Toán cao cấp cho các nhà kinh tế phần 1, đại số tuyến tính

Chương ỉ trình b à y íóm tắt nhũng nội dung bao quát, thuộc nền tảng toán học nôi chung: Tập hợp: H ệ ĩhống sô' thực và các tập s ố thực; Các khái niệm c ơ hàn về quan hệ hai ngôi trong

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH « TỂ QUỔC DÂN

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U

Bộ sách 'T O Á N C A O C Ẩ P c h o c ắ c N ỈIĂ k ỉ n h TÉ" được biên soạn dựa theo chưưng ĩrình món Toán cao cấp cùa Trường Đại học Kinh tể q u ố c dân, Jùng chung cho c ả h a i khối: Kình t ể học và Quãn ỉrị kinh doanh Bộ sách nảv gốm c ó hai tập, tương ihig với hai học phấn:

H ọc p h á n 1: Đ ại s ố luyến linh;

Ịìọ c p h á n 2: Giải lích toán học.

Cuổn sách "Toán cao cấp ch o các n h à k in h t ế - P h ầ n I: Đ ại sô' tuyến lin h " bao quái nội dung học phần I , gổm c ó 5 chương:

C hư ơng I: T ậ p hợp, quan hệ và logic su y luận.

C hư ơng 2: K hông gian veciơ s ố học n chiều.

C hư ơng 3: M a trận và định thức.

C hư ơ ng 4: H ệ phương trình tuyển tinh (Lỷ thuyết tổng quâí).

C hư ơng 5: D ạng toàn phương.

Chương ỉ trình b à y íóm tắt nhũng nội dung bao quát, thuộc nền tảng toán học nôi chung: Tập hợp: H ệ ĩhống sô' thực và các tập

s ố thực; Các khái niệm c ơ hàn về quan hệ hai ngôi trong mộí tập hợp; Khái niệm ánh xạ; Đợi cương v é logic chứng minh mệnh đé.

Các chư(mg 2 3, 4, 5 hũo hờm những nội dung c ơ bán cùa Đại

s ố tuyến tinh Đ ó ỉà h ệ ỉhống kiến ỉlĩíỉc lôĩ íh iểu v ể Đ ại số, thực

sự cấn thiết cho các nhà kinh tế H ệ thống kiến thức đó được lựa chọn căn cứ vào nhu cầu sừdụnỊ, toán học trong kinh lê'm à lác già đ ã nghiên cứu m ộ! cách khá k ỹ iưỡng qua các tài liệu vẻ'

^Ji.:'^ • k'l|iii«iui»i».:j : ■ ' T rư ờng Đ ạ ịh ọ c 'K ín h ,t ế QuMrịetầri||:-:ị,I* « " , il* 1I| ''1 • ỉ'! 'Si • « i';^i ■ li 1'

Kinh li’ học hiện dại vã cỊiia các khoíi hồi dưỡng kiến llìức kinh

t ế của M ỹ vá Canada mù lác su i có may mắn dược iliam dự CliưirìtỊ> 2 và chiữmị’ ĩ d é cập đến những nội cliinỉỉ f ơ bàn vé

kliõn,q iịian vecíơ s ố học n chiếu, ma trận và định iliức M ặc ch) nội chinh cùct chidHìg 2 ỉà không giun vecĩơ s ổ học fì chiêu,

à đáu chươiì!^ cliiiỉig rỏi có dưa vảo ĩrưâc các khái niệm cơ bản

về hệ phươììg írình Utyển tinh vù pliiửỉn^ pháp sơ cấp dé ^iải hộ phươìĩỉị trình loại này (phương pháp k h ử ẩìì liên liếp) Cãch liếp cận như v<i>' có m i ihé' vé mặi sư phạm , bởi vì hệ phương irinli luvéh linh là cié lủi xtiấi phút ciiii Đ ụi so luyến tinh: lum nữa các khái riệni ban dủư vc hệ phươniỊ ĩrình luyến lính vù phưuní> pháp khử ấn ìiớii tiếp s ẽ ỵiúp bạn dọc nám bắt d ễ dùng hơn cííc nội dung cùa chiửmiỊ 2 và cltiỉơng 3 Sau khi d ã ĩnuìỊ' bị càr kiến ihức cơ bẩn vé' veclơ n chiều, ma irậiì ic) định lliức, cỉiUcmg 4 đẽ cập mội cách tổng CỊIIÚI, có hệ ihổnỊị vé hệ phươiìịi trinh íttyến linh lứ rá c phưmìg pìiãp định Iưtniíị (các phươnỉ> pháp lìm nghiệm) đến các vấn íỉc JỊnh lính (diếu kiện có lìglúệin xác cìịnli

s ố ngliiậni, cấu irúc cùa Ịập hợp Iiịliiệnì V V J Đ ể giúp hạn dọc 'vfớc (ỉầu làm quen vớì việc sử dụng ioán ỈÌỌC như mội cóng CIỊ phân íich kinh lể, citối chương 4 có giài ihiệu một s ố mõ /lình íiiyCn linh trong kinh ĩế.

