Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn Toán

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 10 môn Toán

TRƯỜNG THPT MINH CH¢U ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG

MƠN THI: TỐN 10 – Thời gian làm bài: 180 phút.

Câu 1 (1 điểm)

Cho hàm số y x = 2 − 4 x + 3 cĩ đồ thị (C) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình: x2 − 4 x + = 3 2 m + 1 cĩ đúng 2 nghiệm.

Câu 2 (1 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:

mx − m − x + m − = cĩ hai nghiệm x x thỏa mãn: 1, 2 x1+ 2 x2 = 1

Câu3 (3 điểm)

x y x y





+ + − =



2) Giải phương trình: 9( 4 x + − 1 3 x − = + 2) x 3

3)Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình sau cĩ nghiệm duy nhất:

x + x + − + x − = x m

Câu 4 (4điểm)

1) Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G, M là điểm bất kì Chứng minh rằng:

MA2 + MB2 + MC2 = 3 MG2 + GA2 + GB2 + GC2 Khi M thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, tìm vị trí của M để MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị bé nhất.

2.)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho điểm M (1; 1) − và hai đường thẳng d x y1: − − = 1 0 ,

d2: 2 x y + − = 5 0 Gọi A là giao điểm của d1 và d2.

a Viết phương trình đường trịn cĩ tâm nằm trên d1, đi qua điểm M và tiếp xúc với d2.

b Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M cắt d1, d2 lần lượt ở B và C sao cho ba điểm A, B, C tạo thành tam giác cĩ BC = 3AB.

3) Trong hệ trục Oxy cho ∆ABC cĩ 2; 1 , B ( − ) đường cao hạ từ A và phân giác gĩc C lần

lượt cĩ phương trình 3 x − 4 y + 27 0 = và x + 2 y − = 5 0 Tìm tọa độ điểm A và điểm C Phân giác gĩc C nĩi trên là phân giác trong hay phân giác ngồi?

Câu 5 (1 điểm) Cho ba số thực dương , , a b c thỏa mãn a b c + + = 3 Chứng minh rằng:

2

a bc b ca c ab + + ≥

********HẾT********

Họ và tên học sinh:……….Lớp:……

ĐỀ CHÍNH THỨC

Gọi đường tròn cần tìm là (T) có tâm I, bán kính là R Vì I d ∈ ⇒1 I a a ( ; − 1 )

(T) qua M và tiếp xúc d2 nên ta có:

2

5

+ − −

⇔ a2+ 26 a − 31 0 = ⇔ = − ± a 13 10 2

• a = − − 13 10 2 ⇒ − − I ( 13 10 2; 14 10 2 ; − − ) R = 5 9 6 2 ( + ) Phương trình (T) là

13 10 2 14 10 2 5 9 6 2 (1)

• a = − + 13 10 2 ⇒ − + I ( 13 10 2; 14 10 2 ; − = ) R = 5 9 6 2 ( − )

13 10 2 14 10 2 5 9 6 2 (2)

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu đề bài với phương trình (1) và (2)

A(2;1) 2x y 5 0 y 1

Lấy điểm E ( ) 3;2 ∈ d E1 ( ≠ A ) Ta tìm trên d2 điểm F ( F ≠ A ) sao cho EF = 3AE

Do F d ∈ ⇒2 F x ( ;5 2 − x )

EF = 3AE ⇔ x − 3 + − 3 2 x = 18

( )

2

0;5 0

;

F x



=







(Cả hai điểm F này đều thỏa mãn F ≠ A )

3

=



• F ( ) 0;5 ⇒ uuur EF ( − 3;3 ) ⇒ ∆ + = : x y 0

uuur

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là

: x y 0

∆ + = và ∆ : 7 x y + − = 6 0

Ñieàu kieän 2

3

x ≥

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )2 ( 2 )

2

82

6

1122

x

x x

x

x

+ − − = +

⇔ = + + − + >

 − ≥





≤

 − ≥



⇔   − + = ⇔  =

=



6

x









ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN 10

Điểm

1.

1)

Tập xác định: R

- Tọa độ đỉnh: I(2; 1− ) Trục đối xứng: x=2

- Gđiểm của đồ thị với Ox: ( ) ( )1;0 , 3;0 , Oy: ( )0;3

0,25

- Đồ thị là parabol quay bề lõm lên trên

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞;2) ,

đồng biến trên khoảng (2;+∞)

0,25

- Bảng biến thiên:

x −∞ 2 +∞

y +∞ +∞

- 1

0,75

- Đồ thị:

0,75

2)

- Vẽ đồ thị hàm số: y= x2−4x+3

0,5

- Số nghiệm của PT: x2−4x+ =3 2m+1 (1)

bằng số giao điểm của đồ thị hai hàm số

y= x − x+ và y=2m+1

0,5

- Đồ thị hàm số y=2m+1 là đường thẳng song

song với Ox, cắt Oy tại M(0;2m+1) 0,25

- Dựa vào đồ thị ta có: PT (1) có đúng hai

nghiệm khi và chỉ khi:

