112 hsg 14 quang nam nhu thuy dung

Chứng minh KD là tia phân giác của góc AKC.. a Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.. b Giả sử ABC cân tại A, chứng minh rằng tích

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013-2014

Câu 1: (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A x4 x 4  x 4 x 4 với x 4

b) Cho a , b , c , d , e , f là các số thực khác 0 , thỏa mãn 1

d e f  và 0

a b  c  Tính giá trị của biểu thức

B

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n214n 256 là một số chính phương

b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5

Chứng minh rằng 8n 3 4n 4

a  a  chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n

Câu 3: (6,0 điểm)

a) Giải phương trình x2 x2014 2014

b) Giải hệ phương trình 2

2

x y z

xy z

  





 

c) Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn a2b2c2 1

Chứng minh rằng abc2 1    a b c ab ac bc    0

Câu 4: (3,0 điểm)

a) Cho hình bình hành ABCD , các điểm M , N theo thứ tự thuộc các

cạnh AB và BC sao cho AN CM Gọi K là giao điểm của AN và CM

Chứng minh KD là tia phân giác của góc AKC

b) Cho ABC vuông tại A AB AC  Biết BC  4 4 3 và bán kính

đường tròn nội tiếp ABC bằng 2 Tính số đo của góc B và góc C của

ABC



Câu 5: (3,0 điểm)

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý (

D khác B và C ) Đường tròn tâm O qua 1 D và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn tâm O qua 2 D và tiếp xúc với AC tại C , hai đường tròn này

cắt nhau tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE

luôn đi qua một điểm cố định

b) Giả sử ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD AE không phụ.

thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC

2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A x4 x 4  x 4 x 4 với x 4

b) Cho a ,b , c , d , e , f là các số thực khác 0 , thỏa mãn 1

d e f  và 0

Tính giá trị của biểu thức

B

Lời giải

a) Với x 4, ta có

 4 4 4 4  4 4 4 4  4 22  4 22

 x 4 2  x 4 2

Xét các trường hợp:

 Với x 8, ta có A x 4 2  x 4 2 2  x 4

 Với 4 x 8, ta có A x 4 2 2   x 4 4

b) Với a ,b , c , d , e , f là các số thực khác 0 , ta có:

2

Vậy B 1

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n214n 256 là một số chính phương

b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5

Chứng minh rằng 8n 3 4n 4

a  a  chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n

Lời giải

a) Đặt n214n 256k2, với k  

2

Mà 305 1.305   1 305   5.61  5 61   và n 7 k  n 7k, với

k  

Ta xét các trường hợp sau:

 TH1:



 TH2:



 TH3:



 TH4:



Vì n và k là các số tự nhiên nên chọn n 40 hoặc n 160

b) Ta có a8n3a4n  4a8n13a4n1  a8 n13 a4 n1

a8 1   a8 n1  a8 n2  a8 n3 1 3a4 1   a4 n1  a4 n2  a4 n3 1

a4 1 a4 1   a8 n1  a8 n2  a8 n3 1 3a4 1   a4 n1  a4 n2  a4 n3 1

a4 1 a4 1  B 3a4 1  C a4 1  a4 1  B 3C a2 1 a2 1  a4 1  B 3C

a2 1 a2 1  D

Vì a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5 nên ta xét

các trường hợp sau:

 TH1: a5k1, khi đó a2 1 5k121 5  a8n3a4n 4 5

 TH2: a5k2, khi đó a2 1 5k221 5  a8n3a4n 4 5

 TH3: a5k3, khi đó 2  2  8 4 

1 5 3 1 5 n 3 n 4 5

a   k    a  a 

 TH4: a5k4, khi đó a2 1 5k421 5  a8n3a4n 4 5

Vậy 8n 3 4n 4

a  a  chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n

Câu 3: (6,0 điểm)

a) Giải phương trình x2 x2014 2014

b) Giải hệ phương trình 2

2

x y z

xy z

  





 

c) Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn a2b2c2 1

Chứng minh rằng abc2 1    a b c ab ac bc    0

Lời giải

a) Điều kiện: x 2014

Đặt t x2014, t 0  t2  x 2014

Ta có hệ phương trình sau:

