CHUYÊN ĐỀ CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LỰỢNG GIÁC

CHUYÊN ĐỀ CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CÔNG THỨC LỰỢNG GIÁC tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập...

CHƯƠNG VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Các hệ thức lượng giác cơ bản

sin a + cos a = 1 t an sin

cos

a a

a

sin

a a

a

=

2

2

1

1 t an

cos

a

a

2

1

1 cot

sin

a

a

+ = t an cota a = 1

2 Giá trị lượng giác của cung góc có liên quan đặc biệt

2.1 Cung đối nhau: a và - a

cos(- a)= cosa

sin(- a)= - sina

t an(- a)= - t ana

cot (- a)= - cota

2.2 Cung bù nhau: a và p- a

sin(p- a)= sina

cos(p- a)= - cosa

t an(p- a) = - t ana

cot (p- a)= - cota

2.3 Cung hơn kém p : a và a + p

sin(a + p)= - sina

cos(a + p)= - cosa

t an(a + p)= t ana

cot (a + p)= cota

2.4 Cung phụ nhau: a và

2

p a

sin cos

2

p

ç - ÷=

çè ø cos 2 sin

p

ç - ÷=

t an cot

2

p

ç - ÷=

çè ø cot 2 t an

p

ç - ÷=

3 Công thức lượng giác

3.1 Công thức cộng

sin(a+ b)= sin cosa b+ sin cosb a

sin(a- b)= sin cosa b- sin cosb a

cos(a+b)= cos cosa b- sin sina b

cos(a- b)= cos cosa b+ sin sina b

t an( ) t an t an

1 t an t an

+

t an( ) t an t an

1 t an t an

+

3.2 Công thức nhân đôi, nhân ba

sin 2a= 2 sin cosa a

2

cos 2 cos sin 2 cos 1

1 2 sin

a

-=

2

2 t an

t an 2

1 t an

a a

a

= sin 3a = 3 sina- 4 sin3a

cos 3a = 4 cos3a- 3 cosa

3.3 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

cos cos 2 sin sin

sin sin 2 sin cos

sin sin 2 cos sin

-3.4 Công thức biến đổi tích thành tổng

cos cos 1 cos( ) cos( )

2

sin sin 1 cos( ) cos( )

2

sin cos 1 sin( ) sin( )

2

3.5 Công thức hạ bậc

2

a

2

a

-2

t an2 1 cos 2

1 cos 2

a a

a

-=

+

BÀI TẬP

GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

2

p

a = æçç a pö÷÷ a a a

÷

Giải: Áp dụng công thức: sin2a + cos2a = 1

Þ cos2a = -1 sin2a = -1 0, 82 = 0, 36

cosa 0, 6

Vì

2

p

< < nên cosa < 0

Do đó cosa = - 0, 6

t an sin 0, 8 4

a a

a

cot cos 0, 6 3

a a

a

3 sin 2 cos

B

+

=

- biết t anx = - 2

Giải:

sin

2

cos 0

x

x

íïï = -ïï

-ïïî

2 sin 3 cos 2 cos 3 cos cos 1

3 sin 2 cos 2 cos 2 cos 4 cos 4

B

-Ví dụ 3 Đơn giản biểu thức:

2

2 cos 1 sin cos

x A

-=

+

Giải:

cos sin

GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG GÓC CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

Ví dụ 1 Tính GTLG của các cung (góc): 315 0

Giải:

sin 315 sin( 45 360 ) sin( 45 ) sin 45

2

cos 315 cos( 45 360 ) cos( 45 ) cos 45

2

0

sin 315 sin 45

cos 315 cos 45

-0

0

1

t an 315

cos 0 cos 20 cos 40 cos160 cos180

Giải:

4

Ta có: cos1800 = - cos 00

cos1600 = - cos 200

cos1400 = - cos 400

Do đó: A = 0

MỐI LIÊN HỆ GIỮA ĐƠN VỊ ĐỘ VÀ RADIAN

Điền các giá trị thích hợp vào ô trống

0 15 0 30 0 45 0 60 0 750 0

90 120 0 150 0 180 0

Radian

Radian

16

p

5

8

p

4

6

p

8

24

p

3

p

12

p

2

p

-Độ

BIỂU DIỄN CUNG LƢỢNG GIÁC Bài 1 Biểu diễn các cung sau trên đường tròn lượng giác gốc A: 30 ; 0 - 450; 7500;

3

p

- ; 15

2

p

; 2010 4

p

Bài 2 Xác định điểm cuối của cung có số đo: k p ; k p ; 2

2

k p ;

3

4

k

+ ;

k

k

- + (k Î ¢ )

Bài 3 Cho hai điểm M và N sao cho

6

Ð

và

798

k

Ð

với k Î ¢ Tìm k Î ¥ sao cho:

a) M và N trùng nhau b) M và N đối xứng nhau qua O

GIÁ TRỊ LƢỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Bài 1 Xác định dấu của các giá trị lượng giác hoặc biểu thức:

a) sin

4

x p

ç + ÷

çè ø;

