Ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề tương tác của lý thuyết trường lượng tử
Trang 1Đại học quốc gia hà nội trường đại học khoa học tự nhiên
- -
nguyễn như xuân
ứng dụng phương pháp tích phân
phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề
tương tác của lý thuyết trường lượng tử
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 62 44 01 01
tóm tắt Luận án tiến sĩ vật Lý
Hà Nội - 2008
Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Vật lý lý thuyết -Khoa Vật lý- Trường đại học -Khoa học Tự nhiên- Đại học Quốc gia Hà nội
Người hướng dẫn khoa học:
Giáo sư, Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Xuân Hãn
Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Viễn Thọ Phản biện 2: GS.TSKH Đào Vọng Đức Phản biện 3: GS TS Nguyễn Văn Thoả
Luận án đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án Tiến
sĩ cấp nhà nước họp tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà nội, 334 Nguyễn Trãi, Thanh Xuân,
Hà Nội vào hồi giờ 9h00 ngày 10 tháng 02 năm 2009
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt nam
- Trung tâm thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà nội
Trang 2Các bài báo liên quan trực tiếp đến luận án
1. Nguyen Nhu Xuan (2000),“Dimensional Regularization to Deal
Divergences and Green’s Function for an Electron in the Bloch –
Nordsieck”, Proceedings of the Scientific Conference on Physics, organized
by the Hanoi University of Science, 25 November 2000, The Collection of
Scientific Reports, Hanoi University of Science Press, pp 219 - 223
2. Nguyen Nhu Xuan (2002), “Renormalization Electron Green's
Function in Bloch-Norsieck Model for QED3”, VNU Journal of
Science, Mathematics - Physics, T.XVIII (1), pp.55-59
3. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2002), “Planckian
Scattering Beyond Eikonal Approximation in the Functional Approach”,
e-print arXiv: gr-qc/0203054, 15 Mar 2002, 15p; European Physical
Journal C, vol 24, pp.643-651 The Collection of Vietnamese Physical
Selected Papers over the pass 50 years, Vietnam Physical Society,
Education Publishing House (2007), pp.393 - 401
4. Nguyen Suan Han, Dang Huy Uyen and Nguyen Nhu Xuan (2002),
“Corrections to Eikonal Approximation in Quasi-potential Approach”,
Report at the Scientific Conference on Physics, organized by the Hanoi
University of Science, 25 November 2002, the Collection of Scientific
Reports, Hanoi University of Science Press
5. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2005), “Corrections to The
Leading Eikonal Amplitude For High Energy Scattering in Quantum
Field Theory and Quasi-potential Approach”, Vietnam National
Conference of 6 th on Physics at Hanoi, from 23 to 25, November 2005,
organized by the Vietnam Physical Society, The Collection of Scientific
Reports, Science and Technical Publishing House, Ha Noi (2006), pp 14-19
6. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2007), Eliminating on the
Divergences of the Photon self – energy Diagram in (2+1)
Dimensional Quantum Electrodynamics”, VNU Journal of Science,
Mathematics - Physics, Vol.23, pp 22-27 e-print arXiv: 0804.3612,
v.1, [hep-th] 22 Apr 2008
7. Nguyen Nhu Xuan (2007), “Some Effects of Quantum Gravity
Planckian Scattering”, Report at the 32 rd National Conference on
Theoretical Physics, from 6 to 9, August 2007- Nha trang City, Khanh Hoa
8. Nguyen Suan Han and Nguyen Nhu Xuan (2008), “Planckian
Scattering Beyond Eikonal Approximation in the Quasi-Potential
Approach”, e-print arXiv 0804.3432, v 2 [hep-th], 2 May 2008;
