GIẢI TAM GIÁC MỤC TIÊU - Nắm được các hệ thức lượng trong tam giác.. - Nhận biết được các vấn đề trong toán học được nghiên cứu từ những bài toán thực tế KỸ NĂNG - Tính được cạnh, góc
Trang 1Trang 1
BÀI 3 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC GIẢI TAM GIÁC MỤC TIÊU
- Nắm được các hệ thức lượng trong tam giác
- Nắm được các công thức tính diện tích tam giác
- Nhận biết được các vấn đề trong toán học được nghiên cứu từ những bài toán thực tế
KỸ NĂNG
- Tính được cạnh, góc, diện tích tam giác dựa vào các hệ thức lượng trong tam giác
- Giải tam giác và tính toán được một số bài toán đo đạc
- Chứng minh được các hệ thức về mối quan hệ giữa các thành phần trong tam giác
I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Định lí côsin
Trong ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c, ta có
2 cos
2 cos
2 cos
Hệ quả
cos
2 cos
2 cos
2
b c a A
bc
a c b B
ac
a b c C
ab
Áp dụng Tính độ dài đường trung tuyển của tam giác Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, CA = b,
AB = c Gọi m , m , ma b c lần lượt là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác Khi
đó, ta có
2
2
2
a
b
c
b c a m
a c b m
a b c m
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AC = 5, AB = 6 và BAC = 60°
Khi đó ta có
2 cos
BC AB AC AB AC BAC 2 2
5 6 2.5.6 cos 60 31
31
BC
31 5 6 2 31 ˆ
31
2 31.5
C C
Trang 2Trang 2
31 6 5 7 31 ˆ
62
2 31.6
B B
Độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A là
m m
Định lí sin
Trong ABC bất kì với BC = a, CA = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, ta có
2 sin sin sin
R
Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB =7, BC = 6 và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là R=5
Khi đó, ta có 6 7 2 2.5 10
sinAsinC R
3 sin
37 5
sin
10
A
A C C
180 37 44 99
2 sin 2.5 sin99 9,9
AC R B
Diện tích tam giác ABC là
ABC
1
.sin 2
2
20, 7 (đvdt)
Công thức tính diện tích tam giác
Cho ABC có các cạnh BC = a, CA = b, AB = c
Gọi S là diện tích ABC , R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác,
h ; h ; ha b c lần lượt là đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C của tam giác và
2
a b c
là nửa chu vi của
tam giác Khi đó, diện tích S của ABC , được tính theo công thức sau
sin sin sin
4
abc
S
R
;
S pr
S p p a p b p c ( Công thức Hê-rông)
Sơ đồ
Trang 3Trang 3
CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1 Giải tam giác
Phương pháp giải
Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi cho biết các yếu tố khác
Ta thường gặp các bài toán sau đây:
- Biết một cạnh và hai góc: Ta sử dụng định lý sin để tính các cạnh còn lại
- Biết hai cạnh và góc xen giữa: Ta sử dụng định lý côsin để tính cạnh thứ ba và định lý sin để tính các góc còn lại
- Biết ba cạnh: Ta sử dụng định lý côsin để tính các góc
Chú ý các công thức tính diện tích tam giác, định lý “tổng ba góc của một tam giác bằng “180°” và đặc biệt có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Ví dụ:
