112 HSG 14 QUANG NAM NHU THUY DUNG

Chứng minh KD là tia phân giác của góc AKC.. a Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.. b Giả sử ABC cân tại A, chứng minh rằng tích

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC 2013-2014

Câu 1: (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A x4 x 4 x4 x4 với x4

b) Cho a , b , c , d , e , f là các số thực khác 0 , thỏa mãn 1

a b c

d   e f

và 0

a b  c

Tính giá trị của biểu thức

a b c B

d e f

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n214n256 là một số chính phương

b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5

Chứng minh rằng a8n3a4n4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n

Câu 3: (6,0 điểm)

a) Giải phương trình x2 x2014 2014

b) Giải hệ phương trình 2

2

x y z

xy z

  



c) Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 1

Chứng minh rằng abc2 1    a b c ab ac bc   0

Câu 4: (3,0 điểm)

a) Cho hình bình hành ABCD , các điểm M , N theo thứ tự thuộc các

cạnh AB và BC sao cho AN CM Gọi K là giao điểm của AN và CM

Chứng minh KD là tia phân giác của góc AKC

b) Cho ABC vuông tại A AB AC  Biết BC 4 4 3 và bán kính

đường tròn nội tiếp ABC bằng 2 Tính số đo của góc B và góc C của ABC



Câu 5: (3,0 điểm)

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý (

D khác B và C ) Đường tròn tâm O qua 1 D và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn tâm O qua 2 D và tiếp xúc với AC tại C , hai đường tròn này

cắt nhau tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE

luôn đi qua một điểm cố định

b) Giả sử ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD AE không phụ.

thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC

Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:……….….Số báo danh:

………

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH QUẢNG NAM NĂM HỌC

2013-2014 Câu 1: (4,0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A x4 x 4 x4 x4 với x4

b) Cho a ,b , c , d , e , f là các số thực khác 0 , thỏa mãn 1

a b c

d   e f

và 0

a b  c

Tính giá trị của biểu thức

a b c B

d e f

Lời giải

a) Với x4, ta có

A x  x   x  x   x   x 

 x  4 2 x 4 2

Xét các trường hợp:

 Với x8, ta có A x  4 2 x  4 2 2 x4.

 Với 4 x 8, ta có A x   4 2 2 x 4 4

b) Với a ,b , c , d , e , f là các số thực khác 0 , ta có:

2

a b  c

Vậy B1

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n214n256 là một số chính phương

b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5

Chứng minh rằng a8n3a4n 4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n

Lời giải

a) Đặt n214n256k2, với k¥

Mà 305 1.305    1 305  5.61   5 61  và n    7 k n 7 k, với

k ¥ .

Ta xét các trường hợp sau:

 TH1:

 TH2:

      

 TH3:

     

 TH4:

     

      

Vì n và k là các số tự nhiên nên chọn n40 hoặc n160

b) Ta có a8n 3a4n 4 a8n  1 3 a4n 1   a8 n 1 3 a4 n1

 8     8 1 8 2  8 3  4     4 1 4 2  4 3

 4   4     8 1 8 2  8 3  4     4 1 4 2  4 3

a4 1 a4 1  B 3a4 1  C a4 1  a4 1  B 3C a2 1 a2 1  a4 1  B 3C

a2 1 a2 1  D

Vì a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5 nên ta xét

các trường hợp sau:

 TH1: a5k1, khi đó 2  2  8 4 

1 5 1 1 5 n 3 n 4 5

a   k    a  a 

 TH2: a5k2, khi đó 2  2  8 4 

1 5 2 1 5 n 3 n 4 5

a   k    a  a 

 TH3: a5k3, khi đó 2  2  8 4 

1 5 3 1 5 n 3 n 4 5

a   k    a  a 

 TH4: a5k4, khi đó 2  2  8 4 

1 5 4 1 5 n 3 n 4 5

a   k    a  a 

Vậy a8n3a4n4 chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n

Câu 3: (6,0 điểm)

a) Giải phương trình x2 x2014 2014

b) Giải hệ phương trình 2

2

x y z

xy z

  



c) Cho a , b , c là các số thực thỏa mãn a2 b2 c2 1

Chứng minh rằng abc2 1    a b c ab ac bc   0

Lời giải

a) Điều kiện: x 2014

Đặt t x2014, t0   t2 x 2014

Ta có hệ phương trình sau:

 

 

2 2

2014 1

2014 2

  



  

Lấy    2  1 vế theo vế ta được:

1

t x

t x x t x t t x

t x

 



             .

