Đại số tuyến tính

1.1.2 Các phép toán trên ma trận và các tính chất Các phép toán của ma trận được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng để mô tả các ràng bưộc, các quan hệ của các đối tượng được nghiên

Ben Huh

Giới thiệu

Ma trận đã được sử dụng từ rất sớm Trong cuốn "Cửu chương toán thuật"

được Trần Sanh viết ở Trung Họa vào khoảng năm 152 TƠN, tác giả đã mô tả

lời giải một hệ 3ä phương trình ä ấn bằng cách sử dụng "bảng tính" được tạo ra

từ các hệ số của các ấn Đây là một mình chứng rõ ràng của việc sử dụng ma

trận Ngày nay ma trận được sử dụng rộng rãi cùng với các ứng dụng của toán

học trong kỹ thuật, công nghệ, kinh tế, y học, sinh học và các khoa học xã hội

Trong chương này ta sẽ làm quen với khái niệm ma trận và các phép tính cơ bản

của ma trận trong Mục 1.1

Sự hình thành của khái niệm định thức gắn liền với việc tìm lời giải của các

hệ phương trình tuyến tính của nhiều nhà toán học khác nhau Chỉ với các ma

trận vuông định thức mới được xác định trên đó Irong Mục 1.2 ta sé dua ra

định nghĩa của định thức, các tính chất và các phương pháp tính định thức

Ma trận nghịch dao và hạng của na trận là hai nội dung cuối cùng của chương này Mục 1.3 là lý thuyết và các ví dụ về nghịch đảo của ma trận vuông Mục 1.4

là lý thuyết và các ví dụ về hạng của các ma trận Bạn đọc sẽ thấy ở trong các -

chương sau rất nhiều ứng dụng trực tiếp của định thức, ma trận nghịch đảo và

hạng của ma trận

Thuật ngữ ma trận (matrix) được sử dụng lần đầu vào năm 1848 bởi J.1

Sylvester' Ma trận giúp cho ta mô tả được các số liệu xuất hiện trong mỗi bài

toán cụ thể của kỹ thuật, công nghệ, kinh tế một cách gọn gàng, thuận tiện và khoa học

1.1.1 Khái niệm về ma trận

Định nghĩa 1.1 Ma trận kích thước zm xøn là một bảng hình chữ nhật gồm m m số thực hoặc phức được xếp thành rn hàng và øw cột :

Đê thuận tiện ta thường viết gọn lai biéu diễn (1.1) là A = (Gi;)mxn Va trong

trường hợp không sợ gây ra nhằm lan vé kich thuéc thi ta chi viét 1A A = (a;;)

> Chú ý 1.1 Trong công thức (1.1) uà trong các tí dụ, bài tập ta thêm dấu ngoặc

uào trước uà sau các rna trận để dễ quan sát uà phân biệt ching - ©

Các số thực (hoặc phức) cấu tạo thành ma trận được gọi là các phần tử của

ma trận Đối với ma tran A = (đ;;)„x„ các phần tử của nó được ký hiệu chung

là a;; Trong cách ký hiệu này, ta gọi ? là chỉ số hàng và gọi 7 là chỉ số cột Chỉ số

\

‘James Joseph Sylvester (1814-1897) 1A mét nha to4n học người Anh

hàng và chỉ số cột giúp cho ta theo dõi thuận tiện vị trí của mỗi phần tử trong

cách mô tả tổng quát của ma trận

Một ma trận kích thước m x n cing duoc goi la ma tran c6 m x n Ta ky hiéu m hang cla ma tran la H), Ho, ,Hm theo thứ tự từ trên xuống dưới và

ky hiéu n cét cua ma tran 14 C,,Co, ,C, theo thit tu ti trái qua phải

Sự bằng nhau của hai ma trận ⁄

Dể phân biệt các ma trận với nhau ta đưa ra định nghĩa sau đây đối với sự bằng nhau của các ma trận

ES” Ví dụ 1.3 Xét hai ma trận vuông cấp hai A = | 2) ,B= (; 2} Sự bằng

nhau của hai ma trận A, Ö là

a=3 A=Bs

Một số tình huống riêng biệt về kích thước của một ma trận

Ma trận vuông: Ma trận có số hàng và số cột bằng nhau được gọi là ma

vrận vuông Nếu mô tả ma trận vuông 4 = (4;)„x„ dưới dạng tường minh

đạ G12 Gin

gay G22 - Gan

A=

Qn) „2 Onn

thì các phần|tử của A được sắp xếp thành một hình vuông và ta cũng gọi A là

ma trận uuông cắp n Đường chéo của hình vuông đi từ góc trên bên trái xuống

góc dưới bên phải được gọi là đường chéo chính Nói cách khác, ta gọi dãy số

_ đq1,G22;, - › Ñnn

_ là đường chéo chính của ma trận vuông 4 = (đ;;)ax„ Ta gọi tổng tất cả các phần

tử trên đường chéo chính của mỗi ma trận vuông 4 là "vết" của ma trận 4, ký

hiệu là trace(44) Ta có công thức ` | ,

trace(A) = a); + agg + + Ann (1.2)

Ma tran hàng: Một ma trận kích thước 1 x n 1a ma tran chi có duy nhất một

Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử của nó có giá trị là 0, ta ký

- hiệu ma trận không” là Ø Ta sẽ dùng ký hiệu Ø„;x„ khi lưu ý với người đọc về

kích thước của ma trận Biểu diễn tường minh của ma trận không là

Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông có tất cả các phần tử trên đường chéo chính

bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 Ma trận đơn vị được ký hiệu là 7 (hoặc là

È;) Ta sẽ sử dụng ký hiệu J, va goi la ma tran don vi cấp ?: khi muốn lưu ý với

người đọc về kích thước của ma trận Biểu diễn tường mình của ma trận đơn vị

2Trong nhiéu gido trinh người ta vẫn ký hiệu ma trận không là 0, tức là dùng chung ký tự

mô tả "số không" thông thường |

Về trực giác các phần tử của ma trận vuông được sắp xếp thành một hình

vuông Đường chéo chính chia hình vuông này thành hai tam giác Ta gọi tam

giác trên là tam giác chứa các phần tử ở trong đường chéo chính và các phần tử

nằm ở phía trên đường chéo chính Tiếp theo ta gọi tam giác dưới là tam giác

chứa các phần tử ở trong đường chéo chính và các phần tử nằm ở phía dưới đường

chéo chính Phần chung của tam giác trên và tam giác dưới là đường chéo chính

» Ma trận tam giác trên: Ma trận vuông có các phần tử nằm phía dưới đường chéo chính đều có giá trị bằng 0 được gọi là ma trận tam giác trên Mô tả tường minh của ma trận tam giác trên là

7@)1 @1Q2 ` Gyn

0 G22 Gan

0 0 Grn

» Ma trận tam giác dudi: Ma tran vuông có các phần tử năm phía trên đường

chéo chính đều bằng 0 được gọi là ma trận tam giác dưới Mô tả tường

minh của ma trận tam giác dưới là

Dé ngắn gọn hơn cách mô tả ở trên, ta sử dụng ký hiệu?

D= diag(A1, Àa, “ng An) |

để mô tả ma trận đường chéo

3Ký hiệu diag là các chữ cái đầu tiên của thuật ngữ diagonal matrix (ma trận đường chéo)

> Nhận xét i 1 Nếu một ma trận vừa là ma trận tam giác trên vừa là ma trận

tam giắc dưới thì nó là ma trận đường chéo | : "¬ OD

Cho ma trận vuông 4 = (4;;)„x„ạ Ta gọi ma trận A là:

