Đại số tuyến tính

Cụ thể, giáo trìn h này phải tra n g bị được cho ngưòi giáo viên toán tương lai ở trường THCS những kiến thức cần thiết, đầy đủ, vững vàng về Đại sô" tuyến tín h đề giảng dạy tốt những p

NGUYỄN DUY THUẬN (Chủ biên) PHÍ MẠNH BAN - NÔNG QUỐC CHINH

(Tái bản lần th ứ tư)

NHÀ XUÁT BÀN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

Địa Chỉ: 136 Xuân Thuỷ, cầu Giấy, Hà Nội Điện thoại: 04.37547735 I Fax: 04.37547911 Emaiỉ: hanhchinh@nxbdhsp.edu vn I VVebsite: www.nxbdhsp.edu.vn

Chịu trách nhiệm xuất bản:

Giảm đốc NGUYỄN BÁ CƯỜNG

Chịu trách nhiệm nội dung:

Tổng biên tập ĐINH VĂN VANG

Người nhận xét:

PGS.TS TẠ MÂN

TS NGUYỄN DOÃN TUÁN

Biên tập nội dung:

NGUYỄN TI ÉN TRUNG

K ĩ thuật vi tính:

TRỊNH CAO KHẢI NGUYÊN NĂNG HƯNG

Trình bày bìa:

PHẠM VIỆT QUANG

Mã SỐ 01.01.212/1001 ĐH 2013

In 500 cuốn, khổ 17 X 24cm, tại Công ty cồ phằn In và Truyền thông Hợp Phát Đăng kí KHXB số: 74-2013/CXB/212-84/ĐHSP ngày 14/01/2013.

Quyết định xuất bản số: 1400/QĐ-ĐHSP ngày 30/12/2013.

