Đại số tuyến tính (lưu hành nội bộ)

Trong chương trình khung đào tạo giáo viên toán trung học phổ thông theo hệ thống tín chỉ của nhiều trường đại học, Học phần Toán AI với thời lượng 4 tín chỉ, có nội dung chủ yếu là các

MOET ADB

Dự ÁN PHÁT TRIÉN GIÁO VIÊN THPT & TCCN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH■ ■ ■

NGUYỄN THÀNH QUANG - LÊ QUỐC HÁN

(Lưu hành nội bộ)

BỌ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGÂN HÀNG PHÁT TRIẾN CHÂU Á

Dự ÁN PHÁT TRIẾN GIÁO VIÊN THPT & TCCN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THÀNH QUANG - LÊ QUỐC HÁN

(Lưu hành nội bộ)

Hà Nội -2013

M Ụ C L Ụ C

LỜI NÓI Đ Ầ U 5

CHƯƠNG 1: TẬP HỢP - QUAN HỆ - ÁNH XẠ SÓ PHỨC - MỘT SỐ CÁU TRÚC ĐẠI S Ố 7

11 T ập hợp .7

1.2 Q uan hệ hai ngôi 12

1.3 Á nh x ạ 16

1.4 Phép t h ế 22

1.5 Sổ phức 25

1.6 M ột số cấu trú c đại số tổ n g q u á t 30

H ướng dẫn tự học ch ư ơ n g 1 36

Bài tập chư ơ ng 1 37

CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH TH Ứ C 45

2.1 M a t r ậ n 45

2.2 Đ ịnh th ứ c 53

2.3 C ông thứ c khai triển địn h t h ứ c 58

2.4 M a trận nghịch đảo v à h ạng củ a m a t r ậ n 63

H ướng dẫn tự h ọ c ch ư ơ n g 2 68

Bài tập chư ơ ng 2 69

CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN T ÍN H 73

3.1 Đ ịnh nghĩa v à tín h ch ất của k h ông gian v e c tơ 73

3.2 C ơ sở v à số chiều của không gian v e c t ơ 76

3.3 K hông gian v ec tơ c o n 83

3.4 Á nh x ạ tu y ến t í n h 87

3.5 M a trận ánh x ạ tu y ến t í n h 93

3.6 G iá trị riên g v à v ec tơ r iê n g 97

3.7 C héo hóa m a t r ậ n 100

Hướng dẫn tự học chư ơ n g 3 103

Bài tập chư ơng 3 105

4 Đại số tuyến tính

CHƯƠNG 4: HỆ PH Ư Ơ N G T R ÌN H TUYÊN TÍN H 111

4.1 Các khái niệm cơ bản về hệ phương trình tuyến tính tổng quát 111

4.2 H ệ phương trình tuyến tính C r a m e r 113

4.3 Đ iều kiện có nghiệm và các cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng q u á t 118

4.4 H ệ phương trình tuyến tính thuần n h ấ t 123

H ướng dẫn tự học chương 4 127

Bài tập chương 4 128

CHƯƠNG 5: DẠNG TOÀN PHƯƠNG PHÂN LOẠI ĐƯỜNG VÀ MẶT BẬC HAI 131

5.1 D ạng song tuyến t ín h 131

5.2 D ạng toàn p h ư ơ n g 133

5.3 K hông gian vectơ Euclid 142

5.4 Chéo hoá trực g ia o 150

5.5 Đ ường và m ặt bậc hai trong không gian E u c lid 159

5.6 M ặt bậc hai trong không gian E Ư C L ID 166

H ướng dẫn tự học chương 5 173

Bài tập chương 5 174

CHƯƠNG 6: TH ựC HÀNH TÍNH TOÁN ĐẠI SÓ TUYÉN TÍNH TRÊN MÁY T ÍN H 179

6.1.Sơ lược về M A P L E 179

6.2.M ột vài lệnh toán học phổ th ô n g 181

6.3 Thực hành tính toán Đại số tuyến tính trên M A P L E 183

6.4 V ẽ m ột số đường v à m ặt bậc hai bởi M A P L E 195

TÀI LIỆU TH A M K H Ả O 200

M Ở ĐẦU

Khởi đầu trong lịch sử, Đại số tuyển tính gắn liền với việc giải các phương trình tuyến tính Để nghiên cứu sâu sắc hơn cấu trúc của tập nghiệm và điều kiện để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, người ta đã xây dựng những khái niện trừu tượng hơn như không gian vectơ, ánh xạ tuyến tính

Ngày nay, Đại số tuyến tính được ứng dụng vào rất nhiều lĩnh vực khác nhau từ Giải tích, Hình học vi phân, Lý thuyết biểu diễn nhóm tới Cơ học, Vật lý, Kỹ thuật, Kinh tế Vì vậy, nó đã trở thành một môn học cơ sờ cho việc đào tạo cử nhân, kỹ sư thuộc các ngành khoa học tự nhiên và công nghệ, kỹ thuật và kinh tế trong tất cà các trường đại học trên thế giới

Trong chương trình khung đào tạo giáo viên toán trung học phổ thông theo hệ thống tín chỉ của nhiều trường đại học, Học phần Toán AI với thời lượng 4 tín chỉ, có nội dung chủ yếu là các kiến thức về môn học Đại sổ tuyến tính

Các nội dung chủ yếu của cuốn sách này bám sát theo đề cương chi tiết Học phần Toán AI (Đại số tuyến tính) trong chưomg trình đào tạo giáo viên trung học phổ thông môn toán theo hệ thống tín chỉ thuộc khuôn khổ của Dự án phát triển giáo viên trung học phổ thông và trung cấp chuyên nghiệp (2007 - 2013)

Cuốn sách này có thể làm giáo trình và sách tham khảo về môn học Đại số tuyến tính cho các giảng viên và sinh viên các ngành: sư phạm toán học, sư phạm vật lý, sư phạm hóa học, sư phạm tin học, khoa học tự nhiên, công nghệ thông tin, xây dựng, kỹ thuật điện tử và viễn thông, kinh tế của các trường đại học

Với tất cả các lý do đã nói ờ trên, chúng tôi cố gắng hệ thống lại một số khái niệm

và kết quả cơ bàn có liên quan đến môn học Đại số tuyến tính cùng với những ứng dụng khác nhau của nó về nhiều phương diện

Ngoài phần mở đầu và tài liệu tham khảo, cuốn sách gồm có 6 chương bao gồm các nội dung về: Tập hợp, quan hệ, ánh xạ, số phức, một số cấu trúc đại số; Ma trận và định thức; Không gian vectơ và ánh xạ tuyến tính; Hệ phương trình tuyến tính; Dạng toàn phương và phân loại đường và mặt bậc hai; Thực hành và tính toán đại số tuyến tính trên phần mềm Maple Phần cuối mỗi chương đều có một số bài tập mang tính chất luyện tập và tính toán thực hành hoặc mở rộng lý thuyết

6 Đại số tuyến tính

Thực hành tính toán trong giáo trình này sẽ được thực hiện trên phần mềm Maple, chương trình tính toán đang được xem là phổ biến nhất trong nghiên cứu và giảng dạy tại các trường đại học trên thế giới Với khả năng tính toán rất mạnh, Maple cho phép chúng ta làm việc trên các khái niệm trừu tượng của Toán học nói chung và Đại số tuyến tính nói riêng Đây cũng là một phương hướng nghiên cứu mới kết hợp giữa Toán học với Tin học đang được nhiều nhà toán học quan tâm, nhằm sử dụng rộng rãi máy tính trong các nghiên cứu về Toán học

Các tác già trân trọng cảm ơn PGS.TS Vũ Quốc Chung, PGS.TS Phạm Khắc Ban, PGS.TS Khuất Văn Ninh, PGS.TS Nguyễn Gia Định, PGS.TS Ngô Sỹ Tùng, TS

Lê Đình Định, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Đào Thị Thanh Hà, CN Vũ Thị Bình