Cách gọi tên các ma trận đối xứng và phản đối xứng là khá tự nhiên Ta có thể

nhận thấy !'trong ma trận đối xứng hai phần tử nằm ở hai vị trí đối xứng với nhau

qua đường chéo chính là hai phần tử phải có giá trị bằng nhau Kế tiếp, trong

ma trận phan đối xứng hai phần tử nằm ở hai vị trí đối xứng với nhau qua đường

chéo chính là hai phần tử phải có giá trị đối nhau

>N han xết 1.2 Các phần tử nằm trên đường chéo chính của một ma trận phản

: đối xứng phải có giá trị là 0 | Oo

Mmyn(R) (Mmxn(C)), Khim = n, ta ciing sit dung cdc ky hiệu đơn giản hơn với

⁄4„(R) và 4(C) Nêu không nhất thiết phải nói rõ về các ma trận được xét là

thực hay phức thì ta dùng chung ký hiệu Z„x„ và J, cho ca hai trudng hop

1.1.2 Các phép toán trên ma trận và các tính chất

Các phép toán của ma trận được sử dụng rộng rãi trong nhiều ứng dụng để

mô tả các ràng bưộc, các quan hệ của các đối tượng được nghiên cứu Trong tiểu

mục này ta sẽ làm quen với ba phép toán cơ bản của ma trận

Phép cộng hai ma trận

Phép cộng được định nghĩa cho hai ma trận cùng cỡ và được mô tả dưới day

Í Định nghĩa 1.3 Cho hai ma tran citing cd A = (đ;7)mxø› Ð = (bij mxn- Tổng

của ma trận A với ma trận là một ma trận cùng cỡ với ching C = (ci;)mxn

C5 = Aj +b; voit =1,2, m)7 =1,2, 0

¢

Ta ký hiệu tổng là A + Ö và ta viết C= A+B

> Chú ý 1.2 Theo định nghĩa, khi cộng hút na trận cùng cỡ uới nhau thà các phần

tử năm ở cùng 0ị trí sẽ được cộng uới nhau Oo

OS Vi du 1.5 |

14 -4])T\o ~3 5) > \-142 4-3 -445 (7 10 8

Phép cộng hai ma trận có tính chất giao hoán và kết hợp Điều này nghĩa là

nếu 4, Ö,Œ là các ma trận cùng cỡ thì ta có các đăng thức

) A+B=B+A (tính chất giao hoán)

ii) (A+B)+C=A+4+(B+C) (tinh chat két hap)

Để chứng minh tính chat giao hoán được đưa ra ở trên ta xét hai ma, trận cùng

cỡ tùy ý A = (0)mxø và B = (b)m„„„ Các tổng A + B và B + A có thể mô tả

như sau:

| Với mọi cặp chỉ số (¿, 7) ta ludn co‘dang thite aj; + bij = bi; +;; (do phép cộng hai

số thực hoặc Iphức có tính chất giao hoán) nên ta kết luận được A+ 8= B+ Ả

Để chứng minh tính chất kết hợp ta xét ba ma trận cùng cỡ tùy ý ẢÁ =

> |

có thể mô tải như sau:

(i; )mxn, B " (b¿7)mx» và C — (Cú )mxa: Cac tong (A + B) + C va A +(B + C)

(A ] B) + C = (a: + bi; mxn + (Ci )mxn = ((a:, + b;;) + Cij inxns

A+(B+C) = (aij)mxn + (bij + Cij)mxn = (ig + (bij + Cij))mxn-

V6i moi c&p! chi sé (i,j) ta luén c6 dang thtte (ai; + bij) + Gy = aij + (diy + Gy)

(do phép cộng hai số thực (hoặc phức) cũng có tính chất kết hợp) nên ta kết luận

duge (A+ B)+C=A+(B+C)

> Chú ý 1.3

- Theo tính chất giao hoán thú tự của các số hạng trong một phép cộng có thể thay đổi mà không gâu ủnh huông tới kết quả

- Từ tính chất kết hợp, ta có thể uiết đơn giản tổng của ba ma trận A,,C

là A+B +C mà không phải sử dựng dấu ngoặc để mô tả dấu cộng nào phải thực hiện trước

- Đối tới mot day gom hữu hạn 1na trận cùng cỡ Á\, Áa, , Ay ta cũng xác

Dang thức trên là tính chất thứ ba của phép cộng 'Ta gọi tính chất này là tính

chất trung hòa của ma trận 0 Lưu ý rằng sử dụng tính chất giao hoán ta cũng

Chứng mỉnh của tính chất trung hòa như sau: | | |

| A+@= (i; mxn + (O)mxn — (ai; + O)mxn = (Qi; )mxn = A

Ma trận! đối: Cho ma tran A = (a;;)mxn Nếu đổi dấu tất cả các phần tử của

ma trận A thì ta được một ma trận mới Ta gọi ma trận này là ma trận đỗi của

A, ký high là (—4) Ta có mô tả như sau:

A= (8)mxe -=> -A= (—@i;)mxn-

A + (CẢ) = (dij)mxn + (~4ij)mxn = (Aig ~ Gi )mxn = (mun = 8

Lưu ý rằng theo tính chất giao hoán ta cũng có

(~A)+A=0

Ta, viết lại hai tính chất vừa được đưa ra ở trên như sau:

ii) Tính chất trung hòa của ma trận không _

A+ 6 =9@+A=A

iv) Tinh chat khử của ma trận đối

A+(-A) =(-A)+A=0

Phép trừ: Phép trừ được hiểu như một phép toán phụ của phép cộng và nó được

định- nghĩa theo cách đưới đây

| Định nghĩa 1.4 Cho hai ma trận cùng cỡ A và B Ta goi tổng A + (—B)

của ma trận A và ma trận đối của là "hiệu A trừ đi Ø8" và ký hiệu là A— Ö

>: Chú ý 1.4 Cho hai ma tran cùng cỡ A va B Dé tính hiệu A — B ta lấu mỗi

.phần tử của A trù đi phần tử tương ứng của B 4 - ©

| A+B=C < A=C-B, (Quy tắc chuyển về)

vi) Néu A, B,C 1a ba ma tran cing cé thi

'A+C=B+C & A=B, (Luat giản ước của phép cộng)

> Chú ý 1.5 Theo định nghĩa trên khi nhân một ma trận uới một hệ số œ ta cần

> Nhận xét 1.3 Ta có thể nói rằng các trận vô nướng là các ma trận có dạng al

iv) Cac tinh hudng dac biét cia phép nhân hệ số

0OA=6, 1A=A, (-UA=-A

Ta sẽ đưa ra chứng mình cho hai tính chất đầu tiên Việc chứng minh hai tinh chất cuối cùng được dành lại cho bạn đọc như một bài tập

Giả sử rằng A = : (as) mxn va B= (bij mx: Ta, có các tính toán

A+B = (aij +bij)mxn > a(A + B) = (a(ay + bụ))mxø = (gan + abig)mxa,

aA = (A0i;)mxn, AaB = (abi; )mxn => aA+aB= (aa;; + abi; )mxn- |

Từ các tính toán như vậy ta nhận được tinh chat thứ nhất

Tiếp theo với ma trận A = (đ;)mx„ Về hai hệ số œ, 6, ta có các tính toán

(a + B)A = ((a + B)ai;)mxn = (aj; + Bais )mxn

> Chú ý 1.6 Theo định nghĩa trên ta nói tích AB thục hiện được nếu số cột của

na trận đứng trước bằng số hàng của rna trận đứng sau ©

|

Néu ta d6 hai ma trận A, Ö sao cho tích 4? thực hiện được thì chưa hắn tích

BA cũng thực hiện được Kéo theo điều này là tích hai ma trận không có tính

> Nhận xét 1.4 Nếu tích AB thực hiện được thì số hàng của ma trận tích bằng

số hàng của A và số cột của ma trận tích bằng số cột của B ©

> Chú ý 1.7 Để thực hiện các tính toán chi tiết khi nhân húi na trận được thuận,

lợi ta nói rằng phần tử cụ trong ma trận tích AB là tích của phép nhân hàng i

của A vor cot j cia B Ta minh hoa céng thitc tinh toán cị; theo cách nói này bởi

Cũng trong ví dụ nay tich BA khong thực hiện được vì số cột của ma trận đứng

trước khác với số hàng của ma trận đứng sau | QO

Hình 1.1: Phép nhân của hai ma trận

Trong ví dụ này hai ma tran tich AB va BA không bằng nhau, tức là AB 4 BA

¬ Tiếp theo ta hướng vào việc tìm hiểu các tính chất cơ bản của phép nhân hai

ma trận

¿) Tính chất kết hợp của phép nhân: Cho A, B,C là ba ma trận Nêu một trong

hai tích (AB)C và A(BC) thực hiện được thì tích còn lại cũng thực hiện được

va ta CÓ đẳng thức

Chứng minh Néu mét trong hai tich (AB)C va A(BC) thực hiện được thì ta phải có hai

yếu tố là số cột của 4.bằng số hàng của Ø và số cột của bằng số hàng của Œ Do đó tích

còn lại cũng thực hiện được Tiếp theo ta chỉ ra công thức (1.6) Không mất tính tổng quát

ta co thé gid thiét 1a: A = (@ij)mxn, B= (bjk)nxp, C = (Ckt)pxq Nhu vay hai ma trận

tich (AB)C va A(BC) la hai ma tran cing cé va cé kich thuéc ]a m x q Ta ky hiéu cac

phần tử của ma tran tich (AB)C là z„ và ký hiệu các phần tử của ma trận tích A(BC) là

1, nghĩa là (AB)C = (zu)mxạ¿ và A(BC) = (wu)mxa Theo Định nghĩa 1.6 ta có thể viết CC CC