Chuơìig 5 írình bàv mộ! cách cô đọtỉí’ các khớỉ niệm cơ bản xé

dạn% lo à n p h ư ơ n g và lậ p Iriing v à o h a i n ộ i dun ịỉ Cif hàn: b iế n

đổi dạng toàn phươỉìií vé' (ỉạn^ chinh lắc \'à các dúii hiẻu nhận biếí dạng loàn phương xàc đụih {dương ìtoậc om) D ặc biệí các dấu hiệu dạnq íoảri phưưng xác định s ẽ phục vụ cho việc xem xéỉ điéu kiện đủ cùa cực trị cùa hàm nhiềỉi biến mà chúng lởi dé cập đển ở quyển sách ỉh ừ hai: "Toán cao cấp ch o các n h à kin h tế'

p h ầ n l i : G iải tích íoán học

Xin liat ý rằng cuõn sách này khóng bao quái d ấ y dù lất cà các nội dung cùa đại sỏ'ỉuyén tinh, không d ể cập đến cấu ỉrúc không giơn trìcu ĩượng m à chỉ dừng tại ỏ những vấn đ ề ihực sự cấn

Tri/ờng Đại h ọ c Kinh t ế Q ụ ố c dân

i h i ế l t li<< i / í ’ Iili-.I k i n h l ẽ v ã ư i h ì n /ý 7 l i c i ’ t/Kíiii l i ’., lĩ! < li.; ( / / r ‘ 1,'

ỉ õ i v i t c i l i i v riuiii rlii) r d " ỉ r ư ớ ì v ^ k i n ỉ i l à ' p l h i t fh( ■ ■ v j/ n h ì i l ã n

s ừ í i i ư ì Ị i t o á n /;/<( I r n i i í ỉ k i n l ì l ể v ớ i / n ụ c ( l ĩ i i i I r d t ì Ị i b i c õ i i i ; cự

c h o c á c n h í ! k i i i l i I c d o ( í ó p h á i m a n z ì h ộ í s ắ c l l i i i i r i c n ^ k i ' i \ i hình ihứi vủ IIÍII iliiitiỊ 'I hft> (/uau diẽỉiì như vậ\ !ÚC %ià dũ cò

i ù n h l lì à /i li t n ộ l klitii iíỉ k i c i i l l i ử c h ợ p / v v à ỉr iiỉli h ủ y c á c

v ấ n d e h á i i ị ỉ n ự ó i i Ị i ị i ữ d c l i c p n h ậ n d ố i V('n r á c n h à k í n h !C Trong cttõn Siícỉi nủ \, cliúníỉ ĩôi bó qua phán lữỉì những chihìi’ minh phức ĩạp, cliũ irọnq dcn việc diễn ^ừìì các kết quả và

hướng (lổn iltực liìinli lliôn>^ qua các v í thi, nhtniíỊ; vẫn (him bào kết cấu chặt chc vò nlú/l Í/Iián.

Ciiõn sách nừv l() pliiàn hân niírí cùư ciión sách cíiiiịỊ tẽii lỉũ được NXB Thốini kc Miẩi bàn năm 2003 Vii lãi hán năm 2005 TroHiị pliicii hàn mới nãv rức ỵĩấ có b ổ sưiii’ phan hùi lập kèm

m ột tập hợp được gọi là cỏc phẩn ớủ cựa lập hợp đú Đ ể phõn biệt, ta gọi tốn tạp hợp bằng cỏc chừ in hoa A , B, c, và ký hiệu cỏc phần tử bằng cỏc chữ in thường a, b, c, Đ ể núi rẳng a là

1 Liệt kụ tất cà cỏc phẩn tử của tập hợp;

X = {a, b, c, }.

2 M ụ tả tớnh chất đặc trưng của cỏ c phần lử của tập họp Theo phưcmg phỏp này, muốn xỏc định tập hcT? X ta núi: X là tập hỢp cỏc phần từ X c ú tớnh chất T, hoặc dựng ký hiệu:

x = { x ;T } Chẳng hạn, cỏc cỏch diẻn đạt sau đõy đú nghĩa như nhau:

Đại h ọ c Kinh tộ Q u ớc d ó n ,,

t x = ( 1 3, 5, 7, 9

• X là tập hợp các số nguyên dương Ic rnộl chữ số.

• X = IX: X là s ố nguyên dương lẻ một chữ sỏ Ị.