submitted to European Physical Journal C
Trang 3- 1 -
Hàm green của hạt tương tác
Trong chương này, chúng ta sẽ trình bày cách tìm
hàm Green trong mô hình tự tương tác của các “nucleon”
vô hướng Sau đó, kết quả thu được trong mô hình này sẽ
được tổng quát hoá cho trường hợp điện động lực học vô
hướng, trong đó “nucleon” vô hướng phức tương tác với
trường điện từ (trường véc tơ) và tương tác của “nucleon”
vô hướng với trường hấp dẫn (trường tenxơ) Kết thúc
chương này chúng ta xét một bài toán đơn giản là tìm
hàm Green lượng tử của hạt vô hướng trong trường sóng
phẳng điện từ
Biểu diễn tổng quát của hàm Green trong
trường ngoài dưới dạng tích phân phiếm hàm
Phương trình cho hàm Green trong trường ngoài của
mô hình tự tương tác giữa các “nucleon” vô hướng mô tả
bởi trường ϕ ( )x có Lagrangian tương tác: 3
int
L =gϕ , có dạng:
2 2 2 4
( ) ( , | ) ( )
(1.1)
Lời giải của phương trình (1.1) đã được tìm
bằng nhiều phương pháp khác nhau
Cách thứ nhất, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn
cải biến Trong phương pháp này, hàm Green của
hạt vô hướng trong trường ngoài đã tìm được dưới
dạng tổng của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn theo hằng
số tương tác g Tuy nhiên kết quả tính toán mới chỉ
đưa ra được số hạng gần đúng bậc nhất và bậc hai
của lý thuyết nhiễu loạn Quá trình tính toán các bậc
nhiễu loạn tiếp theo là rất khó khăn, hơn nữa biểu
Trang 4- 2 -
thức, nếu thu được, cũng rất phức tạp (vì nó chứa các toán tử trường bậc cao) Điều này gây khó khăn cho việc tìm hàm Green lượng tử khi lấy trung bình phiếm hàm hàm Green G x y( , | ) ϕ theo các trường ngoài
Cách thứ hai là thêm tương tác bổ sung với nguồn ngoài tà( )ξ Hàm Green thu được theo phương pháp này chứa các toán tử trường có dạng bậc nhất mà ưu điểm của nó là: Phép lấy trung bình phiếm hàm theo các trường ngoài (khi tìm hàm Green lượng tử cũng như phiếm hàm sinh)
sẽ tiến hành đơn giản hơn vì trường ngoài cổ
điển ϕ ( )x có trong hàm luỹ thừa dưới dạng tuyến tính Cần chú ý rằng, khi chuyển sang biểu diễn xung lượng trong không gian phiếm hàm t, thì hàm Green G x y( , | )ϕ được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm hàm, mà nó được xem xét như là phép biến
đổi Lagrange đã được Feynman tổng quát hoá cho phương trình Klein-Gordon đối với hàm Green của phương trình này Hơn nữa, bằng lời giải toán tử sau
đó khai triển nhiễu loạn thông thường theo hằng số tương tác, hàm Green G x y( , | ) ϕ sẽ tìm lại được theo
lý thuyết nhiễu loạn cải biến Tuy vậy, biểu thức của hàm Green lại chứa tích phân phiếm hàm của nguồn tương tác ở dạng bậc hai Hàm Green tuy thu được là kín nhưng kết quả tính toán là rất phức tạp
Với cách viết (1.2), thừa số mũ, mà trong đó hệ
số có các đại lượng không giao hoán như
Trang 5- 3 -
( ) (, x, )
∂ theo Feynman, được coi như Tξ
exponent (T-tích) Biến số ξ có ý nghĩa thời gian riêng chia cho khối lượng của hạt và đóng vai trò tích thứ tự trong (1.2) Chỉ số s có nghĩa là thời gian riêng Tất cả các toán tử được xem như là hàm giao hoán của biến ξ
Sử dụng phép biến đổi Weierstrass trong không gian hàm số 4-chiều, toán tử vi phân bậc cao có thể biểu diễn thành tích các toán tử bậc thấp hơn Sau
đó tiến hành gỡ rối toán tử theo quy tắc Feynman, thực hiện phép thay biến: ν ξà( ) → ν ξà( ) +pà, nghiệm của phương trình (1.1) được biểu diễn dưới dạng tích phân phiếm hàm trong biểu diễn xung lượng:
s
i p q y i p m s
s
à
ξ
∞
(1.3)