Từ đó ta khẳng định được sự đúng đắn của công thức (1.6) a

> Chi ¥ 1.8 Tinh chat két hop cho phép ta viét các tích (AB)C va A(BC) một

> Chú ý 1.9 Cho các ma tran Ay, Ao, , Ax Néu vdi méi chi 867 € {1,2, ,k-

1}, số cột của ma trận A, bằng số hàng của ma trận A,„: thà ta rác định được tich A; Ap» " Ay bằng (k — 1) phép nhân của hai ma trận theo Dịnh nghãa 1.6 © ! mm

13) Tinh chất kết hợp giữa phép nhân ma trận uà phép nhân hệ số: Cho hai ma

trận A,B sao cho tich AB thực hiện được Khi đó với mọi hệ số À ta có:

_ \(AB) = (\A)B = A(AĐ)

Chú ý 1.10 Nếu A là một ma trận uuông thà tích AA thục biện dược Khi đó

ta gọi tích AA là "A bành phương" uà kú hiệu là A? Khái quát hơn nếu k là một

số tự nhiên lớn hơn 1 thà ta định nghĩa A* là

Lưu ý rằng nếu ta nhân một ma trận Á = (đ;;)mx„ với một ma trận cột

#= (#/)axì thì ta thu được một ma trận cột kích thước rn x 1 Chì tiết hơn ta có

16 | Chuong 1 Ma tran va dinh thức

Về phải của (1.8) được gọi là tổ hợp tuyến tính của các hang Hy, Ho, ,Hm-

1.1.3 Ma trận vuông Nếu 4:;4;, , 4„ € Z4 thì ta có ma trận tích 44s Á„ Do ta không

sử dụng được hệ thức giao hoán nên ta không được thay đổi thứ tự của phép

nhân 44x A„ Nói cách khác, nếu đổi chỗ hai ma trận nào đấy trong tích

4Ai4; A¿ thì tích này có thể bị thay đổi

Nếu A,B € 4 thì ta xác định được (A4 + B)? va tinh chất phân phối giúp

cho tà có rhững biến đổi như sau

(A+B) = A(A+ B) + B(A+ B) = A?+ AB + BA+ B'

Nếu như AB # BA thì bạn đọc cần lưu ý là

(A+B)? 4 A?4+2AB + B?

Ta có thể sử dụng tính chất kết hợp cho tính toán tích các ma trận vuông

Chang han ti hai ma trận tích AB và BA ta có các đẳng thức

} ! A‘ B? = BPA? = ABAB = BABA = AB?A = BA°B

sẽ đúng khi AB = BA Nêu AB z BA thì dãy đẳng thức trên không đúng nữa

Ta có thể quan sát điều này qua ví dụ sau đây

iS Vi du 1.13 Cho hai ma tran

Trong truéng hop A, B € 4, va AB = BA, ta gọi ma tran B 1a ma tran giao

hoán uới A theo phép nhân mma trận hoặc ngắn gon hơn là "B giao hodn vdi A"

rs Vi du 1.14 Cho A, B 1a hai ma tran vuông cap n sao cho AB = BA Hay chi

b) A4"B" = B"A” với mỗi cặp số tự nhiên ?rÍ, m 00C18321

-.c) (AB)” = A"E" = (BA)” với mỗi n € Ñ

d) Nhị thức Newton‘? đối với hai ma trận giao hoán:

(A+B)°= A"+C}A" !1B+C2A"*?Eˆ+ +(Œ'AB""'+E"

Giải: a) Trường hợp k = 0 ta co A0 = [và A*B = A°B =IB= B= BlI=

BA? = BAE Trường hợp k = 1 tacé Al = A va A*B = A'B = AB = BÀ =

BA! = BAF Trường hợp k > 2, sử dụng tính chất kết hợp và AB = BA ta có

dãy biên đổi như sau:

A*B= AF~1(AB) = A*-!1(BA) =(A*'1B)A= AR~?2(AB)A = A* ”(BA)A

= Á*-?BA? =.A*~3(AB) | A? = = BAF |

b) Ta có thể nhìn nhận kết quả cãu (a) là "Nếu Ö giao hoán với Á thì B giao

hoán với mỏi lũy thừa của 4" Nói cách khác, sử dụng ket qua cau (a) ta có đẳng

thttc A™B = BA™ véi moi m € N Nhu vay ma trận A™ giao hodn với ma trận

B va ap dung kết quả câu (a) một, lần nữa ta khẳng định được ma trận Á”" giao

hoán với mọi lũy thừa của Ð, hay là A"B" = E'A” với mọi ø € Ñ

Chúng tôi xin dành lại cho bạn đọc việc thực hiện các chứng minh đối với hai

Ma trận đơn vị là một ma trận đặc biệt Nhắc lại rằng nếu 4 là một ma trận :

vuông capin va Ï là ma trận đơn vị cấp n thi

?) An.An = A"*" uới mọi rn,n € Ñ

it) (A™)" = A™ vdi moim ne N

cS Vi du 1.15 Cho ma tran A = (| 2) - Tính A?9,

Các đa thức cĩ biểu diễn tổng quát dưới dang

f(z) = an?” +an_1z”®~” + + a1: + ao

với z là biến số và øo, ø+, , đ„ là các hệ số Nếu a„ # 0 thì ta gọi ƒ(z) là đa thức bậc n Lưu

ý rằng ta quy ước z0 = 1 nên ƒ(z) cĩ thể biểu diễn hình thức theo cách sau

ƒ(z) = an+z” +anS-iz”"~ + + aiz + agz9

Trong một số bài tốn sau này ta cần tính tốn và phân tích trên một ma trận cĩ dạng

dạ AT + aa_S+A”?~1 + +aIA+ aoÏ

với A là một ma trận vuơng Vì ta quy ước A0 = J7 nên ta gọi ma trận trên la f(A), hay là

f(A) = an A” tantA™ + +a;A + aol

Cách nhìn này là khá tự nhiên và.ta sẽ thấy sau này tác dụng của nĩ nằm ở việc đơn giản hĩa

một số tính tốn về ƒ(4)

2 1 2? _(/2 1\(2 1\_(2 38)

mà ta cũng cần dùng đến hàm mũ, ham sin, ham cos của ma trận Á Các hàm này được định

nghĩa như sau:

[S Vi du 1.16 Cho ma tran A= (2 i) Hay tinh f(A) voi f(x) = 2? + 3z — 4

Giải: Ta cĩ tính tốn sau

A = Lak k=0

20 Chương 1 Ma trận và định thức

1.1.4 Phép chuyền vị của ma trận, biên đồi sơ cầp và biéu

diễn dạng khối của ma trận

Phép chuyển vi

Cho A =(aij)mxn 1& một ma trận có mm hàng và n cột Nếu chuyển các hàng

của A4 thành các cột và giữ nguyên thứ tự của chúng thì ta được một ma trận

mới có ?› hàng và m cột Ta gọi ma trận nhận được là chuyển Uÿ của A và ký hiệu

là” 4T hoặc A'

cS Vi du 1.17 Cho ma tran

16 5 —-2 A={8 3 -7 9

Trong cáPh mô tả thu gọn, nếu cho Á = (aij)myn thì ta viết AT = (5: )nxm- |

Gắn liền với, phép chuyển vị của ma trận ta có những tính chất sau đây

1 (AT)T!= A với mọi ma trận A

2 trace(A?) = trace(A) với mọi ma trận vuông 4

3 (œ4)?i= œAT với mọi ma trận A |

4 (A+ B)f = AT + Bĩ với mọi A, B là hai ma trận cùng cỡ

h (AB)T = BTAT với mọi ma trận A, B sao cho tích A8 thực hiện được

6 (4i4z Ag)” = AfAj,_, Af véi moi day ma tran -Aj, Ao, ,A, sao cho tich A14; Ay thực hiện được

Hai tính chất (1), (2) được suy ra trực tiếp được từ định nghĩa của phép chuyển

vị Việc chứng minh hai tính chất (3), (4) là đơn giản và chúng tôi xem như bài

tập dành cho bạn đọc Ta sẽ đưa ra chứng minh chỉ tiết cho tính chất (5) Giả sử

rang-A = (@ij)mxn; B = (bjk)nxp Khi dé hai ma trận (AB)? va BT AT cing có

kích thước là p x zn Dễ thuận tiện ta đặt (AB)7 = (Lki)pxm Va BT AT = (yni)pxm:

°Chir cdi "T" trong ký hiệu AT là chữ cái đầu tiên của thuật ngữ transpose (chuyển vi)

Phan tử „¿ là tích của hàng thứ k của BŸ với cột thứ ? của AT Mô tả hàng thứ

k của B7 theo các phần tử của Ö 1a (bx, box, ., dng) M6 ta cot thứ ¿ của AT

theo các phần tử của A là (đi, œ%¿, ,a¿„)7 Từ đó ta tính toán được „¿ như

sau

yei =~ djeaiz, (voi mdi i = 1,2, ,.m; k=1,2, ,p) (1.11)

j=1

Đối chiếu hai đẳng thức (1.10), (1.11) ta khẳng định được ry; = Ye: Voi mai

?=1,2, ,?1mn; k=1,2, ,p Từ đó ta kết luận rằng (AB)f = BTAT

Để chứng minh công thức (6) ta sử dụng công thức (5) liên tiếp nhiều lần

(Ay Ag Ag)? = AT(Ay Ag Aga)” = ATAT_,(Ay Ag Ago)?