MỤC LỤC■ •

Trang

C H Ư O NG I Đ ỊN H THỨC 19

§1 P h ép th ế 21

§3 Đ ịnh n g h ĩa và tín h c h ấ t củ a đ ịn h th ứ c 27

§4 Khai tr iể n d ịn h th ứ c 35

§5 Phư ơng p h á p tín h đ ịn h th ứ c 40

5.2 Áp dụng phép khai triển định thức theo một dòng

5.6 Tính định thức bằng máy tín h bỏ túi và máy tính

§6 ứ n g d ụng: Hệ p h ư ơ n g tr ìn h C ram er 61

6.3 Giải hệ C ram er bằng máy tính bỏ túi và m áy tín h

CHƯƠNG II KHÔNG GIAN VECTƠ 79

§1 Đ ịn h n g h ĩa và c á c tín h c h ấ t đơn g iả n 81

§2 K h ôn g g ia n co n 84

§3 S ự đ ộ c lậ p tu y ế n tín h - S ự p h ụ th u ộ c tu y ế n tín h 90

§4 Cơ sở củ a k h ô n g g ia n v e c tơ 95

§5 s ỏ c h iể u c ủ a k h ô n g g ia n v e c tơ 99

§6 T ọa độ củ a m ộ t v e c tơ 102

6.3 Liên hệ giữa các toạ độ của một vectơ đối với hai cơ sở

§7 H ạn g củ a h ệ v e c tơ - H ạn g củ a m a tr ậ n 107

7.5 Tìm cơ sở, số chiểu của không gian vectơ sinh bởi một

CHƯƠNG 111 ÁNH XẠ TUYỂN TÍNH 135

§1 Đ ịn h n g h ĩa á n h x ạ tu y ế n tín h - S ự x á c đ ịn h m ộ t á n h

xạ tu y ế n tín h 137

§2 Ả nh, h ạ t n h â n củ a m ộ t á n h xạ tu y ế n tín h 143

2.2 Liên hệ giữa số chiều của ảnh, h ạ t n h ân và không

gian nguồn 146

§3 C ác p h ép to á n tr ê n cá c á n h xạ tu y ế n tín h

3.1 Phép cộng

3.2 Phép nhân một ánh xạ tuyến tính với một số

3.3 Không gian vectơ HomK(V, W)

3.4 Tích của hai ánh xạ t uyến tính

Tóm t ắ t

B à i t ậ p

Vài nét lịch sử

CHƯƠNG IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYỂN TÍNH

§1 Hệ p h ư ơ n g tr ìn h tu y ế n tín h - P h ư ơ n g p h áp G au ss

1.1 Định nghĩa

1.2 G iải hệ phương trình tuyến tính bằng phương

pháp G auss

1.3 Thực hiện phương pháp Gauss trên máy tính điện tử

§2 Đ iể u k iệ n đ ể h ệ p h ư ơ n g tr ìn h tu y ế n tín h có n g h iệ m

2.1 Đ iều kiện có nghiệm

2.2 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng định thức

§3 H ệ p h ư ơ n g tr ìn h tu y ế n tín h th u ầ n n h ấ t

3.1 Đ ịnh nghĩa

3.2 Không gian nghiệm của hệ tuyến tính thuần nhất

3.3 Liên hệ giữa nghiệm của hệ phương trình tuyên

tính và hệ thuần nhất liên kết

3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính bằng máy tính

điện tử

Tóm t ắ t

B à i tâ p

Vài n é t lịch sử

150 150 151 152

153

155

157 162

163 165

165

166

173 177 1177

1178 U84 1184 1185

1189

1L90

1193

1194

2Ì01

CHƯƠNG V MA TRẬN 203

§ 2 , Các p h é p to á n tr ê n cá c m a trận 208

2.6 Thực hiện các phép toán ma trận bằng máy tính bỏ

§3í Đ ại sô Mat,,(K) cá c m a trậ n v u ô n g cấp n 220

§4i Ma tr ậ n củ a m ộ t án h xạ tu y ế n tín h đ ố i v ớ i h a i cơ sở

khiác n h a u - Ma tr ậ n đ ồ n g d ạ n g 233

4.1 Ma trận của một ánh xạ tuyến tính đối với hai cơ sở

§5í V eotơ r iê n g - G iá trị r iê n g 236

245

§6 C h éo h o á m a trận

CHƯƠNG VI DẠNG SONG TUYÊN TÍNH

VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 263

§1 D ạ n g tu y ế n tín h và d ạ n g so n g tu y ế n tín h 265

1.3 Liên hệ giữa hai ma trậ n của một dạng song tu y ế n

§2 D ạ n g to à n p h ư ơ n g 272

§3 D ưa d ạ n g to à n p h ư ơ n g v ể d ạ n g c h ín h tắ c 276

3.3 Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng máy

§4 K h ôn g g ia n v e c tơ ơ c l i t 287

4.4 Hình chiếu của một vectơ lên không gian con 293

CHƯƠNG VII QUY HOẠCH TUYÊN TÍNH 319

§1 Bài to á n q u y h o ạ c h tu y ế n tín h 320

§2 P h ư ơ n g p h á p đơn h ìn h và c á c th u ậ t to á n củ a n ó 331

2.1 Một sô' tín h chất của bài toán quy hoạch tuyến tính

d ạng chính tắc

331

CÁC KÍ H IỆ U

ơ

ơ( 1) ơ(2) ơ(n)

sn

sgn(ơ)

n

t > 'i-1

5 > ,

j e J

n

ủ a'i=l

A = (a,j)

A = (a„)n

M atn(K)

'A

A-'

|A|

I

M i ,

A;i

MI , I r

Tập hợp {1, 2, , n} gồm n sô'tự nhiên từ 1 đến n

Phép th ế ơ biến phần tử i th à n h ơ(i)

Tập hợp các phép thê trê n tậ p Xn

D ấu của phép thê ơ

Tổng a ì + a 2 + + an.

Tổng các số ãị, với j thuộc tậ p chỉ sô J.

Tích a!a2 an

Tích các thừa số aj; với j thuộc tậ p chỉ số J

Ma trậ n A có m dòng, n cột,với các th àn h

Ma trậ n vuông cấp n

Tập hợp các ma trậ n vuông cấp n với các

th à n h phần thuộc trường K

Ma trậ n chuyển vị của ma tr ậ n A

Ma trậ n nghịch đảo của m a t r ậ n A

Định thức của ma trận A

Ma trậ n đơn vị

Định thức con bù của th à n h p h ầ n ay trong

* ma trậ n vuông (ay)

P h ần bù đại số của th à n h p h ầ n ay

Định thức con xác định bởi các dòng i,, , ir

M L i ,

A ỉ::f

hạng(A)

A +B

A B

ã

~(ă

ỏ

<#={ã ,, ã 2( , à m}

hạngír^)

di:m KV

f: V->w

f(X)

Innf

f-“(Y)

K(erf hay r^íO)

HJ.omK(V,W)

f * g

gỉ'

â p

d x p

H 1 G

1*1

hch\v ă

lz tl

z

P h ần bù đại sô" của định thức con MỊ1'"1;

• J|

H ạng của ma trậ n A

Tổng của hai ma tr ậ n A và B

Tích của hai ma tr ậ n A và B

Vectơ, là một phần tử của không gian vectơ Vectơ đối của à

Vectơ không

H ạng của hệ vectơ c4.