đã đọc bản thảo và đóng góp nhiều ý kiến quý báu Các tác giả rất biết ơn Bộ môn Đại

số và Khoa Toán học, Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để chúng tôi tham gia giảng dạy Học phần Toán AI cho sinh viên trong nhiều năm và được biên soạn cuốn sách này trên cơ sở nội dung của những bài giảng đó

Do nhiều nguyên nhân, cuốn sách không tránh khỏi thiểu sót, chúng tôi mong muốn nhận được sự góp ý của đồng nghiệp và bạn đọc

Tác giả

C H Ư Ơ N G 1

TẬP HỢP - QUAN HỆ - ÁNH XẠ - SỐ PHỨC -

* MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1.1 TẬP HỢP

1.1.1 Khái niệm chung

Chúng ta trình bày lý thuyết về tập hợp theo quan điểm "ngây thơ" do các nhà toán học B Bolzano, G Cantor và R Dedekind đưa ra vào cuối thế kỷ XIX Cụ thể, tập hợp là một khái niệm toán học được xem như là khái niệm gốc xuất phát (nguyên thuỷ), không được định nghĩa mà chi mô tả bằng những ví dụ cụ thể Chẳng hạn, tập họp điểm; tập hợp các đường thẳng; tập hợp số; tập hợp bốn mùa xuân, hạ, thu, đông trong một năm

Trong thực tế, ta thường dùng các từ đồng nghĩa với từ tập: lớp, họ, bộ, toàn thể

Tập hợp thường được gọi ngán gọn là tập: tập A, tập đóng, tập chỉ số Để biểu thị một tập hợp ta dùng các chữ viết in hoa như A, B, c, „ X, Y, z Các đối tượng hợp thành tập hợp gọi là các phần tử của nó Nếu X là phần tử của A ta viết XE A và nói là X thuộc A Nếu phần tử y không là phần tử của A thì ta viết y Ể A và nói y không thuộc A Các

phần tử của một tập hợp có thể là các đối tượng cụ thể hoặc trừu tượng như người, vật thể hoặc các hàm số, số tự n h iên ,

Một tập hợp được coi là hoàn toàn xác định nếu ta có thể phân biệt các đối tượng nào thuộc nó và những đối tượng nào không thuộc Í1Ó Thông thường có thể đưa

ra một tập hợp bởi một trong hai cách sau:

a) Liệt kê các phần tử của tập, ví dụ

Một tập có thể chỉ gồm một số hữu hạn phần từ hoặc gồm vô hạn phần tử, tương

ứng gọi là tập hữu hạn và tập vó hạn Nếu X là tập hợp hữu hạn thì số phần tử của X thường được ký hiệu bởi # X.

8 Đại số tuyến tính

Ví dụ: # { ứ 1,ứ 2,ứ 3, a 4} = 4

Tập hợp rỗng, ký hiệu bởi 0 , là tập hợp không chứa phần tử nào.

Tập có duy nhất một phần từ gọi là tập đơn tử.

Ví dụ: ị(2ị là một tập đơn tử.

1.1.2 Tập con, sự bằng nhau giữa các tập, họ các tập con

Ta nói tập A là tập con của tập B nếu mỗi phần tử của A đều là phần tử của B nghĩa là nếu x e A thì x e B , ký h iệu ,4 c B hoặc B 2 A Ta gọi A c B là một bao

hàm thức Ta quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập: 0 c A Với quy ước này, ta có

Tập hợp mà mỗi phần từ của nó là một tập con của tập hợp A được gọi là họ các

Ta ký hiệu { x t Ỵ là họ các phần tử X của tập A được đảnh số bởi tập chỉ số I Nếu các phần tử X của A là những tập con của một tập X nào đó thì ta gọi ( JC ) I là

họ các tập con cùa tập X được đảnh sổ bởi tập chỉ sổ I.

đó Các điểm bên ngoài biểu diễn cho các phần tử không thuộc tập A.

Tập con B của A sẽ được biểu thị bởi một miền con của A.

Tập hợp N các số tự nhiên: N = Ị 0 ,1 ,2 , Ị

Tập hợp N*các số tự nhiên khác 0: N* = {1,2, }

c) ( i u 5 ) u C = i4 u ( B u C ) ; d) ẨQ B o A u B = B.

Phép chứng minh xem như bài tập Chú ý rằng, do tính chất c) ta có thể bỏ dấu ngoặc khi viết hợp của ba hay nhiều tập

Tổng quát hom, cho một họ tập {^4,, / e / } Khi đỏ, hợp Ị J y l là tập hợp gồm mọi phần tử thuộc ít nhât một trong các tập Ạ , nghĩa là: <€/

(J Aị = I xị B i e ĩ : x e ẢịJ ■

ie/

1.1.5.2 Phép giao

Giao của hai tập A, B ký hiệu bởi A Pi B , là tập hợp gồm mọi phần tử thuộc A và

Do 3) ta không cần viết dấu ngoặc khi biểu thị giao của ba hay nhiều tập

Các tính chất 5) và 6) nói rằng phép toán hợp và giao liên hệ với nhau bởi tínhchất phân phối

10 Đại số tuyến tính

Ta có B 4- A = A -r B và đó là lý do để phép toán này có tên "hiệu đối xứng".

Ngoài ra, hiệu đối xứng cũng có tính chất kết hợp:

(A + B) + C = A + (B + C).

1.1.6 Công thức De Morgan

Giữa các phép toán hợp, giao và lấy phần bù có các mối liên hệ sau đây, gọi là

công thức De Morgan Với các tập được nêu đều là các tập con của mỗi tập hợp cố định

Tích của dãy tập Ạ , A 2, , Ạ Ị, là tập mọi dãy các phần tử có thứ tự

( a t,a 2, ,a n, ) , ứ ong đó a, E 4 , V / g N*.

n

Nếu Ạ = — = A" = A thì Ị - [ Ạ được ký hiệu là A" và gọi là lũy thừa bậc

i=ì

n của A Nói riêng, A 2 = A X A là bình phương của tập A.

Nhận xét Nếu A, B là các tập hữu hạn có sổ phần tử tương ứng là m v à n thì tích

A x B gồm mn phần tử.

Nhận xét trên thường được gọi là Nguyên lý nhân cùa lý thuyết tập hợp.

Ví dụ 1 Cho = \ h B — , ta có:

A X B = Ị ( ứ , x ) , ( a , } - ) , ( ố , x ) , ( ố j ) )( c , x ) , ( c j ) }

2 R 2 = K X R là tập hợp mọi cặp có thứ tự { x , y ) với x,y là các số thực Nhu

vậy, R 2 biểu thị tập mọi điểm của mặt phăng toạ độ; R3 = R X E X R là tập mọi bộ

ba có thứ tự các số thực, tức mọi điểm của không gian 3 chiều thông thường;

1 4 = R x R x R x M là tập mọi bộ bốn có thứ tự các số thực, tức mọi điểm của không gian vật lý 4 chiều, trong đó 3 chiều chi không gian và 1 chiều chi thời gian

3 Nếu A = = [c ,c /] là các đoạn thẳng, thì tích A x B biểu thị tập mọi

điểm của hình chữ nhật

4 Cho A là tập mọi điểm của hình tròn tâm o thuộc mặt phẳng Oxy, B là tập mọi điểm của đoạn thẳng [ ơ ,/z ] cùa trục Oz trong hệ toạ độ vuông góc Oxyz thì A X B biểu thị tập hợp mọi điểm của hình trụ có chiều cao bằng h, đáy là hình tròn A.

