Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 3: Ánh xạ tuyến tính. Chương này cung cấp cho học viên những nội dung về: khái niệm ánh xạ tuyến tính; ma trận của ánh xạ tuyến tính; toán tử tuyến tính và ma trận vuông chéo hóa được; thuật toán tìm giá trị riêng và vectơ riêng;... Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết!
Trang 1Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương III
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Trang 2Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương III
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
281
Trang 3Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Trang 4Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương III
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính.
Definition 1.1 Cho V và V 0 là hai không gian vectơ trên K Ánh
xạ f : V → V 0 gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu f thoả mãn haitính chất sau:
(L1) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ V (tính bảo toàn phépcộng);
(L2) f (λx) = λf (x), ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K (tính bảo toàn phép nhânvới vô hướng)
281
Trang 5Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chương III
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
§1 : ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
1 Khái niệm về ánh xạ tuyến tính.
Definition 1.1 Cho V và V 0 là hai không gian vectơ trên K Ánh
xạ f : V → V 0 gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu f thoả mãn haitính chất sau:
(L1) f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ V (tính bảo toàn phépcộng);
(L2) f (λx) = λf (x), ∀x ∈ V, ∀λ ∈ K (tính bảo toàn phép nhânvới vô hướng)
Trang 6Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó còn gọi là một phép
biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V
282
Trang 7Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó còn gọi là một phép
biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V
Nhận xét: Cho f : V → V 0 là một ánh xạ, V và V 0 là hai K không gian vectơ Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy:
Trang 8-Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó còn gọi là một phép
biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V
Nhận xét: Cho f : V → V 0 là một ánh xạ, V và V 0 là hai K không gian vectơ Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy:
282
Trang 9Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Một ánh xạ tuyến tính từ V đến chính nó còn gọi là một phép
biến đổi tuyến tính hay phép biến đổi tuyến tính hay toán tử tuyến tính trên V
Nhận xét: Cho f : V → V 0 là một ánh xạ, V và V 0 là hai K không gian vectơ Từ định nghĩa ánh xạ tuyến tính, dễ dàng thấy:
(2) Nếu f là ánh xạ tuyến tính thì:
f (0V ) = 0V , f (−x) = −f (x); ∀x ∈ V
Trang 10Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
282
Trang 11Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V 0, x 7→ O(x) = 0V 0, rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.
Trang 12Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V 0, x 7→ O(x) = 0V 0, rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.
(2) Ánh xạ đồng nhất idV : V → V, x 7→ idv(x) = x, hiển nhiên
là một toán tử trên V và gọi là toán tử đồng nhất (hay phép biến
đổi đồng nhất) trên V
282
Trang 13Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V 0, x 7→ O(x) = 0V 0, rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.
(2) Ánh xạ đồng nhất idV : V → V, x 7→ idv(x) = x, hiển nhiên
là một toán tử trên V và gọi là toán tử đồng nhất (hay phép biến
đổi đồng nhất) trên V (3) Với mỗi λ ∈ K, ánh xạ V → V, x 7→ λx, cũng là một toán tửtuyến tính trên V và gọi là phép nhân với vô hướng
Trang 14Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V 0, x 7→ O(x) = 0V 0, rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.
282
Trang 15Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
sau đây:
(1) Ánh xạ hằng giá trị không O : V → V 0, x 7→ O(x) = 0V 0, rõ
ràng là một ánh xạ tuyến tính và gọi lag ánh xạ không.
Trang 16Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(5) Phép lấy tích phân:
C[a, b] −→ R
F (x) 7→
Z b a
F (x)dx
là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a, b] các hàm thực liêntục trên [a, b] đến không gian R
283
Trang 17Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(5) Phép lấy tích phân:
C[a, b] −→ R
F (x) 7→
Z b a
Trang 18Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
(5) Phép lấy tích phân:
C[a, b] −→ R
F (x) 7→
Z b a
Trang 19Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Do đó gf là một ánh xạ tuyến tính
Trang 20Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Do đó gf là một ánh xạ tuyến tính
Property 1.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vectơ phụ
thuộc tuyến tính lại biến thành một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.
Tức là, nếu f : V → V 0 là một ánh xạ tuyến tính và
{x1, x2, , xn} là một hệ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ
{f (x1), f (x2), , f (xn)} cũng phụ thuộc tuyến tính trong V 0.
284
Trang 21Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Do đó gf là một ánh xạ tuyến tính
Property 1.2 Qua một ánh xạ tuyến tính, một hệ vectơ phụ
thuộc tuyến tính lại biến thành một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính.
Tức là, nếu f : V → V 0 là một ánh xạ tuyến tính và
{x1, x2, , xn} là một hệ phụ thuộc tuyến tính trong V thì hệ
{f (x1), f (x2), , f (xn)} cũng phụ thuộc tuyến tính trong V 0.