Cho ABC biết AB = 6, AC = 8 và BAC = 60° Tính các cạnh và các góc còn lại của ABC
Hướng dẫn giải
Tam giác đã cho có độ dài hai cạnh và số đo góc xen giữa, vì vậy ta sử dụng định lý côsin để tính cạnh thứ ba và định lý sin để tính các góc còn lại
Trang 4Trang 4
Ta có BC2 AB2AC22AB AC cosA 2 2
6 8 2.6.8 cos 60 52
Suy ra BC2 13
sin sin sin sin 60 sin sin
A B C B C
2 39
ˆ 46
3 39
sin
26
B
B C C
Vậy BC2 13,Bˆ 74 và Cˆ 46
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC có AB = 1, AC = 2 và A = 120°
a) Tính BC và diện tích tam giác ABC
b) Tính độ dài đường cao AH và trung tuyến BK của tam giác ABC
Hướng dẫn giải
a) Theo định lý côsin ta có
2 cos 1 2 2.1.2 cos120 7
Suy ra BC 7
Diện tích tam giác ABC là 1 sin 1 1 2 sin120 3
ABC
S AB AC A (đvdt)
Vậy BC 7 và 3
2
ABC
S (đvdt)
ABC
S AH BC AH BC AH AH
Theo công thức trung tuyến, ta có
2 2 2
BA BC AC
7
AH vàBK 3
Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và BC = 6
a) Tính các góc ˆA B C , ,ˆ ˆ
b) Tính độ dài đường trung tuyến và diện tích của ABC
c) Tính bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của ABC
Hướng dẫn giải
a) Theo định lý côsin ta có
AB AC BC
AB AC
Trang 5Trang 5
BC AB AC
AB BC
5 6 4 3
CA CB AD
CA CB
Vậy ˆA83 , Bˆ 56 , Cˆ 41
b) Gọi m , m , ma b c lần lượt là độ dài đường trung tuyến vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC
Theo công thức trung tuyến, ta có
2 2 2 2 2 2
AB AC BC
2 2 2 2 2 2
BA BC AC
2 2 2 2 2 2
CA CB AB
Vậy a 46, b 79, c 106
Nửa chu vi tam giác ABC là 4 6 5 15
Theo công thức Hê-rông, ta có diện tích tam giác ABC là
15 7
4
ABC
S p pAB pAC pBC (đvdt)
c) Gọi r, R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác ABC
ABC
AB AC BC
ABC
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có BC = 12, CA =13, trung tuyến AM = 8 Khi đó diện tích tam giác ABC
bằng
2
ABC
2
ABC
2
ABC
2
ABC
Hướng dẫn giải
Theo công thức trung tuyến ta có
AB AC BC
4.82 2AB22.132122 AB2 31
Mà AB > 0 nên AB 31
Nửa chu vi tam giác ABC là 31 13 12 31 25
AB BC CA
Theo công thức Hê-rông, ta có diện tích tam giác ABC là
9 55
2
ABC
S p pAB pAC pBC (đvdt)
Chọn đáp án D
Trang 6Trang 6
Ví dụ 4 Cho tam giác ABC có AC = 8, A = 60° và diện tích SABC = 20 (đvdt) Khi đó độ dài đường cao
AH của tam giác ABC bằng (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)
Hướng dẫn giải
Ta có 20 1 sin ˆ 20 sin ˆ 40
2
ABC
40 10 3
sin
AB
AC A
Theo định lý côsin ta có
2
292 80 3
7, 2
ABC
BC
Chọn đáp án B
Bài tập tự luyện dạng 1
Bài tập cơ bản
Câu 1 Diện tích của tam giác ABC có độ dài ba cạnh là 5cm, 7 cm và 8 cm là
A.S140cm2 B.S10 3cm2 C.S20cm2 D S60 13cm2
Câu 2 Cho tam giác ABC có ˆ A30 , Bˆ 45 và AC =10 2 Độ dài cạnh BC là
Câu 3 Cho tam giác ABC có Bˆ 45 , Cˆ 75 và BC =5 Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là
2 C
5 3
5 3
2
Câu 4 Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 3cm và BC = 6cm Độ dài trung tuyến kẻ từ C của tam
giác ABC là