Cơ sở (e) của không gian vectơ

Sô" chiều của K - không gian vectơ V

Ánh xạ tuyến tín h từ không gian V đến không gian w

Ảnh của tập X qua ánh xạ tuyến tín h f

Ảnh của không gian V hay ả n h của á n h xạ tuyến tính f

Ảnh ngược của tập Y

H ạ t n h â n của á n h xạ tuyến tín h f

Tập hợp các ánh xạ tuyến tín h từ V đến w Tổng của hai ánh xạ tuyến tính f và g

Tích của hai ánh xạ tuyến tín h f và g

Tích vô hưống của hai vectơ

à trực giao vối p Không gian H trực giao với không gian G

ẩC huẩn của à

H ình chiếu của á lên không gian w

Môđun của sô" phức z

Sô" phức liên hợp của số phức z.

Chứng m inh điều kiện cần

Chứng m inh điều kiện đủ

Phương án tôi ưu

Tập phương án tối ưu

Vectơ dòng thứ i của m a trậ n A Vectơ cột thứ j của ma t r ậ n A

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U

ở thòi đại của chúng ta, khoa học và kĩ t h u ậ t p h á t triể n n h ư vũ bão C húng đòi hỏi ngành Giáo dục phải luôn luôn đổi mới kịp thời để đáp ứng mọi n h u cầu về tri thức khoa học của th a n h th iế u niên, giúp họ

có khả n ă n g lao động và sáng tạo trong cuộc sống sôi động H iện nay

chương trìn h và sách giáo khoa bậc Phổ thông ở nước ta đã b ắ t đ ầ u và

đang th a y đổi để p h ù hợp với đòi hỏi ấy Trường Cao đ ẳ n g Sư p h ạm , cái nôi đào tạo giáo viên THCS, cần phải có n h ữ n g đổi mới tương ứ ng về chương trìn h và sách giáo khoa Vì mục đích đó, bộ sách giáo khoa mới

ra đời, th a y t h ế cho bộ sách giáo khoa cũ

Cuôn sách "Đ ai sô tu y ế n t í n h ” biên soạn lần này, n ằm trong

khuôn khố của cuộc đối mới ấy Nó nhằm làm m ột giáo tr ìn h tiêu chuẩn chung cho các trường Cao đẳng Sư phạm tro n g cả nước theo chương trìn h mới (chương trìn h 2002), đòi hỏi không n h ữ n g ph ải đổi mới những nội dung kiến thức (nếu cần) và cả phương p h áp giảng dạy của giảng viên cũng n h ư phương pháp học tập của sinh viên M ặ t khác, qua một thòi gian dài thực hiện chương trìn h và sách giáo khoa cũ, đ ến n ay đã có thể đ á n h giá n h ữ n g ưu, khu y ết điểm của nó, sự p h ù hợp c ủ a nó với trìn h

độ đầu vào của sinh viên các trường Cao đẳng Sư phạm Do đó cuốn sách biên soạn lầ n này cũng th ừ a hưởng những ư u điểm và k h ắc phục những thiếu sót của những cuốn sách cũ

