119 HSG 13 THANH hóa

Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn P và Q là các tiếp điểm.. Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M... 2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn O

ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018-2019 Câu 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thức :

: 2

A

= − − ÷ ÷  − ÷÷

1/ Rút gọn biểu thức A

2/ Tìm các giá trị của x để

2

A≤ −

Câu 2: (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol ( )P y ax: = 2 (a≠0)

và đ-ường thẳng ( )d :y bx= +1

1/ Tìm các giá trị của a và b để ( )P

và ( )d

cùng đi qua điểm

( )1; 2

M

2/ Với a b, vừa tìm được, chứng minh rằng ( )P

và ( )d

còn có một điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)

Câu 3: (2,0 điểm)

1/ Cho phương trình:

x − m+ x m+ + − =m

(m là tham số) Tìm m

để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

2/ Giải hệ phương trình:

1 1

1

x y

 − + − =



 + =





Câu 4: (3,0 điểm)

Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.

1/ Chứng minh rằng: MO MA=

2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C Chứng

minh rằng:

a) AB AC BC+ −

không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì //

PQ BC

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho x y, là các số thực dương thoả mãn :

1 2

2

x+ =y

Chứng minh rằng:

5x + −y 4xy y+ ≥3

……….HẾT……….

LỜI GIẢI ĐỀ ĐỀ THI CHỌN HSG TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thức :

: 2

A

= − − ÷ ÷  − ÷÷

1/ Rút gọn biểu thức A

2/ Tìm các giá trị của x để

2

A≤ −

Lời giải

1/ Rút gọn biểu thức A

: 2

A

= − − ÷ ÷  − ÷÷

(ĐK: x≥0,x≠4,x≠9) ( 2)( 2 3) 2 3 23 : 21

A

A

x

+

A =

( )( ) ( ) ( )

− −

=

1 4

x x

+

−

2/ Tìm các giá trị của x để

2

A≤ −

1 0

4

x

x

−

≤ − ⇔ ≤ − ⇔ − ≤ − −

+

⇔ + − ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤

⇔ ≤ ≤

Kết hợp với ĐK ⇒

1 0

4

x

≤ ≤

.

Câu 2: (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol ( )P y ax: = 2 (a≠0)

và đ-ường thẳng ( )d :y bx= +1

1/ Tìm các giá trị của a và b để ( )P

và ( )d

cùng đi qua điểm

( )1; 2

M

2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh rằng ( )P

và ( )d

còn có một điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)

Lời giải

1/ Tìm các giá trị của a và b để ( )P

và ( )d

cùng đi qua điểm M( )1;2

( )

M∈ P ⇒ 2=a.12 ⇒ a=2 ⇒ y=2x2

( )

M∈ d ⇒ 2=b.1 1+ ⇒ b=1 ⇒ y x= +1

2/ Với a,b vừa tìm được, chứng minh rằng ( )P

và ( )d

còn có một điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O là gốc toạ độ)

Xét pt hoành độ gđ:

2

2x = +x 1 ⇔2x2− − =x 1 0

= ⇒ =





⇔

 = − ⇒ =

 ⇒M( )1;2 ; N−1 12 2; ÷

( 1 2)

MON thang

S∆ =S − S +S =  +   + −  +  =

Câu 3: (2,0 điểm)

1/ Cho phương trình:

x − m+ x m+ + − =m

(m là tham số) Tìm m

để

phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

2/ Giải hệ phương trình:

1 1

1

x y

 − + − =



 + =





Lời giải

1/ Cho phương trình:

x − m+ x m+ + − =m

(m là tham số) Tìm m

để

phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt

2

3

25 0 0

2

1

2 1 0

m m

a

∆ >  > 

⇔ > ⇔ + − > ⇔ ⇔ >

  + >  > −



− > 



2/ Giải hệ phương trình:

1 1

1

x y

 − + − =



 + =





(ĐK:x≥1

; y≥1) (2) ⇔ + =x y xy

(3) Hai vế của (1) đều dương nên bình phương hai vế ta có:

( ) ( )

( )

+ − + − − =

⇔ + − + − + + =

Thay (3) vào ta có: x y+ =4 kết hợp với (3) có hệ:

4 4

x y xy

+ =



 =



Áp dụng hệ thức Viete ta cóx; y là hai nghiệm của pt:

2

4x 4 0

2; 2

⇒ = =

Câu 4: (3,0 điểm)

Cho A là điểm cố định nằm ngoài đường tròn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP và AQ tới đường tròn (P và Q là các tiếp điểm) Đường thẳng đi qua O và vuông góc với OP cắt đường thẳng OQ tại M.

1/ Chứng minh rằng: MO MA=

2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C Chứng

minh rằng:

a) AB AC BC+ −

không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì //

PQ BC

Lời giải

1

1

1 2

1

1

C

B

M

P

O

Q

A

N

µ µ

1 1

A =O

và

µ ¶

1 2

A = A ⇒¶A2 =Oµ1 ⇒ ∆MAO

cân ⇒MO MA=

2/ Lấy điểm N trên cung lớn PQ của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến với (O) tại N cắt các tia AP, AQ lần lượt tại B và C Chứng

minh rằng:

a) AB AC BC+ −

không phụ thuộc vào vị trí của điểm N.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AP AQ= , CQ CN= ,

BP BN=

⇒AB AC BC+ − =AP BP AQ QC CN BN+ + + − − =2AP (const)

b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được trong một đường tròn thì //

PQ BC

Nếu tứ giác BCQP nội tiếp được

µ µ

1 1

P C

⇒ =

Mà

µ µ

1 1

P Q= ⇒Cµ1=Qµ1 ⇒PQ BC//

.

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho x y, là các số thực dương thoả mãn :

1 2

2

x+ =y

Chứng minh rằng:

5x + −y 4xy y+ ≥3

Lời giải

* Ta có:

2 2

+ − + ≥

⇔ − + + + − ≥

⇔ − + + − ≥

*

2 1

y

− + = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =

−

Vì: y>0; x>0 ⇒2x− >1 0

1 2

x

⇒ >

Thay

2

2 1

x y x

=

− vào

x + − ≥y

Ta có:

3 2

− + − +

Vì 2x− >1 0 ⇒( )1 ⇔2x3− +x2 2x−6x+ ≥ ⇔3 0 2x3− −x2 4x+ ≥3 0

Mà

3 2

2

2

1 2 3 0 0

− − +

= − + − − +

= − + −

= − + ≥ ∀ >

Suy ra ( )2 2

2x y− + + − ≥x y 3 0 ∀ >x 0;y> 0

Vậy

5x + −y 4xy y+ ≥3

……… HẾT………