A 74cm
65 cm
61 cm
57 cm
2
Câu 5 Cho tam giác DEF có DE =5a, EF = 7a và DF = 9a Tích vô hướng DE DF bằng
A
2
105
2
a
2
57 2
a
2
7 2
a
2
155 2
a
Câu 6 Cho tam giác ABC với G là trọng tâm và AB = 5cm, BC = 7 cm và AC = 9cm Giá trị của
GA GB GC bằng
A 145cm
155 cm
465 cm
175 cm
3
Câu 7 Cho tam giác ABC có BC = 2 3 , AC = 2AB và độ dài đường cao AH = 2 Độ dài cạnh AB bằng
3
AB
Trang 7Trang 7
C AB = 2 hoặc 2 21
3
3
AB
Câu 8 Cho tam giác HIK có sin 1
sin 2
K
45
HI IK a Tính độ dài cạnh K theo a
A KI a 3 B K I=6 a C.KIa 6 D K I=3 a
Câu 9 Cho tam giác ABC có chu vi bằng 24 , bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là 5 Tính tổng
sin sin sin
S A B C
A S=4,8 B S=2,4 C S=2 D S=1,4
Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC = 30 cm Hai đường trung tuyến BF và CE cắt nhau
tại G Diện tích tam giác GFC bằng
A 50cm2 B 50 2cm2 C 15 105cm 2 D 75cm2
Bài tập nâng cao
Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 8 Gọi M là điểm trên cạnh BC thỏa BM = 2MC
Độ dài đoạn thẳng AM bằng
Câu 12 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC =3,
30
BAC Diện tích tam giác ABC bằng
2
Câu 13 Cho tam giác ABC có BC = a, AB = c, AC = b và diện tích là S Biết 1( )( )
4
S a b c a b c Tìm số đo góc A
A Aˆ 30 B Aˆ 60 C Aˆ 90 D Aˆ 120
Câu 14 Cho tam giác ABC cân tại A có A = 100° Gọi P là một điểm nằm trong tam giác ABC sao cho
20
PBC và PBC30 Biết AB = 5, độ dài cạnh BP là
2
Câu 15 Cho tam giác ABC có BC = 3 , 6 2
2
và ABC45 Gọi AM là đường phân giác
trong của BAC M( BC) Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC là
A R2 3 2 B 1( 3 1)
2
Đáp án trắc nghiệm
11-C 12-A 13-C 14-B 15-D
Hướng dẫn giải
Câu 11
Trang 8Trang 8
3 8 73;cos
73
AB
BC
Do BM = 2MC nên 2 2 73
BM BC
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ABM ta có
2 cos
2
265
9
Vậy 265
3
AM
Chọn đáp án C
Câu 12
Đặt ABx AC, y x y( , 0)
Gọi{ }G CNBM;{I}AGBC Khi đó G là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm của BC
Tam giác BGC vuông tại G nên 3
2 2
BC
Suy ra 3 9
2
Theo công thức trung tuyến, ta có
45
AI x y
(1) Theo định lý Côsin, ta có 2 2 2 2 2
BC AB AC AB AC A x y xy (2)
Từ (1) và (2) suy ra xy12 3
Trang 9Trang 9
Diện tích tam giác ABC là 1 sin 1 sin 30 3 3
ABC
VậySABC 3 3
Chọn đáp án A
Câu 13
2 2 2
(1 cos )
b c a bc
bc
sin (1 cos ) sin sin 1 cos sin (1 cos )
Do sin2cos2 A1 nên 1 cos 2 A 1 2 cosAcos2 A2 cos2 A2 cosA0
cos 0
2 cos (cos 1) 0
cos 1
A
A
Do 0 Aˆ 180 nên cosA 0 Aˆ 90
Chọn đáp án C
Câu 14
Ta có 180 100 40
2
ABC ACB
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có
sin 5 sin100
sin 40
BC
Ta có BPC180PBC PCB 1802030130
Áp dụng định lý sin trong tam giác BPC ta có
sin sin
BPC PCB 5.sin100
sin 30 sin sin 40
5 sin130
sin
BC PCB
BP
BPC
Chọn đáp án B
Câu 15
Trang 10Trang 10
Theo định lý Côsin ta có
2 cos
2
3 2 3 cos 45
= 2
Suy raAC 2
Theo định lý sin ta có
sin 3 sin 45 3 sin
A
Do BC > AB nên BACACB
Suy ra BAC120CAM60
