Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính

Bài giảng Đại số tuyến tính - Chương 5: Ánh xạ tuyến tính, cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Định nghĩa ánh xạ tuyến tính; không gian hạt nhân và không gian ảnh; Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương 5

Ánh xạ tuyến tính

/46

1

Nội dung

/46

2

1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

3 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu x1 ≠ x2 ⇒ f x ( )1 ≠ f x ( )2

Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu ∀ ∈ y Y x X y , ∃ ∈ : = f x ( )

Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh

1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh của mọi phần tử thuộc X

Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ, bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,…

Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ

1 Định nghĩa ánh xạ tuyến tính

Cho là ánh xạ tuyến tính f : V → W

Cho E ={e1, e2, …, en} là tập sinh của V

Giả sử biết f(e1), f(e2), …, f(en)

∀x ∈ V ⇔ x = x1e1+ x2e2 +!+ x n e n

f (x) = f (x1e1+ x2e2 +!+ xn e n)

f (x) = f (x1e1) + f (x2e2) +!+ f (xn e n)

f (x) = x1f (e1) + x2 f (e2) +!+ xn f (e n)Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một tập sinh của V

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x của không gian véctơ V, sao cho f(x)

= 0

Cho ánh xạ tuyến tính

Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính

W V

f : →

} { ∈ | ( ) = 0

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y của không gian véctơ W sao cho tồn tại để y = f(x)

Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

Ví dụ Cho ánh xạ tuyến tính , biết f R: 3 → R3

Cho ánh xạ tuyến tính , biết

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

2 2

x x x

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính , biết f R: 3 → R3

2 Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.

3 Ma trận biểu diễn axtt

Định nghĩa ma trận của ánh xạ tuyến tính

Ma trận cở mxn với cột thứ j là tọa độ của véctơ trong cơ sở F được gọi là ma trận của f trong cặp

2 Kgian hạt nhân và kgian ảnh

3 3

4 1

3 Ma trận biểu diễn axtt

1 Cho ánh xạ tuyến tính Khi đó tồn tại duy nhất một ma trận AE,F cở mxn sao cho

( )ij m n

f K → K [ ( )]f x F = A E F, [ ]x E

3 Ma trận biểu diễn axtt

Ví dụ

Cho ánh xạ tuyến tính , biết ma trận của f

trong cặp cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} và F = {(1,1); (2,1)} là

2 [ ]E

3 Ma trận biểu diễn axtt

3 Ma trận biểu diễn axtt

3 Ma trận biểu diễn axtt

2 Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ

3 Ma trận biểu diễn axtt

Ví dụ

Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận

của f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,0,1); (1,1,0)} là

1 Tìm f (2,3,-1) 2 Tìm cơ sở và chiều của nhân Kerf

⇔ = ⇔ AE E, .[ ] x E = 0

3 Ma trận biểu diễn axtt

1 1 2 2 3 3

x x e x e x e

1 2 3

1 1 1

1 2 4

x x x

α α α

3 Ma trận biểu diễn axtt

Cho là ánh xạ tuyến tính, biết ma trận của f trong cơ sở E = {(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)} là

4 Ma trận chuyển cơ sở

v   Mệnh đề:

Cho V và W là các không gian véc tơ hữu hạn chiều trên K; B,B’ và C,C’ tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W Khi đó với mọi ánh xạ tuyến tính f: V à W ta có:

! !! ,!! = ! → !! !! ! !,!(! → !′)

v   Hệ quả:

Cho B và B’ là hai cơ sở trong không gian

véc tơ hữu hạn chiều V trên trường K Khi đó với mọi toán tử tuyến tính f: V à V ta có:

! !! = B → !! !! ! !(! → !′)