• X = Ix: X = 2n - 1, với n là số n g u y ẽ n dưcmg nhỏ hơn 6 | Phương pháp thứ hai được sử đụng ngay cả khi ta chưa biết có tồn tại hay không các phẩn tử c ó tính châì T Chẳng hạn, la có thc nói về lạp hc;íp nghiệm của m ột phưcmg trình ngay cả khi chua giải được phưcnig trình đ ó Có ihổ xày ra trường hợp mội tập hợp m à ta nói đcn không có phần tử nào Ta gọi tập hợp khống có phẩn tử là lập hợp trống hay íập lụ/Ị) rỗng và dùng ký hiệu 0 đ ể ch i tập hợp đó Đ é khảng định rầng lộp hợp X không

có phán lử ta viết: X = 0 Ngược lại, để khẳng định rầng lập hợp

X có ít nhất một phẩn từ la viết: X Tí 0

Chú ý: Trong cuốn sách này và trong các tài liộu khác liẽn quan đến toán học từ "tập hợp" nhiéu khi được gọi tắt là lập, chẳng hạn, tập A , tập B, tập trống

b K h á i n iệ m tậ p c o n và đ ẳ n g th ứ c tậ p h ợ p

M ột tập hợp B được gọi là tập hợ p con, hay lập con, của một lập hợp A nếu m ọi phẩn từ cùa B đều là phần tử cùa A Trong trường hc»p này ta dùng ký hiệu:

B c A (đọc là: "B chứa ỉrong

hoặc A 15 B (đọc là: “/4 bao hàm /?”).

N ói m ột cách đơn giản, tập hợp con của tập hựp A là tập họp

m ột bộ phân phđn lừ, hoặc tất cả các phẩn từ, cùa lập hợp A

N ếu B c A và đón g thời A c: B Ihì la nói lập hỢỊ} B bằng tập hợp A và viẻ't B = A Như vậy, đẳng thức tập hợp B = A có nghĩa

là m ọi phần íừ cùa B đều là phần tử của A và ngược lai, mọi phẩn từ của A dều là phần tử của B N ếu tâp hợp B khõng bằng tập hợp A thì la viết B 5* A Tập hợp B dược gọi là lập con thực

8 : T r ư ờ n g Đ ạ ì h ọ c K i n h l ế Q ụ ể c ỊCỈân

'■ ■ I ■■ ■ .

sự cùa tập hợp A nếu B c A nhưng B A Chẳng hạn, tập hợp dãn cư của Ihành phố Hà N õi là tập con thực sự của tập hợp dàn

cư cùa nước V iệt Nam.

c B iể u đ ồ V e n

Đ ể dễ hình dung vể tập họp và m ối liên hệ giữa các tập hợp, người ta dùng c á c tập hợp điểm của mặt phẳng để minh hoạ Thông thường ta xét các tạp họp phần từ của m ột tập hợp bao trùm, g ọ i là không gian hay vũ ư ụ Tập không gian được m ô tả, bảng tập hợp c á c điểm của một hình chữ nhật M ỗi tập hợp trong không gian được minh hoạ bằng một tập hợp điểm giới hạn bời một đường khép kín bên trong hình chữ nhật Cách minh hoạ ước lệ như vậy được gọi là biểu đồ Ven. Chẳng hạn, biểu đồ Ven

ờ hình 1 m ô tả hai tập hợp A và B, trong đó B là tập con cùa A.

A w B = iO, 1 , 2 3 , 4 , 5 , 6 8 1 , A n B = | 2 , 4 } Hình 2a và 2b là biểu đổ Ven v ề phép hợp và phép giao tạp hợp.

Chiừìẹ minh: Đ c chứng minh m ột đảng thức tập họp, la cần chỉ

ra rằnc m ỏi phấn lử cùa tập tiơp ờ v ế ưái đểu là phần từ của tập htĩp ớ vẽ phài và ngược lại, m ỗi phắn tử của tập hợp ờ yé phải đổu là phần tử cùa tập hợp ờ vố trái Chẳng hạn, đẳng thức (1.5) được chim g m inh như sau:

G ọi X là m ột phẩn tử bất kỳ của tập hợp A u íB n C ) Theo định nghĩa phép hợp, diều nàv có nghĩa là x e A hoặc x e B n C Nếu

x e A thì x e A u B và x e A u C , do đó x e ( A u B ) n ( A u C ) Nếu

x e B n C thì x e B và X€ c, suy ra x e A u B và x e A u C , do đó ta cũng có x 6 ( A u B ) r t ( A u C )

Ngược lại, gọi X là một phần từ bất kỳ cùa (A'-^B) n { A u C), ta có: x e A u B và x e A u C Nếu x e A thì x e A u ( B n C) Nêu x ễ A thì x e B (do x e A u B ) và x e C (do x e A u C ) , đ o đó x € B n C , suy

