126 HSG 11 THANH HOA

Cho tam giác đều ABC , các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC.. P là điểm di động trên đoạn thẳ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM 2010-2011

Bài 1. (5,0 điểm)

1) Cho phương trình: x2 2m x2m  Chứng minh phương trình luôn1 0.

có hai nghiệm

1 2

2 2

x x P





khi m thay đổi.

2) (a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn

a b c Chứng minh rằng

2 2 2

là số hữu tỉ

(b) Cho ba số hữu tỉ , ,x y z đôi một phân biệt Chứng minh rằng:

B

Bài 2. (5,0 điểm).

a) Giải phương trình:

10

b) Giải hệ phương trình:

2

2 3

1 4

x





Bài 3. (2,0 điểm)

Cho tam giác đều ABC , các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC Tính BPE.

Bài 4. (4,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định ( O AB ) P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (PA B, và P khác trung điểm AB) Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B Hai đường tròn (C)

và (D) cắt nhau tại N (N P)

a) Chứng minh rằng ANP BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn

a) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động

Bài 5. (4,0 điểm)

a) Cho a a1, , ,2 a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn 45 a1a2  a45 130 Đặt d j a j1 a j, (j1, 2, , 44) Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu

j

d xuất hiện ít nhất 10 lần

b) Cho ba số dương , ,a b c thoả mãn: a2b2  b2c2  c2a2  2011

Chứng minh rằng:

b c c a a b     

HẾT .

Thí sinh không được sử dụng tài liệu

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM 2010-2011 Bài 1. (5,0 điểm)

1) Cho phương trình:x2 2m x2m  Chứng minh phương trình luôn1 0.

có hai nghiệm

1 2

2 2

x x P





khi m thay đổi.

2.a) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn

a b c Chứng minh rằng

2 2 2

A a b c là số hữu tỉ

b) Cho ba số hữu tỉ , ,x y z đôi một phân biệt Chứng minh rằng:

2 2 2

B

Lời giải

1) Ta có  ' (m1)2  0, m nên phương trình có hai nghiệm với mọi

m.

Theo định lí viet, ta có x1x2 2 ,m x x1 2 2m1x x1 2 2m1, suy ra

2

m P

m







2 2

(2 1)

m m



1 2

m 

2.a) Từ giả thiết suy ra 2ab 2bc 2ca0

Suy ra A (a b c  )2   a b c là số hữu tỉ

2.b) Đặt

a b c

B

Bài 2. (5,0 điểm).

a) Giải phương trình:

10

b) Giải hệ phương trình:

2

2 3

1 4

x





Lời giải

a) Đk: x 1. Phương trình tương đương với

2

Đặt

2 2

2 , 1

x t x



 ta được phương trình

0

t  t   t

hoặc

2 3

t

Với

5 , 3

t 

ta được

2 2

1 3

x

x   (vô nghiệm) Với

2 , 3

t 

ta được

2 2

x

x   suy ra

1 2

x 

b) Đk: y 0. Hệ tương đương với

2 2

3 3

4

4

x











Đặt

1 ,

u x

y x v y



 





 

 ta được hệ

2 3







2 2

4 2



 

  



2 1

u v





 





Với

2 1,

u v









 ta được

1 2

1 1

1

x

x y

y











 (thoả mãn điều kiện)

Bài 3. (2,0 điểm)

Cho tam giác đềuABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giácBPC Tính BPE.

Lời giải

Kẻ EF AC tại F, DGBC tại G

Theo giả thiết S(ADPE) S(BPC)

(ACE) (BCD)

Suy ra AEF CDG AE CG .

Do đó AECCDB c g c(   ) DBC ECA

BPE PBC PCB PCD PCB

Bài 4. (4,0 điểm)

Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (

O AB ) P là điểm di động trên đoạn thẳng AB

(PA B, và P khác trung điểm AB) Đường tròn

tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O)

tại A Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc

với đường tròn (O) tại B Hai đường tròn (C) và

(D) cắt nhau tại N (N P)

Mà AC BC  EF DG và A C

a) Chứng minh rằng ANP BNP và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động

Lời giải

a) Gọi Q là giao điểm của các tiếp tuyến

chung của (O) với (C), (D) tại A, B tương ứng

Suy ra ANP QAP QBP BNP   .

Ta có ANBANP BNP QAP QBP  



0

180 AQB

  , suy ra NAQB nội tiếp (1)

Dễ thấy tứ giác OAQB nội tiếp (2)

Từ (1) và (2)

suy ra 5 điểm O, N, A, Q, B

cùng nằm trên một đường tròn

Ta có OCN 2OAN 2OBN ODN  ,

suy ra bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn

b) Gọi E là trung điểm OQ, suy ra E cố định và E là tâm đường tròn đi qua các điểmN, O, D, C

Suy ra đường trung trực của ON luôn đi qua điểm E cố định

Bài 5. (4,0 điểm)

a) Cho a a1, , ,2 a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn 45 a1a2  a45 130 Đặt d j a j1 a j, (j1, 2, , 44) Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu

j

d xuất hiện ít nhất 10 lần

b) Cho ba số dương , ,a b c thoả mãn: a2b2  b2c2  c2a2  2011

Chứng minh rằng:

b c c a a b     

Lời giải

a) d1d2 d44 (a2 a1) ( a3 a2) (  a45 a44)a45  a1 130 1 129.  (1)

Nếu mỗi hiệu d j (j 1, 2, , 44) xuất hiện không quá 10 lần thì

1 2 44 9(1 2 3 4) 8.5 130

d d  d       mâu thuẫn với (1)

Vậy phải có ít nhất một hiêụ d j (j 1, , 44) xuất hiện không ít hơn 10 lần

b) Ta có 2(a2b2) ( a b )2

Đặt x b2c2, y c2a2, z a2b2, suy ra

VT

2 2

2 2

1

Suy ra

2 2

……… HẾT………