Chuyên đề lượng giác

Chuyên đề lượng giác tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế...

Trang 1

PHẦN I: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

HAI CUNG ĐỐI NHAU –x và x

cos( ) cos

sin( ) sin

tan( ) tan

cot( ) cot

 

  

HAI CUNG BÙ NHAU

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot



  

HAI CUNG PHỤ NHAU

HAI CUNG HƠN KÉM π

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot



  

HẰNG ĐẲNG THỨC CƠ BẢN

+ = 1 1 + = 1 1 + = 1 = 1

CÔNG THỨC CỘNG

.cos( ) cos cos sin sin

.sin( ) sin cos sin cos

tan tan tan( )

1 tan tan tan tan tan( )

1 tan tan







CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

sin 2 2sin cos

: sin 2sin cos



2

cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin

2 tan tan 2

1 tan

x x

x





CÔNG THỨC NHÂN BA

3 3

sin 3 3sin 4sin

cos 3 4cos 3cos

2 2

(3 tan ) tan

tan 3

1 3tan

x







CÔNG THỨC HẠ BẬC

2

1 cos 2 sin

2

1 cos 2 cos

2

x x









3

3sin sin 3 sin

4 3cos cos 3 cos

4

x









CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

1

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2

1 sin cos sin( ) sin( )

2 1 cos sin sin( ) sin( )

2

Trang 2

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

sin( ) tan tan

cos cos sin( ) tan tan

cos cos sin( ) cot cot

sin sin sin( ) cot cot

cos cos

x y

y x









CÔNG THỨC RÚT GỌN

2 cot tan

sin 2 cot tan 2 cot 2

x

CÔNG THỨC TÍNH Sin, Cos, Tan THEO tan

2

2 sin 1

t x t





2 2

1 cos 1

t t







2

2 tan 1

t x t





PHẦN II CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I.Phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình sinx = a

* Nếu < −1

> 1  Phương trình (1) vô nghiệm

* Nếu −1 ≤ ≤ 1

+ Nếu a là các số đặc biệt ,√ ,√ thì đổi a thành sin của các góc tương ứng, ta có: (1)  sinx = sin  =+ 2

= − + 2 k  Z + Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có:

(1)  = arcsin( ) + 2

* Các phương trình đặc biệt

2 Phương trình cosx = a

* Nếu < −1

> 1  Phương trình (2) vô nghiệm

* Nếu −1 ≤ ≤ 1

+ Nếu a là các số đặc biệt ,√ ,√ thì đổi a thành cos của các góc tương ứng, ta có: (2)  cosx = cos  =  + 2

= − + 2 k  Z

Trang 3

+ Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có:

(2)  = arccos( ) + 2

* Các phương trình đặc biệt

3 Phương trình tanx = a

* Nếu a là các giá trị đặc biệt √3, 1,√ , thì đổi a thành tan của các góc tương ứng, ta có:

* Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có:

4 Phương trình cotx = a

* Nếu a là các giá trị đặc biệt √3, 1,√ , thì đổi a thành cot của các góc tương ứng, ta có:

* Nếu a không là các giá trị đặc biệt, ta có:

II.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1.Phương trình Asin 2 f(x) + Bsinf(x) + C = 0 (1)

Đặt sinf(x) = t Điều kiện có nghiệm: -1 ≤ t ≤ 1 (1)  At2 + Bt + C = 0

Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của sin

2.Phương trình Acos 2 f(x) + Bcosf(x) + C = 0 (2)

Đặt cosf(x) = t Điều kiện có nghiệm: -1 ≤ t ≤ 1 (2)  At2 + Bt + C = 0

Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của cos

3.Phương trình Atan 2 f(x) + Btanf(x) + C = 0 (3)

Đặt tanf(x) = t (3)  At2 + Bt + C = 0

Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của tan

4.Phương trình Acot 2 f(x) + Bcotf(x) + C = 0 (4)

Đặt tanf(x) = t (4)  At2 + Bt + C = 0

Giải phương trình bậc hai theo ẩn t ta nhận được phương trình cơ bản của cot

Trang 4

III.PHƯƠNG TRÌNH Asinf(x) + Bcosf(x) = C (1)

Chia cả 2 vế của phương trình cho √ +

(1) 

( ) +

( ) =

 Nếu

và

là các giá trị đặc biệt ,√ ,√ thì chuyển đổi sang các cung lượng giác tương ứng, ta có:

(2)  sinf(x).cos + cosf(x).sin =

 sin [f(x) + ] =

Đây là phương trình cơ bản Nếu trong bài toán có chứa tham số m và yêu cầu biện luận nghiệm thì cần

có thêm điều kiện -1 ≤

≤ 1

 Nếu

và

không là các giá trị đặc biệt trên thì:

