lý thuyết trường lượng tử

lý thuyết trường lượng tử

Lời nói đầu

Lý thuyết trường lượng tử là lý thuyết hiện đại về các tương tác cơ bản trong tựnhiên Lý thuyết hướng đến việc mô tả và giải thích tận gốc các quá trình tương táccủa các hạt cơ bản, kể cả quá trình sinh huỷ và chuyển hoá các hạt Những hiểu biết

về các nguyên lý và phương pháp cơ bản của lý thuyết trường lượng tử là những kiếnthức nhập môn bắt buộc đối với những người đi sâu nghiên cứu về lý thuyết hạt cơ bản,

đồng thời cũng hết sức cần thiết và bổ ích đối với những nhà nghiên cứu trong các lĩnhvực khác của vật lý như vật lý chất rắn, quang học lượng tử,

Cuốn sách này được viết dựa trên những bài giảng về các cơ sở của lý thuyết trườnglượng tử cho học viên cao học Nó có thể dùng làm tài liệu giáo khoa hoặc tài liệu thamkhảo cho các nghiên cứu sinh về vật lý lý thuyết hoặc sinh viên chuyên ngành vật lý lýthuyết năm cuối của các trường Đại học Khoa học và Đại học Sư phạm Trong phạm

vi thời lượng của một môn học cho học viên cao học và sinh viên năm cuối, tác giả cốgắng chọn lọc trình bày những vấn đề quan trọng nhất liên quan đến các nguyên lý vàphương pháp cơ bản, để trên cơ sở đó, người học có khả năng nghiên cứu sâu hơn cáctài liệu chuyên ngành thuộc hướng chuyên môn hẹp của mình

Để có thể hiểu được các vấn đề liên quan đến cơ sở của lý thuyết trường lượng tử,người học cần có những kiến thức chuẩn bị về cơ học lượng tử và lý thuyết tương đối(hẹp) Ngoài ra cần phải quen với một số hình thức luận và phương pháp toán học nhưhình thức luận Lagrange trong cơ học và lý thuyết trường, phương pháp biến phân, kỹnăng tính toán liên quan đến các vectơ 4 chiều và các tenxơ 4 chiều trong không gianMincowski Do người học có thể có vốn kiến thức chuẩn bị khác nhau, nên để thuậnlợi cho người học, chương đầu tiên của cuốn sách điểm qua một cách vắn tắt nhữngkiến thức toán học cần thiết để tiếp thu nội dung các chương sau của cuốn sách dễdàng hơn Chương tiếp theo, chương II, trình bày các vấn đề cơ bản về mô tả toánhọc trường sóng độc lập (không có tương tác) và chưa được lượng tử hoá: phương trìnhtrường, biểu diễn xung lượng, các đại lượng bảo toàn Chương III nghiên cứu các quytắc cơ bản và các vấn đề liên quan để lượng tử hoá trường như: các hệ thức giao hoánhoặc phản giao hoán giữa các toán tử trường, giữa các toán tử sinh, huỷ hạt, xây dựngtoán tử các đại lượng động lực, xây dựng không gian các vectơ trạng thái Chương cuốicùng, chương IV, trình bày lý thuyết lượng tử của hệ trường tương tác thông qua việcnghiên cứu trường hợp tương tác tiêu biểu: tương tác của trường electron-pozitron vớitrường điện từ Mục tiêu đặt ra của chương này là để người học làm quen với phươngpháp khai triển S-ma trận thành chuỗi của lý thuyết nhiễu loạn, khái niệm về giản đồFeynman Để thuận lợi cho việc tiếp thu các phương pháp và khái niệm, các nôi dungnày được trình bày gắn với ví dụ điển hình là qua trình tán xạ của photon trên electron(tán xạ Compton Do thời lượng hạn chế của một giáo trình mà định hướng chủ yếudành cho sinh viên năm cuối và học viên cao học, các vấn đề mang tính chuyên sâunhư: nghiên cứu đầy đủ và chi tiết các quá trình điện từ, phân kỳ của các cấp cao của

lý thuyết nhiễu loạn và khử phân kỳ, hình thức luận trường chuẩn (trường gauge) đểthống nhất các tương tác,v.v , vượt ra khỏi phạm vi của cuốn sách