 

 

2 2

2014 1

2014 2

x t

t x

  





 

Lấy    2  1 vế theo vế ta được:

   

1

t x





            

 Với tx thay vào  1 ta được

2

2014 0

1 8057 2

(loại vì t  ) hoặc 0

1 8057 2

x  (nhận)

 Với t x  thay vào 1  1 ta được

2

2013 0

1 8053 2

x  

(loại vì t  ) hoặc 0

1 8053 2

x  (nhận)

Vậy phương trình có nghiệm là

1 8057 2

x 

hoặc

1 8053 2

x 

b) Đặt

S x y

P xy

 







 Hệ phương trình đã cho trở thành  2 

2 1

4 2

 









Khi đó x , y là nghiệm của phương trình 2   1 2   

2

Ta có 2 2 4.1 2 4 2 4 4  22

2

Phương trình  1 có nghiệm    0 z22 0 z2

Thay z 2 vào phương trình  1 ta được X2  4X   4 0 X 2

 phương trình  1 có nghiệm x y 2, z 2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

2 2 2

x y z











 

 c) Ta có a2b2c2  1 a2  1 b2 c2       1 a 1 1 a 0

Tương tự ta cũng có 1  , 1b 0   c 0

Khi đó 1a 1b 1c     0 1 a b c ab ac bc abc   0 1 

1  a b c   0 1 2 a b c   a b c  0

 1 2a b c  a2b2c22ab2bc2ca 0

 2 1    a b c ab ac bc   (vì 0 a2b2c2 1)     1 a b c ab ac bc  0 2 

Lấy    1  2 vế theo vế ta được: abc2 1    a b c ab ac bc    (đpcm).0

Câu 4: (3,0 điểm)

a) Cho hình bình hành ABCD , các điểm M , N theo thứ tự thuộc các

cạnh AB và BC sao cho AN CM Gọi K là giao điểm của AN và CM

Chứng minh KD là tia phân giác của góc AKC

b) Cho ABC vuông tại AAB AC  Biết BC  4 4 3 và bán kính đường

tròn nội tiếp ABC bằng 2 Tính số đo của góc B và góc C của ABC

Lời giải

a) Kẻ DI AN tại I , DH MC tại H

Ta có

1 2

ADN

,

1 MC 2

DMC

Mà

1 2

Suy ra DI AN. DH MC.  DI DH

Khi đó ta có IDKHDK(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

IKD HKD

  hay KD là tia phân giác của góc AKC (đpcm)

b) Gọi I, H, K lần lượt là các tiếp điểm của

đường tròn nội tiếp ABC với các cạnh AB,

AC , BC

Ta có AB AC AI IB AH HC    

 

8 4 3 1

AI AH BK KC

 2  2

8 4 3

AB AC

     AB2AC22AB AC 8 4 3 2

2 2 8 4 3

 

2 2

8 4 3

2

BC

Từ  1

và  2

, kết hợp với AB AC suy ra AB  2 2 3, AC  6 2 3 Khi đó

2 2 3 1 sin

2

4 4 3

AB C BC



  C 30, B 60

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý (

D khác B và C ) Đường tròn tâm O qua 1 D và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn tâm O qua 2 D và tiếp xúc với AC tại C , hai đường tròn này

cắt nhau tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE

luôn đi qua một điểm cố định

b) Giả sử ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD AE không phụ.

thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC

Lời giải

a) Kéo dài ED cắt  O tại I

AB là tiếp tuyến của  O1  ABD BED

AC là tiếp tuyến của O2  ACD CED

ABD ACD BEC

    BEC BAC  180

Suy ra tứ giác ABEC nội tiếp  O

//

AI BC

  I cố định

Vậy đường thẳng DE luôn đi qua điểm I cố định (đpcm)

b) Ta có AB IC (do AI BC ) //

Mà ABC cân tại A nên AB AC  AC IC  I A

A

 , D, E thẳng hàng

2

  (vì ABE∽ADB )

Vậy AD AE không phụ thuộc vào vị trí điểm . D trên cạnh BC (đpcm)

……… HẾT………

I

E

O

B

C D

A