3 cos

p

çè ø; t an x 2

p

ç - ÷

çè ø; cot x 2

p

ç + ÷

çè ø với 0 x 2

p

< <

b) A = sin 40 cos( 290 )0 - 0 c) B = sin( 25 ) cos170- 0 0

d) cot3 sin 2

C = p æçç- pö÷÷

÷

cos sin t an cot

Bài 2 Tính các giá trị lượng giác còn lại biết:

a) sin 3

5

2

p

13

180 < x < 270

c) t anb = - 3 với 3 2

2

p

Bài 3 Tính giá trị của các biếu thức lượng giác sau:

a) Cho t anx = - 2 Tính 1 5 cot 4 t an

5 cot 4 t an

A

+

=

2 sin cos cos 3 sin

A

+

=

b) Cho cotx = 2 Tính 1 3 sin cos

sin cos

B

-=

+ và 2

sin 3 cos sin 3 cos

B

-=

+ c) Cho sin 3

5

x = với 0

2

< < Tính 1 cot t an

cot t an

C

+

=

- và 2

t an cos cot

C

x

-=

d) cos 4

5

2 x

p

p

< < Tính 1 cot t an

cot t an

D

+

=

- và 2

sin cot

1 cos

x

x

+

Bài 4 Cho sin cos 5

4

x + x = Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

a) A = sin cosx x b) B = sinx- cosx c) C = sin3x - cos3x

Bài 5 Cho tanx- cotx = 3 Hãy tính giá trị của biểu thức sau:

a) 2 2

t an cot

A = x + x b) B = t anx + cotx c) C = t an4x - cot4x

Bài 6 Tính sin , cos , t an , cotx x x x Biết rằng:

a) sinx + cosx = 2 b) sinx - cosx = 2 c) t anx + cotx = 4

Bài 7 Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), hãy tính các giá trị sau:

a) sin 150 0 b) cot 135 0 c) cos11p d) sin 13p e) cot7

6

p

f) cos 16

3

p

ç- ÷

19 cot

4

p

ç- ÷

çè ø h)

159

t an

4

p

115 sin

6

p

Bài 8 Rút gọn các biểu thức sau:

A æçp aö÷ æçp aö÷ æçp aö÷ æçp aö÷

= çç - ÷÷+ çç - ÷÷- çç + ÷÷- çç + ÷÷

B æç p aö÷ æç p aö÷ æça pö÷ æça pö÷

= çç - ÷÷- çç - ÷÷+ çç - ÷÷- çç - ÷÷

c) 2 cos 3 cos( ) sin 7 t an 3

C x p x æç p xö÷ æç p xö÷

= + - - ççç - ÷÷+ ççç - ÷÷

d) 2 sin sin(5 ) sin 3 cos

D æçp xö÷ p x æç p xö÷ æçp xö÷

= ççç + ÷÷+ - + ççç + ÷÷+ ççç + ÷÷

Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos2a - sin2a = 1- 2 sin2a b) 2 cos2a - 1= 1- 2 sin2a

c) 3- 4 sin2a = 4 cos2a - 1 d) sinacota + cosat ana = sina + cosa

sin a + cos a = 1- 2 sin a cos a f) cos4a- sin4a = cos2a- sin2a

sin a cosa + sinacos a = sinacosa h) sin4a- cos4a = 1- 2 cos2a = 2 sin2a- 1

Bài 10 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) t an cot 1

sin cos

-=

1

1+ t anx + 1+ cotx =

d) 1 1 1 1 t an2 0

2

2 2

1 sin

1 2 t an

1 sin

x

x x

+

= +

t an t an

t an t an

cot cot

x y

+

=

+

g) 4

1 cot

sin sin

x

1 sin cos

x x

+ i)

+

+

Bài 11 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

cos sin 2 sin

B = x + x x + x

cos 2 cos 3 sin 2 sin 3

-6

Bài 12 Chứng minh rằng nếu A, B,C là ba góc của một tam giác thì:

a) sinB = sin(A+C) b) cos(A+ B)= - cosC

c) sin cos

= d) cos(B- C)= - cos(A+ 2 )C

e) cos(A+ B- C)= - cos 2C f) sin(A+ 2B +C)= - sinB

g) cot (A- B +C)= - cot 2B h) cos 3 sin 2

2

A

=

-Bài 13 Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính)

a) A = cos 00+ cos 200 + cos 400+L + cos1600+ cos1800

cos10 cos 40 cos 70 cos140 cos170

t an 20 t an 40 t an 60 t an 160 t an 180

d) D = cot 150 + cot 300 + cot 450 + L + cot 1500 + cot 1650

e) E = sin 50 + sin 100 + sin 150 +L + sin 3550 + sin 3600

f) F = cot 15 cot 35 cot 55 cot 750 0 0 0

g) G = t an 1 t an 2 t an 3 0 0 0K t an 890

sin 10 sin 20 sin 30 sin 80 sin 90

i) I = cos 102 0+ cos 202 0 + cos 302 0+ L + cos 1702 0+ cos 1802 0

CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC Bài 1 Không dùng máy tính, hãy tính giá trị của các biểu thức:

sin 12 cos 48 cos12 sin 48

A = + b) B = cos 38 cos 220 0- sin 38 cos 220 0

c) C = sin 10 cos 550 0- cos10 sin 450 0 d) 0 0 0 0

sin 200 sin 310 cos 340 cos 50

cos11 cos 21 cos 69 cos 79 cos10

cos 68 cos 78 cos 22 cos12 sin 100

-Bài 2 Tính giá trị của biểu thức:

a)