Chứng minh Thật vậy, giả sử λ1x1 + λ2x2 + + λnxn = 0V làmột tổ hợp tuyến tính không tầm thường băng không của
Trang 22Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hệ
{f (x1), f (x2), , f (xn)},tức là hệ {f (x1), f (x2), , f (xn)} phụ thuộc tuyến tính
285
Trang 23Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hệ
{f (x1), f (x2), , f (xn)},tức là hệ {f (x1), f (x2), , f (xn)} phụ thuộc tuyến tính
Một cách tương đương ta có, nếu hệ {f (x1), f (x2), , f (xn)}
độc lập tuyến tính trong V 0 thì hệ {x1, x2, , xn} độc lập tuyếntính trong V
Trang 24Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hệ
{f (x1), f (x2), , f (xn)},tức là hệ {f (x1), f (x2), , f (xn)} phụ thuộc tuyến tính
Một cách tương đương ta có, nếu hệ {f (x1), f (x2), , f (xn)}
độc lập tuyến tính trong V 0 thì hệ {x1, x2, , xn} độc lập tuyếntính trong V
Tuy nhiên ánh xạ tuyến tính có thể biến một hệ độc lập tuyến tínhthành một hệ phụ thuộc tuyến tính
285
Trang 25Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hệ
{f (x1), f (x2), , f (xn)},tức là hệ {f (x1), f (x2), , f (xn)} phụ thuộc tuyến tính
Một cách tương đương ta có, nếu hệ {f (x1), f (x2), , f (xn)}
độc lập tuyến tính trong V 0 thì hệ {x1, x2, , xn} độc lập tuyến
tính trong V Tuy nhiên ánh xạ tuyến tính có thể biến một hệ độc lập tuyến tínhthành một hệ phụ thuộc tuyến tính
Property 1.3 Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một
hệ vectơ, tức là nếu f : V → V 0 là một ánh xạ tuyến tính tính và
{x1, x2, , xn} là một hệ vectơ trong V thì:
rank({x1, x2, , xn}) ≥ rank({f (x1), f (x2), , f (xn)})
Trang 26Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
hệ
{f (x1), f (x2), , f (xn)},tức là hệ {f (x1), f (x2), , f (xn)} phụ thuộc tuyến tính
Một cách tương đương ta có, nếu hệ {f (x1), f (x2), , f (xn)}
độc lập tuyến tính trong V 0 thì hệ {x1, x2, , xn} độc lập tuyếntính trong V
Tuy nhiên ánh xạ tuyến tính có thể biến một hệ độc lập tuyến tínhthành một hệ phụ thuộc tuyến tính
Property 1.3 Ánh xạ tuyến tính không làm tăng hạng của một
hệ vectơ, tức là nếu f : V → V 0 là một ánh xạ tuyến tính tính và
{x1, x2, , xn} là một hệ vectơ trong V thì:
rank({x1, x2, , xn}) ≥ rank({f (x1), f (x2), , f (xn)})
285
Trang 27Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chứng minh Thật vậy, giả sử
Trang 28Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chứng minh Thật vậy, giả sử
rank({f (x1), f (x2), , f (xn)}) = r và
{f (xi1), f (xi2), , f (xir)} là một hệ con độc lập tuyến tính tối đạicủa hệ {f (xi)}i=1,n Khi đó {xi1, xi2, , xir} là một hệ con độc
lập tuyến tính của {xi}i=1,n Suy ra điều phải chứng minh.
Theorem 1.1 (Định lí cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính).
Cho một cơ sở ξ = {e1, e2, , en} của K - không gian vectơ n
chiều V (n ≥ 1) và v1, v2, , vn là n vectơ tuỳ ý của K - không gian vectơ V 0 Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
f : V → V 0 sao cho f (ei) = vi, ∀i = 1, n Một cách vắn tắt ta bảo: ánh xạ tuyên tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.
286
Trang 29Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chứng minh Thật vậy, giả sử
rank({f (x1), f (x2), , f (xn)}) = r và
{f (xi1), f (xi2), , f (xir)} là một hệ con độc lập tuyến tính tối đạicủa hệ {f (xi)}i=1,n Khi đó {xi1, xi2, , xir} là một hệ con độc
lập tuyến tính của {xi}i=1,n Suy ra điều phải chứng minh.
Theorem 1.1 (Định lí cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính).
Cho một cơ sở ξ = {e1, e2, , en} của K - không gian vectơ n
chiều V (n ≥ 1) và v1, v2, , vn là n vectơ tuỳ ý của K - không gian vectơ V 0 Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
f : V → V 0 sao cho f (ei) = vi, ∀i = 1, n Một cách vắn tắt ta bảo: ánh xạ tuyên tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.