Việc phiên tên các tác gỉa nước ngoài ra tiếng Việt theo một nguyên tắc nhất quán

là rất khó Cách phiên tên dựa vào âm theo cách đọc tiếng Việt trong nhiều trường hợpchưa phải là thoả đáng Do vậy, để thống nhất, trong cuốn sách này, tác giả chọn giảipháp viết tên các tác giả nước ngoài theo các tài liệu tiếng Anh

Trong toàn cuốn sách sử dụng hệ toạ độ không thời gian 4 chiều với metric (+, −, −, −)

và hệ đơn vị ~ = c = 1

Mặc dù đã hết sức cố gắng để cuốn sách bảo đảm tính chính xác khoa học và tínhsư phạm cao, nhưng chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác gỉa rất mongnhận được những nhận xét phê bình, góp ý của người đọc

Chương I: Một số kiến thức toán học cần

thiết

Đ 1- Các vectơ và tenxơ trong không gian Mincowski:

1- Không-thời gian 4 chiều:

Các quá trình tương tác của các hạt cơ bản (hoặc trường sóng tương ứng) trong lýthuyết trường lượng tử là các quá trình nói chung xảy ra ở năng lượng cao, vận tốc lớn,bao gồm cả các quá trình sinh, huỷ, chuyển hoá các hạt Vì vậy lý thuyết trường lượng

tử phải là các lý thuyết tương đối tính

Theo quan điểm của lý thuyết tương đối Einstein các toạ độ không gian và biến sốthời gian của một biến cố về mặt vật lý có ý nghĩa bình đẳng Do đó về mặt toánhọc, một hình thức luận hết sức tiện lợi để thể hiện các công thức, phương trình trong

lý thuyết tương đối là: mở rộng không gian 3 chiều các toạ độ thông thường thànhkhông-thời gian 4 chiều mà trong đó biến số thời gian được xem như là chiều thứ tư.Không-thời gian 4 chiều này sẽ được xây dựng sao cho phép chuyển đổi các hệ quychiếu quán tính được diễn tả bằng phép quay không-thời gian 4 chiều Như đã biết,không gian 3 chiều thông thường có một đại lượng bất biến quan trọng, đó là khoảngcách giữa 2 điểm không gian, nó là bất biến đối với các phép quay hệ tọa độ 3 chiều.Còn trong lý thuyết tương đối, khi chuyển đổi hệ quy chiếu quán tính, đại lượng bấtbiến là "khoảng" ký hiệu là s, với:

Ta có thể lấy ví dụ phép chuyển đổi hệ quy chiếu quán tính được mô tả bằng phép biến

đổi Lorentz sau đây:

t = t

0 +cV2x0q

1 − Vc22

0+ V t0q

và khoảng s có dạng như mêtric (ở đây là mêtric loại gỉa-Euclide) của không-thời gian

4 chiều, đồng thời phép biến đổi Lorentz tương đương với phép quay không-thời gian 4chiều Không-thời gian 4 chiều với mêtric giả-Euclide nói trên được gọi là không gianMincowski

2 Vectơ và tenxơ trong không-thời gian 4 chiều:

Trong không gian Mincowski người ta định nghĩa 4-vectơ và là tập hợp 4 đại lượng

v0, v1, v2, v3 biến đổi giống như các toạ độ của 4-vectơ bán kính xà khi quay không-thời

gian (chỉ số à lấy các giá trị 0, 1, 2, 3) Như vậy, với phép biến đổi Lorentz (1.1.2), các

đại lượng và biến đổi như sau:

Các và được gọi là các toạ độ phản biến cuả 4-vectơ, và các và được gọi là các toạ

độ hiệp biến Với việc đưa vào 2 loại thành phần, ta có thể viết bình phương môđun4-vectơ v ( biểu thức (1.1.6)) dưới dạng:

Việc lấy tổng theo các chỉ số lặp lại như ở hàng cuối cùng của công thức (1.1.8) thường

được hiểu ngầm, nghĩa là không cần phải viết rõ dấu tổng mà chỉ cần viết đơn giản là

vàvà hoặc vàvà

Tenxơ hạng hai trong không-thời gian 4 chiều (4-tenxơ hạng hai) là tập hợp 16 đạilượng biến đổi như tích của các toạ độ của hai 4-vectơ đối với phép quay hệ toạ độkhông-thời gian 4 chiều Các 4-tenxơ hạng hai có các thành phần phản biến, ký hiệu

tàν, biến đổi như tích các thành phần phản biến vàwν của hai 4-vectơ, các thành phầnhiệp biến, ký hiệu tàν, biến đổi như tích các thành phần hiệp biến vàwν, và các thànhphần hỗn hợp, ký hiệu tà

ν, biến đổi như tích của một thành phần phản biến và và mộtthành phần hiệp biến wν của hai 4-vectơ Phép chuyển đổi từ các thành phần loại nàythành các thành phần loại khác của 4-vectơ hoặc 4-tenxơ được gọi một cách hình tượng

là phép nâng hay hạ chỉ số Phép nâng, hạ chỉ số có thể thực hiện một cách tiện lợinhờ đưa vào tenxơ metric có các thành phần như sau:

|v|2 = vàvà= vàvà= gàνvνvà= gàνvνvà

Hạ chỉ số của 4-tenxơ phản biến (chuyển 4-tenxơ phản biến thành 4-tenxơ hỗn hợp hoặc 4-tenxơhiệp biến):

tàν = gàλtλν; tàν = gàλgνρtλρ.Nâng chỉ số của các 4-tenxơ hiệp biến (chuyển 4-tenxơ hiệp biến thành 4-tenxơ hỗn hợp hoặc4-tenxơ phản biến):

tàν = gàλtλν; tàν = gàλgνρtλρ.v.v (Trong các công thức trên à, ν, λ, ρ = 0, 1, 2, 3, và ta luôn hiểu ngầm việc lấy tổng theocác chỉ số lặp lại)

Từ dạng cụ thể của gàν và gàν ta có quy tắc thực hành đơn giản để nâng, hạ chỉ sốnhư sau:

• Khi nâng, hạ các chỉ số thời gian, thành phần tương ứng của 4 vectơ hoặc 4 tenxơkhông đổi dấu: v0 = v0; t0 = t00; t0 = t01; t30= t3 ; v.v

• Khi nâng, hạ 1 chỉ số không gian, thành phần tương ứng của 4 vectơ hoặc 4 tenxơ

đổi dấu 1 lần: v2 = −v2; t01 = −t0 ; t1 = −t12; t23= t23; t13= t13;v.v

Ngoài phép nâng, hạ chỉ số, đối với các 4-tenxơ còn có phép chập chỉ số, tức là từcác thành phần chéo (hai chỉ số giống nhau) của tenxơ thiết lập vô hướng:

tii = t00+ t11+ t22+ t33(theo trên rõ ràng ti = ti Vô hướng này còn được gọi là vết của tenxơ

Tenxơ tàν được gọi là tenxơ đối xứng nếu tàν = tνà, và được gọi là tenxơ phản xứngnếu tàν = −tνà Một 4-tenxơ hạng hai đối xứng có 10 thành phần độc lập, trong khi

đó một 4-tenxơ hạng hai phản xứng có 6 thành phần độc lập, các thành phần chéo (haichỉ số giống nhau) của tenxơ phản xứng đều bằng 0

3 Đạo hàm và tích phân trong không-thời gian 4 chiều:

Gradient trong không-thời gian 4 chiều (4-gradient) của hàm vô hướng ϕ của các toạ

độ không-thời gian là 4-vectơ sau đây:

Để vi phân của một hàm vô hướng cũng là một hàm vô hướng, ta phải xem (1.1.11)như tích vô hướng của 4-vectơ ∂ϕ/∂xà với 4-vectơ dxà