TOẢN CAỌ CẤP CHO CÁC NHẢ KINH TẾ

■íH9ÉIÉIBBBBB9»«S9a9aSAC9>9W«SSSa^^aHBaiÉIÉMBSB99Se9eBâ^^BaBBBBBBBB9BHKB«SaSBff99SSSSaSBa^^^BaMBSaB9

V idụ:

( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } \ | 0 , 2 , 4 , 6 , 8 1 = 1 1 , 3 , 5

{0, 2, 4, 6 , 8 1 \ { 1 2 , 3 4 , 5 1 = {0, 6 , 8

Khi tất cả các tập hợp được xét đều là tập con cùa m ột tập hợp s

(gọi ià khống gian S), người ta thường nói đến phần bù cùa một tập hợp X c s.

đ lới dày đều là phần tử của m ột khóng gian s.

G ọi X là phần từ bất k ỳ c ủ a A u B , ta có:

X Ễ A o B = > x c A v à x Ễ B = > x e A v à x e B = > x e A r i B Ngược lại, g ọ i X lìi phfin lìr bất kỳ của A r \ B , ta có:

m ờ rộng hệ thống s ố tự nhiên bằng cách bổ sung thêm các số;

• SỐ không: 0;

• Các s ố dối dấu vói các số tự nhiên: - 1 , - 2 , - 3 , , - n , Các

số này được g ọi là cá c sô'nguyên ảm.

Các s ố nguyên dương, số 0 và cá c s ố nguyên âm được gọi là s ố nguyên. Tập hợp lất cả các số nguyên được ký hiệu là z :

s - n - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1, 2, 3, , Tập hc^ N là m ột lâp hợp con của tập hợp z : N c z

c S Ố h ữ u tỷ

Trong tập hợp sô' nguyên z ta c ó thổ thực hiện phép cộng, phép

ưừ và nhân Tuy nhiên, phép toán ngược của phép nhân (phép

| i 4 | | | Tìứởriổ''Đf ỉ - i i h ộ C ' đ ệ n I, Ịi:';

chia) vẫn bị hạn chc O ỉầng hạn, khóng tón tại số nguyôn m sao cho 2m = 3 Đ c ihực hiện được phép toán ngược của phép nhăn,

Sô hữu !Ỳ lừ tỳ só cùa hai sỏ nguyên. Mỏi sô’ hữu ỉỷ đươc viết dưới dang một phfin số tối giản:

Tập hợp tâì cả các sỏ' hữu tỳ được ký hiệu là Q Sô' nguyên cũng

là số hữu lỷ {với mẫu số bằng 1), do đó z là một tập hợp con cùa Q : 2 c: Q

d S ô 'th ự c

Trong tộp hợp số him tỷ ta có thể thực hiện cả bốn phép toán cộn g, trừ, nhân, chia Các số' hữu tỳ được sừ dụng rộng rãi trong việc bicu diễn và phân lích các thông tin đinh lượng Tuy nhiên, tập hợp số hữu tỷ vẫn chưa đù để đáp ứng các nhu cẩu lính toán Chẳng hạn, dộ dài của cạnh huyền của một tam giác vuông cân

có cạnh g ó c vuông bằng 1 không thể biểu diễn được bằng một

s ố hữu tỷ Đ ể hoàn thiộn hệ thống số , người ta bổ sung thêm các

s ố vô tỷ Nếu biốu diẻn dưới dạng s ố thập phân thì sô'vô lỳ là sô' thập phản vó hạn không luẩn hoàn. Chảng hạn, sổ’ đo độ dài cạnh huyén cùa (am giác vuóng cân c ó cạnh góc vuồng bằng 1

ià số v ó tỷ:

1,4142135623

Các sô' hữu tỳ và các sồ' vô lỷ được g ọ i là sốíliực. Tộp liợp tất cả các s ố thực được ký hiệu là R và tập hc^ tất cà các s ố vô tỷ được k ý hiệu là Q Ta có:

Trường Đại h ọ c K Ị n ỉv ^ Q u ố c đân 15

Ban đọc cần ghi nhớ các lính chất c ơ bàn sau đủy:

1 V ới a là một số dưcmg cho trước:

• HưũTig c ú a điĩííng Ihầiig (theo chicu rnĩii Icn);

• Mỏt diểm o cố dinh, gọi là ỉỊổr loợ (iộ:

• Đ ơn vi do dô

AB = A B nếu hướng từ A đến B cùng hướng của trục số;

• AB = - A B nếu hướng lừ A đến B ngược hướng của trục số 7’ừ định nghĩa ta suy ra các tính chất c ơ bàn sau đây :

1 Vc3i A và B Ịà hai điểm bất kỳ trên trục số ta luôn có:

A B = A B , A B = -B A

2 Với A , B, c là ba diem bất kỳ trên trục số ta luón có:

A B + BC = AC.