== ATAT AT

> Nhận xét 1.5 Cho ma trận vuông A Khi đó,

- Ma trận 4A là ma trận đối xứng nếu va chi uéu A? = A;

- Ma trận A là ma trận phản đối xứng nếu và chỉ nếu AT = —A ©

tS Vi du 1.18 Cho hai ma tran vuong A, B déi xứng cấp n Hãy chỉ ra rằng ma

tran AB — BA la ma tran phan déi xting | |

Giải Do AT = A,B† = B nên ta có (AB - BA)? = (AB)? — (BA)? = BTAT —

A'B.= BA— AB Như vậy AB — BA là ma trận phản đỗi xứng ‘ ¬

Biến đổi sơ cấp

Tiếp theo ta thảo luận về một số biến đổi tuy hết sức đơn giản của các ma

trận nhưng lại giữ một vai trò quan trọng trong thực hành

Định nghĩa 1.7 Các biến đổi sau đây trên các hàng, các cột của một ma

trận được gọi là biến đổi sơ cấp của ma trận

1 Đổi chỗ hai hàng (hoặc hai cột) của ma trận cho nhau

> Chú ý 1 Hị Hai biến, đổi thú 2,3 thường được phát biểu gon hơn là -

9 Nhân môi hàng (hoặc một cột) uới rmmột sô khác 0

3 Cộng uào một hàng (hoặc một cột) À lần một hàng (cột) khác ©

Dinh nghia 1.8 Ta goi-cAc ma tran vudng cAp n dude cho sau đây là các

ma tran co ban

1 Ma tran J,; nhan dude ti ma trận đơn vị J bang cách đổi chỗ hai hàng

(hoặc hai cột) thứ ? và thứ j của ma trận 7 cho nHau

2 Ma trận !, nhận được từ ma trận đơn vị 7 bằng cách thay thé hang

(hoặc cột) thứ ¿ của 7 bởi tích của chính hàng (cột) đó với một số A F 0

3 Ma tran 7? nhận được từ ma trận đơn vị 7ƒ bằng cách thay thê hàng

(hoặc cột) thứ ? của 7 bởi tổng của chính hàng (cột) đó với À lần hàng

Chitng minh Ching tdi sé dua ra chitng minh chi tiét cho khang dinh (i) Céc phan tich

được sử dụng có thể lặp lại một cách phù hợp để hình thành chứng minh của khẳng định (it)

Xét tình huống ma tran B nhan duoc tit ma tran A bang cdch déi ché hàng ¡, hàng 7 của

A cho nhau Ta tinh toan tich J;;A Dé thuc hién cdc tinh toan chi tiét ta dat A = (ast)mxn và

kích thước tương ứng của ma trận J;; la m x m Ta dat i; = (Zrs)mxzns Khi đó ma trận tích

lA có cùng kích thước mm x n với A và ta đặt l¿;j A = (a;¿)mxa Với mỗi cặp chỉ số (r,£) ta có

đặ¿ = T101 + 2ra602y + Tra đựng (1.12)

I

Nếu r z ¡ và r z# 7 thì hàng,thứ r của 1;; là hàng thứ r cia ma trận đơn vị, tức là z;; = 1 và

#;s = 0 nếu :s # r Từ đây ta suy ra được trong về phải của (1 12) có rn„ — Ì số hạng bằng 0

và số hạng còn lại là #rrar¿ = ax¿ Như vậy ta có al, = ar, V6i mỗi ‡ = 1,2, ,m và ta khẳng `

định được khi r # ¿ và r # 7 thì hàng thứ r của hai ma tran A va l;A trùng nhau ,

Néu + = i thi hang thit i cia J;; lai la hang tht j cha ma trận đơn vị (được đổi lên), tức là

| tig = Ì VÀ #s = nếu s # 7 Tương tự ta suy ra trong về phải của (1 12) có rn — 1 số hạng

bằng 0 và số hạng còn lại là #jjđjy = đặt Như vậy ta có đ¿, = đặt véi moi t = 1,2, ,n va ta

khẳng định dudc hang thi i cia tich J; z4 chính là hàng thứ 7 của A

Lặp lại những phân tích như trên cho trường hợp rz = 7 ta khẳng định được hàng thứ j của

Đến đây ta đã chứng minh được rằng Ð = l;;A ` - Tiếp theo ta xét tình huống ma trận Ö nhận được từ ma trận 4 bằng cách thay thế hàng thứ ¡ của A bởi tích của chính hàng đó với một số À # 0 Để mô tả các tính toán chỉ tiết ta

dat A = (ast)mxn; Lid = (Lrs)mxm Va 1i,,A = (@)4)mxn- Theo các phân tích đã sử dụng trong

tình huống trước đó ta khẳng định được nếu z # ¡¿ thì hàng thứ r của hai ma trận A và 1; ⁄4

trùng nhau Nếu r = ¡ thì hàng thứ ¿ của J; là À lần hàng thứ ¡ của ma trận đơn vị, tức là _

Tig = A va ¿; = 0 nếu s # ¡ Từ đó ta có đ¿¿ = Àa¿¿ với mỗi t = 1,2, ,n va ta khang dinh

được hàng thứ ¡ của tích 7;„4 đúng bằng A lần hàng thứ ¡ của 4 Đến đây ta đã chứng minh

được rằng Ð = 1, A

Cuối cùng ta xét tình huống ma trận nhận được từ ma trận 4 bằng cách thay thế hàng

thứ 7 của A bởi tổng của chính hàng đó với k lần hàng thứ 7 (7 # 7) của A Dễ mô tả các tính „ todn chi tiét ta dat A = (ast)mxn, ^ = (ZrsÌmxm Về TA = (đ;;)zaxa Theo các phân tích

đã sử dụng trong hai tình huống trước đó ta.khẳng định được nếu r # ¡ thì hàng thứ r của hai ma tran A va 7ƒ`A trùng nhau Nếu r = i thi hàng thứ ¡ của Tˆ bao gồm các phần tử

ti = l,¿j = À và z¿¿ = 0 nếu s # ¡,s # 7 Từ đó ta có al, = đ¿¿ + Àa;¿ với mỗi ‡ = 1,2, ,n

và ta khẳng định được hàng thứ ¡ của tích I7*A đúng bằng tống hàng thứ ¡ của A cộng với À

lần hàng thứ j7 của A4 Đến đây ta đã chứng minh được rằng B = IA a Trong nhiều nội dung về sau ta cần thực hiện một chuỗi biến đổi sơ cấp liên

tiếp xuất phát từ một ma trận A Mệnh đề 1.2 cho phép ta mô tả một dãy biến

đổi sơ cấp như sau:

Nếu ta thực hiện liên tiếp k bước biến đổi sơ cấp trên hàng của các ma trận

thì ta có thể mô tả dãy biến đổi này dưới dạng |

-A= MỊA M,MìA — = My M,M)A

- Nếu ta thực hiện liên tiếp k bước biến đối sơ cấp trên cột của các ma trận

thì ta có thể mô tả dãy biến đổi này dưới dạng

A > AM ¬ AM\M; > AM+M; My

Biéu diễn dạng khôi của rna trận Việc theo dõi hay thực hiện các tính toán đối phép nhân của ma trận có kích thước lớn có

thể sẽ dé dang hơn khi ta mô tả ma trận theo dạng khối Trong tình huống tổng quát mô tả

24 Chương 1 Mãa trận và định thức

- với mỗi }, các khối 4i;, Áa;, , Áp; có chung số cột

Cho A, B la hai ma tran sao cho tich AB thực hiện được Khi đó ta có thể biểu dién A, B duéi

dạng khối và biểu diễn ma trận tích theo các khối của A và B Cu thé hon, néy ta biểu diễn

Ai; Ajo Aig By, Bio Bir

Agi Agog Adg Bo, Boo Bar

sao cho với mỗi bộ ba chỉ số ¡, j,k tích các khối A;;B;, thuc hién dugc thi ma tran tich AB

cũng có biểu diễn dạng khối

AB= ;

| Cy Che Lee Cor

Ở đây các khối Œ;¿ được xác định bởi:

Cie = — Ain Bị, + Ai2Bor + + địa Ba

0S Vi du 1.19 Cho A, B,C, D, X,Y,Z,T la cdc ma tran n vuong cap n Xét hai ma tran khéi AJ, N