1.2 QUAN HỆ 2-NGÔI

1.2.1 Quan hệ hai ngôi trên một tập họp

Cho tập X khác rỗng Ta gọi một quan hệ 2 - ngôi trên tập X là tập con s của tập

X x X Nếu cặp phần tử (a, b) thuộc s thì ta nói a có quan hệ s với b và viết a S b ■

Ví dụ 1 Trên tập R , quan hệ "a - b " hoặc quan hệ "ci < b " là các quan hệ

2-ngôi

2 Trên tập các đường thẳng của một mặt phăng đã cho, quan hệ vuông góc hoặc

quan hệ song song giữa hai đường thẳng là các quan hệ 2- ngôi

3 Trên tập họp N‘, quan hệ chia hết là một quan hệ 2- ngôi

4 Trên tập X = p ( À ) tất cả các tập con của tập A, quan hệ bao hàm CỊ là một

quan hệ 2- ngôi

1.2.2 Đầ thị của một quan hệ 2-ngôi

Cho s là một quan hệ 2-ngôi trên tập X Nếu a và b là hai phần tử của X sao cho

aSb thì có cặp thứ tự là một phần tử của tập tích X X X Ta ký hiệu

G CỊ X X X là tập hợp các cặp (ữ,ồ) thỏa mãn quan hệ s và gọi G là đồ thị của quan

hệ 2-ngôi s :

G = { ( a , b ) \ a , b e X ; a S b )

Ví dụ 1 Đồ thị của quan hệ "a = b" trên tập R mọi sổ thực là đường phân giác

của các góc phần tư thứ I và III trên mặt phăng tọa độ

2 Đồ thị của quan hệ " a < b " trên tập R là nửa mặt phẳng kể cả biên nằm

trên đường thẳng phân giác của góc phần tư thứ I của mặt phăng tọa độ

3 Đồ thị của quan hệ ”a 2 + b 2 = 1" là đường tròn bán kính 1, tâm tại gốc o

trên mặt phẳng tọa độ

1.2.3 Các tỉnh chất có thể có của quan hệ 2-ngôi trên một tập hợp

Một quan hệ 2- ngôi s trên tập X có thể có các tính chất sau:

- Tính phản xạ: a S a , với V a e X

- Tính đối xứng: Với \ f a , b e X , nếu aSb thì b S a

- Tính phản đối xứng: Với V a ỉ e X , nếu aSbvầ b S a thì a = ò.

- Tính bắc cầu: Với Vứ,Ế,c e X , nếu aSb và bSc thì aSc.

Ví dụ 1) Trên tập hợp p( A) các tập con của tập hợp A quan hệ bao hàm c có

tính phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu nhưng không có tính đối xứng

2) Trên tập hợp RỊx] các đa thức hệ số thực của biến X, quan hệ bằng nhau có

mọi tính chất đã nêu

Chủ ỷ Đối với một quan hệ 2-ngôi s trên tập X, các tính chất nói trên không nhất

thiết thỏa mãn đối với mọi cặp phần tử của X.

14 Đại số tuyến tính

Các quan hệ định nghĩa trong các mục dưới đây có vai trò đặc biệt quan trọng trong nhiều lĩnh vực toán học

1.2.4 Quan hệ tương đương

Quan hệ 2-ngôi s trên tập X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó có đủ ba tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu Trong trường hợp này, ta viết a ~ b thay vì cho cách viết a s b •

Ví dụ 1) Quan hệ song song giữa các đường thẳng trên tập các đường thẳng của không gian (quy ước coi hai đường thẳng trùng nhau là song song); quan hệ đồng dạng giữa các tam giác; quan hệ đồng hương tỉnh trong tập hợp dân cư sinh sống trên một thành phố nào đó là những ví dụ trực quan của quan hệ tương đương

2) Cho p là số nguyên lớn hơn 1 Ta xác định một quan hệ - trên tập z các số nguyên bời: a ~ b khi và chỉ khi hiệu a - b chia hết cho p, tức a và b có cùng số dư với nhau trong phép chia cho p và ký hiệu: a = Z?(mod p )

Nghiệm thấy rằng, quan hệ này có các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu nên nó

là quan hệ tương đương trên z và được gọi là quan hệ đồng dư theo môđun p Ta gọi

a = ò ( m o d p ) là một đồng dư thức.

1.2.5 Phân hoạch của một tập

Để nghiên cứu sâu hơn quan hệ tương đương ta cần khải niệm phân hoạch của một tập hợp được định nghĩa như sau:

Cho tập X khác rỗng Ta gọi phân hoạch của X là một họ các tập con khác rỗng của X, từng đôi một không giao nhau sao cho hợp của mọi tập con của họ này bằng X.

Số các phần tử (tập con của X) thuộc họ này có thể hữu hạn hay vô hạn miễn là không giao nhau từng cặp vả toàn bộ hệ đó phải “lát kín” tập hợp X.

Như sẽ thấy trong mục dưới đây, mỗi quan hệ tương đương trên tập X định ra một phân hoạch của X.

1.2.6 Các lớp tương đương, tập thương

Giả sử - là một quan hệ tương đương trên tập X Với mồi phần tử a e X , ta

ký hiệu c ( ữ ) hoặc là tập hợp mọi phần tử thuộc X mà tương đương với a Ta gọi

c ( a ) là lớp tương đương chứa phần tử a:

c ( ứ ) = 1 * 6 ^ 1 X ~ a |

Do tính phản xạ nên ữ~C l, do đó mỗi tập con c ( ữ ) khác rỗng.

Ta có tính chất sau của lớp tương đương: V a , i e X , a ~ b o c ( a ) = c (b).

Hơn nữa, nếu C ( a ) n C ( ỏ ) ĩ t 0 thì c ( ữ ) = c ( ò ) Thật vậy, giả sử

c e C ( a ) n C ( è ) , thế thì: c e C ( ữ ) và c e C ( ố ) Tức là c ~ a c ~ b hay

b ~ c ~ a Từ đó, do tính chất bắc cầu suy ra b ~ a, vậy b e C ( ứ ) Lập luận tương tự

cũng có a G c [ b ) , tức là c [ a ) = c ( b ) Mặt khác, ta còn có: X = Ị^J C { a ) , nghĩa là

các lóp tương đương c ( a ) “ lát kín” tậpX aeX

Họ các lớp tương đương này được gọi là tập thương của tập X theo quan hệ tương

đương ~ đã cho, ký hiệu bởi X I ~

Ta gọi phần tử a G X là phần tử đại diện của lớp tương đương c ( ứ ) e X I ~

Nói khác đi, ta thu được định lý sau:

1.2.7 Đ ịnh lý Một quan hệ tương đương trên tập hợp X xác định một phân hoạch

cùa X, mỗi phần tử của phân hoạch này là một lớp tương đương.

Để hình dung rõ hom về tập thương, ta xét một ví dụ về tập thương gồm các lớp

đồng dư của tập 7L các số nguyên theo quan hệ đồng dư modp.

Ví dụ 1) Ta xét quan hệ đồng dư môđun p trên tập z các số nguyên:

ớ = ố ( m o d p ) Theo quan hệ này, cho p lớp tương đương sau đây:

c ( 0 ) , c ( l ) , c ( 2 ) , , c ( / ? — l) trong đó c ( r ) , 0 < r < / 7 —1, là lớp tương đương

gồm mọi số nguyên mà khi chia cho p có số dư là r Các lớp tương đương này được gọi

là các lớp đồng dư theo modp Trong trường hợp này, tập thương lLp = z / ~ là tập hữu

vậy, khái niệm phương thực chất là lớp tương đương các đường thẳng song song với

nhau Trong ví dụ này tập thương X / ~ là tập vô hạn.

1.2.8 Quan hệ thứ tự

Quan hệ 2- ngôi < trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự nếu nó có đủ ba tính

chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu

Nếu ngoài ra với các phần tử bất kỳ x e X , y e X đều có X < y hoặc y < x thì

quan hệ thứ tự < đó được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần (hay thứ tự tuyến tỉnh)

Ngược lại, ta gọi < là quan hệ thứ tự bộ phận Nếu X < y thì ta nói " X bé hơn hoặc

bằng Khi đó, ta cũng viết y > X và nói là “y lớn hơn hoặc bằng x ” Nếu X < y và

X * y thì ta viết X < y (hay y > X ).