V iệc chứng mừih các lính chất trên dành cho bạn đọc.

c B iể u d iễ n s ó 'th ự c trê n trụ c sô'

Trên m ộ t trục sô' ch o trước lấy m ột điểm M bất kỳ.

Đ ịn h n gh ia: S ố thực X = OM đựợc g ọi là toạ độ của điểm M

Đ ể nói rằng điểm M trên trục số có toạ độ là số X ta viết: M(x).

N hư vậ y , m ỗi điểm M trên trục số được đặt tương ứng với một

số thực X xác định, g ọ i là toạ độ của nó Ngược lai, m ỗi số_UỊực

ĐẠI riỌ C Q UỞ C G IA HA NỘl

v T G T /

X c h o tiRmii ứnt: niỌt tlicm M ticn Irục s ố c ó loạ đ ộ bần c X Đ ó

l à í i i c m n i à k t i o à n g c á c h d ẽ n g ủ c t<Ki d ộ o b ằ n g Ị x | , v ổ p l i í a b c n

iiC-ii X = 0.

Plióp tưưna ưng m ột đối một [lói trcn giữa tất cả các đicm củn

irục s ố VĨI tã'ỉ cà c á c sô' Ihực c h o phép ta đ ổ n g nhất sô' Ilìực X với

diểin M (x) irên in ic số Ta có ihồ dùng từ "diểm x" để gọi m ội

số [hực X M ỗi tập hợp sô' thực X c R là m ót tâp hợp điểm cùa ỉrục số Trục số còn được gọi là đườns íhẳỉiíỊ thực.

d K h o â tm c á c h g iữ a h a i đ iể m trê n íru c s ố

V oi A (a) và 13(b) là hai (licm bất kỳ trỏn trục số, ta có;

à B = Ã Õ + Õ B = Õ B - Õ Ã = b - a.

Từ dãy ta su y ra cõ n g Ihức xác dịnli khoảng cách giữa hai địổm

A (a) và B(b) theo toạ đ ộ của chúng:

A B = ABÍ = b - a

III C Á C K H O Ả N G SỐ TH Ự C%

Khi biểu diẽn và phân tích các íhông tin định lượng, người ta thưòng sử dung cá c s ố thực trong phạm vi mội tập hợp X c R Ti) dùng từ iập s ố ihực, hay tập ỏỡ'để chỉ các tập con cùa R Các khoảntĩ số ỉhực là cá c lập số thực có cáu irúc đcm giản nhất.

b á n k in h r c ù a đ iể m X và ký hiệu là V^(Xg):

V,(Xo) = (Xo - r; Xo + r).

c K h o ả n g vô h ạ n

T rong toán h ọ c người ta đùng các ký h iệu - o o v à +CO đ ể chỉ các

đẩu m út bên trái và bôn phải của trục số Theo quy ước, với mọi

Vi dụ: Các khoànii hữu hạn là c:\c tập bị chặn Các khoảng

trẽn Các khoàiìg (-co ; b), (-co; b] là các lập bị chặn Irẽii, nhưng khổnạ bị chặn dưới.

b C ậ n trê n đ ú n g và c ậ n d ư ớ i đ ú n g

Đ ịnh ngh ĩa; Cận trôn nhỏ nhất (cận dưới lớn nhất) của một tập hợp bị chặn trẽn (tập hợp bị chăn dưới) dược gọi là cận irên

d ũ n g (c ậ n d ư ớ i đ ú n g ) c ủ a íập hợp đ ó

O ịn trẽn đúng cùa tập X được ký hiệu là supX;

Cận dưới đúng cùa tập X được ký hiộu là in f x

Từ định nghĩa suy r;:

S u p x = b khi và chỉ ị hi thoà mãn hai điều kiện:

• X < b với m oi X c X (b là m ột cân irên cùa X);

• Với m ọi sồ' b' < b luón tổn tại s ố XgG X sao cho X(1 > b ’ (moi sô' b ’ < b khống phải là ’rên của X).

V í dụ: Tập hc^) X = (a, b) c ó cận trên đúng là s ố b.

T ỉ i Ạ t v ả y h i c n n h i ê n i à X < h v ơ i i i H ì i \ í i ( a , H ì M it k í i á c v ó i

m oi sỏ h ’ < b lliì K - (a; b ) f ib'; b ' ^ y ' do dó loi’ 1,11 X,,''K s<‘) XyG K !à số ihoà inãn d iíii kiện X|,e (;ỉ b) \'à X,, ■> b' \'ộ y cà

ìai điều kiện nêu trên đểu Ihoà rn‘n, d o đ ó siip(.i; b) = b.