Theo tính chất đường phân giác ta có 3 1 3 1
BM AB
MC AC
2 MC MC BC MC
Áp dụng định lý sin vào tam giác AMC, ta có 2 3 3 3 1
2sin 60
R R
Chọn đáp án D
Dạng 2 Ứng dụng vào việc đo đạc
Bài toán 1 Đo chiều cao của các vật rất cao
Ví dụ mẫu
Ví dụ 1 Để đo chiều cao của một tòa nhà, người ta lấy hai điểm A và D trên mặt đất có khoảng cách AD
= 10 m cùng thẳng hàng với chân B của tòa nhà Người ta đo được các góc CDB = 35°, CAB = 40°
Chiều cao BC của tòa nhà là
A CB40,3m B CB41,3m C CB42,3m D CB44,3m
Hướng dẫn giải
Trang 11Trang 11
Ta có CAB CDA DCA
40 35 5
DCA CAB CDA
Áp dụng định lý sin vào tam giác CDA , ta có
sin 10 sin 35
(m)
AC
Xét tam giác ABC vuông tại B, ta có
10 sin 35 sin sin 40 42,3(m)
sin 5
BC AC A
Vậy chiều cao của tòa nhà khoảng 42,3m
Chọn đáp án C
Ví dụ 2 Muốn đo chiều cao của một cái cây mà không thể đến được gốc cây, người ta lấy hai điểm M, N
trên mặt đất có khoảng cách MN = 5m cùng thẳng hàng với gốc cây để đặt hai giác kế Chân của giác kế
có chiều cao MA = NB = 1,2m Lấy điểm D trên thân cây sao cho A, B, D thẳng hàng Người ta đo được
36
CAD và CBD 41 Chiều cao của cây bằng
A h 23,3m B h 24,3m C h 25,3m D h 26,3m
Hướng dẫn giải
Ta có ACBACB 41365
Áp dụng định lý sin vào tam giác CLB, ta có
5 sin 36
sin 5
CD
CB
Xét tam giác BCD vuông tại D, ta có
5 sin 36
sin 5
CD
CB
Vậy chiều cao của cái cây là h22,1 1, 2 23,3m
Chọn đáp án A
Ví dụ 3 Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten thẳng BC cao 4m Từ vị trí quan sát A cao 7m so với
mặt đất, người ta nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột lần lượt dưới góc 50° và 40° so với phương nằm
ngang
Chiều cao CH của tòa nhà bằng
A CH 14,5m B CH 15,5m C CH 16,5m D CH 17,5m
Hướng dẫn giải
Trang 12Trang 12
Ta có ABD90BAD905040
BACBAD CAD 504010
Áp dụng định lý sin vào tam giác CAB, ta có
sin 4 sin 40
(m)
AC
Xét tam giác ACD vuông tại D, ta có
4 sin 40
sin10
CD
AC
CHCD DH 9,5 7 16,5m
Vậy chiều cao của tòa nhà khoảng 16,5m
Chọn đáp án C
Bài toán 2 Tính khoảng cách
- Phương pháp giải
Ta chuyển khoảng cách cần tỉnh về việc tính độ dài cạnh trong tam giác rồi áp dụng hệ thức lượng trong tam giác để giải
- Ví dụ mẫu
Ví dụ 1 Trên biển một con thuyền thả neo ở vị trí A Một người đứng ở vị trí K trên bờ biển muốn đo
khoảng cách từ người đó đến con thuyền, người đó đã chọn một điểm H trên bờ với K và đo được KH =
380 m, AKH50 , AHK = 45° Khoảng cách KA từ người đó đến con thuyền bằng
A KA 270m B KA 280m C KA 290 m D KA 300m
Hướng dẫn giải
AHK
có Aˆ 180 Hˆ Kˆ 1804550 85
Áp dụng định lý sin vào tam giác AHK , ta có
sin 380 sin 45
270(m)
AK
Vậy từ người đó đến con thuyền khoảng 270m
Chọn đáp án A
Trang 13Trang 13
Ví dụ 2 Một tàu khách và một tàu hàng cùng xuất phát từ một vị trí ở bến tàu, đi thẳng theo hai hướng
tạo với nhau một góc 55° Tàu hàng chạy với tốc độ 22 hải lý một giờ, tàu khách chạy với tốc độ 35 hải lý một giờ Sau 2 giờ, khoảng cách giữa hai con tàu gần với đáp án nào nhất?