Cùng với 4-gradient xác định theo công thức (1.1.10), còn có 4-gradient theo các "toạ

độ hiệp biến" xà xác định như sau:

∂ϕ

∂xà =

 1c

Cách viết trong (1.1.12) cũng muốn chỉ rõ các thành phần của 4-gradient trong (1.1.8)

là các thành phần phản biến của một 4-vectơ

Divergence trong không-thời gian 4 chiều của một 4-vectơ (4-divergence) có dạng

∂và/∂xà≡ ∂àvàhoặc ∂và/∂xà≡ ∂àvà Các công thức này cũng cho thấy 4-divergence

là một vô hướng (tích vô hướng của hai 4-vectơ)

Trong không gian 3 chiều, phép tích phân có thể lấy theo một thể tích, một mặt conghay một đường cong Còn trong không-thời gian 4 chiều có 4 loại tích phân:

• Tích phân theo một đường cong trong không-thời gian 4 chiều, yếu tố tích phân làyếu tố độ dài, tức là 4-vectơ dxà

• Tích phân theo một mặt 2 chiều của không-thời gian 4 chiều Ta đã biết trongkhông gian 3 chiều tích phân mặt được lấy theo các yếu tố có dạng dfij = dxidx0j −

dxjdx0i; (i, j = 1, 2, 3),hoặc theo vectơ pháp tuyến với yếu tố mặt cong−dS = (dS→ i), dSi =(1/2)ijkdfjk, tức là vectơ có độ lớn bằng diện tích của yếu tố mặt và có phương vuônggóc với yếu tố mặt đó Còn trong không-thời gian 4 chiều, tích phân mặt 2 chiều đượclấy theo các yếu tố dfàν = dxàdx0ν− dxνdx0à, là tenxơ phản xứng hạng hai Đại lượng

có ý nghĩa là sự suy rộng của vectơ pháp tuyến −dS→ cho trường hợp 4 chiều là tenxơ

Đại lượng ijkvới i, j, k = 1, 2, 3 là tenxơ đơn vị hoàn toàn phản xứng hạng ba, với 123 = +1,còn các thành phần khác có liên hệ với 123 nhờ phép hoán vị các cặp chỉ số sẽ có giá trị +1hoặc −1 tuỳ thuộc số hoán vị phải thực hiện là chẵn hay lẻ (ví dụ: 213= −1, 231 = +1, v.v ).Nếu có cặp chỉ số bất kỳ bằng nhau, thì thành phần tương ứng bằng 0 (ví dụ: 113 = 0, 133= 0v.v ) Đại lượng àνλρvới à, ν, λ, ρ = 0, 1, 2, 3 là tenxơ đơn vị hoàn toàn phản xứng hạng bốn

có các tính chất hoàn toàn tương tự và 0123 = +1

• Tích phân theo siêu mặt 3 chiều trong không-thời gian 4 chiều Yếu tố tích phân làtenxơ hạng ba dSàνλ phản xứng đối với các cặp chỉ số và được biểu diễn bằng định

dSµνλ =

dxµ dx0µ dx00µ

dxν dx0ν dx00ν

dxλ dx0λ dx00λ

...

ddtX

2- Xung lượng lượng trường:

Đối với lý thuyết trường, đòi hỏi bất biến tĩnh tiến cho phép suy biểu thứccủa xung lượng lượng bảo toàn trường Phép biến đổi tĩnh tiến... nănglượng xung lượngtrường (1.3.23) (1.3.24) cho:

2- Biểu diễn xung lượng:

Đối với trường tự do, năng, xung lượng đại lượng bảo tồn, nên dùngcác đại lượng để đặc trưng cho trường. .. trường Hàm trường ϕ(x) hàm trường biểudiễn toạ độ Trong lý thuyết trường thường dùng biểu diễn khác biểu diễn xunglượng Trong biểu diễn xung lượng, hàm trường hàm vô hướng thực biến sốnăng lượng q0