Thí sinh không được sử dụng tài liệu.. Giám thị không giải thích gì thêm... b Thay y=0 vào hệ phương trình ta thấy không thỏa mãn... c Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho ch
Trang 1ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 2015-2016 Câu 1: (3,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên:
4x +8x=38 6− y
b) Tìm số tự nhiên n để
4 4
n +
là số nguyên tố
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Cho (x+ x2+2015)( y+ y2+2015) =2015
Hãy tính giá trị của biểu thức A x y= + +2016
.
b) Chứng minh rằng:
Nếu
ax =by =cz
và
1 1 1
1
x+ + =y z
thì
3 ax +by +cz = a+ b+ c
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình 4(x2+4x+ =2) 11 x4+4
b) Giải hệ phương trình
2
2 2
4 1 0
+ + − + =
+ − − =
Câu 4: (7,0 điểm)
Cho đường tròn (O R; )
và dây cung BC cố định (BC<2R)
Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC
có ba góc nhọn Kẻ các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H
a) Chứng minh ∆AEF∽ ∆ABC
và
2 cos
AEF ABC
S
A
S =
b) Chứng minh rằng: S DEF = −(1 cos2 A−cos2B−cos2C S) ABC
c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi ∆DEF
đạt giá trị lớn nhất
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho a b c, , là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3 2 2 2 2 2 2
a b c a b b c c a
P= + + + + + + + +
Trang 2Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:
………
Trang 3LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC
2015-2016 Câu 1: (3,0 điểm)
a) Giải phương trình nghiệm nguyên:
4x +8x=38 6− y
b) Tìm số tự nhiên n để
4 4
n +
là số nguyên tố
Lời giải
a) Ta có
4x +8x=38 6− y ⇔ 2 2 ( )2 ( 2)
2x +4x= −19 3y ⇔2 x+1 =3 7−y
Ta thấy: ( )2 ( 2)
2 x+1 M2⇒ −7 y M2 ⇒ y
lẻ
Mặt khác:
7−y ≥ ⇒0 y ≤7
Do đó
Khi đó
2 2(x+1) = ⇒ + = ±18 x 1 3⇒ =x 2
hoặc x= −4
( ) ( ) (x y; ∈{ 2;1 ; 2; 1 ;− ) (−4;1 ;) (− −4; 1) }
n + =n + + n − n = n + − n = n − n+ n + n+
Vì n là số tự nhiên nên
2 2 2 1
n + n+ >
, mà
4 4
n +
là số nguyên tố nên
n − n+ = ⇔ =n
Câu 2: (4,0 điểm)
a) Cho (x+ x2+2015)( y+ y2+2015) =2015
Hãy tính giá trị của biểu thức A x y= + +2016
.
b) Chứng minh rằng:
Nếu
ax =by =cz
và
1 1 1
1
x+ + =y z
thì
3 ax +by +cz = a+ b+ c
Lời giải
a) Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với (x− x2+2015)
ta được:
2015 y y 2015 2015 x x 2015
( )1
Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với (y− y2+2015)
ta được:
Trang 4( 2 ) ( 2 )
2015 x x 2015 2015 y y 2015
( )2
Lấy ( ) ( )1 + 2
vế theo vế ta được x y+ =0 Vậy A x y= + +2016 2016=
b) Đặt
ax =by =cz =t
, ta có
+ + = + + =
(vì
1 1 1
1
x+ + =y z
) ( )1
Mặt khác
3t =x a3 = y b3 =z c3
Suy ra
x y z
( )2
Từ ( )1
và ( )2
ta có điều phải chứng minh
Câu 3: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình 4(x2+4x+ =2) 11 x4+4
b) Giải hệ phương trình
2
2 2
+ + − + =
+ − − =
Lời giải
a) Ta có 4(x2+4x+ =2) 11 x4+4 ( )1
6 x 2x 2 2 x 2x 2 11 x 2x 2 x 2x 2
2 11
(do
2 2 2 ( 1)2 1 0
với mọi x)
Đặt
2 2
2 2
2 2
x x t
x x
=
, (t>0)
Phương trình ( )1
trở thành 2
2
6
t
t
=
− − = ⇔ −
=
Trang 5
Chọn t=2
, khi đó
2
2 2
4 3 10 6 0
+ + = ⇔ − + = ⇔ = ±
− +
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm
5 7 3
S ±
=
b) Thay y=0
vào hệ phương trình ta thấy không thỏa mãn
Với y≠0
ta có:
2
2 2
4 1 0
+ + − + =
+ − − =
2
+ + + =
2
2 2
1
4
1
x
x y y
x
x y
y
+ + + =
⇔
+
Đặt
2 1
x u y
+
=
,
v x y= +
Hệ phương trình trở thành:
5, 9
• Với v=3,u=1
ta có hệ phương trình
2, 5
x y
• Với v= −5
, u=9
ta có hệ phương trình
(vô nghiệm) Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ) ( ) (x y; ∈{ 1; 2 ; −2;5) }
Câu 4: (7,0 điểm)
Cho đường tròn (O R; )
và dây cung BC cố định (BC<2R)
Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ∆ABC
có ba góc nhọn Kẻ các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H
2 cos
AEF
S
A
S =
Trang 6b) Chứng minh rằng: S DEF = −(1 cos2 A−cos2B−cos2C S) ABC
c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi ∆DEF
đạt giá trị lớn nhất
Lời giải
a) Ta có ∆ABE
vuông tại E nên
cosA AE
AB
= , ∆ACF
vuông tại F nên cosA AF
AC
= Suy ra
AB = AC ⇒ ∆ ∽ ∆
(c.g.c)
Khi đó
2 2 cos
AEF ABC
A
b) Tương tự câu a) ta có:
2 cos
BDF ABC
S
B
,
2 cos
CDE ABC
S
C
Từ đó suy ra:
1 cos cos cos
DEF
S
Suy ra S DEF = −(1 cos2 A−cos2 B−cos2C S) ABC
c) Ta chứng minh được OA EF⊥
; OB⊥DF
; OC⊥ED
Ta có 2S ABC =2.(S AEOF +S BDOF +S CDOE) ⇒BC AD OA EF OB FD OC ED. = . + . + .
BC AD R EF FD ED
Chu vi ∆DEF
đạt giá trị lớn nhất ⇔ AD
lớn nhất ⇔ A
là điểm chính giữa của cung lớn BC
Câu 5: (2,0 điểm)
Cho a b c, , là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3 2 2 2 2 2 2
2
a b c a b b c c a P
abc c ab a bc b ca
Lời giải
H F
E
D
O
A
Trang 7Ta có
P
bc ca ab c ab a bc b ca
Mà
Suy ra
P
3 9
2 2 2
2 2
≥ + + − =
(Vì với x y, >0
, áp dụng BĐT Cosi ta được 2
x y
y+ ≥x
)
Dấu " "=
xảy ra khi và chỉ khi a b c= =
Vậy GTNN của P bằng
9 2 đạt được khi a b c= =
……… HẾT………