A 37 hải lý B 47 hải lý C 57 hải lý D 67 hải lý
Hướng dẫn giải
Gọi bến tàu ở vị trí A
Tàu khách và tàu hàng sau 2 giờ lần lượt ở vị trí C và B
Do tàu hàng chạy với tốc độ 22 hải lý một giờ nên AB = 22.2 = 44 (hải lý)
Do tàu khách chạy với tốc độ 35 hải lý một giờ nên AC = 35.2 = 70 (hải lý)
Áp dụng định lý côsin vào ABC, ta có
2 cos
4427022.44.70.cos 55 3303
57
BC
Vậy sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 57 hải lý
Chọn đáp án C
- Bài tập tự luyện dạng 2
Bài tập cơ bản
Câu 1 Để đo khoảng cách từ một vị trí N trên bờ sông đến một gốc cây tại A trên cù lao giữa sông, người
ta chọn một điểm M cùng ở trên bờ với N Biết ta đo được MN = 32m, AMN = 30°, ANM = 42° Khoảng cách từ N đến gốc cây A bằng
Trang 14Trang 14
A AN 14,82m B.AN 15,82m C.AN 16,82m D.AN 17,82m
Câu 2 Từ một đỉnh tháp chiều cao CD = 80m, người ta nhìn thấy hai điểm A và B trên mặt đất dưới các
góc nhìn 60° và 45° (như hình vẽ) Biết ba điểm A, B, C thẳng hàng Tính khoảng cách AB
A AB160( 3 1) m B AB160 3m C.AB160m D AB160( 3 1) m
Câu 3 Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm
như sau: Xác định một điểm B có khoảng cách AB=15m và đo được góc ACB = 42° Biết rằng BC =7m, tính khoảng cách AC
A.AC18, 45m B.AC19, 45m C.AC20, 45m D AC21, 45m Câu 4 Một cây cột điện cao 20m được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm
ngang một góc 17° (quan sát hình vẽ bên) Người ta nói một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc, biết
đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc bằng 72m Chiều dài AD của đoạn dây cáp bằng
A AD83, 4m B AD84, 4m C.AD85, 4m D.AD86, 4m
Câu 5 Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thắng theo hai hướng hợp với nhau một góc 60°
Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km/h Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu ki-lô-mét?
Trang 15Trang 15
A 5200 km B 20 13 km C 10 13 km D 1300km
Bài tập nâng cao
Câu 6 Một ô tô muốn đi từ A đến C nhưng giữa A và C là một ngọn núi cao nên ô tô phải đi thành hai
đoạn từ A đến B rồi từ B đến C, các đoạn đường tạo thành tam giác ABC có AB = 15km, BC = 20km và ABC = 120° Giả sử ô tô chạy 5km tốn một lít xăng Nếu người ta làm một đoạn đường hầm xuyên núi chạy thẳng từ A đến C Biết rằng giá 1 lít xăng có giá 20000 đồng, khi A đó ô tô chạy trên con đường này
sẽ tiết kiệm được số tiền so với chạy trên đường cũ là
A 92 000 đồng B 140000 đồng C 18400 đồng D 121600 đồng
Đáp án trắc nghiệm
Hướng dẫn giải
Câu 6
Quãng đường ô tô đi từ A đến C qua B là S1AB BC 15 20 35(km)
Áp dụng định lí CÔsin vào tam giác ABC, ta có
2 cos 15 20 2.15.20 cos120 925 5 37(km)
AC AB BC AB BC ABC AC
Nếu đi theo đường hầm thì quãng đường ô tô phải đi ít hơn là S S1 AC35 5 37 4, 6(km)
Ô tô tiết kiệm được số tiền là 4,6 : 5.20 000 = 18400 (đồng)
Chọn đáp án C
Dạng 3 Chứng minh các hệ thức và mối quan hệ
- Phương pháp giải
Để chứng minh một hệ thức, ta có thể biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi hai vế cùng bằng một biểu thức trung gian hoặc chứng minh hệ thức cần chứng minh tương đương với một hệ thức đã biết là đúng Khi chứng minh cần khai thác giả thiết và kết luận để tìm được các hệ thức thích hợp làm trung gian cho quá trình biến đổi
Ví dụ:
Gọi S là diện tích và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh rằng
2
2 sin sin sin
Hướng dẫn giải
Trong hệ thức cần chứng minh có xuất hiện S, R và giá trị sin của các góc, do đó ta sẽ khai thác các
công thức có liên quan đến các giá trị này