Đổi tượng sử dụng cuốn sách này là sinh viên và giảng viên các trường Cao đ ẳn g Sư phạm trong cả nước, các giáo viên T H C S cần được bồi dưỡng đế đ ạ t trìn h độ chuẩn hoá Cuốn sách cũng có th ể được dùng cho các trường Đại học và Cao đẳng khác và cho t ấ t cả n h ữ n g ai muốn

tự học môn học này

Cơ sỏ để lựa chọn nội dung của giáo tr ìn h này là yêu cầu đ ầ u ra và trìn h độ đ ầu vào của sinh viên Cao đẳng Sư p h ạ m hiện nay, đồng thời cũng cần tín h đến vai trò của môn học đối với các môn k h o a học khác

như Giải tích, Hình học, Vật lí, Hoá học, v.v , và tạo điều kiện cho người học có thể học lên cao hơn Cụ thể, giáo trìn h này phải tra n g bị được cho ngưòi giáo viên toán tương lai ở trường THCS những kiến thức cần thiết, đầy đủ, vững vàng về Đại sô" tuyến tín h đề giảng dạy tốt những phần liên q u an trong Chương trìn h Toán THCS Tuy nhiên, nội dung và phương pháp trìn h bày những nội dung ấy lại phải phu hợp với trìn h độ nhận thức và khả n ăng tiếp nhận của sinh viên M ặt khác, giáo trình này cũng phải cung cấp đầy đủ kiến thức giúp người đọc có thể học được những môn khoa học khác như đã nói trên; đồng thời đáp ứng mong muôn của những sinh viên có hoài bão nâng cao hơn nữa trìn h độ của mình Vì thế, nội dung cuốn sách chứa đựng những điều r ấ t cơ bản mà mọi sinh viên cần nắm vững, nhưng cũng có những phần không đòi hỏi mọi sinh viên đều phải hiếu

Môn Quy hoạch tuyến tính có sử dụng nhiều kiến thức Đại sô" tuyến tính N hiều sách Đại sỗ> tuyến tính trên th ế giới xếp nó n hư một chương của m ình dưới để mục "Bất phương trìn h tuyến tín h ” Trong chương trìn h Cao đẳng Sư phạm mới của hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn, nội dung của môn Quy hoạch tuyến tính có giảm bớt Nó cũng dược xếp vào một chương trong giáo trìn h Đại sô" tuyến tín h này

Cuốn sách này gồm 7 chương:

C h ư ơ n g I trìn h bày định nghĩa, các tín h chất của định thức và các

phương pháp cơ bản tính định thức Đó là một phương tiện để nghiên cứu không gian vectd và lí thuyết hệ phương trìn h tuyến tính

C h ư ơ n g I I và c h ư ơ n g I I I nghiên cứu không gian vectơ và các ánh

xạ giữa các không gian ấy - ánh xạ tuyến tính Nó là cơ sở của Đại số tuyên tính Nó giúp cho việc hoàn thiện lí thuyết hệ phương trình tuyến tính

C h ư ơ n g I V nghiên cứu về hệ phương t r ìn h tu y ế n tín h Đó là một tro n g n h ữ n g hướng mở rộ n g của ph ư ơ n g tr ìn h được học ở trư ờ ng P h ổ thông Với chương này, lí t h u y ế t hệ phương t r ìn h tu y ến tín h được coi là h o àn th iện

C h ư ơ n g V nghiên cứu ma trậ n và mối liên hệ giữa ma trậ n với

'không gian vectơ Nhờ nó mà các ánh xạ tuyến tín h được nghiên cứu sâu sắc hơn

C hươ ng V I nghiên cứu dạng song tuyến tính và dạng toàn

phương, một p h ầ n của lí th u y ết dạng trong Đại số tuyến tính nhưng lại

có ả n t hưởng sâu sắc đến Hình học, Phương trìn h vi p h ân và Phương trìn h dạo h à m riêng

Chương V II nghiên cứu một sô'bài toán của Quy hoạch tuyến tính.

Phần Đại số tuyến tín h của cuốn sách này được dùng chung cho cả hai hệ cào tạo giáo viên toán (hệ đào tạo giáo viên dạy môn Toán cùr.'g với món th ứ hai, và hệ đào tạo giáo viên dạy chỉ một môn Toán) Yêu cầu đối với mỗi hệ có khác nhau Đối với hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn, chương trìn h chỉ yêu cầu sinh viên nắm được những điều r ấ t cơ bản Ching hạn, đôì với chương Định thức yêu cầu chỉ là hiểu được định nghĩa d n h thức, nắm vững các tính chất đê tính được các định thức thông thường, không cần hiểu kĩ chứng minh của các tín h chất này Song dôi với hệ đào tạo giáo viên chỉ dạy môn Toán thì đòi hỏi cao hơn

cả về nói dung và cả về rèn luyện và p h á t triển tư duy toán học Tuy

n h iên n iữ n g đòi hỏi này được thực hiện đến đâu còn tuỳ thuộc vào trình

độ sinh viên ở từng địa phương Đó là p hần mềm dẻo mà các trường vận

d ụ n g lirh hoạt P h ần Quy hoạch tuyến tín h ở đây chỉ dùng cho hệ đào tạo giáo viên dạy hai môn