Trong phần này ta sẽ trình bày một ứng dụng của phép nhân ma trận trong mã hóa

Quy tắc mã hóa Trong quy tắc mã hóa ta cần sử dụng một ma trận khả nghịch A = (a4;)3x3;

trong đó a,j nhan các giá trị thuộc tập hợp {0,1,2, ,27,28} và det 4 không là bội số của

29 Ta sẽ chuyển đổi các ký tự trong bảng chữ cái và ba ký tự đặc biệt +, —, * thành các số tự

nhiên (và chuyển ngược lại: các số tự nhiên về các ký tự) theo bảng sau

Kýtự[PIQIRISTTTUTITV[IWTIXIYTZT+T-T*

[ Sãấ 1151161171181 19 | 20] 21 | 22 | 23 | 24 |-25 | 26 | 27 | 28

Để mã hóa một từ nào đấy ta chia các chữ cái của từ đó thành các nhóm, mỗi nhóm gồm

3 chữ cái Nếu nhóm cuối cùng chưa đủ ba chữ cái thì ta bổ sung thêm theo dấu + và kế tiếp

là dầu — Mỗi nhóm ba kí tự sẽ tương ứng với nhóm gồm ba số trong tập {0,1, , 27,28} Có

thể coi nhóm ba số này như một ma trận cd 1 x 3 và gọi là số liệu chưa mã hóa

Gia stt ta c6 sé liéu chua ma héa X = (x) 22,73) Ta sé sit dung ma tran A để thực hiện phép

nhân với X Phép nhân đó được mô tả hình thức như sau:

| (Z1, 2,3) = (1,92, 9a)

‘Cac giá trị thu được (14, 2, 14) là ba số nguyên nào đấy Ta sẽ chuyển các số nguyên này thành '

các ký tự theo bảng trên nên ta cần tính toán các lớp đồng du® cha ba giá trị này theo mod 29

Ta mô tả tính toán này dưới dạng hình thức

y1 = z1(mod 29), ye = ze(mod 29), 13 = z3(mod 29), trong đó z1, 22,23 € {0,1, ,27,28} Ta gọi kết quả nhận được (z1, Zo, 23) là số liệu đã mã

hóa Từ (z, z2, zz) ta chuyển thành các kí tự tương ứng theo bảng trên và sắp xếp các ký tự

thu được theo đúng thứ tự ban đầu ta được từ đã được mã hóa của từ đã cho

[S Vi du 1.20 Hãy mã hóa từ "VIETNAM" béi ma tran A sau day:

105 A=|3 1 9

6 2 0

Giải: Chia từ "VIETNAM" thành ba nhóm (VIE)(TNA)(M+-)

Tương ứng với nhóm thứ nhất ta chuyển đổi từ ký tự sang các số theo bảng chuyển đổi

.Tính toán các lớp đồng dư của kết quá nhận được ở trên :

69 = 11(mod29), 16 = 16(mod29), 177 = 3(mod29)

Kết quả nhận được (11, 16, 3) ứng với các kí tự trong bang chữ cái là (L,Q, D)

Tương ứng với nhóm thứ hai ta chuyển đổi ký tự sang các số theo bảng chuyển đổi -

(T N A)(19 13 0)

Biến đối theo ma trận 4:

1 (19 13 0) |3 = (58 13 212)

Tính toán các lớp đồng dư của kết quả nhận được ở trên

58 =0( mod ;29), 13=13(mod29), 212 = 9(mod 29)

Kết quả nhận được (0, 13,9) ứng với các kí tự trong bảng chữ cái là (A, W, J)

Nhóm cuối cùng được chuyển đồi sang ký tự theo bảng chuyến đổi

Tính toán các lớp đồng dư của kết quả nhận được ở trên

252 = 20(mod 29), 80 = 22(mod29), 294 = 4(mod 29)

Kết quả nhận |được (20, 22,4) ứng với các kí tự trong bảng chữ cái là (U,W, È): Như vậy sử „

dung ma tran |A, tt "VIETNAM" được mã hóa thành "LQDANJUWE" QO

1.2 Định thức

|

Định thức có những ứng dụng rộng rãi trong toán học, cơ học, vật lý v.v

Ta sé làm quen ở ngay trong giáo trình này những ứng dụng ban đầu của định

thức trong việc giải hệ phương trình tuyển tính và trong nhiều nội dung lý thuyết

Qn] Qn2 nn

Chú ý 1.12 Trong biéu dién tuéng minh ciia dinh thitc ta goi hai vach thẳng

đứng được đặt uào trước 0à sau rna trận là "kú hiệu của định thúc" ©

Định tHức của một ma trận vuông cấp m (định thức cấp n) được định nghĩa như là giá trị thu được từ một tổng có nhiều số hạng Để mô tả tổng này ta sử `

dụng phương pháp quy nạp Theo cách này, định thức cấp nø được định nghĩa

như một tổng có n số hạng và mỗi số hạng của tổng này có chứa một định thức

Nếu gạch bỏ một hàng, một cột nào day cia A thi nhting phan tt con lai sé tao

thành một ma trận vuông cấp (n — 1) va ta đưa ra được định thức cấp (n — 1)

của ma trận này lrong trường hợp tổng quát, ta lựa chọn một phần tử Qi; Nao

đây của, A và gạch bỏ hàng và cột chứa phần tử được chọn (bỏ hàng ¿ và bỏ cột

7) Ta gọi định thức cấp (m — 1) được xác định bừ những phần tử còn lại là là

định thức con bù của phần tử a;; trong ma trận A, ký hiệu là M,,

Ta ghép thêm dấu "+" hoặc "—" cho các định thức con bù theo cách làm

M., nếu i+j chi

—M;; néu i+j le

hay la Aj; = (—1)**7M,,; Két qua nhan được 4;; được gọi là phần bù đại số

của phần tử a;; trong ma trận A

f

Dinh nghia 1.9 Dinh thitc det A của ma trận Á = (đ;;)axø được xác định

bằng quy nạp theo ø như sau:

- Trường hợp n = 1l: Tương ứng Á = (đi)ixị có duy nhất một phần tử

là ai Ta định nghĩa det A chính là phan tử này:

det A = 01

- Thường hợp n > 1: Dịnh thức của A được định nghĩa theo các phần bù đại số bằng công thức sau

det A = a3, Aq, + Q12A12 + + ain Ân (1.16)

Chú ý 1.13 Công thức (1.16) trong Định nghãa 1.9 có thể mô tả lại là: Lấu tất

cả các phần tử trên hàng thứ nhất của A uà nhân mỗi phần tử đó uới phần bù

đại số của nó, sau đó cộng n tích nhận, được uới nhau Kết quả thu được của quá

trình tính toán nàu được định nghĩa là định thúc của A —)

Ta gọi công thức (1.16) là "công thức khai triển theo hàng 1"

Ứng với n = 2,3 ta sẽ mô tả trực tiếp định thức theo các phần tử của ma trận Dây chính là công thức thuận tiện nhất để tính toán định thức cấp 2, 3

Ứng với n >Ì4 công thức mô tả trực tiếp định thức theo các phần tử của ma trận

có n! số hạng nên ta trở về sử dụng công thức (1.16) để tính toán

Định thức cấp 2 Xét ma trận vuông cấp 2 A = (a;;)2x2 Khi dé định thức con

bù của ai là định thức cấp 1 và đó là az;, Ghép thêm dấu ta thu được phần bù |

đại số của, On là Áii = a¿¿ Ta cũng dễ dàng thấy rằng 4s = —øại Như vậy

định thức của Á có mô tả như sau:

Định thức cấp 3 Xét ma trận vuông cap 3 A = (a;;)axạ Đối với mỗi phần tử

cua A, dinh thức con bù của nó có cấp hai Mô tả tường minh cho các phần bù

đại số Au, An, ahs la

đại 332 433

Tách mỗi định thức cấp 2 trong về phải của (1.18) thành hai số hạng ta thu được

biểu diễn của định thức cấp ba qua 6 số hạng

Qi1 G12 G13

21 đạa đạ3| = = đ1162263377012628ại T 81362132 — 13422431 — A12421 233 — 211023039

431 32 433

(1.19)

- Việc mô tả các tính toán của định thức cấp ba theo công thức (1.19) trên thực tế

la thuận lợi hơn việc dùng công thức (1.18) Trước khi sử dụng công thức (1.19)

để tính toán ta cần học cách ghi nhớ các số hạng trong về phải của nó Mỗi số

-hạng của định thức là tích của ba phân tử của ma trận và ba phần tử này vừa

nằm trên ba hang khác nhau vừa nằm trên ba cột khác nhau của ma trận vuông

cấp ba Sáu số hạng trong vế phải của (1.19) được chia thành hai nhóm, nhóm

thứ nhất là ba số hạng mang dấu "+" và nhóm thứ hai là ba số hạng mang dấu

"—"_ Các số hạng được mô tả bằng quy tắc Sarrusể: 6 hạng ø qu)