 Với t  thay vào x  1 ta được

2 2014 0

1 8057 2

 

(loại vì t ) hoặc 0

1 8057 2

(nhận)

 Với t x  thay vào 1  1 ta được

2 2013 0

1 8053 2

 

(loại vì t ) hoặc 0

1 8053 2

(nhận)

Vậy phương trình có nghiệm là

1 8057 2

hoặc

1 8053 2

b) Đặt

S x y

P xy

 



 

 Hệ phương trình đã cho trở thành  2 

2 1

4 2

 





Khi đó x , y là nghiệm của phương trình 2   1 2   

2

Ta có  2 1 2  2  2

2

           

Phương trình  1 có nghiệm  2

         Thay z 2 vào phương trình  1 ta được X24X   4 0 X 2.

 phương trình  1 có nghiệm x y 2, z 2

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

2 2 2

x y z





 



  

 c) Ta có a2 b2 c2  1 a2          1 b2 c2 1 a 1 1 a 0

Tương tự ta cũng có 1  , 1b 0   c 0

Khi đó 1a 1b 1      c 0 1 a b c ab ac bc abc   0 1 .

1  a b c   0 1 2 a b c    a b c 0

 1 2a b c      a2 b2 c2 2ab2bc2ca0 2 1    a b c ab ac bc  0 (vì a2 b2 c2 1)

    1 a b c ab ac bc  0 2  Lấy    1  2 vế theo vế ta được: abc2 1    a b c ab ac bc   0 (đpcm).

Câu 4: (3,0 điểm)

a) Cho hình bình hành ABCD , các điểm M , N theo thứ tự thuộc các

cạnh AB và BC sao cho AN CM Gọi K là giao điểm của AN và CM

Chứng minh KD là tia phân giác của góc AKC

b) Cho ABC vuông tại AAB AC  Biết BC  4 4 3 và bán kính đường

tròn nội tiếp ABC bằng 2 Tính số đo của góc B và góc C của ABC .

Lời giải

a) Kẻ DI AN tại I , DH MC tại H

Ta có

1 2

ADN

,

1 MC 2

DMC

Mà

1 2

Suy ra DI AN. DH MC. DI DH .

Khi đó ta có IDK HDK(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

IKD HKD

  hay KD là tia phân giác của góc AKC (đpcm)

b) Gọi I , H, K lần lượt là các tiếp điểm của

đường tròn nội tiếp ABC với các cạnh AB,

AC , BC

Ta có AB AC AI IB AH HC    

 

8 4 3 1

AI AH BK KC

8 4 3

AB AC

AB AC AB AC

 2

2 2 8 4 3

BC AB AC

2

8 4 3

2

BC

Từ  1 và  2 , kết hợp với AB AC suy ra AB 2 2 3, AC 6 2 3.

Khi đó

2 2 3 1 sin

2

4 4 3

AB C BC



  Cµ 30o

, µB60o

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O Trên cạnh BC lấy điểm D tùy ý (

D khác B và C ) Đường tròn tâm O qua 1 D và tiếp xúc với AB tại B, đường tròn tâm O qua 2 D và tiếp xúc với AC tại C , hai đường tròn này

cắt nhau tại điểm thứ hai là E

a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE

luôn đi qua một điểm cố định

b) Giả sử ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD AE không phụ.

thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC

Lời giải

a) Kéo dài ED cắt  O tại I

AB là tiếp tuyến của  O1 ·ABD BED·

AC là tiếp tuyến của  O2 ·ACD CED· .

·ABD ACD BEC· ·

   BEC BAC· · 180o

Suy ra tứ giác ABEC nội tiếp  O

AIE ACE ACD DCE CED DCE IDC

//

AI BC

  cố định I

Vậy đường thẳng DE luôn đi qua điểm I cố định (đpcm)

b) Ta có »AB ICº (do AI BC ) //

Mà ABC cân tại A nên »AB AC» »AC ICº  I A

A

 , D, E thẳng hàng

2

  (vì ABE∽ADB )

Vậy AD AE không phụ thuộc vào vị trí điểm . D trên cạnh BC (đpcm)

……… HẾT………