Ưu điểm của phương pháp này là cho ta biểu thức tổng quát của hàm Green dưới dạng tích phân phiếm hàm, từ biểu thức đó ta có thể dễ dàng lấy giá trị trung bình của hàm Green của hạt theo các trường ngoài ϕ(x) để thu được hàm Green lượng tử của một hạt trong trường ngoài
Khi g = 0, tức là khi không có tương tác, chúng
ta suy ra hàm Green của hạt tự do Khai triển biểu
Trang 6- 4 -
thức hàm Green này theo hằng số tương tác g thì nó
tương ứng với tập hợp các giản đồ Feynman sau:
Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho khai triển hàm
Green của electron theo hằng số tương tác
a) Giản đồ bậc không ứng với quá trình không
tương tác
b) Giản đồ đỉnh bậc một c) Giản đồ đỉnh bậc
hai d) Giản đồ đỉnh bậc ba
Phần cuối của mục này, chúng ta xét một bài
toán đơn giản là tìm hàm Green lượng tử của hạt vô
hướng trong trường sóng phẳng điện từ Trường này
lý thú ở chỗ là hàm Green G x y A( , | ) của hạt có thể
tính được một cách chính xác Trường sóng phẳng
điện từ có dạng: A xà( ) =aà(kx), trong đó aà(kx) là thế
năng của trường sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng
đẳng hướng 2
0
kà = Giả thiết rằng trường sóng phẳng
là sóng ngang k aà à(kx) = 0 Thay trường sóng phẳng
vào biểu thức tương ứng cho hàm Green, Kết quả
thu được là:
(a) (b) (c)
(d)
- 33 - giữa các hạt trong lý thuyết lượng tử, kể cả hấp dẫn lượng
tử Việc nghiên cứu các hiệu ứng lượng tử liên quan đến tán xạ năng lượng Planck sẽ tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới
Các kết quả nghiên cứu đã được trình bày tại Hội nghị Vật lý toàn quốc lần thứ VI tại Hà Nội (2005), Hội nghị Vật lý lý thuyết lần thứ lần thứ 32 tại Nha Trang - Khánh Hoà (2007), các Hội nghị khoa học do trường Đại học khoa học tự nhiên -ĐHQG Hà Nội tổ chức tại Hà Nội (2002, 2004), đồng thời được công bố trên mạng Quốc tế, các Tạp chí khoa học quốc gia và quốc tế
Trang 7
- 32 -
5 Số hạng bổ chính bậc nhất lần đầu tiên được tìm
trong tán xạ Planck hai hạt qua việc trao đổi các
graviton bằng phương pháp phiếm hàm Đã
chưng minh rằng: các số hạng bổ chính này
trùng với số hạng bổ chính theo tong bậc của lý
thuyết nhiễu loạn cải biến, khi sử dụng phương
trình chuẩn thế Logunov-Tavkhelidze trong gần
đúng eikonal Thế Yukawa được sử dụng để cụ
thể hoá các kết quả kể trên
6 Từ hàm Green trong mô hình Bloch-Norsieck,
sau khi khử các tích phân phân kỳ bằng phương
pháp chỉnh Pauli-Villars hoặc chỉnh thứ nguyên
và tiến hành tái chuẩn hoá khối lượng, đã thu
được hàm Green lượng tử của electron trong
QED3, QED4 là hữu hạn
7 Đã chỉ ra rằng: quá trình khử phân kỳ bằng
phương pháp chỉnh Pauli Villars và chỉnh thứ
nguyên cho giản đồ năng lượng riêng của photon
trong QED3 sinh khối lượng photon như nhau,
trong quá trình tính toán, nếu tính bất biến chuẩn
của lý thuyết được đảm bảo
Những kết quả thu được đã chứng tỏ phương pháp
tích phân phiếm hàm là một phương pháp tiếp cận hữu
hiệu để nghiên cứu các vấn của vật lý năng lượng cao, đặc
biệt là tán xạ năng lượng Planck Ưu việt cơ bản của nó so
với phương pháp của lý thuyết nhiễu loạn thông thường
hay việc tổng của lớp giản đồ Feynman riêng biệt là khả
năng nghiên cứu ở dạng kín các đại lượng như hàm Green,
biên độ tán xạ , đặc trưng của các quá trình tương tác
- 5 -
2 2
4 0
2 2
0
( , | )
(2 )
s
0
is p m ip x y
s
i
π
∞
ư ư ư ư
=
.(1.4) Một tính chất quan trọng của trường sóng phẳng điện từ là các bổ chính phân cực thu được sẽ giống với kết quả nhận được bởi Schwinger nếu như sóng phẳng là biểu diễn chồng chập của các véc tơ sóng k
Hàm Green thu được trong trường sóng phẳng hoàn toàn giống với kết quả mà Volkov thu được