16 Đại số tuyến tính

Tập X trên đó đã xác định một quan hệ thứ tự < được gọi là tập được sắp thứ

tự và thường được ký hiệu bởi ( x , < )

Ví dụ 1) Quan hệ < thông thường trên tập hợp M các số thực là các quan hệ thứ

tự toàn phần Do đó, ( M ,^ ) là tập được sắp thứ tự

2) Quan hệ bao hàm c trên tập p ( Ả ) các tập con của tập A là quan hệ thứ tự bộ

phận Tuy nhiên nó không là quan hệ thứ tự toàn phần

3) Quan hệ chia hết là quan hệ thứ tự bộ phận trên tập N’

1.2.9 Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất, phần tử cực đại, phần tử cực tiểu

Giả sử là một tập sắp thứ tự và 0 * A c X .

Ta gọi phần tử a € A là phần tử lớn nhất của tập A nếu X < a, V* e A

Ta gọi phần tử b € A là phần tử nhỏ nhất của tập A nếu b < x , v X € A

Tập sắp thứ tự ( x , < ) được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử nhỏ nhất.

Ta gọi phần từ c e A là phần tử cực đại của tập A nếu với Vx e A từ c < X suy

X G X với một phần tử xác định y e Y ■ Phần từ y được gọi là ảnh của phần từ X, ký

hiệu y = f ( x ) hoặc X t-> y Tập hợp X được gọi là tập xác định hay tập nguồn, tập hợp Y gọi là tập giá trị hay tập đích của ánh xạ / .

Nỏi riêng, khi X và Y là các tập hợp số thì khái niệm ánh xạ trở thành khái niệm

hàm số đã biết

Ví dụ Mỗi tương ứng sau đây giữa các tập hợp xác định một ánh xạ:

1) Tương ứng / : {1,2} - » { a ,b ,c } cho bởi / ( 1 ) = ứ , / ( 2) = c

2) Tương ứng / : {1,2,3} - + { a ,b ) cho bởi / ( 1 ) = / ( 2 ) = a , f { 3) = c.

3) Tương ứng / : N -> N cho bởi n h-> f { ỵ ì ) - 2 n

4) Tương ứng / : R -* R cho bởi x \-> / ( * ) = s in x

5) Tương ứng / : R -» R cho bởi X h-» f ( x ) = e x.

6) Tương ứng / : M -> K cho bởi X f ( x ) = 2 x + 3.

7) Tương ứng f :[ữ ,ò l —»[c, í/] cho bởi X I—» f ( x ) = - X H -

Đặc biệt f ( X ) , ảnh của tập xác định X , được gọi là miền giá trị hay là ảnh cùa

ánh xạ / và ký hiệu bởi I m ( / ) Như vậy:

I m ( / ) = {y s Y\ 3x Ê * : ^ = / ( * ) } c Y.

Nghịch ảnh của tập con B c - Y bởi ánh xạ / là tập con của X xác định bởi:

/ - 1 ( 5 ) = Ị x e ; r | / ( * ) € # }

Nói riêng, f ~ x ( r ) = X là tập xác định của ánh xạ f.

Khi A = {*} ta viết / ( x ) thay vì cho/ ( { * } ) và gọi là ảnh của X.

Khi 5 = Ị_yỊ ta viết / ~ ' thay vì cho / ”' ( { ^ Ị ) và gọi là nghịch ảnh củay Chú ý rằng, f ~ l { B ) , B -*■ 0 có thể là tập rỗng.

1.3.3 Đơn ánh, toàn ánh, song ánh, ánh xạ đồng nhất

18 Đại số tuyến tính

Ánh xạ / : X -» X cho bởi f ( x ) = x , \ / x G X được gọi là ánh xạ đồng nhất trên tập X, ký hiệu bời id x Ta có id ỵ là song ánh Trường hợp X = R là tập số thực thì ỉd R chính là hàm số bậc nhất thông thường: y = X

Giả sử X c Y , khi đó ánh xạ / : X -» Y cho bời f [ x } = x , V x e X được gọi

là ánh xạ nhúng tập con X vào tập Y.

Ví dụ 1) Ánh xạ / : R -> R cho bởi X h-» sin X không đom ánh, không toàn

ánh

2) Ánh xạ / : R -> R cho bởi X h-» e x là đơn ánh và không toàn ánh

3) Ánh xạ f : {1,2} —> Ịứf,ò,c} cho bởi / ( 1 ) = a , / ( 2 ) = c là đơn ánh nhưng

không toàn ánh

4) Ánh xạ / : R -> R cho bời X 2 x + 3 là song ánh.

5) Ánh xạ / : N —> N* cho bởi n l-» n + 1 là song ánh.

Một số hình ảnh minh họa ánh xạ, đơn ánh, toàn ánh, song ánh:

1.3.4 Tích của các ánh xạ

Cho các ánh xạ / : X Y ; g :Y -» z Ánh xạ h : X —> z xác định bởi

V x e X , h ( x ) = g ( / ( x ) )

được gọi là hợp thành hay tích của ánh xạ / và g , ký hiệu bởi h = g ° f

Ví dụ Giả sử / và g là các ánh xạ từ K vào E cho bởi:

Nếu f và g đều là đom ánh thì g o f là đom ánh.

Nếu f và g đểu là toàn ánh thì go f là toàn ảnh.

Nếu f và g đều là song ánh thì g o / là song ánh.

c) Nếu f : X -> Y là ánh xạ thì f : X -» I m ( / ) sẽ là toàn ảnh và do đó

nếu f : X -* Y là đơn ánh thì f : X -» I m ( / ) sẽ là song ánh.

Phép chứng minh ba tính chất trên xem như những bài tập

1.3.5 Ánh xạ ngược

Giả sừ / : X -» Y là một ánh xạ Nếu tồn tại một ánh xạ g : Y -> X sao cho

g ° f = ỉ d ỵ \ f ° g = ìd Y thì ta gọi g là ánh xạ ngược của / .

N hận xét Ánh xạ ngược của một ánh xạ nếu cỏ thì duy nhất.

Thật vậy, giả sừ ánh xạ / có các ánh xạ ngược là g và k Khi đó, ta có

g = i d x o g = ( k o f ) o g = k o ự o g ) = k o i d y = k

Từ nhận xét trên, nếu / có ánh xạ ngược là g : Y -» X thì ta ký hiệu g = f ~ x

và ta cỏ: f ' o / = ỉd x ; / o / - ' = id y

N hận xét Ảnh xạ f ~ x cũng là ánh xạ ngược của f hay Ị / ~ ' Ị = /

Vậy / và là cặp ánh xạ ngược của nhau Nói riêng, khi Y = X và f ~ x = f nghĩa là / ~ ' ( x ) = / ( x ) , Vjc G X thì / được gọi là ánh xạ đổi hợp.

1.3.6 Định lý Ánh xạ f : X -> Y cỏ ánh xạ ngược khi và chi khi f là một song

ánh.

Chứng minh Giả sử / : X -> Y là song ánh Thế thì với bất kỳ y e Y , tồn tại

duy nhất một phần tử X e X sao cho / ( x ) = y Do đó, ánh xạ g : Y -» X xác định bởi: g ( y ) = X là ánh xạ ngược của ánh xạ / Thật vậy, với Vx 6 X \Vy e Y , ta có:

(g '0 / ) ( * ) = g ự (x) ) = ■ ( / ° g ) (y) = f ( g ( y ) ) = y •

Ngược lại, giả s ử / : X Y có ánh xạ ngược là g : Y -» X , ta chứng minh

f : X - * Y là song ánh Thật vậy, với X],X2 ^ X :

trên X, tức là f 1 ° f — ìd x Tương tự f o f 1 = idy là ánh xạ đồng nhất ừên Y.

