPQ HQP   1

Mà PH BC//  BQ P HPQ 1  (so le trong)  2 và QH AD//  APP HQP1  (so le trong)  3

Từ      1 , 2 , 3 suy ra  

APP BQ P (đpcm)

b) Gọi K, M , N lần lượt là trung điểm của EF, DF , CE

Từ giả thiết ADE BCF và dựa vào

tính chất đường trung bình của tam giác

suy ra HMPHNQ (c.c.c)

MHN

 và PHQ có cùng tia phân giác.

Mặt khác dễ thấy IPHQ và KMHN là các hình thoi.

Suy ra HK và HI lần lượt là phân giác của

MHN và PHQ

Suy ra H, I, K thẳng hàng

Câu 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC có BC 40cm, phân giác AD 45cm, đường cao AH  cm Tính độ dài 36 BD , DC

Lời giải

Đặt BD x DC , y Giả sử xy Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông AHD ta được HD 27cm

Vẽ tia phân giác của góc ngoài tại A , cắt BC tại E

Ta có

2 2

27

AD

DH

cm

Theo tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác ta có:

75 75



  1 Mặt khác x y 40  y40 x, thay vào  1 ta được

115 1500 0

100

x

x





Do x 40 nên chọn x15 y25

Vậy BD  cm, 15 CD  cm 25

Câu 6: (2,0 điểm) Với a b, là các số thực thỏa mãn đẳng thức    

9

4

Hãy tìm GTNN của P 1a4  1b4

Lời giải

Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho hai dãy a2; 1 và 1; 4 ta được:

17

a

 1 Dấu " " xảy ra

1 2

a

Tương tự ta cũng có

2

1 17

b

b   

 2 Dấu " " xảy ra

1 2

b

Từ  1 và  2 suy ra

2 2 8 17

 * Mặt khác theo giả thiết    

9

4

4

a b ab

Áp dụng BĐT Côsi ta có:

2 1 4

a  a

,

2 1 4

b  b

,

2 2 2

ab



 Cộng từng vế ba BĐT ta được: 3 2 2 1 5

2 a b 2  a b ab4

2 2 1

2

a b

Thay vào  * ta được

1

8 17 2

2 17

P



Vậy GTNN của P bằng

17

2 đạt được khi

1 2

a b 