99 hsg 16 pgd ha hoa nhu thuy dung

Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn.. c Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi DEF đạt giá trị lớn nhất.. Thí sinh không được sử dụng tài liệu..

ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC 2015-2016

Câu 1: (3,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x28x38 6 y2

b) Tìm số tự nhiên n để n 4 4 là số nguyên tố

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Cho x x22015 y y22015 2015

Hãy tính giá trị của biểu thức A x y  2016.

b) Chứng minh rằng:

Nếu ax3 by3 cz3 và

1 1 1

1

x y z  thì 3 ax2by2 cz2 3 a3b3c

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 4x24x2 11 x4  4

b) Giải hệ phương trình

2

4 1 0

2 7 2

     





Câu 4: (7,0 điểm)

Cho đường tròn O R;  và dây cung BC cố định BC2R Điểm A di

động trên cung lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn Kẻ các đường cao AD BE CF, , cắt nhau tại H

a) Chứng minh AEF ∽ ABC và

2

cos

AEF ABC

S

A

b) Chứng minh rằng: S DEF  1 cos2 A cos2B cos2C S ABC

c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi DEF đạt giá trị lớn nhất

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a b c, , là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

P

……….HẾT……….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG PGD HẠ HÒA NĂM HỌC

2015-2016 Câu 1: (3,0 điểm)

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4x28x38 6 y2

b) Tìm số tự nhiên n để n 4 4 là số nguyên tố

Lời giải

a) Ta có 4x28x38 6 y2  2 2  2  2

2x 4x19 3 y  2 x1 3 7 y

Ta thấy:  2  2

2 x1 2 7 y 2  y lẻ

Mặt khác: 7 y2  0 y2 7 Do đó y2  1 y1

Khi đó 2(x1)2 18 x 1 3 x2 hoặc x 4

x y ;   2;1 ; 2; 1 ;    4;1 ; 4; 1  

b) Ta có n4 4 n4 4 4n2 4n2 n222 2n2 n2 2n2 n22n2

Vì n là số tự nhiên nên n22n 2 1, mà n 4 4 là số nguyên tố nên

n  n   n

Câu 2: (4,0 điểm)

2015 2015 2015

Hãy tính giá trị của biểu thức A x y  2016.

b) Chứng minh rằng:

Nếu ax3 by3 cz3 và

1 1 1

1

x y z  thì 3 ax2by2 cz2 3a3b3c

Lời giải

a) Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với x x22015

ta được:

2015 y y 2015 2015 x x 2015

 1 Nhân cả 2 vế của đẳng thức đã cho với y y22015

ta được:

2015 x x 2015 2015 y y 2015

 2 Lấy    1  2 vế theo vế ta được x y 0

Vậy A x y  2016 2016

b) Đặt ax3 by3 cz3 t, ta có

x y z

(vì

1 1 1

1

x yz  )  1

Mặt khác 3t x a3 y b3 z c3 Suy ra

x y z

      

 2

Từ  1 và  2 ta có điều phải chứng minh

Câu 3: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 4x24x2 11 x4  4

b) Giải hệ phương trình

2





Lời giải

a) Ta có 4x24x2 11 x4 4  1

6 x 2x 2 2 x 2x 2 11 x 2x 2 x 2x 2

2 11

    (do x2 2x 2 (x1)2  với mọi x ).1 0

Đặt

2 2

2 2

2 2

t

 



  , t 0 Phương trình  1 trở thành

2

2

6

t

t







 

Chọn t  , khi đó 2

2

2 2

4 3 10 6 0

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

5 7 3

S  

  b) Thay y 0 vào hệ phương trình ta thấy không thỏa mãn

Với y 0 ta có:

2

4 1 0

2 7 2

     





2





2

2 2

1

4 1

x

x y y

x

x y

y

 

  





 





Đặt

x u y





, v x y 

Hệ phương trình trở thành: 2 2

5, 9

 

 Với v3,u1 ta có hệ phương trình

2, 5

       

 Với v 5, u  ta có hệ phương trình 9

Vậy hệ phương trình có nghiệm x y ;   1;2 ; 2;5 

Câu 4: (7,0 điểm)

Cho đường tròn O R và dây cung BC cố định ;  BC2R Điểm A di

động trên cung lớn BC sao cho ABC có ba góc nhọn Kẻ các đường

cao AD BE CF, , cắt nhau tại H

a) Chứng minh AEF ∽ ABC và

2

cos

AEF ABC

S

A

b) Chứng minh rằng: S DEF  1 cos2 A cos2B cos2C S ABC

c) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC sao cho chu vi DEF đạt giá

trị lớn nhất

Lời giải

a) Ta có ABE vuông tại E nên cos

AE A AB



, ACF vuông tại F nên cosA AF

AC

 Suy ra

AB AC   ∽ 

(c.g.c)

Khi đó

2 2

cos

AEF ABC

A

 

  

b) Tương tự câu a) ta có:

2

cos

BDF

ABC

S

B

2

cos

CDE

ABC

S

C

Từ đó suy ra:

1 cos cos cos

ABC AEF BDF CDE DEF

S

H F

E

D

O

A

Suy ra S DEF  1 cos2 A cos2 B cos2C S ABC

c) Ta chứng minh được OA EF ; OBDF ; OCED

Ta có 2S ABC 2.S AEOF S BDOF S CDOE  BC AD OA EF OB FD OC ED   

BC AD R EF FD ED

BC AD

EF FD ED

R

Chu vi DEF đạt giá trị lớn nhất  AD lớn nhất  A là điểm chính

giữa của cung lớn BC

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a b c, , là ba số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

P

Lời giải

Ta có

P

Mà

Suy ra

P

3 9

2 2 2

2 2

    

(Vì với x y , 0, áp dụng BĐT Cosi ta được 2

x y

yx  )

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Vậy GTNN của P bằng

9

2 đạt được khi a b c 

……… HẾT………