2) Nếu / : X -» Y , g :Y -> z là các song ánh thì g o f cũng là song ánh và ta

có công thức tính nghịch đảo của song ánh tích: ( g o / ) 1 = / ' ' ũ g ' 1

Phép chứng minh chúng xem như những bài tập dành cho bạn đọc

1.3.7 Thu hẹp và mở rộng của một ánh xạ

Giả sử / : X -> Y là một ánh xạ, A (Z X là tập con thực sự của X Ánh xạ

g : A -» Y cho bởi g { x ) — f ( * ) ; V x € A gọi là thu hẹp của ánh x ạ / : X -» Y vào

tập con A của X, ký hiệu bởi g —J A

Nếu X ID X , x ^ X thì ảnh xạ h : X ' Y sao cho

h ( x ) = f [ x Ỵ y x e X

được gọi là mở rộng của ánh xạ / : X -> Y lên tập x'.

Chú ý rằng, với một ánh xạ / ; X -> Y cho trước có thể tồn tại nhiều mở rộng

của nó ngay cả khi tập X được hoàn toàn xác định.

1.3.8 Lực lưọng của một tập họrp

Cho các tập hợp A v à B khác rỗng Nếu tồn tại một song ánh f : A —> B thì ta nói

các tập A và B có cùng lực lượng hay có cùng bản sổ Lực lượng (hay bản số) của tập

tập A được ký hiệu bởi \Ạ hoặc card(A) Bản sổ của tập rỗng ký hiệu bời 0 Bản số

của tập đom tử ký hiệu bởi 1

Nếu A và B có cùng lực lượng, thì ta nói A tương đương với B và ký hiệu: A ~ B

Như vậy: \A\ = |i?| <=> A ~ B.

Ta có: A ~ A ; nếu A ~ B thì B ~ A và nếu A ~ B ~ c thì A ~ c Như vậy,

quan hệ ~ thỏa mãn các điều kiện của một quan hệ tương đương

1.3.9 Định nghĩa Mỗi tập A tương đương với tậpN các số tự nhiên gọi là tập có

lực lượng đếm được hay tập đếm được.

Lực lượng của tập đếm được ký hiệu bởi K0(đọc là Alep không)

Mọi phần tử của một tập đếm được có thể liệt kê thành dãy vô hạn:

và ngược lại

Ví dụ về các tập đếm được

1) Tập hợp mọi số tự nhiên N* khác 0 là tập đếm được nhờ song ánh / giữa N

và N* được xác định bởi « < - > « + 1

2) Tập hợp mọi số tự nhiên chẵn là tập đếm được nhờ song ánh / giữa N* và tập

này được xác định bởi n <-> 2 «

3) Tập hợp mọi sổ nguyên dương lẻ là tập đếm được nhờ song ánh / giữa N’ và

tập này được xác định bởi n <-> 2 n + 1

Ta nhận thấy qua các ví dụ trên một tập hợp vô hạn có thể tương đương với một tập con thực sự nào đó của nó Tính chất này là đặc trưng của các tập vô hạn

1.3.10 Lực lượng contỉnuum, Giả thiết continuum

Trong phần trên ta đã gặp các tập đếm đuợc nghĩa là các tập cùng lực lượng với

tập các số tự nhiên Phát sinh câu hỏi: Tồn tại hay không các tập vô hạn có lực lượng

không đếm được? Định lý Cantor sau đây cho câu trà lời khẳng định: Tập hợp các điểm của đoạn [0; l] có lực lượng không đếm được.

Có thể chứng minh định lý này nhờ nguyên lý “dãy đoạn thắt” của Borel

Lực lượng của tập của đoạn [0; l] và của các tập cùng lực lượng với nó gọi là lực

lượng continuum, ký hiệu bởi c hoặc hoặc 2 K°

Bằng phương pháp thiết lập các song ánh thích hợp có thể chứng minh rằng tập hợp các điểm của đoạn [ứ ;6], của khoảng của toàn bộ đường thẳng thực( -00, 00) đều có lực lượng c.

Định lý sau cho thấy tồn tại các tập có lực lượng cao hom lực lượng c.

Cho X l à một tập hợp tuỳỷ, thế thì p ( X ) gồm tất cả các tập con của X, có lực lưọng lớn hơn lực lượng cùa X.

Nói riêng, khi X là tập hữu hạn gồm n phần tử thì nhờ công thức Newton ta có số phần tử của p ( X ) sẽ là 2".

Định lý trên cho thấy với bất kỳ tập nào có lực lượng cho trước, luôn tồn tại các tập có lực lượng lớn hơn Nói cách khác “thang đo lực lượng" là vô tận Chúng ta thừa nhận không chứng minh các định lý được dẫn ra ở phần này

Có thể thấy được lực lượng continuum mạnh hom lực lượng đếm được, nhưng có

tồn tại lực lượng a nào trung gian sao cho H0 < a < 2^° nằm giữa lực lượng đếm được

22 Đại số tuyến tính

và lực lương continuum không (Giả thiết continuum)? v ấ n đề này mãi đến năm 1963,

Paul Cohen mới giải quyết được: Không thể chứng minh được sự tồn tại một lực lượng

như vậy nhưng cũng không thể bác bỏ được điều đó.

trong đó ( / ( 1 ) , , / ( « ) ) là một hoán vị của ( 1 , 2 , Ngược lại, nếu

( / ( 1 ) , , / ( « ) ) là một hoán vị của (1 ,2 , , n ) thì ánh xạ / : X -» X cho bởi

/ =

/ ( 1 ) / ( 2 ) / ( I I )

e S

1.4.4 Phép nhân phép thế bậc n Giả sử / và g là các phép thế bậc n Khi đó, /

và g là các song ánh trên tập X, do đó tích g o / cũng là một song ánh trên X hay g o /

cũng là một phép thế bậc n Ta định nghĩa phép nhân phép thế bậc n là phép nhân các

gọi là một nghịch thế cùa / nếu / ( / ) > / O )

Số các nghịch thế của / được ký hiệu bời N ( / )

Dấu s i g r t { f ) của / được định nghĩa bởi công thức s i g n ự ) =

trong đó N ( / ) là sổ các nghịch thế của phép thế /

Phép thế / được gọi là phép thế chẵn nếu s i g n { f ) = 1 và trong trường hợp

ngược lại nếu s i g r t ( f ) = - 1 thì ta nói / là phép thể lẻ.

là tồng của —— số chẵn, do đó là một số chẵn Vậy, / là phép thế chẵn với

b) Trường hợp n là số chẵn: số nghịch thế của / lả tổng của — số lẻ sau

- Nếu n = 4k + 2, k e N thì N ự ) = 4 k 2 +4& + 1 là số lẻ, hay/ là phép thế lẻ.

1.5 SỐ PHỨC

Phương trình đại số đơn giản nhất vô nghiệm trên trường số thực là phương trình

A'2 + 1 = 0 Sự phát triển của toán học, khoa học đòi hỏi phải mở rộng tập hợp các sổ

thực thành một tập hợp sổ mới (gọi là tập hợp các sổ phức) sao cho phương trình trên

cỏ nghiệm Vì vậy, phải công nhận sự tồn tại của một "số mới", số ảo i là số có bình phương bằng - 1 hay i là nghiệm cùa phương trình X2 + 1 = 0 Mở rộng hơn, các số

a + b i , với a, b là các sỗ thực gọi là các số phức Với sổ phức, người ta chứng minh được Định lý cơ bản của Đại sổ: Mọi đa thức bậc n > 1 với hệ sổ phức đểu có ít nhất một nghiệm phức.

Nhà toán học Italia R Bombeỉỉi (1526 - 1573) đã đưa ra định nghĩa đầu tiên về sổ phức, lúc đó được gọi là số "không thể có" hoặc "sổ ảo" trong công trình Đại số (Boỉogne, ỉ 572) Ông đã định nghĩa các sổ phức khỉ nghiên cứu các phương trình bậc

ba và đã đưa ra căn bậc hai của -1.