Moi chương đều có p h ần mở đầu nêu lên những yêu cầu và cách học tập của chương ấy Cuối mỗi chương có phần tóm t ắ t đôi n ét chính nội dun£ của chương để bạn đọc có dịp ôn tập lại P h ần bài tập có một số

lượng C( thể vượt quá yêu cầu chung đôi chút vì các tác giả cuốn sách

m ong rruốn giúp cho những bạn đọc ham thích môn học này có thêm cơ hội rèn uyện kĩ năng Vì vậy, đối với số đông sinh viên thì giảng viên cần chỉ dẫn cho họ những bài cụ thể Tuy nhiên bạn đọc cố gắng giải càng n h ể u bài tập càng t<ất Các p h ần in chữ nhỏ không đòi hỏi sinh viên p h a đọc C húng chỉ d àn h cho những ai thích th ú tìm hiểu

Đt học được giáo trìn h này, người học cần được bổ sung kiến thức

về sô' phíc khi m à chương trìn h Toán ồ THPT chưa đề cập tới; hơn nữa

cũng cầi có k h ái niệm về các cấu trúc đại sô' n hư nhóm, vành, trường để

tiện diễn đạt và bắt nhịp được với cách trình bày giáo trình; cần củng cô' vững vàng kiến thức toán học bậc THPT.

Giáo trình này được học vào năm thứ nhât sau phần cấu trúc đại

số của giáo trình Nhập môn Toán học cao cấp.

Khi giảng dạy giáo trình này, có thể kết hợp nhiều hình thức như thuyết trình của giảng viên, hưống dẫn sinh viên tự đọc sách, tổ chức

xêmina, V.V Chẳng hạn, có thể tổ chức xêm ina ở các mục: Các phương pháp tính định thức; Giải hệ phương trình tuyến tính; Các phép tính vể

ma trận Một điều mà các tác giả muốn lưu ý thêm đối với các giảng viên là: vì giáo trình còn được sử dụng để tự học nên có nhiều chỗ phải đặt vấn để dẫn dắt người học, có nhiều ví dụ Do đó khi giảng bài ở lớp, các giảng viên nên lựa chọn những điều cần th iết nhất để có đủ thòi gian truyền đạt những kiến thức cơ bản, những phần còn lại dành cho sinh viên tự học Cũng như đã nói trên, Đại sô" tuyến tính có nhiều ứng dụng,

do đó sinh viên cần có kĩ năng vận dụng kiến thức và kĩ năng tính toán Muốn th ế việc thực hành của sinh viên cần được coi trọng N ên cố gắng giảm bớt thòi gian học lí thuyết ở lóp để dành thêm thời gian cho việc giải bài tập của sinh viên, và nếu có thể thu xếp được một tỉ lệ giữa thòi gian dạy lí thuyết và thòi gian làm bài tập là 1/1 thì càng tốt.

Đối vổi người học, khi học giáo trình này luôn luôn có giấy và bút trong tay để tự m ình mô tả các khái niệm dựa theo những định nghĩa;

tự mình chứng minh các định lí sau khi đã tìm hiểu kĩ giả thiết và kết luận; vận dụng các khái niệm , các định lí để tự mình trình bày các ví dụ cho trong sách Cuối mỗi chương có phần tóm tắt, bạn đọc nên tận dụng

Cũng cần nói thêm rằng Đại số tuyến tính là một ngành khoa học cô

nhất nhưng cũng rất hiện đại Những điểu được trình bày ỏ đây chỉ là những điều cơ bản nhất, mở đầu của Đại số tuyến tính trên trường số (mà chủ yếu là trường số thực) Còn nhiều vấn để nội dung chưa thể đê cập tới.

Trong cuốn sách này chữ K được kí hiệu chung cho cả ba trường sô': trường số hữu tỉ Q, trường sô' thực R và trường số" phức c , mỗi khi muốn nói một điều gì chung cho cả ba trường sô ấy.