0

0

1 t an 15

1 t an 15

A = +

t an 25 t an 20

1 t an 25 t an 20

c)

sin 10 cos 20 sin 20 cos10

cos17 cos13 sin 17 sin 13

sin 73 cos 3 sin 87 cos17 cos132 cos13 cos 42 cos 28

-+

sin 20 sin 100 sin 140

cos 10 cos 110 cos 130

t an 20 t an 80 t an 80 t an 140 t an 140 t an 20

t an 10 t an 70 t an 70 t an 130 t an 130 t an 190

Bài 3 Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) cos

3

A = æçça + pö÷÷

÷

çè ø biết

1 sin

3

a = và 0

2

p a

< <

b) sin

3

B = æççp - aö÷÷

÷

çè ø biết

12 cos

13

2

p

p < a <

c) t an

3

C = æçça + pö÷÷

÷

çè ø biết

3 sin

5

2

p

< <

d) cot

4

D = æçça - pö÷÷

÷

çè ø biết

4 sin

5

2

p

p < a <

Bài 4 Biết sin 4

5

0 < a < 90 và sin 8

17

90 < b < 180 Hãy tính giá trị của biểu thức cos( )

Bài 5 Biết sin 8

17

12

cos( )

B = a + b và C = t an(a + b)

Bài 6 Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = sin(x + y) cos(x - y)+ sin(x - y) cos(x + y)

b) B = cos(400- x) cos(x + 20 )0 - sin(400- x) sin(x + 20 )0

c) C = sin(x +10 ) cos(20 x - 80 )0 + sin(x + 100 ) cos(20 x + 10 )0

D æçx pö÷ æçp xö÷ æçp xö÷ æçx pö÷

= çç - ÷÷ çç - ÷÷+ çç - ÷÷ çç - ÷÷

E æçx pö÷ æçx pö÷ æçx pö÷ æçx pö÷

= ççç - ÷÷ ççç + ÷÷+ ççç + ÷÷ ççç + ÷÷

f) sin cos 9 sin 5 cos 5

F æçx pö÷ æç p xö÷ æç p xö÷ æç p xö÷

= ççç - ÷÷ ççç - ÷÷- ççç - ÷÷ ççç + ÷÷

Bài 7 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos sin 2 cos 2 sin

x x æçx pö÷ æçx pö÷

+ = ççç - ÷÷= ççç + ÷÷

b) cos sin 2 cos 2 sin

x x æçx pö÷ æçx pö÷

- = ççç + ÷÷= - ççç - ÷÷

c) sin(x + y) sin(x - y)= sin2x - sin2y = cos2y - cos2x

d) cos(x + y) cos(x - y)= cos2x - sin2y = cos2y- sin2x

Bài 8 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin sin 2 sin

ç + ÷- ç - ÷=

2

c) t an t an t an t an 2 t an 2 t an 3

x æçx pö÷ æçx pö÷ æçx pö÷ æçx pö÷ x

d) cos cos cos cos 3 2(1 3)

Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) cos( ) cot cot 1

cos( ) cot cot 1

=

sin( ) sin( ) sin( )

0 cos cos cos cos cos cos

sin( ) sin( )

t an t an cos cos

cos( ) cos( )

1 t an t an cos cos

-=

-Bài 10 Chứng minh các biểu thức sau độc lập với biến x

a) sin2 cos cos

A x æçp xö÷ æçp xö÷

= + ççç - ÷÷ ççç + ÷÷

B x æçp xö÷ æçp xö÷

= + ççç - ÷÷+ ççç + ÷÷

8

c) sin2 sin2 2 sin2 2

C x æç p xö÷ æç p xö÷

= + ççç - ÷÷+ ççç + ÷÷

D x æçx pö÷ æçx pö÷

= + ççç + ÷÷+ ççç - ÷÷

Bài 11 Tính giá trị các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi)

cos 36 cos 72

d) sin cos cos

sin 10 sin 50 sin 70

E = f) cos cos2 cos4

g) cos cos4 cos5

G = p p p h) H = sin 6 cos12 cos 24 cos 480 0 0 0

Bài 12 Biến đổi thành tích các biểu thức sau:

a) 1+ cosx + cos 2x + cos 3x b) sinx- sin 3x+ sin 7x- sin 5x c) sinx- sin 2x + sin 5x + sin 8x

d) cos10x- cos 8x- cos 6x + 1 e) cos 9x- cos 7x+ cos 3x- cosx f) cos 7x+ sin 3x+ sin 2x- cos 3x