Chứng minh.
Trang 30Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Chứng minh Thật vậy, giả sử
rank({f (x1), f (x2), , f (xn)}) = r và
{f (xi1), f (xi2), , f (xir)} là một hệ con độc lập tuyến tính tối đạicủa hệ {f (xi)}i=1,n Khi đó {xi1, xi2, , xir} là một hệ con độc
lập tuyến tính của {xi}i=1,n Suy ra điều phải chứng minh.
Theorem 1.1 (Định lí cơ bản về sự xác định ánh xạ tuyến tính).
Cho một cơ sở ξ = {e1, e2, , en} của K - không gian vectơ n
chiều V (n ≥ 1) và v1, v2, , vn là n vectơ tuỳ ý của K - không gian vectơ V 0 Khi đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính
f : V → V 0 sao cho f (ei) = vi, ∀i = 1, n Một cách vắn tắt ta bảo: ánh xạ tuyên tính hoàn toàn xác định bởi ảnh của một cơ sở.
Chứng minh.
286
Trang 31Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Như thế f là một ánh xạ từ V đến V 0, hơn nữa hiển nhiên
f (ei) = vi, ∀i = 1, n Chỉ còn phải thử rằng f là một ánh xạ tuyếntính Với mọi x =
Trang 32Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Trang 33Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
g(ei) = vi; i = 1, n Khi đó, với mọi x =
Trang 34Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Vậy f = g hay f duy nhất
289
Trang 35Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Vậy f = g hay f duy nhất
Nhận xét:
Trang 36Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Vậy f = g hay f duy nhất
Nhận xét:
a) Trong phép chứng minh trên ta còn chỉ ra công thức xác định
f Đó là công thức (1.1)
289
Trang 37Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Vậy f = g hay f duy nhất
Trang 38Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Vậy f = g hay f duy nhất
Example 1.2 Trong R3 xétcơ sở chính tắc
ζ(3) = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} và trong R2cho 3 vectơ v1 = (1, 1), v2 = (2, 3), v3 = (4, 5) Hãy xác định ánh
xạ tuyến tính f : R3 → R2 sao cho f (ei) = vi, i = 1, 2, 3
289
Trang 39Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Vậy f = g hay f duy nhất
Example 1.2 Trong R3 xétcơ sở chính tắc
ζ(3) = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} và trong R2cho 3 vectơ v1 = (1, 1), v2 = (2, 3), v3 = (4, 5) Hãy xác định ánh
xạ tuyến tính f : R3 → R2 sao cho f (ei) = vi, i = 1, 2, 3
Giải:
Trang 40Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Vậy f = g hay f duy nhất
Example 1.2 Trong R3 xétcơ sở chính tắc
ζ(3) = {e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1)} và trong R2cho 3 vectơ v1 = (1, 1), v2 = (2, 3), v3 = (4, 5) Hãy xác định ánh
xạ tuyến tính f : R3 → R2 sao cho f (ei) = vi, i = 1, 2, 3
Giải:
Với mỗi x = (x1, x2, x3) ∈ R3, vì x = x1e1 + x2e2 = x3e3 nên
289
Trang 41Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
dùng công thức (1.1) ta có
f (x) = x1v1 + x1v2 + x3v3 = (x1, x1) + (2x2, 3x2) + (4x3, 5x3)
= (x1 + 2x2 + 4x3, x1 + 3x2 + 5x3)
Đó là công thức xác định f
Trang 42Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Hỏi có tồ tại duy nhất hay không một toán tử tuyến tính f trong
R3 sao cho f (ui) = vi; i = 1, 2, 3 Nếu có, hãy xác định f
290
Trang 43Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
Hỏi có tồ tại duy nhất hay không một toán tử tuyến tính f trong
R3 sao cho f (ui) = vi; i = 1, 2, 3 Nếu có, hãy xác định f
Giải: Rõ ràng {u1, u2, u3} là một cơ sở của R3 vì
Trang 44Đại Số Tuyến Tính - ThS Đặng Văn Cường - ĐH Duy Tân
1 1 0
0 1 1
1 0 1
... gian qua
một ánh xạ tuyến tính khơng gian Ánh xạ tuyến tính không làm tăng số chiều không gian hữu hạn chiều.
Tức ánh xạ tuyến tính< /i> f : V → V 0... gian qua
một ánh xạ tuyến tính khơng gian Ánh xạ tuyến tính khơng làm tăng số chiều khơng gian hữu hạn chiều.
Tức ánh xạ tuyến tính< /i> f : V → V 0... gian qua
một ánh xạ tuyến tính khơng gian Ánh xạ tuyến tính khơng làm tăng số chiều không gian hữu hạn chiều.
Tức ánh xạ tuyến tính< /i> f : V → V 0