Đặt

= cos và

= sin, ta nhận được lời giải tương tự như trên

IV.PHƯƠNG TRÌNH Asin 2 f(x) + Bsinf(x).cosf(x) + Ccos 2 f(x) = D (1)

Cách 1: Dùng công thức hạ bậc

 B.sin2f(x) + (C – A).cos2f(x) = 2D – A – C Đây là phương trình ở dạng III

Cách 2:

Xét cosf(x) = 0

(1)  A = D

Nếu A = D đúng  cosf(x) = 0 là một nghiệm của phương trình Nếu A = D sai  cosf(x) = 0 là không là nghiệm của phương trình

Xét cosf(x) ≠ 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos2f(x)

(1)  A.tan2f(x) + B.tanf(x) + C = D.(1 + tan2f(x))

 (A – D).tan2f(x) + B.tanf(x) + (C – D) = 0 Đây là phương trình ở dạng II.3

Một số dạng phương trình có cách giải tương tự cách 2

1 Asin3f(x) + Bsin2f(x).cosf(x) + Ccos2f(x).sinf(x) + D.cos3f(x) = 0

2 Asin3f(x) + B.cosf(x) + Ccos2f(x).sinf(x) + D.cos3f(x) = 0

3 Asin3f(x) + B.sin2f(x).cosf(x) + C.sinf(x) + D.cos3f(x) = 0

V.PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ PHẢN ĐỐI XỨNG

1.Phương trình A[sinf(x) + cosf(x)] + B.sinf(x).cosf(x) + C = 0 (1)

Đặt t = sinf(x) + cosf(x)  sinf(x).cosf(x) =

Điều kiện có nghiệm: −√2 ≤ ≤ √2

(1)  A.t + B

2−1

2 + C = 0 Đây là phương trình bậc 2 ẩn t

2.Phương trình A[sinf(x) - cosf(x)] + B.sinf(x).cosf(x) + C = 0 (2)

Đặt t = sinf(x) - cosf(x)  sinf(x).cosf(x) =

Điều kiện có nghiệm: −√2 ≤ ≤ √2

(2)  A.t + B 1− 2

2 + C = 0 Đây là phương trình bậc 2 ẩn t

Trang 5

BÀI TẬP

Để giải các phương trình lượng giác nên chú ý phân tích bài toán theo các hướng sau:

1 Trong phương trình có bao nhiêu loại góc, các góc có thể chuyển đổi qua lại với nhau được không? (Sử dụng công thức nhân đôi, nhân ba kết hợp với các công thức hạ bậc hai, bậc 3)

2 Trong phương trình có cùng một loại góc, nên phân tích để đặt nhân tử chung (nếu gặp bài toán không theo các dạng cơ bản)

3 Sử dụng tốt các công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng

4 Có thể sử dụng cách giải đặc biệt: coi một hàm là tham số, hàm còn lại tạo thành 1 phương trình bậc 2 hoặc bậc 3 (có thể nhẩm nghiệm)

5 Phương trình siêu việt có cách giải đặc biệt

Bài 1.Tìm tập xác định của các hàm số

1 -2 x

1 sin y 4/

cot2x;

y 3/

; 3 tan /

2

; 1

2

cos

/



x

y

x 1

x -1 sin 8/y

; 1 -2x cos 7/y

; 3 2 cot /

6

; 1 2

sin

/

5























x

y

1 -cotx

cot2x y

12/

; 6 sin

cos y

11/

; 2 cos 1

3 /

10

; 3

2 cot

/







































x

x x

y x

y

2 cos

)

1 tan

3

x

a y

x 





, ) tan cot

1 s in2x





Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất ,nhỏ nhất của hàm số

1/ y= 2+3cosx; 2/ y= 3 - 4sinx; 3/ y= 2sin2x – 3

2 cos 3 ) 7 2

cos 2 cos

)

6

cos sin

2 ) 5 sin

3

4

)

4

2

2 2

















x y

x x

y

x x

y x

y

8)y=3-4sinx; b y )  2  cos x

Bài 3 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau

1/ y= xcos3x; 2/y= x2sin2x; 3/ y= x3cos4x; 4/ y= sin2x

5) y= sin3x; 6) y = cos3x 7) y= sin4x; 8) y= tan2x

9) y = sin22x+1; 10) y= cos2x- sin2x

10)y=sin3x-tanx,

2

cos cot )

sin

b y

x





Bài 4 Giải các phương trình

2

1 60 x sin ) b 2

3 x

2

sin

)

2

1 10

2

x sin ) c , 2

2 15

x 2 sin ) b 2

3 x

3

sin

)

