Trang 8- 6 -
Chương 2:
Tán xạ năng lượng Planck trong cách
tiếp cận phiếm hàm
Trong chương này biên độ tán xạ của hai hạt vô
hướng trong mô hình đơn giản 3
ϕ sẽ được tìm ở vùng năng lượng lớn, xung lượng truyền nhỏ, biên
độ tán xạ này có dạng biểu diễn Glauber (hay biểu
diễn eikonal) Các kết quả cho tương tác phức tạp
có thể dễ dàng thu được bằng cách tổng quát hoá
những biểu thức thu được ở đây Cuối cùng chúng ta
sẽ tìm các số hạng bổ chính bậc nhất cho biên độ
tán xạ Eikonal ở vùng năng lượng cao
ở đây, chúng ta không xét đến vấn đề tái chuẩn hoá
Chúng ta cần tách các số hạng cực điểm dạng (p i2 ưm2 )ư1
(q i ưm )ư trong công thức (2.2), để chúng triệt tiêu các
nhân tử 2 2
i
p ưm và 2 2
i
q ưm Trong lý thuyết nhiễu loạn sự triệt tiêu các số hạng cực rất dễ thấy vì biểu thức biên độ
tán xạ được thiết lập từ từ các hàm truyền tự do Còn trong
trường hợp hàm Green được xây dựng từ bằng phương
pháp khác lý thuyết nhiễu loạn thì việc tách các số hạng
cực gặp một số khó khăn nhất định Chúng ta quan tâm tới
cấu trúc biên độ tán xạ một cách tổng quát thì việc phát
triển một phương pháp đúng chuyển đến mặt khối lượng
p =m q =m i= trong trường hợp tổng quát có vai
trò hết sức quan trọng Rất nhiều phương pháp gần đúng
có thể hợp lý về quan điểm vật lý khi chuyển tới mặt khối
lượng nhưng vị trí các cực điểm của hàm Green ở phần
còn lại của biên độ tán xạ tìm được về mặt toán học là bị
sai lệch ở đây chúng ta tổng quát hoá phương pháp tách
- 31 -
nhau, dưới dạng tích phân phiếm hàm Đã tìm
được biểu thức tường minh cho hàm Green của hạt vô hướng trong trường sóng phẳng điện từ
2 Việc tách cực điểm trên mặt khối lượng p2 = m2 từ hàm Green hai hạt bằng phép chuyển giới hạn một cách chặt chẽ về mặt toán học và tìm được các biểu thức tổng quát chính xác cho biên độ tán xạ hai hạt với nhau qua các loại tương tác kể cả tương hấp dẫn dưới dạng tích phân phiếm hàm
3 Sử dụng phép gần đúng quỹ đạo thẳng cho các tích phiếm hàm và ở vùng năng lượng lớn, xung lượng truyền nhỏ đã chứng minh biên độ tán xạ thế hay biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn Glauber, mà pha của nó tương ứng với thế năng tương tác dạng Yukawa Biểu diễn này cho biên
độ tán xạ cũng có thể nhận được bằng việc khai triển eikonal hàm Green tương ứng trên mặt khối lượng, và nó chính là số hạng chính (leading term) trong chuỗi này
4 Trong khuôn khổ của tích phân phiếm hàm và phép gần đúng eikonal, đã tìm được số hạng
bổ chính bậc nhất cho biên độ tán xạ Planck
Số hạng này dẫn đến sự xuất hiện của hiệu ứng trễ, mà nó có bậc nhỏ hơn số hạng chính mà ta
đã nhận được
Trang 9- 30 -
của trường điều chỉnh Từ biểu thức (4.10), dễ dàng
nhận thấy rằng điều này chỉ xảy ra khi hằng số
tương tác bằng nhau c1 = c2 tương đương với 1
2
α = ,
3 2 (0)
2 ( )
Π = thu được phù hợp với kết quả
sử dụng phương pháp chỉnh thứ nguyên cho tensor
phân cực chân không Cần lưu ý rằng: phép điều
chỉnh Pauli-Villars phá vỡ sự đối xứng bình đẳng
trong không gian (2+1) chiều Với sự lựa chọn α như
vậy, đối xứng này được khôi phục khi khối lượng sử
dụng trong cách điều chỉnh càng lớn
Như vậy, tùy thuộc vào việc chọn dấu của c1
và c2 mà trong phép chỉnh Pauli Villars có xuất
hiện sự sinh khối lượng photon hay không Khi
c =c ; 1
2
α = thì khối lượng photon được sinh ra trong
cả hai phép chỉnh thứ nguyên và Pauli Villars là
giống nhau 2 2
3 2
(0)
2 ( )
Π = Điều quan trọng là ở
đây là các quá trình khử phân kỳ bằng các phương
pháp khác nhau đều phải đảm bảo sự bảo toàn tính
bất biến chuẩn