Tương tự, i n f x = a khi và chì kiii thoà mãn hai dicu k.iệii sau.

• X > a với mọL x e X (a là một cặii dưới của X);

• Với m ọi số a ’ > a luôn tồn tại số X q e X sa o cho X q < a' (mọi

số a’ > a khôag phải là cân dưứi cùa X )

V'/' dụ: Ban đọc hãy tự kiểm tra hai diều kiộn trẽn để khẳng định rằng cận dưới dím g của khoảng (a; b) bằng a; inf(a; b) = a.

Trong loán học người ta đã chứng minh định lý sau đáy:

Đ ịnh lý: M ọi tập s ố thực X 0 bị chặn trên (bị chặn dưới) đểu

• Tnp (;i; b) khônỉ’ có số iớii nhâi vã sõ' nhò nhất.

§3 QUAN HỆ

I, T ÍC H I ) i : s C A R T K S

t>Ịnh n g h ĩa : Tich Dcs Cat ies cùa liai lập hợp X và Y là lăp hựp

lái c á c á c c ặ p c ó thứ tự (x , y), trong đ ó X là m ộ t phần từ cùa tãp

X \ ’ã V là m õt phần từ cùa tập Y.

1 ■ 1 ìX-i cua X V dược gọi lắt là !ii ỉt của X và Y. l'a

k v h i Ọ u l í c h c ủ a | j ; i i I H Ị ' h i t p X v à Y l à X x Y :

X x Y = ( ( X , y j x ê X v à y s Y }

c /u i v: K ý hiẹu (x, y ) chí mội cạp cõ lìiứ íiC X lã phán từ dứiig

inrớc y là phần (ử đứnj; xau \ ’ới X và y là hai phần từ khác íihaa

thì (x, y ) và (y , x ) là h;ii L'ập có íhứ lự khác nhau Từ hai lẠp hợp

X và Y ta có hai lập líc[i: X xY và YxX.

V id ụ : Vớ i X = { x , y z l Y = i a , b Ị , tacó:

X x Y ^ {(x, a), (X, b), (y, a), (y, b), (z, a), (z, b) I;

Y x X = {(a, x), (b, x), (a, y), (b, y), (a, z), (b, z) 1.

Trôn đảy là định nghĩa tích Des C anes cùa hai tcỊp hợp Tích Dcs Cartes cùa n t.Ịp hợp dược dịnh nghĩa tươnc tự như sau:

Đị n h nghm : Qiian hệ hai n ự ũ trong tập liơp X !à một lâp con cùa tộp hợp X ’

Víchy.

• Trong tập luĩp người X quan hệ cha con là tập hợp

(x, y); x e X , y e X , X là cha của y | c

x'-Trong tập họp sổ tliực R , quan hệ “khôna nhò hơTi” là tẠp

T O Á N C A Ò C Ẩ P G H b : ^ C N h í Â K I N Ỉ 4 T Ế : : i ^ Ì Ì S

Đ ịnh n gliia: Một quan hệ o trong tập hợp X dược g ọị là q m n

hệ tương dưưtiỊi néii nó có các tính chái sau:

1 Tinh phàn xạ: aO a, V a e X (M ọi phần íừ a cùa lập hợp X có

2 ddi xíơỉ^: N ếu aOb thì bOa (Nếu a có quan hệ o với b ĩhì b cũng có quan hệ c> với a);

3 Tinh bấc cáu: Nếu aO b và bO c thì a<t>c (Nếu a có quan hệ

•' V 'íi b và b i ó quan hệ o với c thì a có quan hộ il> vói c).

Viclụ:

• Quan hệ “x dóng dạng vói y ” là mộl quan hệ tương đutmg

trong tủp h ợ p tất c à eác: tam giác.

• Quan hộ "x sinh cùng nãm với y ” là inột quan hè iương

đ ư ơ ng trong tâp hợp sin h viên cùa niột irường đại h ọ c

• Quan hộ “x là bạn của y ” trong tạp hợp sinh viỗn cùa inộl

trường đ ạ i h ọ c k h ỏ n g phái là quan hô tương dirơiig bời VI quan hộ n à y k h ồ n g c ó tính bắc cầu.

c Q u a n h ệ í h ứ t ụ

Đ ịnh n gh la: M ột quan hộ <I> trong tâp hợp X được g ọ i là quan

hệ íh ứ iự n ổ u• * nó ílioà mãn các tính chất sau:

1 Tinh p h ả n xạ: aO a,'va t X (M ọi phần ỉừ a cùa tập hợp X có quan hô <I> với chính nó);

2 Ttỉĩh ờắc trdu'. N':u aO b và bO c thì aOc (Nếu a có quan hộ <ỉ) với b và b có quan hô <1> với c thì a có quan hệ <ĩ> với c).