- #Đierre Frédéric Sarrus (1798-1861) là một nhà toán học người Pháp

|

|

- Dánh dẫu các phần tử của ima trận bằng các nút

- Nếu một số hạng của định thức là tích của ba phần tử thì ta nối ba nút tương ứng với nhau

Tương ứng, ta vẽ ở dưới đây hai sơ đồ theo hai nhóm số hạng, nhóm thứ nhất 3

bên trái, nhóm thứ hai ở bên phải (Hình 1.2)

Hinh 1.2: Quy t&c Sarrus

Quy tắc Sarrus để ghi nhớ về các nhóm số hạng như sau:

e Dấu cộng

- Số hạng đầu tiên mang dấu cộng ứng với đường chéo chính

- Hai sé hang con lại mang dấu cộng ứng với hai tam giác Mỗi tam giác

có một cạnh song song với đường chéo chính

e Dấu trừ

- Số hạng đầu tiên mang dấu trừ ứng với đường chéo thứ hai của ma trận vuông và ta tạm gọi là đường chéo phụ

- Hai số hạng còn lại mang dấu trừ ứng với hai tam giác Mỗi tam giác

"có một cạnh song song với đường chéo phụ

=5 1 8 EŠ” Ví dụ 1.22 Cho ma trận vuông cấp ba A= | 2 0 4

3-12 3

trong đó ta hiểu A là ma trận nằm trong dấu định thức ở về phải

Ta sử dụng: công thức khai triển theo hàng 1 để tính det 4 Nếu biểu diễn rập

khuôn theo (1.16) ta có _

| det A = aii4ii + ¿2412 + đ13.Ä13 +aia 4i (n= 4)

Tuy nhiên tạ có ơi ='øi¿ = ¡4 = 0 nên trên thực tế về phải của công thức trên

chi con lai s6 hang duy nhat 1A a;2Aj9 Vi ay2 = 2, 4¡i¿ = —Ä⁄:¿ nên quy được

- việc tính det A vé tính một định thức cấp ba và sử dụng quy tắc Sarrus để đưa

phần tử trên hàng 1 đều khác 0 thì khối lượng tính toán sẽ nhiều gấp 4 lần ví

dụ trên Việc tính toán theo định nghĩa một định thức cấp ø trong tình huống

_ không thuận lợi cần cỡ (m + 1)! phép tính số học Với ø khoảng chừng vài chục

đơn vị thì } số lượng phép tính này có thể gây khó khăn lớn ngay cả với những

may tính Chẳng hạn nếu một máy tính xử lý được khoảng 2 tỷ phép tính một

giay® thi thai g gian thực hiện việc tính định thức cấp 20 theo định nghĩa được ước

#Một phép nhãn của hai số thập phân với 10 chữ số thập phân sau dẫu phẩy được thực hiện

theo hơn 100 phép tính số học trên các chữ số Một phép tính số học trên các chữ số lại được

mô tả qua một số lượng nhất định phép tính trên mã nhị phân của máy tính Do đó một máy

- tính thường xử lý được từ vài chục nghìn đến vài chục triệu phép tính số học trong một giây

10Đjerre-Simon' Laplace (1749-1827) là nhà toán học, thiên văn học người Pháp

|

⁄ `

Dinh ly 1.1 (Dinh ly khai trién Laplace)

Cho ma tran uuông A = (dijj)axn Khả đó ta có các công thức

det A = a¡iÁ¿i + đ;a4;¿a + + an Á4¿„ uới mỗi ¡ = 1,2, ,n, (1.20)

— det Á = ø;Ải; + ø¿;Ä4¿; + + Ong Ang Uới mỗi j = 1,2, ,n 2U)

> Chú ý 1.14 Ta gọi công thúc (1.20) là công thúc khai triển theo hang thit i

Công thúc nàu được hiểu là: Nếu ta lấu mỗi phần tử nằm trén hang i nhân tới

phần bù đại số của chúng uà cộng các tích như uậu lại uới nhau thì kết quả thu

được chính là định thúc của A Tương tự, công thúc (1.21) được gọi là công thúc

khai triển theo cột thứ j ằ : "`

_ Ta sẽ đưa ra chứng minh cho công thức (1.20), (1.21) bằng cách chỉ ra rằng các tổng

a4) Ag + 02 ¿2 + + địa ¿n Và 01; Â1j + a2j¿¡ + + tnj Ân; đều bằng với tong ay, Ai +

ay2Ajo+t + ainAin trong dinh nghia cua dinh thức Các tổng này được xem,như tổng của

các định thức cấp (n — 1) Các định thức cấp (n — 1) đó không giống nhau nên ta không thể

so sánh trực tiếp các số hạng của các tổng với nhau Để chỉ ra các tổng bằng nhau ta cần đưa

các định thức cấp (n — 1) về các định thức cấp (m — 2) để so sánh Các định thức cấp (n — 1)

và (m —-2) ffi ta cin sit dụng đến có các hang các cột lại chính là một phần của các hang các

cột của A Các định thức này được gọi một cách tự nhiên là định thức con của A

Để thuận tiện cho việc trình bày chứng minh của khai triển Laplace và trình bày một số nội dung lý thuyết sau này ta đưa ra ở đây khái niệm về định thức con

Xét ma tran A = (aij)mxn (ma tran 4 không nhất thiết phải là ma trận vuông) Cho k là

một số tự nhiên sao chol! k < min{mn,nø} Chọn ra k hàng nào đấy của A và chọn ra k-cột nào

đấy của A Sau đó, ta bỏ đi toàn bộ các hàng các cột còn lại của ma trận 4 Sau khi thực hiện

công việc này, từ ma trận A ban đầu ta thu được một ma trận vuông cấp k và ta gọi định thức

của ma trận vuông cấp k này là định thúc con cấp k của A

> Nhận xét 1.6 Từ ma trận A có kích thước rn x ø số lượng định thức con cấp k mà ta thiết

lập được là ck CE N6i riêng, ta có man định thức con cấp 1 va méi‘dinh thitc con cap 1 cia A

Bây giờ ta xét A = (4;;)„x„ là một ma trận vuông cap n Ta sit dung ky hiệu

—11:12.- sÈ

_ déi véi dinh thie con cấp k của A dugc thiết lập với k hàng được lựa chọn là ?1,?2, ,7z và k

cột được lựa chọn là 7, ?a, , 7, trong đó ¡4 < 2< <1; 7ì <?a2< <ƒk- Tiếp theo ta

sử dụng ký hiệu

11,2

đối với định thức con cấp (n — k) được thiết lập từ A bằng cách loại bỏ k hàng, k cột của A,

trong đó k hàng bị loại bỏ là Hàn .;1y, k cột bị loại bỏ là 7, 7a , 7 Ta gọi Min vs là

định thức con bù của A An Ta gắn thêm dấu cho định thức con bù bằng cách đặt

boro = (- 1)(6121- tin )+(jitjet tak) Yi tae vk (1.24)

"và gọi A1122 Mà là phần bù đại số của A, m9 21322- 3152: Nói riêng với tình huống k = 1, định thức

con A, chinh bà phần tử a¿;, định thức con bù Mi chính la Mj; va phần bù đại số At chính là

Ấy

11'Pức là k <m và k < n

332 — Chương 1 Ma trận và định thức

Chứng minh cua Dinh ly 1.1

“Ta chứng minh công thức (1.20) bằng cách quy nạp theo n

Trường hợp ø = 1 kết quả là hiển nhiên Trường hợp nø = 2 thì công thức khai triển theo hàng

1 trùng với định nghĩa nên ta chỉ kiểm công thức khai triển theo hàng 2 Tính toán trực tiếp

Thé (1.26) vao (1.25) ta thu duge mét biéu dién cha P véi n(n — 1) số hạng và mỗi số hạng |

chứa một định thức con cấp (n — 2) Các định thức con cấp (n — 2) xuat hién trong biểu diễn

này là Mp5 với I,¡ cố định và p,q thay đổi, p < ạ Định thức con cấp hai M;+ xuất hiện hai

lần và được tách ra từ hai số hang (-1)'*?aipM3, (—1)*†%a¿„M¿ của biểu diễn (1.25) Cụ thể

hơn từ (1) 1®apMp ta tách ra số hạng mới (—1)?†?†!†44= Đa ma Ms, từ (—1) PP %a¿4 M2 tà

tách ra số hạng mới (—1)??#†!†P;„aipM;2, Nhóm hai số hạng mới này với nhau ta được

i_y_4yl+itptqq!? agli — Git gli

( 1) Apa Mi a Ang Apia:

Với n(n — 1) số hạng của thu được khi thế (1.26) vào (1.25), ta nhóm từng cặp số hạng theo

cách trên và nhận được biểu diễn

D;q p,g!

