Báo cáo bài tập lớn môn đại số tuyến tính đề tài ứng dụng của đại số tuyến tính trong qui hoạch tuyến tính với bài toán vận tải

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA  BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN Môn Đại số tuyến tính Đề tài ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI BÀI TOÁN VẬN TẢI GVHD Ph D Đặng Văn[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA



BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

Môn: Đại số tuyến tính

Đề tài: ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH VỚI BÀI TOÁN VẬN TẢI

MỤC LỤC

I BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT 3

1 Mô hình bài toán 3

2 Phương án vận chuyển 3

3 Bảng vận tải 4

II CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÝ, TÍNH CHẤT 4

III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI 9

1 Phương pháp cước phí thấp nhất 9

2 Phương pháp góc Tây - Bắc 9

IV CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT 9

V CODE MATHLAB GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG THU PHÁT 11

VI VÍ DỤ CỤ THỂ 34

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 36

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRONG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

VỚI BÀI TOÁN VẬN TẢI

Bài toán vận tải (transportation problem) là bài toán quan trọng nhất trong các bài toán qui hoạch tuyến tính Người ta tổng kết rằng 85% các bài toán qui hoạch tuyến tính gặp trong ứng dụng là bài toán vận tải hoặc mở rộng của nó Thuật ngữ bài toán vận tải thường được hiểu là bài toán vận chuyển sao cho cước phí nhỏ nhất

I BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT

1 Mô hình bài toán

Có m nơi 𝐴

, 𝐴

, … 𝐴

cung cấp cùng một một loại hàng hóa với khối lượng tương ứng

là a

, a

, ,a

Hàng được cung cấp cho n nơi B

, B

, , B

với khối lượng tiêu thụ tương ứng là b

, b

, ,b

Cước phí chuyên chở một đơn vị hàng từ điểm phát A

đến điểm thu

B

là c

Hãy lập phương án vận chuyển sao cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất

Cân bằng thu phát

Khi tổng số hàng dự trữ m ở điểm phát (cung) là ∑ 𝑎

𝑖

và tổng số nhu cầu của n điểm thu (cầu) là ∑

𝑏

bằng nhau ta nói rằng cân bằng cung cầu (hay cân bằng thu phát)

3 Bảng vận tải

Người ta thường trình bày bài toán vận tải dưới dạng bảng như sau:

Trong đó:

Có n trạm thu hàng và khối lượng hàng tiêu thụ tương ứng là b

Có m trạm phát hàng và khối lượng hàng cung cấp tương ứng là a

Khối lượng chở từ trạm phát đến trạm thu là x

Cước phí chuyên chở một đơn vị hàng từ trạm phát đến trạm thu là c

gọi là ô loại

Định nghĩa đường đi

Đường đi là tập hợp các ô chọn sao cho:

● Trên cùng một dòng hay một cột không có quá hai ô chọn

● Hai ô chọn liên tiếp thì nằm trên cùng một dòng hay một cột

Ví dụ 1 Dãy các ô chọn sau tạo thành một đường đi:

Định nghĩa chu trình

Một đường đi khép kín được gọi là một chu trình

Ví dụ 2 Dãy các ô chọn sau tạo thành một chu trình

Tính chất 1: Một bảng vận tải có m dòng, n cột thì tập các ô chọn không chứa

chu trình có tối đa m + n - 1 ô

Tính chất 2: Với một phương án có đủ m + n - 1 ô chọn không chứa chu trình, thì với bất kỳ một ô loại nào được đưa vào phương án thì sẽ tạo thành

một chu trình và chu trình này là duy nhất

Ví dụ 3 Xét bảng vận tải 3 dòng, 4 cột với một phương án có 3+4-1= 6 ô chọn cho như sau:

Khi ta thêm một ô loại bất kỳ thì ô loại này kết hợp với một số ô chọn này tạo thành

chu trình Chẳng hạn, ta thêm ô loại (1,2) vào phương án thì ô này sẽ kết hợp với các ô (3,2); (3,3); (2,3); (2,1); (1;1) tạo thành chu trình

Định lý 1: Một phương án được gọi là phương án cực biên của bài toán vận tải khi

và chỉ khi tập các ô chọn của nó không chứa chu trình

Định lý 2: Một phương án cực biên có m + n - 1 ô chọn được gọi là phương án cực biên không suy biến Ngược lại, một phương án cực biên có ít hơn m + n - 1 ô chọn

được gọi là phương án cực biên suy biến

Ví dụ 4 Phương án sau là phương án cực biên không suy biến

Ví dụ 5 Phương án sau là phương án cực biên suy biến:

III CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI

1 Phương pháp cước phí thấp nhất

Chọn ô có cước phí bé nhất Điền vào ô đó giá trị lớn nhất có thể

Loại bỏ các ô mà trạm phát hàng hết khả năng cung cấp hoặc trạm thu hàng hết nhu

cầu

Xác định lại ô có chi phí bé nhất trong các ô còn lại và tiếp tục làm giống như 2

bước trên cho tới khi nào hết khả năng phân phối

Trong quá trình chọn ô phân phối có nhiều ô chọn có chi phí nhỏ nhất giống nhau

thì phân phối vào ô nào cũng được Phương án thu được bằng phương pháp này là

phương án cực biên

2 Phương pháp góc Tây - Bắc

Ta ưu tiên phân phối lượng hàng nhiều nhất vào ô ở góc Tây - Bắc trên bảng vận tải Khi đó

nếu:

