Bài 1 Cho tam giác ABC, có góc BAC là góc nhỏ nhất trong ba tam góc của tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Hướng dẫn Ta làm câu c) trước (Các kí hiệu như trên hình vẽ) T'''' S I K T N R G Z Y X E M P Q D[.]
Trang 1Hướng dẫn: Ta làm câu c) trước: (Các kí hiệu như trên hình vẽ)
T'
S I
K
T
N
R
G
Z
Y X E
M
P
Q
D
C A
B
Trang 2Tứ giác ACIK nội tiếp góc CAI = CKI góc CAI = CDI (vì do K đối xứng D qua
CP nên góc CKI = CDI) tam giác SAI và CDI đồng dạng (vì góc DCI = DBI = ASI)
SA/CD = SI/CI SA/AB = SI/CI SC/CQ = SI/CI Điều cuối này đúng vì tam giác IQC và ICS đồng dạng (g.g.)
b) Để làm câu b) ta chứng minh bổ đề sau: Cho hình bình hành ABDC Lấy M trên tia đối của tia BA, Q trên cạnh CD, N trên tia đối của tia DC sao cho ABQC là hình thang cân và BMNQ là hình bình hành AD giao MQ tại X, BX giao CD tại T Chứng minh rằng TQ.TC = TD.TN
J' J
T X
M
Q
D
A
N
Chứng minh: BX giao AC, MN thứ tự tại J và J’ Theo định lý thalet ta có
BX/XJ = DX/XA = QX/XM = BX/XJ’ => XJ = XJ’ => J và J’ trùng nhau Tiếp theo TD/AB = TX/XB = TQ/BM => TD/TQ = AB/BM Mặt khác TC/AB = JT/JB = TN/BM
=> AB/BM = TC/TN Như vậy TD/TQ = TC/TN => TD.TN = TQ.TC
Quay lại câu b)
Trang 3N
T R Z
Y X E
M
P
Q
D
C
A
B
Gọi R là giao của hai đường tròn (O) và (BDM), T’ là giao của BR với CD Dựa vào các tam giác đồng dạng (g.g.) ta có T’D.T’N = T’R.T’B = T’Q.T’C => T và T’ trùng nhau, hay X thuộc BR Lại nhờ các tam giác đồng dạng (g.g.) có được XE.XD = XB.XR = XP.XQ => XE/XP = XQ/XD => các tam giác XEP và XQD đồng dạng (c.g.c.) => góc PED = PQD => DPEQ nội tiếp (Tìm ra cách ngắn hơn ta gửi sau)