P= 3` A,yAM | (1.27) l<p<q<€n

trong đó tổng ở về phải có C? sé hang và được lấy theo tất cả các cặp số tự nhiên (p,g) mà

lep<qen

Đối với det A ta mô tả lại công thức (1.16) đưới dạng như sau:

| det A = (—1)!?!aiMj + (—1)!†2aaM¿ + + (£1)'*"ainM} (1.28)

Ta sẽ sử dụng giả thiết quy nạp để biến đổi Mj bằng cách khai triển nó theo hàng thứ (2 — 1)

Lưu ý rằng hàng thứ (¿ — 1) của Mj là một phần hàng thứ ¿ của 4 và nó là

|

(Qats ++ 4 Qij—15Qijt1y- ++) Qin)

Bởi vậy, khai triển M} ta thu được

Mỹ =(—1)~1* an Mộ + + (=1) 1*0~ Đặy ij- iM", "

+ (=D) Fag 54 MGT ++ (UP 1)+(n— Daca (1.29)

Thé (1.29) vao (1.28) ta thu dugc biểu diễn của det A với n(n — 1) số Hạng và mỗi số hạng chứa ,

một định thức con cấp (m — 2) Với p < q, định thức con cấp hai M2 xuất hiện hai lần và

duge tach ra tit hai s6 hang (—1)'*?a1,M],, (-1)'*4a1,M; cla biéu diễn (1.28) Cụ thể hơn

từ (~1)!*°ai„M; ta tách ra số hạng mới (- yee 1)T(q~ )aipaa My mài Đừ (—1)! “ai, MJ ta

tách ra số hạng mới (—1)1†#+É~ 1)+P ay Aap AM Nhóm hai số hạng mới này với nhau ta được

= (—1)!†??P†%(øipdza — d1a0p) Mp5 =A, TALE

Như vay ta thu được biểu diễn sau của det A:

detA= SỐ p;g 5A15 0›;gˆ (1.30)

` _1&<p<qgK<nm

So sánh (1.27) và (1.30) ta kết luận được P = det A và công thức (1.20) đã được chứng minh

Việc chứng mính công thức khai triển (1.21) cũng được thực hiện bằng quy nạp Các phân tích và tính toán được thực hiện tương tự như trên | m4

3 1-1 2

0S Vi du 1.24 Cho ma tran A-= 2 0 1 1E Hay tinh det A

1 0:0 :0 Giải Khai triển det A theo hàng 4, ta nhận được

Kết quả sau đây thu được ngay từ các khai triển (1.20), (1.21)

Hệ quả 1.1 Nếu tắt cả các phân tử trên một hàng hay một cột nào đâu của -

trong dé dinh thite con bu Mi(= A⁄Z4¡) là định thức tam giác trên cấp (n — 1)

Tiếp tuc khai trién Mj theo cét 1 ta thu duge

| det A = 011022My">

trong đó My * la dinh thttc con cap (n—2) cua A (Mis được xác định theo (1 23))

va Mis 2 cũng là một định thức tam giác trên Tiếp tục quá trình này đến bước

thứ m ta nhận được kết qua tính định thức và, kết quả này cho ta cõng thức

Đối với các định thức của ma trận tam giác đưới ta có thể khai triển liên tiếp 0

lần theo hàng 1 và thu được công thức sau đây

mỗi định thức con cấp hai này với phần bù đại số của nó và cộng các kết quả với

nhau thì ta nhận được giá trị của det A Công thức (1 30) được gọi là công thức

khai triển det A đồng thời theo hai hàng 1 va 2 Day là một mở rộng tự nhiên

cua định llý Laplace Sau day ta sé dua ra phat biểu và chứng minh của định lý

" Laplace duy rộng với công thức khai triển định thức theo nhiều hàng hoặc theo

kK nhiều cột -

¡) Nếu cỗ định k hàng nào đấu của ma trận A vdi 14, %9, „2z(1 <1, <

lg << <%% <n) 1a 86 thit tu cia k hang nay thi ta cod thé biéu dién định thức của A -nhu sau:

7152: -;2k “ ˆ71:725 -7k )

1S71<72< <?3;<€n

trong đó tổng ở uế phải có Œ* số hạng uà tổng được lấu theo tắt cả các

bộ giá trị có thể có của dãu chả số ÿ\.j›, , 2 thỏa mnãn Ì <S ?\ < jo <

) Nếu cô định k cột nào đấu của ma trộn A tới ?n:ƒ2. :›7e(1 Š iịạ<

7 < < ?, < n) là sô thú tự của k cột nay thà ta có thể biểu diễn định th tic cua A nhu sau:

det A = » Ane “1k f ADR

31:22: 31:22› he (1.35)

1<¿1 <‡2< <¿k<rt

trong đó tổng ở uế phải có C* số hạng uà tổng được lắu theo tất cả các

bộ giá trị có thể có của dấu chỉ số ?\,ia, ,0, thỏa mãn Ì S ?\ < i¿ <

<? ST ;

Chứng minh Ta sé dua ra chtmg ininh chi tiét cho công thức (1.34) bằng cách quy nạp theo

giá tri cua k

Trường hợp k = 1 công thức (1.34) trùng với công thức khai triển định thức theo một hàng và

công thức này đã được chứng minh Tiếp theo ta đưa ra giả thiết quy nạp rằng định thức có |

thể khai triển được theo (k — 1) hàng Giả sử rằng ta chọn k hàng là ?1,?a, ,?g(1 <?\ <?2<

<1 &Xn) Khai triển định thức theo hàng thứ ¡„ ta được:

Trong biểu diễn trên, các ký hiệu 1) (j), ,l,+21(7) tuong tmg 1a sé thit ty trong định thức MP

của các cột thứ Ì, ,lz- của ma trận A, cụ thể là

` lÍp néul, <j,

lp(j) = lp-1 néul, > J, Z J=1,2, ,k—1

Thế các biểu diễn (1.37) vào (1.36) và thu được biếu diễn của det 4 theo một tổng có nƠ?—¡

sé hang Luu ¥ ring nCk~] = kC* va ta sẽ tiếp tục biến đổi tổng này về C2 nhóm, mỗi nhóm

có k số hạng Để tạo ra một nhóm ta tách riêng các số hạng có chứa định thức con cap (n — k)

Một các lúc VOT < da So Si _ 138)

Dịnh thức coi cấp (n — k) trong (1.38) được tách ra từ k số hạng : (Say, Một,

,(— 1 jie tie Os jn Mỹ của biểu diễn (1.36) Cụ thể hơn khi sử dụng khai triển (1.37) và công thức (1.24) ứng VỚI 7 = 1, , 7 = 7e thì các số hạng chứa định thức con (1.38) được liệt kê ra

như sau:

Với j = fi Tu (-1)*t% Qin js Mỹ ta nhận được số hạng

—1\1#12+ +0)ji +(ƒ2—1)+ +(k—DQ da Giteetha ty pia yest ate

(T1) Din jy A jg jg M;, ca Ök— 1 yÖk

k+1 —1142 dib—1 gigyeesde tein

1 — (— - Lo : : :

( 1) Qing Aja gs ik Ag jay je

- Với j = jo: Từ (—1)**†22a¡,;;M7* ta nhận được số hạng

Qinje Aj, IS Ik FiseerTh—a sdk"

— R am mae meee eee net ama TOE OREO OED E DEER H OED DEERE EEE EO HOES

- Voi j = ju: Từ (—1)***2*a¿,;; M7" ta nhận được số hạng

(~1)(2+f2+r- +) T84 ta, _"_— ~

ThIR TOI IZ JRL Jy Jk-1sdk

\ = Ft st2. ,th-1 ?21y.-.‹y#£— 1yÊk

(— 1)** iain Aj, joiner Ain ket ode”

Nhóm k số hạng được liệt kê với nhau như đã nói ở trên ta được

k+1 “TH12:::(2—1 k+-2 mm

((-1) Bin jr Ags 3.37 22:23 -:7k + (-]) + Qin jo A; la.Ö 21:23-.‹:7k TT

k+k Gti t2-.sth-1 21, yÍk— 1iổk

fcc Ca) J1:22 -32k—1: AER Ai ca 21‹ ‹:7k— 1:3k

trong đó, ta sử dụng công thức khai triển theo hàng & của 4;,` ; _,¿„ cho biến đổi cuối cùng

Như vậy the (1.37) vào biểu diễn (1.36) để được biểu diễn của det A theo kŒ? số hạng và nhóm

các số hạng này theo (1.39) thì ta thu được công thức (1.34) Việc chứng minh công thức (1.35)

được thực hiện tương tì như (1.34) và chúng tôi xin dành cho bạn đọc như một bài tập I

cs _ Ví dụ 1.25 Trong vi dy nay ta thảo luận về việc tính định thức của ma trận phản đối xứng

cấp 4 trong tình huống tổng quát

0 a bog

_,_|-a 0 d e

det A = b -d 0 fl

—c -e -f 0

Ta sẽ thực hiện tính toán giá trị định thức bằng cách khai triển đồng thời theo 2 hàng 1 và 2

Khai triển này có số lượng số hạng là C? = 6 Để tiện theo dõi ta liệt ke trong bảng dưới đây

các nhân tử cấu tạo lên các số hạng của khai triển

TT | Dinh thức con cấp 2 Dấu | Định thức con bù

Như vậy khai trién Laplace đồng thời theo hai hàng 1 và 2 ta được

det A = a? f? — aƒbe + aƒcd + aƒcd — a,ƒbe + (be — cd)2

= (aƒ)? — 2aƒ(be — cđ) + (be — cd)?