0

2 1 1

1

2 1 0

2

m m

>

 + >

  Vậy m>0 hoặc

1 2

m= −

Nếu thiếu TH 2m+ =1 0 trừ 0,5 đ

0,75

2. Nếu m = 0 PT đã cho trở thành:

2x− = ⇔ =6 0 x 3 (loại)

0,5

Nếu m≠0PT đã cho là một PT bậc hai

' m 1 m m3 2 2m 4m 1

Điều kiện để PT có hai nghiệm là:

( )

Với điều kiện (*) giả sử x x1, 2 là hai nghiệm của

PT Từ yêu cầu bài toán và áp dụng định lí Vi-et

ta có:

2

2 1

2

2 1

m

m

x x

x m

m





0,5

Thay x 2 m

m

−

= vào PT ta có:

(m−2 6) ( m− = ⇔ =4) 0 m 2hoặc 2

3

m=

0,5

Đối chiếu điều kiện ta có: m = 2 hoặc 2

3

m= 0,5

3.

1)

Điều kiện: 7x y+ ≥0; 2x y+ ≥0 Đặt u= 7x y v+ , = 2x y u v+ ,( , ≥0), ta có:

2 2; 7 2 2 2

x= − y= − Ta có hệ:

0,5

2

7 2

5 14 0 1

v

+ =



5

3 2

2 7

u v

v v

= −



=





⇔  =− = ⇔  =





0,5

Với u=3;v=2 ta có: x=1; y=2 Vậy 1; 2

x= y=

0,5

3.

2)

Giả sử x0 là nghiệm của PT, khi đó 1 x− 0 cũng

là nghiệm của PT Do đó để PT có nghiệm duy nhất ta phải có: 0 0 0 1

1

2

0,5

Thay 0 1

2

x = vào PT ta có: m= 2+48 0,5 Với m= 2+48, ta chứng minh PT có nghiệm duy nhất Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

2

 + ≥





( )

4

4

1 1 1

4

x x

x x

 + + + ≥



−

 − + + + ≥



0,5

( ) ( )* , ** ⇒ x+4 x+ 1− +x 41− ≤x 2+48

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: 1

2

x= Vậy m= 2+48

0,5

4.

1)

Ta có:

2

2

2

uuur uuuur uuur uuur uuur

uuur uuuur uuur uuur uuur

uuuur uuuur uuur uuuur uuur

0,5

Do đó:

MA MB MC MG MG GA GB GC

Ta có MA2+MB2+MC2 bé nhất khi và chỉ khi

MG bé nhất

0,5

Điều này xảy ra khi và chỉ khi M là giao điểm của

tia OG vơi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

0,5

4.

2)

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AC,

AB Qua M kẻ các đường thẳng song song với

AB, AC, cắt AC tại L, cắt AC tại N P, Q lần lượt

là chân đường cao hạ từ B, C Ta có ALMN là

hình bình hành nên: MA NA LAuuur uuur uur= +

0,5

Mặt khác:

MAC ABC

S

uuur uuur uuur uuur

MAB ABC

S

uur uuur uuur uuur

0,5

⇒ uuur = − uuur − uuur 0,5

(S MAB S MBC S MCA)MA S MAC.AB S MAB.AC 0

⇔ + + uuur + uuur+ uuur r=

S MA S AB S AC

0,5

4.

3)

BC là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường cao hạ từ A nên có PT:

4 x− +2 3 y+ = ⇔1 0 4x+3y− =5 0

0,5

Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

( )

1;3

C

0,5

Gọi d là đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường phân giác góc C, d có phương trình:

( ) ( )

2 x− −2 y+ = ⇔1 0 2x y− − =5 0 Tọa độ điểm H là giao điểm của d và phân giác góc C là nghiệm của hệ:

( )

3;1

H

0,5

Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua đường phân giác góc C, khi đó B` thuộc AC và H là trung điểm BB` nên ta có:

( )

x = x −x = y = y −y = ⇒B

AC là đường thẳng đi qua C và có vectơ chỉ

0,5

phương CBuuur' 5;0( )

nên có PT là:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:

5;3

A

Vậy A(−5;3 ,) (C −1;3)

0,5

Thay tọa độ A, B lần lượt vào vế trái phương trình đường phân giác góc C ta được các số: − −4; 5,

do đó đường phân giác góc C đó là phân giác ngoài

0,5

5. Áp dụng bất dắng thức Côsi ta có:

3

3

3

1 3

1 3

1 3

a

a bc

b

b ca

c ab

+

+

+

+

+

+

0,5

Suy ra

a b c

a bc b ca c ab

+ +

15

a bc b ca c ab

0,5

Mặt khác: ( )2

9= a b c+ + ≥ab bc ca+ + , 0,5

do đó

4 4 2

a bc+b ca+c ab≥ − =

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c= = =1

0,5