Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm.. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.. Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng th
Trang 1Đ ƯỜ NG PHÂN GIÁC TRONG C A TAM GIÁC Ủ
I KI N TH C C B N Ế Ứ Ơ Ả
1 Định lí: Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một
điểm Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó
^A1= ^A2, ^ B1=^B2, ^C1=^C2⇒ ID=IE=IF
2 Tính chất: Trong một tam giác cân, đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường
trung tuyến của tam giác đó
II BÀI T P Ậ
Bài 1: Cho Δ ABC có đ ng trung tuy n ườ ế AM đ ng th i là đ ng phân giác c a góc ồ ờ ườ ủ ^A Ch ngứ minh r ng ằ Δ ABC cân t i ạ A
Bài 2: Cho ^xOy , tia phân giác Oz Trên tia Ox l y đi m ấ ể A sao cho OA=3cm T ừ A k đ ngẻ ườ
th ng vuông góc v i ẳ ớ Ox c t ắ Oz t i ạ H , c t ắ Oy t i ạ K L y đi m ấ ể B trên tia Ox sao cho KA là tia
phân giác c a góc ủ OKB H ^ ạHI ⊥OK
a) Ch ng minh ứ AH=HI b) Bi t ế OH=5cm , tính kho ng cách t đi m ả ừ ể H đ n ế BK
Bài 3: Cho tam giác ABC cân t i ạ A CP ,BQ là các tia phân giác trong c a ủ Δ ABC (
P ∈ AB ,Q ∈ AC) G i ọ O là giao đi m c a ể ủ CP và BQ.
a) Ch ng minh tam giác ứ OBC là tam giác cân.
b) Ch ng minh đi m ứ ể O cách đ u ba c nh ề ạ AB , AC và BC
c) Ch ng minh đ ng th ng ứ ườ ẳ AO đi qua trung đi m c a đo n th ng ể ủ ạ ẳ BC và vuông góc v i nó.ớ d) Ch ng minh ứ CP=BQ.
e) Tam giác APQ là tam giác gì? Vì sao?
Bài 4: Cho tam giác MNP có ^N=50° , ^P=60° Các tia phân giác ME, PF c t nhau ắ ở H Hãy tính
s đo góc ố ^NHP
Bài 5: Cho tam giác ABC Các tia phân giác góc ở ^B và ^C c t nhau ắ ởI
a) N u ế ^A=70° , hãy tính s đo góc ố ^BIC b) N u ế ^BIC=140° , hãy tính s đo góc ố ^A.
c) Ch ng minh r ng ứ ằ ^BIC=90°+ ^A
2 .
H t ế
HDG Bài 1:
H ạMD ⊥ AB , ME⊥ AC
F
E
D
I
A
B
A
Trang 2Vì AM là tia phân giác c a ủ ^A nên MD=ME.
Do đó Δ BDM= ΔCEM (c nh huy n – c nh góc vuông).ạ ề ạ
Suy ra ^B=^C V y ậ Δ ABC cân t i ạ A
Bài 2: a) Vì H n m trên tia phân giác c a ằ ủ ^xOy nên H cách đ u ề Ox ,Oy ⇒ AH=HI
b) Tính AH=√52−32=4cm
Ch ng minh ứ H là giao đi m c a ba đ ng phân giác trongể ủ ườ
ΔOBK nên H cách đ u ba c nh c a tam giác đó.ề ạ ủ
V y kho ng cách t đi m ậ ả ừ ể H đ n ế BK b ng ằ AH=4 cm
Bài 3:
a) T gi thi t suy ra ừ ả ế ^ABC=^ ACB, C^1=^C2=
^ 2
⇒ ^ B1= ^B2=^C1= ^C2.
⇒ ΔOBC cân.
b) Vì O là giao đi m các tia phân giác ể CP và BQ trong Δ ABC nên O
là giao đi m ba đ ng phân giác trong ể ườ Δ ABC Do đó, O cách
đ u ba c nh ề ạ AB , AC và BC
c) Ta có Δ ABC cân t i ạ A , AO là tia phân giác đ nh ở ỉ A nên AO
đ ng th i là trung tuy n và đ ng cao c a ồ ờ ế ườ ủ Δ ABC
V y đ ng th ngậ ườ ẳ AO đi qua trung đi m c a đo n th ng ể ủ ạ ẳ BC và
vuông góc v i nó.ớ
d) Δ PBC=ΔQCB (g.c.g)⇒CP=BQ
e) Có AP= AB−BP, AQ= AC−CQ (1).
Mà Δ PBC=ΔQCB ⇒ BP=CQ ; AB= AC (2)
T ừ(1) và (2) suy ra AP= AQ.
V y tam giác ậ APQ cân t i ạ A.
Bài 4:
T gi thi t suy ra ừ ả ế ^N1=25 ° và ^ P1=30 °
Do đó, ta tính đ c góc ượ ^NHP=125°
Bài 5:
a) Xét Δ ABC , ta tính đ c ượ ^B+^C=110°
y
x
z
I H B
K O
A
1 2 2
1
O
A
1 1
H M
I
A
Trang 3Do đó, ^IBC+ ^ ICB=55°.
V y ậ ^BIC=180°−55°=125 °.
b) Xét Δ BIC , t gi thi t suy ra ừ ả ế ^IBC+ ^ ICB=40° Do đó, ta có^ABC+^ ACB=80°
V y ậ ^BAC=100 °
c) Ta có: ^BIC=180°−(^IBC+^ ICB)
¿180 °− ^B+ ^C
2 =180 °− 180°− ^A
2
¿180 °−(90°− ^A
2)=90°+ ^A
2 .
Bài t p b sung ậ ổ
Bài 6: Cho Δ ABC vuông t i ạ A có các tia phân giác c a góc ủ B, góc C c t nhau t i ắ ạ I V ẽID ⊥ AB
t i ạ D, IE⊥ AC t i ạ E.
a) Ch ng minh ứ AB+ AC – BC=2 AE
b) Cho bi t ế AB=6 cm , AC=8cm Tính IA, IB, IC ?
a) Ch ng minh DE là phân giác giác c a góc ứ ủ ADC
b) Đ ng th ng vuông góc v i ườ ẳ ớ CF t i ạ C c t đ ng th ng ắ ườ ẳ AB t i ạ K Ch ng minh ứ D, E, K th ng ẳ hàng và tính góc BED ?
c) Tính chu vi Δ≝¿ bi t ế DE=21 cm , DF=20cm