Đầu thế kỷ XVIII, nhà toán học người Pháp là A De Moivre ( ỉ 667 - 1754) tìm được mối liên hệ giữa số phức và lượng giác Vào năm 1746, nhà toán học Pháp

D 'Alembert (1 7 1 7 - 1783) xác định được dạng tổng quát cùa số phức và đưa ra chứng minh đầu tiên cùa Định lý cơ bản của Đại số Nhà toán học Thụy S ĩ L Euler (1707 - 1783) đã đưa ra ký hiệu "ỉ” để chi căn bậc hai của - 1 Vào năm 1799, Gauss (1777 -

1855, người Đức) đưa ra chứng minh đầy đủ Định lý cơ bàn của Đại sổ.

Đầu thế kỳ XIX, ngành Lý thuyết hàm sổ biển số phức (Giải tích phức) phát triển mạnh mẽ gắn liền với tên tuổi cùa một số các nhà toán học nổi tiếng nghiên cứu lĩnh

vực này như Euler, Gauss, Rỉemann, Cauchy, Weierstrass và nhiều nhà toán học khác ở

thế kỳ XX Ngày nay, ngành Giải tích phức được phát triển mạnh với những ứng dụng sâu sắc trong toán học, vật lý, kỹ thuật.

ỉ.5.1 Dạng đại sổ của số phức

Sổ phức là một biểu thức có dạng a + b i\ trong đó a, b là các số thực, ỉ được gọi

là đơn vị ảo với i 2 — —l Nếu ký hiệu a = a + bi thì a được gọi là phần thực, b được gọi là phần ảo của số phức c t Ta ký hiệu a = Re(a), b = im(a) ■ Dạng biểu diễn

a = a + bi nói ừên được gọi là dạng đại sổ của số phức c c

Ký hiệu c là tập hợp tất cả các số phức

Số phức a = a + 0 / có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết:

a = a+0i = a e E c C

26 Đại sô tuyên tính

Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảơ: a = 0 + bi = bi, b G R.

Số phức không 0 = 0 + 0/ là số phức có phần thực bằng 0 và có phần ảo bàng 0

Ta gọi các số phức a = a + bi và /? = c + di là bằng nhau và viết a - p nếu

1.5.2 Các phép toán trên các số phức dưới dạng đại số

Định nghĩa các phép toán trên các số phức dưới dạng đại số như sau:

y được gọi là thương trong phép chia cc cho p Ký hiệu: ỵ = —

Nói riêng, ta ký hiệu / r ' = — ,(/? * 0) và gọi / r ' là sổ phức nghịch đảo của p

Bây giờ, chúng ta tìm thương của hai số phức dưới dạng đại số

Vậy, ta có phép chia hai số phức dưới dạng đại số như sau:

r = ^ = = - ~ z- - r + -7 — — /; (c + 6T * 0)/? c + í ủ c + ứ? c + í/

/? c + d i c 2 + d 2 c 2 + d 2

là số phức nghịch đảo của số phức /3 = c + di ± 0.

1.5.3 Biểu diễn hình học của số phức

Trong hệ toạ độ Descartes Oxy, để biểu diễn một số phức ta có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung chỉ tọa độ phần ảo Vì vậy, trục hoành Ox gọi

là trục thực, trục Oy gọi là trục ảo, mặt phẳng tọa độ Oxy gọi là mặt phẳng tọa độ phức Trong mặt phẳng tọa độ phức Oxy, ta biểu diễn số phức a = a + b i bởi điểm M

có tọa độ (a ,b ) Vectơ ~ÕM được gọi là vectơ biểu diễn hình học của số phức

a - a + b ỉ

Giả sử số phức a = a + b i * 0 Khi đó, độ dài r của vectơ O Ã Ĩ gọi là môđun của số phức cc và ký hiệu bởi |a Ị Góc luợng giác ọ (số đo bởi radian và xác định sai khác một bội nguyên của 2 7 t ) tạo bởi chiều dương trục Ox với vectơ 0 Ã ĩ được gọi là

acgumen của số phức ữ và ký hiệu bởi ẹ = a r g ( a ) Ta có:

r = \ a \ = \ O M 1= y/a2 + b 2 ; t g ọ b

a

1.5.4 Dạng lượng giác của số phức

28 Đại sổ tuyến tính

Cho a = a + bi là số phức khác 0 Biểu diễn (X lên mặt phăng tọa độ phức, ta

có:

a = r c o s ọ , b = r s i n ọ , a = a + bi = r ị c o s ọ + isirup ) ■

Ta gọi dạng biểu diễn a = r(cos(p + / sin ọ ) , với r = a , (Ọ = a rg ( a ) , là dạng

lượng giác của số phức ơ

1.5.5 Phép lũy thừa của số phức

Cho a = a + bi là một số phức khác 0 và n là số nguyên Ta định nghĩa lũy thừa

bậc n của số phức oc như sau:

•Với n nguyên dương: a n = a a a V -v J

n

• Với n nguyên âm: 0? = ( ữ *)

• Với n = 0, ta quy ước a° = 1.

1.5.6 Phép nhân và chia sổ phức dưới dạng lượng giác

Cho các số phức a , p cỏ dạng biểu diễn lượng giác:

a = r ( c o s < p + i s i n <p), p = s ( c o s t ỵ + / s i n Iff ) Khi đó, phép nhân và phép chia hai số phức a , p dưới dạng lượng giác được thực hiện như sau:

a p = rs^cosíộ?+ y/) + i sin(ỹ>+ \j/)\

1.5.7 Công thức lũy thừa Moivre

Cho số phức (X viết dưới dạng lượng giác a = r(cos<p + /sin <p) Khi đó, với mọi

số nguyên dương n, ta cỏ:

a " = ( r (cosộ? + /sinộ?))” = r" (co sn(p + isỉnn<p).

Đặc biệt khi r = 1, ta có

(cosộ7+7'sin^)” =Qjữẫrup+ismn(p.

Chứng minh Ta chứng minh công thức trên bằng quy nạp theo n:

* Với n = 1 công thức hiển nhiên đúng.

* Giả sử có a "~1 = r n~l (cos ( n - l ) ạ > + i s i n ( n - l ) < p ) K h i â ó , ta có:

a " = a anA = r(cosẹ? + /sinộ?) r nA (cos ( n - ỉ ) ọ + i s ' m ( n - ỉ ) ọ )

= r " (c 0 s ộ 9 c 0 s ( /ĩ-l) ộ ? - s in ộ 7 s in (« - l) í3 ) = r"(co s «ộ? + sin nọ).

1.5.8 Khai căn số phức Cho n g N , n >2 Giả sử a = a + ib là một số phức

cho trước Khi đó, số phức co sao cho (ữ" = a được gọi là một căn bậc n của số phức

a

Rõ ràng chỉ có duy nhất một căn bậc n của 0 là 0.

Nhờ biểu diễn của số phức dưới dạng lượng giác, ta sẽ chi ra rằng mỗi số phức

khác 0 có đúng n giá trị phức căn bậc n.

1.5.9 Định lý Tồn tại đúng n giá trị phức là căn bậc n của sổ phức

a = r ( c o s ọ + /sin ọ ) * 0,

a = r (c o sọ + i sin (Ọ ), Cờ = s(co s6 + isin 0 ).

Ta có: co" = a < 5sn (cos(n0 ) + isin (n ỡ )) = r (cos(p + /■ sin ọ )

ỉ 5.10 Hệ quả Tồn tại đúng n giá trị phức là căn bậc n cùa số phứ c đom vị a = 1

, được xác định bởi công thức sau đây:

phẳng tọa độ phức biểu diễn của chúng là n đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp

trong đường tròn tâm là gốc tọa độ o và bán kính R = \[ r .