Trạm phát nào đã hết hàng thì ta xóa dòng chứa trạm phát đó

Trạm thu nào đã nhận đủ hàng thì ta xóa cột chứa trạm thu đó

Sau đó lặp lại quá trình trên đối với những ô còn lại Phương án được thành lập bằng phương

pháp góc Tây - Bắc là phương án cực biên

IV CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU PHÁT

Bước 1: Kiểm tra cân bằng thu phát

• Nếu ∑ 𝑎

𝑖

= ∑

𝑏

thì bài toán cân bằng thu phát → chuyển sang bước 3

• Nếu ∑ 𝑎

𝑖

≠ ∑ 𝑏

thì bài toán không cân bằng thu phát → tiếp tục bước 2

Bước 2: Đưa bài toán về cân bằng thu phát

Thêm vào các trạm phát/ thu giả có cước phí 𝐶

= 0 để chuyển bài toán thành cân bằng

 Trường hợp phát > thu → thêm trạm thu giả 𝑏

với lượng hàng = ∑ 𝑝ℎá𝑡 − ∑ 𝑡ℎ𝑢

 Trường hợp phát < thu → thêm trạm phát giả 𝑎

với lượng hàng = ∑ 𝑡ℎ𝑢 − ∑ 𝑝ℎá𝑡

Bước 3: Tìm phương án xuất phát

Thành lập phương án cực biên ban đầu theo nguyên lý phân bổ tối đa với các ô chọn phân bổ bằng các phương pháp: góc Tây Bắc, cước phí thấp nhất,…

Bước 4: Kiểm tra phương án suy biến hay không suy biến

• Phương án không suy biến là phương án có số ô chọn đúng bằng số ô trạm phát + số ô trạm thu –1 → chuyển tới bước 6

• Phương án suy biến là phương án có số ô chọn < số ô trạm phát + số ô trạm thu –1 →

tiếp tục bước 5

Bước 5: Đưa về phương án không suy biến

Bổ sung thêm các ô loại bất kì của bảng làm ô chọn giả (lượng hàng phân bổ 𝑥

= 0) cho

đủ (𝑚 + 𝑛 − 1) ô chọn và đảm bảo không tạo thành chu trình

Bước 7: Tính ∆

tại các ô loại và kết luận

∆

= 𝑢

+ 𝑣

+ 𝑐

,∀(i, j)

 Kiểm tra dấu hiệu tối ưu của phương án:

Nếu mọi ∆

≥ 0 → Phương án đang xét tối ưu → Tính f

- Nếu có ∆

< 0 → Phương án không tối ưu và chuyển sang bước 8

Bước 8: Xây dựng phương án mới tốt hơn (lập bảng mới):

• Tìm một ô (r,s) là ô có ∆

< 0 𝑣à 𝑛ℎỏ 𝑛ℎấ𝑡

• Tìm một chu trình xuất phát từ ô (r,s)

- Tìm chu trình: từ ô (r,s) kẻ các đường thẳng ngang hoặc dọc nối tới các ô chọn trong bảng, rồi từ ô chọn đó nối tới các ô chọn khác cho đến khi quay trở lại ô (r,s); các đường nối này phải thỏa mãn:

Trên mỗi hàng hoặc cột chỉ có hai ô chọn Hai ô liên tiếp luôn trên cùng hàng hoặc cùng cột

• Đánh dấu (+) vào ô (r,s); dấu trừ (–) vào ô kế tiếp, rồi dấu (+),… cho đến hết vòng

• Tìm q = min{𝒙

} với 𝒙

thuộc các ô đánh dấu (–)

➢ Ô chọn nào là ô có dấu cộng (+) thì giá trị 𝒙

tại đó cộng thêm q

➢ Ô chọn nào là ô có dấu cộng (–) thì giá trị 𝒙

tại đó trừ thêm q

➢ Ô chọn nào không có dấu cộng (+) và trừ (–) thì giữ nguyên giá trị 𝒙

• Quay lại Bước 6 và thực hiện cho đến khi tìm được phương án tối ưu

V CODE MATHLAB GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG THU PHÁT

clc;

c = input('Nhap ma tran chi phi:\n');

s = input('Nhap ma tran cung cap (dang cot):\n');

d = input('Nhap ma tran nhu cau (dang d):\n');

x22(ieliminate,n+1)=x22(ieliminate,n+1)-1; % decrease the number

of the basic variable on row one unit

x22(m+1,jeliminate)=x22(m+1,jeliminate)-1; % decrease the number

of the basic variable on column one unit

%% Control the constructing loop path

%% Make +/-sign on basic variables in the loop path (x2)

%1 Add - sign on basic variable on row(imax) and on basic variable on

%% Control the constructing loop path

%% Make +/-sign on basic variables in the loop path (x2)

%1 Add - sign on basic variable on row(imax) and on basic variable on

if (j~=jneg && x44(ineg,j)>0 && x44(ineg,n+1)==2)

%% How to correct degeneracy matrix

numstepdegen=reducetant-countstepdegen; iterationstepDegen=0;

for A=1:numstepdegen

iterationstepDegen=iterationstepDegen+1;

%% Construct the u-v variables

%% Construct the u-v variables

end

end

end

end

Chi phí vận chuyển được cho ở bảng dưới đây:

Bước 2: Nhập các ma trận vừa tìm được vào Command Window

 Nhận xét: Qua kết quả thu được từ MATLAB, cho thấy lời giải ban đầu chưa giải ra

được chi phí tối ưu và sau 4 lần lặp lại bài toán đã cho ra được tổng chi phí thấp nhất cần tìm

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Quy hoạch tuyến tính bài toán vận tải