IS” Ví dụ 1.26 Cho A,,C là 3 ma trận có kích thước m x m và 6 JA ma trận không có kích thước

nxn Ta xét định thức của ma trận khối sau đây

A @

v29)

Để tính định thức của ⁄ ta thực hiện khai triển Laplace đối với định thức đồng thời theo n

hàng đầu tiên Định thức con cấp ø lập ra từ ø hàng đầu và n cột đầu chính là det 4 và phần

bù đại số của nó là (—1)®+1) đet 8 = det 8 Các định thức con còn lại được lập ra từ œ hàng

đầu của Ä⁄ đều chứa một cột có tất cả phần tử bằng 0 và các định thức con đó có giá trị bằng

0 Do đó ngoài một số hạng chính là det 4 det 3, các số hạng còn lại trong khai triển Laplace

đồng thời theo n hàng đầu tiên là số hạng có giá trị bằng 0 Như vậy, ta kết luận được rằng

é C H = det A det Ö 0 (1.40)

na 1.2.3 Các tính chất của định thức

Các tính chất của định thức sẽ giúp cho ta tính toán giá trị của các định thức thuận tiện và linh hoạt hơn rất nhiều những gi da cé | _

Biểu diễn trên cũng cho thấy ngay rằng det A = det AT,

Tiếp theo ta xét n > 3 và giả thiết theo quy nạp rằng công thức (1.41) đúng với các ma,

trận cấp (n — 1) Ta khai triển det 4 theo hàng 1

| det A = øiM+ — a12My2 + + (-1)"*ainMin,

|

trong đó M7 là định thức con bù của phần tử a¿; trong A Tiếp theo ta khai triển det(A*)

theo cột 1 Ị

det(A7) = an Mĩ — œ¿Mại + + (~1)**1a„ MP,

trong đó Mi là định thức con bù của phần tử có mặt tai vi tri aj; trong AT Ta nhận thấy

rằng ma trận vuông cấp (n — 1) tạo thành định thức con bù M 1 là ma trận chuyển vị của ma

trận vuông Fe (nm — 1) tạo thành định thức A⁄ạ; Theo giả thiết quy nạp ta có Mĩ; = ME |

với mỗi j = 1,2, ,n Két hgp điều này và hai biểu diễn đã được đưa 1a ở trên của det A va

Trong nội dung kế tiếp, ta sẽ đề cập đến việc tính các định thức bằng những

phân tích và tính toán trên các nàng và trên các cột của ma trận dưới dẫu định

thức Công thức (1.41) cho thấy rằng, nếu ta sử dụng một phân tích nào đấy trên

các hàng dủa A để cho ta một đẳng thức của det 4 thì ta cũng có một phân tích

giống nhưÏthế trên các cột của ma trận chuyển vị A7 và đẳng thức của det A van

Ja ding thức của det(AT) Ta phát biểu lại điều này như sau:

|

Tinh chat 1 Nếu một công thúc nào đấu trong tính toán định thức có thể

áp dụng uới các hừng của định thúc thì nó cũng úp dụng được uới các cột của định thúc

_ Các tinh chất được đưa ra kế tiếp sẽ cho phép ta tính toán định thức theo cả

các hàng, trà các cột Tuy nhiên, sử dụng tính chất 1, từ việc phát biểu và chứng

minh các 'tính chất này song song: -theo các hàng, các cột ta sẽ thu gọn về việc

phát biểu và chứng minh theo các hàng

Tính chất 2 Nếu đổi chỗ hat hang cua định thức thà giá trị định thúc doi dấu |

Chitng minh Ta sé dita ra chứng minh tính chất, 2 bằng cách quy nạp theo n

Với „ = 2, ta xét ma trận vuông cấp hai A = (a;;)axa Nhắc lại rằng định thức của ma trận A

Ị

|

ro,

đ11 địa Q21 422

|

và, kết quả nhận được chính là — det A '

Tiếp theo ta xét n > 3 và giả thiết theo quy nạp rằng tính chất 2 đúng cho các định thức cấp

(n — 1) Ta xét ma trận A = (đ;;)ax„ vuông cấp ø Khai triển định thức det 4 theo hàng thứ

¿ với ¡ không phải là một trong hai hang được đổi chỗ

det A = (—1)?† 1a M,n + (—1)?*2a¿aM;a + + (-1)**" ain Min,

trong đó Ä;; là định thức con bù của phần tử a;; trong A Việc đổi chỗ hai hàng của A sé

làm thay đổi các số hạng của biểu diễn trên Cụ thể hơn, đại lượng (—1)???a;; không thay đổi

nhưng Ä;; có thay đổi Sự thay đổi của, Mi; 1a hai hàng của nó đổi chỗ cho nhau và Ä¿; bị đối

đấu Như vậy, khi đổi chỗ hai hàng của A thi tất cả số hạng trong khai triển của det A bị đổi

dấu và ta khẳng định được det A bị đổi dấu | "_

Việc đổi chỗ hai hàng làm định thức đổi dấu nên khi thiết lập đẳng thức mô

tả biến đổi thì cần phải thêm vào dấu "-" trước định thức nhận được để giá tri

hai bên cân bằng với nhau Ví dụ, ta có đẳng thức

1 ä -2 4 1 1

4 I1 l1|=_-ll ä -2l

2 5 —3 2-5 —3

Đôi khi ta biến đổi định thức bằng cách xáo trộn các hàng để có một hoán vi

mới của các hàng ban đầu Khi thực hiện một biến đổi như vậy ta cần xem xét

nó như là kết quả của việc thực hiện liên tiếp k lần đổi chỗ hai hàng Chẳng hạn,

Chitng minh Ta xét ma tran A = (đ¡;)„x„ vuông cấp n sao cho có hai hàng nào

đấy của A giống nhau Đổi chỗ hai hàng giống nhau đó trong định thức det Ả

Theo tính chất 2 ta nhận được một định thức mới có giá trị là — det A Nhưng

hai hàng được đổi chỗ là hai hàng giống nhau nên từ ma trận 4 dưới dẫu định

thức ta-vẫn nhận được chính ma trận 4 sau khi biến đổi Điều này cho thấy rằng

det A = — det A và ta kết luận được det 4 = 0 a

Tính chất 3 được mô tả cụ thể hơn là: Nếu A = (2;;)ax„ là một ma trận

vuông cấp ? và hàng thứ p của 4 có thừa số chung À với

| (Api, @p2,.+ +5 @pn) = (AQ, ÀØ,2, , À@ 2)

|

thì ta có thể biến đổi det A như sau:

Q11 Q12 «++ = =Aln đm địa Qin

| [AG Ady Àø „| =À|đmi Ayo Ayn] - (1.42)

đ1 Qn2 eee Ann Qn] Qn2 see Qnn

Chứng minh Khai triển các định thức có mặt ở hai về của (1.42) theo chính dòng

thứ p của chúng thì ta thu được các đẳng thức

trong đó ta sử dụng ký hiệu Á;¿ để ký hiệu một cách.hình thức các phần bù đại

số cho các phần tử trên hàng p của cả hai định thức trong (1.42) Ta nhận thấy

rằng hai định thức có mặt trong hai về của (1.42) chỉ khác nhau ở hàng p nên

việc lập ra các phan bù đại số A„„ sẽ dẫn tới một thực tế là: các phần bù đại số

được ký hiệu một cách hình thức như nhau thì phải có giá trị thực sự bằng nhau

Bởi vậy từ (1.43), (1.44) ta rút ra được (1.42) a

Tính chất 3 được vận dụng trong nhiều tính toán cu thé Chang han ta có biến đổi sau đây của một định thức cấp 3

6 3 18|=3|2 1 6

| 20 35 —30 20 35 —30 bằng cách rút thừa số chung của hàng 2 ra ngoài Trên thực tế với định thức

được nêu ra cụ thể ở trên ta vẫn tiếp tục rút được các thừa số chung từ các hàng