3

1 5 x 2 cos ) c , 2

3 12

x cos ) b 2

1 15

x

2

cos

)















Trang 6

2

1 3

x 2 cos ) c , 2

3 45

x 3 cos ) b 3

1 3

x

cos

)

















  , b ) tan  2 x 3  2 , c ) cot  2 x 15  3

3

1 30

x

tan

)

8

tan 4

3

x tan ) c , 3 3

x cot ) b , 1 45

x

2

tan

)





























a/ cos3x-sin2x=0; b/sin3x+sin5x=0; c/sin2xcotx=0

a/ sin23x=sin2x; b/ sin24x=cos2x; c/ cos23x=cos2x;

a/ tanx.tan2x=-1; b/ cot2x.cot3x=1; c/tan(x-300)cos(2x-1500)=0

a/ 2cosx- 3 =0; b/ 3 tan3x-3=0

a/ sin2x-2cosx=0; b/ 2sinx.cosx.cos2x=1; c/ 2sinx.cosx.sin2x=1

a/ cos3x-cos4x+cos5x=0; b/ sin7x-sin3x=cos5x; c/cos2x-sinx-1=0

a/ cos2x-sinx-1=0; b/ cosxcos2x=1+sinxsin2x; c/ 4sinxcosxcos2x=-1

a/ cos5xcosx=cos4x; b/ sinxsin2xsin3x=

4

1

sin4x; c/ sin4 x+cos4 x=

-2

1

cos22x

a/ cos2x+cos4x+cos6x=0; b/ sinx-sin3x+sin5x+sin6x=0;

c/ sin5xcos3x=sin2x+

2

1

sin3x; d/ cos2xcos4x=cos6x

-2

1

sin4x

1/ 2cos2x-3cosx+1=0; 2/ cos2x+sinx+1=0; 3/ 2sin2x+5sinx-3=0;

4/ 3cos2x-2sinx+2=0; 5/ 5sin2x+3cosx+3=0; 6/ -

4

1

+sin2x = cos4x

7/ 2sin2x-5cosx+1=0; 8/ 2sin22x+3cos2x=3; 9/3sin2x+2cosx=0;

10/4sin2x-cos2x=2 11/ 2tanx-3cotx-2=0; 12/ cotx-cot2x=tanx+1;

13/ 3 tan2x-(1+ 3 )tanx+1=0 14/ 4cos2x+3sinxcosx-sin2x=3, 15/ 2sin2x-sinxcosx-cos2x=2, 16/ 4sin2x-4sinxcosx+3cos2x=1 17/ cos2x+2sinxcosx+5sin2x=2,

18/ 3cos2x-2sin2+sin2x=1, 19/ 4cos2x-3sinxcosx+3sin2x=1

1/ cosx 3sinx 3, 2/ cos x  3 sin x  1

3/ 3 sinxcosx 3, 4/ cosxsinx 2

5/ cos x  sin x  1 , 6/ 2 cosx2 sinx 2

7/3sinx+4cosx=5, 8/ sin3x 3cos3x 2

Trang 7

9/ cos 4 x  3 sin 4 x  2  0 , 10/ sin2xcos2x 2sinx

11/ 3cosx-4sinx=5, 12/ 2sin2x-2cos2x= 3

13/ 5sin2x-6cos2x=13, 14/ sin3x - 3cos3x =2sin2x

a)cos2x-sinx-1=0, b)cosxcos2x=1+sinxsin2x

c)4sinxcosxcos2x= -1, d)tanx=3cotx

a)sinx+2sin3x=-sin5x, b)cos5xcosx=cos4x

c)sinxsin2xsin3x= 1

4 sin4x, d)sin

4 x+cos4x= - 1

2 cos

2 2x

a)3cos2x-2sinx+2=0, b)5sin2x+3cosx+3=0,

c)sin6x+cos6x=4cos22x, d) 1

4

 +sin2x=cos4x

a)2tanx-3cotx-2=0, b)cos2x=3sin2x+3, c)cotx-cot2x=tanx+1,

a)cos2x+2sinxcosx+5sin2x=2, b)3cos2x-2sin2x+sin2x=1

c)4cos2x-3sinxcosx+3sin2x=1

a)2cosx-sinx=2, b)sin5x+cos5x= -1

c)8cos4x-4cos2x+sin4x-4=0, d)sin6x+cos6x+ 1

2 sin4x=0

a)sin2x-cos2x=cos4x, b)cos3x-cos5x=sinx

c)3sin2x+4cosx-2=0, d)sin2x+sin22x=sin23x

e)2tanx+3cotx=4 f)2cos2x-3sin2x+sin2x=1,

g)2sin2x+sinxcosx-cos2x=3

Bài 28.Giải các phương trình

a) cos4x + 12sin2x -1 =0( CĐ KD 2011)

b)sin3x - 3cos3x =2sin2x (CĐ KA,B,D /08)

c)cos2x -2sinx +2=0 ( CĐ Nguyễn Tất Thành /07)

d)cos4x-sin4x +cos4x =0 ( CĐXD2/07)

e)sin2x +sin22x= sin23x +sin24x ( CĐKTKTCN2/07)

f)sin2xsinx +cos5xcos2x=

2

8 cos

(CĐKTtpHCM/07)

