Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 1: Ma trận và Hệ phương trình tuyến tính cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Ma trận; Các phép biến đổi sơ cấp; Hạng của ma trận; Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 1:

Ma trận

và Hệ phương trình tuyến tính

in ij

i

n j

a a

a

a a

a

a a

a A

11

2 1

i A

1 Ma trận

Tập hợp tất cả các ma trận cỡ mxn trên trường K

(K là R hoặc C) được ký hiệu là Mmxn(K)

Ma trận A có m dòng và n cột thường được ký hiệu bởi A ( )a ij m n

×

=

Ma trận có tất cả các phần tử là không được gọi là

ma trận không, ký hiệu 0, (aij = 0 với mọi i và j).

0

0 0

0

A

1 Ma trận

2 Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm bên phải

(không cùng cột) so với phần tử cơ sở của

1 Ma trận

0 0

3 0

0 0

2 1

0 0

0 0

0

5 2

1 4

0

6 2

7 0

0

2 3

0 1

Là ma trận dạng bậc thang

Ví dụ

54

0 0

0 0

0

5 2

0 0

0

4 1

7 0

0

2 2

0 3

0 0

3 1

0 0

2 0

2

1

B

1 Ma trận

2 3

93

01

42

90

4

312

Nếu số dòng và cột của ma trận A bằng nhau và bằng n, thì A được gọi là ma trận vuông cấp n

Định nghĩa ma trận vuông

2 2

23

12

là các phần tử nằm trên đường chéo chính.

Ma trận vuông được gọi là ma trận tam giác trên nếu

0

63

0

31

Ma trận chéo với các phần tử đường chéo đều bằng

1 được gọi là ma trận đơn vị, tức là (aij = 0, i ≠ j;

và aii = 1 với mọi i)

0

01

0

00

1

I

Ma trận vuông thực A thỏa aij = aji với mọi i = 1,….n

và j =1,…,n được gọi là ma trận đối xứng (tức là, nếu A = AT)

3

74

1

31

2

A

1 Ma trận

2 Phép biến đổi sơ cấp

Các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

2 Phép biến đổi sơ cấp

Ma trận A được gọi là tương đương dòng với ma

trận B nếu có một dãy liên tiếp các phép biến

đổi sơ cấp trên dòng biến A thành B Ký hiệu,

A~B

Khi dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

ta thu được nhiều ma trận bậc thang khác nhau

Chú ý

Mọi ma trận đều có thể đưa về ma trận dạng bậc

thang bằng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng

Định lý 1

2 Phép biến đổi sơ cấp

Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa

ma trận sau đây về ma trận dạng bậc thang

2 Phép biến đổi sơ cấp

Bước 1 Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên từ bên trái Chọn phần tử khác không tùy ý làm phần tử

2 Phép biến đổi sơ cấp

Bước 3 Che tất cả các hàng từ hàng chứa phần tử

cơ sở và những hàng trên nó Áp dụng bước 1

r(A) = số hàng khác không của ma trận bậc thang E

Ma trận A có thể có nhiều dạng bậc thang nhưng

số dòng khác không của các dạng bậc thang đó là như nhau Do vậy, hạng của ma trận là duy nhất

Chú ý:

→ −

→ −

⎯⎯⎯⎯⎯h h h h h h →

Định nghĩa hệ phương trình tuyến tính

phương trình

4 Hệ phương trình tuyến tính

khi thay vào từng phương trình của hệ ta được những đẳng thức đúng

Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất

biến đổi hệ về hệ tương đương, mà hệ này

giải đơn giản hơn

4 Hệ phương trình tuyến tính

Có 3 phép biến đổi tương đương đối với hệ

phương trình :

Một phép biến đổi được gọi là tương đương nếu

biến một hệ phương trình về một hệ tương đương

Định nghĩa phép biến đổi tương đương

3 Đổi chổ hai phương trình

1 Nhân hai vế của phương trình với một số khác

không

2 Cộng vào một phương trình một phương trình

khác đã được nhân với một số tùy ý

Chú ý: Chúng ta có thể kiểm tra dễ dàng rằng

các phép biến đổi trên là các phép biến đổi tương đương

x y z

4 Hệ phương trình tuyến tính

Ẩn cơ sở là ẩn tương ứng với cột chứa phần tử cơ sở

Ẩn tự do là tương ứng với cột không có phần tử cơ sở

Định nghĩa ẩn cơ sở và ẩn tự do

4 Hệ phương trình tuyến tính

2 Dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng đưa ma

trận mở rộng về ma trận dạng bậc thang

Kiểm tra hệ có nghiệm hay không

3 Viết hệ phương trình tương ứng với ma trận bậc

Giải các hệ phương trình sau đây với các ma trận

ẩn cơ sở: x1, x2,x5 ẩn tự do: x3, x4

Nghiệm tổng quát:

1 2 3 4 5

24 2 3

7 2 2

4

x x x x x

α β

α β α

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình biết ma

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

sau có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất

Nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường

Hệ thuần nhất chỉ có nghiệm duy nhất bằng không khi và chỉ khi r (A) = n = số ẩn

Hệ thuần nhất AX = 0 có nghiệm không tầm thường khi và chỉ khi r(A) < n

Hệ thuần nhất AX = 0, với A là ma trận vuông có nghiệm không tầm thường (nghiệm khác 0) khi và chỉ khi det(A) = 0

Tìm nghiệm tổng quát của hệ phương trình

Giữa những nghiệm của hệ