Đặc biệt, trên mặt phẳng tọa độ phức biểu diễn hình học của các căn bậc n của đơn vị 1 là n đỉnh của một đa giác đều n cạnh, nội tiếp đường tròn đơn vị có tâm là gốc

Ta có biểu diễn hình học của ba căn bậc 3 của số phức a

đỉnh của một tam giác đều tâm o bán kính R = \Ỉ 2 :

y Ị Ĩ +yj2 i là ba

1.5.12 Số phức liên họp

32 Đại số tuyến tính

Ta gọi sổ phức liên hợp của số phức a = a + bi là số phức ơ — ữ — b i

Ta thu được một số tính chất đơn giản của số phức liên hợp:

1) a = a C a e R ; 2) a + a = 2a ;

3) a a = a2 + b2 = | a | 2;

4) a + p = a + p ; 5) aỊ3 = a p ;

6) a " = a 7) Cho / ( x) là một đa thức hệ sổ thực Khi đó, nếu a = a + b i là một nghiệm phức của f (x) thì sổ phức liên hợp (X = ữ —bi của ct cũng là nghiệm phức của f (x)

Bạn đọc tự chứng minh các tính chất trên như những bài tập

5 = (1 + / + /2 + /J) + • • • + (/4* + iAk+' + /4Í+2 + iAk+ĩ) = 0.

V- - - v - - - /

*+!()

1 6 MỘT SỐ CÁU TRÚC ĐẠI SỐ TỔNG QUÁT

Các cấu trúc đại số đóng vai trò quan trọng trong Toán học Sau đây, chúng ta tìm hiểu một số cấu trúc đại số cơ bản: Nửa nhóm; Nhóm; Vành; Miền nguyên; Trường

1.6.1 Phép toán đại số 2-ngôi

Cho X là tập khác rỗng Ta gọi một phép toán đại sổ 2-ngôi (phép toán) trên X

là một ánh xạ / : X X X -> X Giá trị / ( x , y ); X , y e X gọi là kết quà của phép

toán 2-ngôi / đối với cặp phần tử ( X, y ) và thường được ký hiệu bởi:

X + y ; x y ; x T y ; X * y

Để đcm giản, ta thường ký hiệu theo lối nhân, trong đó dùng ký hiệu tích xy.

Ví dụ - Phép cộng, phép nhân các số tự nhiên là phép toán đại số 2-ngôi trên tập

N

- Phép hợp, phép giao các tập con là phép toán đại số 2-ngôi trên hợp @(A)

- Phép cộng các số nguyên chẵn là phép toán đại số 2-ngôi ừên tập 2 Z các số nguyên chẵn

- Phép cộng các số nguyên lẻ không phải là phép toán đại số 2-ngôi trên tập các

Nừa nhóm có đơn vị: 3e e s : ea = ae = a\ Va e s được gọi là vị nhóm.

Ngoài ra, nếu phép toán trong nửa nhóm s thoả mãn tính chất giao hoán nghĩa là

x y = yx; V X, y e s , thì ta gọi s là nửa nhóm giao hoán (hay nửa nhóm Aben).

Ví dụ: 1) Tập hợp N các số tự nhiên với phép cộng là một vị nhỏm giao hoán.2) Tập hợp N’ các số tự nhiên khác 0 với phép nhân là một vị nhóm giao hoán

3) Tập hợp P(A) các tập con của tập A với phép hợp là vị nhóm giao hoán.

4) Tập hợp p( Ẩ) các tập con của tập A với phép giao là vị nhóm giao hoán.

Ngoài ra, nếu phép toán trong nhóm G thoả mãn tính chất giao hoán nghĩa là

xy = y x \ V x , y 6 G , thì ta nói G là nhóm giao hoán hay nhóm Aben.

Số phần tử của nhóm G được gọi là cấp của nhóm G Nếu nhóm G có hữu hạn phần tử thì ta nói G là nhóm hữu hạn Ngược lại, ta nói G là nhóm vô hạn.

Ví dụ 1) Nhóm cộng z các số nguyên 2) Nhóm cộng Q các số hữu tỉ.3) Nhóm cộng R các số thực 4) Nhóm cộng c các số phức

5) Nhóm nhân (ựcác số hữu ti khác 0 6) Nhóm nhân R* các số thực khác 0

7) Nhóm nhân c* các số phức khác 0 8) Nhóm nhân s các phép thế bậc n.

ỉ 6.4 Vành

Vành là tập R khác rỗng trên đó đã trang bị hai phép toán cộng và nhân, ký hiệu

bởi dấu (+) và nhân (.), thỏa mãn các điều kiện sau:

1) R với phép cộng là nhóm Aben.

2) R với phép nhân là nửa nhóm.

3) Phép cộng và phép nhân liên hệ với nhau bời luật phân phối hai phía:

x ( y + z) = xy + xz; ( y + z)x = yx + zx\ \ ! x , y , z e R.

Nếu phép nhân trong vành R giao hoán thì ta nói R là vành giao hoán.

Nếu phép nhân trong vành R có đom vị thì ta nói R là vành có đơn vị, phần tử đơn vị của vành R nếu có thì được ký hiệu bời 1.

Phần từ đơn vị của phép cộng trong vành R gọi là phần tử không của vành R và

được ký hiệu bởi 0

Ví dụ 1) Vành z các số nguyên 2) Vành Q các số hữu ti 3) Vành R các sốthực

4) Vành c các số phức 5) Vành z các sổ nguyên modn.

6) Tập đơn tử {0} với phép cộng và nhân:0 + 0 = 0; 0.0 = 0 là một vành giao

hoán có đơn vị (phần tử 0) và được gọi là vành không.

1.6.5 Miền nguyên

Miền nguyên D là một vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và

không chứa ước của 0 theo nghĩa: Vx, y e D , x * Q , y ± 0 = > x y * 0

Ví dụ 1) Miền nguyên z các số nguyên

2) Miền nguyên Q các số hữu tỉ

3) Miền nguyên K các số thực

4) Miền nguyên c các số phức

5) Vành z các số nguyên modrt là miền nguyên khi và chi khi n là số nguyên

tố Như vậy, ta có vô hạn các miền nguyên: z 2; Z 3; Z 5

6) Tập đơn tử {0} với phép cộng và nhân: 0 + 0 = 0; 0.0 = 0 là một vành

giao hoán có đơn vị (phần tử 0) nhưng không phải là miền nguyên

1.6.6 Trường

Trường là một miền nguyên sao cho mỗi phần tử khác 0 của nó đều khả nghịch,

nghĩa là mỗi phần tử khác 0 của nó đều cỏ phần tử nghịch đảo đối với phép nhân

Ví dụ

1) Trường Q các số hữu tỉ

2) Trường R các số thực

3) Vành z các số nguyên mod/7 là trường khi và chỉ khi n là số nguyên tố Như

vậy, ta có vô hạn các trường: z 2; z 3; z 5

1.6.7 Định lý Tập hợp c các sổ phức với phép cộng và nhân lập thành một

trường và được gọi là trường các sổ phức.