3 Tính p h á n đối xihtg: N ếu aO b và bOa thì a = b (phần tử a trùng với phẩn tử bV

Vỉ' dụ:

• Quạn hệ “x < y ” là m ột quan hộ thứ tự long tập hợp tất cả các s ố íhưc.

24

• Quan hệ “p chia hct cho lã m ột quan hệ thứ ỉự trong tập

h ọ p t ã l c à c á c s ò l ự f ] h iê i i.

G K h á i n iè m á n h x ạ

Cho X và Y là hai tập họp khóng rỗng bấl kỳ.

D inh nghía: Một ánh XỊi f lừ tập hợp X vâo lập hợp Y là một

inội phần từ y của Tập Y.

Đ ể nói rằng f là m ộl ánh xạ iìr tập hợp X vào lặp hợp Y ta dùng

ký hiệu:

f: X Y.

Phẩn tử y ^ Y iương ứiig với phẩn lử x e X qua ánh xạ f được gọi

xạ f ta viết: y = f(x).

V í dụ ỉ: Phép đặt tương ứng mỗi điểm M cùa m ột mặt phẳng p

T r ^ i i g Ị Đ ạ i f ì ^ K i i Ị Ỉ i : ^ j Q u ^ ^ 2 | i

4

N hận xâr. M ỗi ánh xạ f: X i-» Y, trong đó X và Y là hai tập hợp con cùa tạp khõng pian s xác định m ột quan hệ trong S:

r ' ( b ) = ( x e X ; f ( x ) = b }

V í dụ: Với f lá ánh xạ cho ờ v í dụ trên, ta có:

r ' ( l ) = Ị l - l 1, r ’a i; 4]) = [ - 2; - I M I ; 2], r ' { [ 0; +^)) = R.

Sau dây là m ột s ố tính chất cơ bản cùa ảnh và nghịch ảnh.

Đ ịnh ỉỷ í Với itiọi ánh xạ f: X y ta luôn có:

1 f(A |U A2) = f ( A |) u f ( A ,) , với m ọi A |C X, A jC X.

2 ĩ = f 'í ) mọi Y, B;í_ Y.

r ' ( B n l Ị , ) = í ' í H ) v ớ i m o i B - ; Y B ; C y.

\'ic c ciiihìL’ niiii!i dinh lý na\' chủiic 'ói dành d iơ ban đnc.» • • V 4

c ỈÌƯÌI a n h lo à n á n h VÀ vơni; á n ỉi

ỉ ) i n h np hia:

nhan bal ky cùa táp X luõii có ành khác nhau:

X , X , = > f ( X i ) ^ f ( X ; )

Nói cách kliác, f là một đơii ánh khi và chi khỉ nghịch ành của

nliất x e X

2 Ánh xạ f: X Y đirơc gọi là inàii ánh nếu ành cùa tập hc^

X là toàn bộ lập họp Y: f(X ) = Y N ói ciích khác, f !à một toàn ánh khi và chi khi nghịch ành cúa mọi phẩn lừ y € Y đều khõng rong.

3 Ánh xạ f: X )—> Y đuợc gọi là SOỈIỊ’ ánh nếu nó vìra là đơn ánh, vừa là loàn ánh.

Vi dụ:

y = c o sx 6 [ - l ; 1] là một toàn ánh, nhưng không phài là đơn

ánh,

sỏ' y = Cosx e K là m ội dơn ánh, nhưng không phải ià toàn áhh.

• Á nh xạ f; |0; Tt ) t-4 [ - 1; 11 đạt tương úng m ỗi số X e fO; n với s ố y = co sx e [~1 ; 1 ] là một song ánh.

I •.! m

T ĩ ÒÂN cao CẨP:CRỔ CẤC n h à k in h t ế

d Á n h x ạ n g ư ợ c

G iả sừ ánh xạ f: X t-» Y là m ội song ánh Khi dó, mổi phrìn từ

y e Y đéu có nghịch ảnh khỏng rỗng (do f là toàn ánh) và nghịch ảnh của nó là m ột phần tử duy nhất x e X (do f là dơn ánh) Trong trường hc^ này ta có m ột ánh xạ f" ‘: Y i - » x đặt iương ứng m ỗi phán từ y e Y với phẩn từ duy nhất X = f" ‘(y) Á nh xạ được g ọ i là ánh xạ ngược của song ánh f.