Kết luận Những kết quả chính thu được trong Luận án
bao gồm :
1 Đã thu được biểu thức cho hàm Green một hạt ở
trường ngoài tuỳ ý cho nhiều dạng tương tác khác
- 7 - cực điểm của hàm Green đã được đề xướng và vận dụng để tìm biên độ tán xạ trong mô hình tương tác giữa “nucleon” vô hướng với trường meson vô hướng trong gần đúng bỏ qua các loop “nucleon”
Từ công thức (2.2) và biểu thức của hàm Green hai hạt trong biểu diễn xung lượng sau một số phép biến đổi phiếm hàm, chúng ta thu được biểu thức cuối cùng của biên độ tán xạ hai “nucleon” Biên độ tán xạ này có thể coi
là phiếm hàm của tổng tất cả các quỹ đạo khả dĩ của
“nucleon” trong quá trình tán xạ
2.2 Tán xạ năng lượng cao Biểu thức tổng quát cho biên độ tán xạ hai hạt với nhau đã tìm được dưới dạng tích phân phiếm hàm Để tính các tích phân này theo các biến số ν(η) không phải đơn giản Các biến số ν(η) ở trên được đưa vào để nhận được biểu thức tổng quát cho hàm Green ở trên, có ý nghĩa mô tả sự lệch khỏi quĩ đạo thẳng của hạt ở vùng năng lượng lớn, xung lượng truyền nhỏ, hạt có thể coi là chuyển động theo quĩ đạo thẳng, do đó việc tính các tích phân theo biến
số ν(η) có thể áp dụng cách tính gần đúng các tích phân phiếm hàm do B.M Barbashov đề xướng khi nghiên cứu kì
dị hồng ngoại của hàm Green trong QED Sử dụng phép gần đúng này chúng ta sẽ tiếp tục nghiên cứu bài toán tán xạ hai hạt ở trên
2.2.1 Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trong trường vô hướng
Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng được giải thích như là phần dư của hàm Green hai hạt tại các cực
điểm tương ứng với các nucleon cuối
Biên độ tán xạ đàn tính của hai nucleon vô hướng có thể được biểu diễn dưới dạng:
Trang 10- 8 -
1 1
2
4
0
(2 )
ix p q scalar ig
λ λ λ π
[ ]
2
1
i
ư∞
=
=∫ ∏ Π Π =∫ ,
(2.4)
Để tính tích phân theo νi(ξ), chúng ta sẽ sử
dụng một phương pháp gần đúng, phương pháp này
cho phép giữ lại sự phụ thuộc của hàm truyền
nucleon vào bình phương xung lượng ki Khi đó, số
hạng chính có dạng:
( 0) ( 2 ) ( 2 4 [ ] )
n scalar
Sλ = = i gλ Πν ≈ i gλ ∫δ ν Π ν
(2.5)
với
[ ]
4
2
( ) ( ) 1
(2 )
exp
k i s
ξ ξ τ τ
π
ξ τ
∞
ư
ư∞
(2.6)
biểu thức của số hạng bổ chính bậc nhất (n1)
Sλ =
là:
- 29 -
Rõ ràng từ (4.10) chúng ta có nhận xét rằng:
• Nếu 0 < α < 1 thì s = -1 và các tương tác c1và c2 cùng dấu, Π 2M(0) ≠ 0; trong trường hợp này photon đòi hỏi một khối lượng hình học, tỷ lệ với Π 2M(0), khối lượng này được đưa vào từ phần tensor cực chân không phản xứng của hàm truyền photon tự do
• Nếu giả thiết rằng α nằm ngoài khoảng (0,1) thì s =1 và c1, c2 trái dấu và Π 2M(0) = 0
Như vậy chúng ta có thể kết luận: với việc chọn tuỳ ý các giá trị khác nhau của tham số α,
nó sẽ phản ánh khối lượng photon khác nhau Bây giờ, ta phải đối mặt với một vấn đề khác là: giá trị nào của α sẽ dẫn đến hiệu chỉnh khối lượng photon? Chúng ta nhận thấy rằng 2
2 ( )
M
k
Π là hữu hạn ở vùng tử ngoại (bằng cách tính theo chuỗi) Ta biết rằng một loop fermion phải được điều chỉnh trong suốt quá trình tính toán để bảo đảm bất biến chuẩn Tuy nhiên, để làm điều đó, chúng
ta phải tác động vào phần hữu hạn của tensor cực chân không phản xứng và hệ quả là sẽ sinh ra phần khối lượng photon điều chỉnh Sử dụng phương pháp chỉnh Pauli-Villars chúng ta cũng có thể tính toán
được các kì dị của mô men từ electron Trái lại, nếu không quan tâm tới sự bảo đảm bất biến chuẩn trong quá trình tính toán, các kết quả vật lý thu được không chính xác
Để loại bỏ những lo lắng này, cần tìm giá trị của α sao cho nó có thể làm thay đổi sự đóng góp