Chứng minh Kiểm ừ a được phép cộng và phép nhân các số phức thỏa mãn:

1) Phép cộng có tính chất kết hợp: a + (/? + ỵ ) = ( a + P ) + y - y a , p , Ỵ 6 c

2) Phép cộng có tính chất giao hoán: a + /3 =/ 3+ a , \ / a , p e c

3) Phép cộng có phần tử đơn vị: 30 e C sao cho a + 0 = a , V a e C

4) Phép cộng có phần tử đối: Với mỗi số phức a = a + bi e c , luôn tồn tại số phức - a = ( - a ) + ( - b) i e c sao cho ơ + ( — a ) = 0

5) Phép nhân có tính chất kết hợp: a {P ỵ ) = (aP)ỵ-, V a , p , y e c

36 Đại số tuyến tính

6) Phép nhân có tính chất giao hoán: a (ỉ = / ? a , v a , p G c

7) Phép nhân có phần tử đơn vị: 31 e c sao cho a 1 = a , V a e c

8) Phép nhân khả nghịch: Với mồi số phức 0 ± a = a + bi e c , tồn tại số phức

1 Táp hợp, tập hợp con, họ các tập hợp con của một tập hợp

2 Các phép toán trên các tập hợp Tích Descartes của các tập hợp

3 Ánh xạ; Ánh xạ bằng nhau; Phép nhân ánh xạ; Đơn ánh, toàn ánh, song ánh; Ánh xạ ngược; Thu hẹp và mở rộng ánh xạ

4 Quan hệ Ệưomg đương, lớp tương đương và tập hợp thương

5 Quan hệ thứ tự và các phần tử đặc biệt trong tập được sắp thứ tự

6 Phép thế bậc n Dấu của phép thế Phép thế chẵn, phép thể lẻ.

7 Khái niệm số phức Dạng đại sổ và dạng lượng giác của số phức

8 Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa và khai căn trên các số phức

9 Biểu diễn hình học của số phức, môđun và acgumen của số phức

10 Công thức Moivre về lũy thừa của số phức dưới dạng lượng giác

11 Số phức liên hợp, số phức nghịch đảo và các tính chất của chúng

12 Căn bậc n của một số phức.

13 Một số cấu trúc đại sổ tổng quát: Nửa nhóm, nhóm, vành, trường

14 Các trường số hữu tỉ, thực, phức

B Các kỹ năng cơ bản:

1 Xác định tập họp, tập con; xác định tính chất đặc trưng của một tập hợp

2 Thực hành các phép toán trên tập hợp Biểu diễn tập hợp bằng sơ đồ Ven

3 Chứng minh các đẳng thức về tập hợp với hai phương pháp chứng minh chủyếu sau đây:

a) Dùng các tính chất của các tập hợp và các phép toán tập hợp biến đổi một hoặc

cả hai vế của đẳng thức cần chứng minh;

b) Chứng minh trực tiếp theo định nghĩa về sự bằng nhau của các tập hợp: Mỗi phần tử thuộc tập vế trái cũng thuộc tập vế phải và ngược lại)

4 Xây dựng quan hệ 2-ngôi ưên một tập hợp; kiểm tra các tính chất có thể có của một quan hệ 2-ngôi (phản xạ, phản xứng, đối xứng, bắc cầu, toàn phần)

5 Xây dựng ánh xạ; Tìm ảnh của tập con, xác định I m ( / ) ; Tìm miền giá trị của hàm số; Tìm tạo ảnh toàn phần của một tập con; Giải phương trình trên các ánh xạ; Thực hành nhân ánh xạ; Kiểm tra tính đơn ánh, toàn ánh, song ánh của ánh xạ; Tìm ánh

xạ ngược của một song ánh; Tìm miền giá trị của các hàm số

6 Thực hành phép toán trên các số phức dưới dạng đại số

7 Biểu diễn số phức dưới dạng lượng giác

8 Thực hành phép toán trên các số phức dưới dạng lượng giác

9 Giải phương trình trên trường số phức

10 Khai căn số phức

11 Sử dụng công cụ số phức giải quyết các bài toán đại sổ, số học, lượng giác

12 ứ n g dụng số phức vào việc giải các bài toán hình học phẳng và không gian

13 ứ n g dụng dạng lượng giác của số phức vào việc tìm nguyên hàm và tính tích phân xác định

14 Kiểm tra một số cấu trúc đại số trên các tập hợp số

BÀI TẬP CHƯƠNG 1

1 a) Cho X = ; Y = ị a , b , c , x } trong đó các chữ cái khác nhau biểu thị

các phần tử khác nhau; các chữ trùng nhau biểu thị một phần tử Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) X = Y , b ) í c í c) X n Y = X

2 Hãy liệt kê phần tử của các tập hợp sau:

a) Tập hợp các số tự nhiên có 2 chữ số với tổng của hai chữ số bằng 15

b) Tâp hợp các số chẵn từ tập hợp A = { 0 ,1 ,2 ,4 ,5 ,7 ,9 ,1 0 ,1 5 ,1 4 }

c) Tập hợp các số nguyên tố chẵn không vượt quá 50.

3 Cho tâp hợp sau: X = Ị l , 2 , 4 , 5 Ị

Hãy liệt kê các phần tử các tập hợp dưới đây :

a) Các số được viết bởi 4 chữ số thuộc X.

Xác định quan hệ bao hàm giữa các tập A, B, c , D

6 Trên đoạn thẳng AB lần lượt lấy hai điểm phân biệt c và D không trùng với hai đầu mút A, B Hãy liệt kê các đoạn thẳng tạo bởi 4 điểm A, B, c , D

Hướng dẫn: Có 6 đoạn thẳng AC, AD, AB, CD, CB, DB

7 Trên cạnh BC của tam giác ABC lần lượt lấy hai điểm phân biệt D và E không trùng với hai đinh B, c Hãy liệt kê các tam giác tạo bời 6 điểm A, B, c , D, E

8 Cho hàm số y = X2 Tìm các giá trị củay với X e {1 ,-1 ,2 ,-2 ,3 , - 3 ,4 , - 4 }

9 Chửng minh ràng: Trong tập hợp X = p ( A ) các tập con của tập hợp A, quan

hệ bao hàm CỊ có tính phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu và không có tính đối xứng

10 Chứng minh rằng: Quan hệ cùng tính chẵn lẻ trong tập hợp các số tự nhiên N

là quan hệ cỏ các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu nhưng không có tính phản xứng

11 Trên mặt phăng (P) lấy một điểm o cố định Định nghĩa quan hệ hai ngôi s

như sau: Với mọi điểm M, N thuộc P ; M S N khi và chỉ khi các điểm 0 , M, N thẳng

hàng Hãy kiểm tra các tính chất có thể có của quan hệ s ,

12 Chứng minh các tính chất sau của các tập con của một tập cổ định X.

38 Đại số tuyến tính

a) [ Ã} = A\

b) Ã V B = B v Ă ;

c ) A c B = > B [ A v B = X

14 Chứng minh các tính chất sau của hiệu đối xứng

a ) A + 0 = A;

b) ( A + B ) + C = Ẩ + ( B + C) ; c) Ẩ r i ( B + C ) = ( A n B ) + ( A n C ) ;

d ) A u B = ( A + B ) v ị A n B )

15 Chứng minh

Ú 4 Ì - Í Ú b/ Ì s Ú ( 4 8 , ) V1-1 J V 1*1 ) i*i

40 Đại số tuyến tính

c)

A \ X = B,

X \ A = C. với A,B,c đã cho thỏa mãn B cz A',A n c = 0

17 Cho A = [ 0 ; l ] u [2;3] ,B 2 0; - u M I _ 2 _ trong đó \ữ ,b ị ký hiệu các

đoạn có các mút a, b Biểu diễn hình học tập Ẩ x B

19 Trên tập R , ta định nghĩa hai quan hệ như sau:

a S b <=> a 2 < b 2,

a S b o c o s a = cosb,

frong đó các ký hiệu = và < hiểu theo nghĩa thông thường Các quan hệ này có

là quan hệ tương đương không? có là quan hệ thứ tự không?

20 Trên tập R , quan hệ s xác định bởi aSb o a 3 - ồ3 = a - b có là quan hệ tương đương không? Nếu phải, hãy chi ra các lớp tưcmg đương chứa a e K

21 Trên tập N 2 quan hệ s xác định bởi ( a , ò ) s ( c , d ) <£>a + d = b + c có

là quan hệ tương đương không?

22 Trên tập A gồm các tam thức bậc hai

A = { / ( * ) = a x 2 + bx + c ,a * 0 , x e e Ị

cho quan hệ s xác định bởi

f ( x ) S g ( x ) o ( / ( 1 ) = g ( 1)) và ( g ( 2 ) = / ( 2 ) )

Chứng minh rằng, s là một quan hệ tương đương trên A.

23 Cho E là tập khác rỗng, s là quan hệ trên E có tính phản xạ và bắc cầu Chứng tỏ rằng, quan hệ R trên E xác định bởi x R y <=> (xS_y) A (jaSx) là quan hệ

tương đương