V í dụ: G ọi X là tập hợp sinh viên của một lỏp học và Y là danh sách ghi tên gọi đầy đù (gồm họ, tên đệm và lên) cùa c á c sinh

viên đó G ià sử lớp học không có hai sinh viên nào tròng lẽn Khi đó, ánh xạ f: X h-> Y đặt tương ứng m ối sinh viên với tôn gọi cùa sinh viên đó trong danh sách là một song ánh Á nh xạ ngược cùa song ánh f là ánh xạ f đặt tương ứng m ỗi tên trong danh sách với sinh viên có tên đó.

c ) { (Xt y )- c h iề u c a o cù a X bằn g ch iều c a o c ủ a y } trong m ột tập hợp d â n cư;

d) Quan hệ {(x, y): X > y} trong tâp hợp R;

e ) Quan hộ {{x, y); xy = 1) trong tập hợp R.

7 Trong các quan hệ dưói dày, quan hệ nào là quan hệ tương đưcOTg, quan hố nào là quan hệ Ihứ lự?

a) Quan hệ "khỏng nhỏ hơn vể diện tích" trong tập hợp lất

cà cá c tam giác;

hợp các thí sinh dự thi tuyển sinh đại học khối A;

d) Quan hệ cùng phưcmg irong tập hợp tất cà các đường thẳng;

e) Quan hệ “cùng tuổi” trong tập hợp sinh viên của một trường dại học;

f) Quan hệ “khỏng ít tuổi hcm” trong tập hợp sinh viên cùa một trường đại học.

8 Cho trước m ột đưcmg thẳng d Trong không gian hình học, điểỉm A có quan hộ cp với điểm B khi và chỉ khi đoạn thẳng AB nằim ưên d hoặc song song với d Hãy chứng tò ọ là một quan hệ tưcmg đương.

9 Trong các ánh xạ dưcri đáy, ánh xạ nào là toàn ánh, ánh xạ

n à o đơn ánh, ánh xạ nào song ánh?

10 G ọi f là ánh xạ dật iương img m ỗi dicm cùa niãt pliằng loạ

dộ với hình chiếu cùa nó trên inic hoành Xj là đoạn íhảng nối hai đicm M ị ( l , 1), N |(2 , 1), X , là doạn thẳng nối [lai dicm

M ị ÍI, 2), N ;(2, 2) Hãy chứng minh:

ta thường c ó lời bàn: nói như vậy là đúng, hoặc nói như vậy là sai Mục đích của hoạt động khoa học là khẳng định chân lý khách quan Những lời bàn đúng sai m ang tính chủ quan không

có giá tri khoa học M ôn logic toán học đé cập đến cấu trúc logic dc phân định dúng sai Trong khuôn khổ của cuốn sách này, chúng tôi chi đề cập đến một số khái niệm cơ bản cùa lỏgic toán học với mục đích giúp bạn đọc nắm được cách thức suy luận để chúng minh m ột mệnh đề là dúng.

Trong logic toán học chúng ta chỉ xét các mệnh đé mà vé

ngu yên íắ c c ó thể q u y vào m ộ t và chi m ộ t trong hai phạm irù:

mộnh đề đúng hoặc mệnh đề sai Ta gọi cá c mệnh đề như vậy là

mệnh đ ề logic Đúng và sai được gọi là cá c giá Irị chán lý, hay

giá trị logic cùa các mệnh đề Trong logic toán học người la dùng các con số 1 và 0 đổ chỉ các giá trị logic: 1 là đúng, 0 là sai Mệnh d ế logic là mệnh đ ề có giá trị lỏgic.

Đ ể phán biệt niộnh để này với mệnh đề khác, la gọi l6n mói mệnh đề bằng một chữ viết hoa: ,r/,

llT r ư ờ n g Oạỉ h ọ c Kinĩì t ế Q u ố c dãn

t.v ■ I V i* ' * • * ■

Chif0ĩig i ; Tệp họp, Quan hệ và Logic suy luận

h Phủ định

Phủ cịnh cùa rnõl mệnh dc ■-/ là mệnh đc "không •<•/ Mệnh đề

"khốrg -r/ " được kv hiệu là -V Giá ĩrị loiiic cũd mệnh J é

■ ự fiị.(ợc với gid trị loiỊÌc cùa mệnh d é <■/, tức là: -c/ dúng khi -•/ sai v ì r/ sai khi f/ dúng Đ iều này có ntỉhTa là phù định cùa cái đúng là cái sai và phù định của cái sai là cái dúng Liẽn hộ giữa

• Phép hội là phép liên kết các mệnh để thành mệnh đề

",(/ v ì ờì Mộnh dề ".t/ và '■ được ký hiệu là ,4 A á? Mệnii

và saí írong tấi cả các trường hợp còn lại. Bàng sau dây biểu

• Phép tuyển là phép liên kết cá c mộnh đ é thànii mệnh

đề 'V h o ậ c M ệnh đề hoặc ỉiB" được ký hiệu là í / V

và dùng trong lấí cà các trường hợp còn lại. Bảng sau đây biểu