4

sin













( CĐGTVT3/07)

















4 sin 2 sin

1

cos

x x

i)cosxcos2xsin3x= sin2x

4

1

(CĐTCHQ/07)

k)sin4x+cos4x = sin2x

2

1

(ĐHSGKD,M/07) l)1+sinx+cosx+tgx= 0 (ĐHSGKB/07)









 

















x

x x

tg

sin

sin 1 2 2

(ĐHSGKA/07)

Trang 8

n)2sin3x +4cos3x =3sinx (CĐKTCT/07)

p)cos4x -2sin2x+2=0 (CĐXD2/05)

q)cos2x +cos4x -2=0 (CĐTCKTIV/05)

1)s in2x 2 cos x sin x 1

0 tan x 3



2)sin 2 cos x x  sin cos x x  cos 2 x  sin x  cos x(ĐHKB 2011)

2

1 sin 2 cos 2

1 cot

x



4)(sin2x+cos2x)cosx+2cos2x-sinx=0 (ĐHKB /2010)

5)

x cos 2

1 x

tan 1

4 x sin x 2 cos x

sin

1

















(ĐHKA/2010) 6) 3 cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 (ĐHKD/2009)

7)sinx+cosx.sin2x+ 3 cos3x=2(cos4x+sin2x) (ĐHKB/2009)

 1 2 sin x  1 sin x  3

x cos x sin

2

1









(ĐHKA/2009) 9)2sinx (1+cos2x) +sin2x = 1+2cosx ( ĐHKD/08)

10)sin3x - 3cos3x = sinx.cos2x - 3sin2x.cosx (ĐHKB/08)





























x

7 sin 4 2

3 sin

1 sin

12)Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2  ) của phương trình:

2 sin 2 1

3 sin 3 cos







x x

(ĐH/2002)

2

cos

2

sin

2

















x

( ĐHKD/07) 15)2.sin22x+sin7x-1=sinx ( ĐHKB/ 07)

16)(1+sin2x )cosx +(1+cos2x)sinx =1 +sin2x (ĐHKA/07)

17)cos3x +cos2x -cosx-1=0 (ĐHKD/06)

18)cotgx +sinx 













2

1 tgx tg x = 4 (ĐHKB/06)

0 sin

2 2

cos sin sin

cos







x

x x x

x

(ĐHKA/06)

2

3 4 3 sin 4

























x

21) 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x = 0 (ĐHKB/05)

22) cos23xcos2x -cos2x = 0 (ĐHKA/05)

24) 5sinx-2 =3(1-sinx ) tg2x (ĐHKB/04)

25) (2cosx-1)(2sinx+cosx) =sin2x -sinx (ĐHKD/04)

2

x cos x tan 4 2

x









Trang 9

27) cotx -tanx +4sin2x =

x

2 sin

2 (ĐHKB/03)

2

1 x sin x tan 1

x 2 cos 1

x





Bài 30 Giải các phương trình sau:

1 2sin2x -2(sinx+cosx) + =0 (HVHCQG/2000)

2 cotgx- tgx = sinx +cosx(ĐHNNHN99)

3 cos3x+sin3x =cos2x( ÑHYHN/2000)

4 cos2x +2(sinx+cosx)3 -3sin2x – 3 =0(ĐHGQHN/99)

5 2sin3x –cos2x +cosx = 0(ĐHNN1/99)

6 2(sinx+cosx) = tgx +cotgx(ĐHCÑ00)

7 1+sin3x+cos3x =

2

3 sin2x(ĐHGTVT00)

8 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0(ĐHCÑ/00)

9 1+sin3x+cos3x =

2

3 sin2x(ĐHGTVT00)

10 sin3xcos3x +cos3x.sin3x =sin34x.(ĐHNTKA/99)

11 cos3x+cos2x +2sinx-2=0(HVNH/99)

12 1+sinx+cos3x=cosx+sin2x+cos2x(ĐHNT/2000)

13 (2sinx+1)(3cos4x+2sinx-4)+4cos2x =3.(ĐHHH/2000)

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	279,25 KB