Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 tỉnh hải dương năm 2011- 2012

Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 12 tỉnh hải dương năm 2011- 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH

LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

MÔN THI : TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

(Đề thi gồm 01 trang)

Câu 1 (2 điểm)

1

x y x





 có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M

2 Tìm m để hàm số y 9x m x 2  có cực đại 9

Câu 2 (2 điểm)

1005

1

2

2 Giải hệ phương trình

2 2

1







Câu 3 (2 điểm)

  Từ đó suy ra trong

2

A B C  A B C 

2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y  x 4 4 x 16x2

Câu 4 (3 điểm)

vuông góc với mặt phẳng đáy

1 Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại

B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a

2 M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho

S.AMN

Câu 5 (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a2 b2 c2  Chứng minh 1

a b c

………Hết………

Họ và tên thí sinh:………Số báo danh:……… Chữ ký của giám thị 1:……….Chữ ký của giám thị 2:………

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012

I 1 CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M 1,00

2

1

a

a





a



Tiệm cận đứng 1 có phương trình x 1

1

5 1;

1

a

A A

a





IAB

a





TH 1 m2 81    9 m 9 m x 9 x 9 x2  9( x)nên

2 2

9

x

 

2

27

81

m





9

m

2

27

81

m



9

m

II 1 Giải phương trình 2012 2012

1005

1

2

Đặt t sin ,2 x t 0;1 (1) có dạng: 1006 1006

1005

1

2

Xét hàm số f t( )t1006  (1 t)1006,t 0;1

1005 1005

2

 

1005 0;1 1005

f  f  f    f t 

 

1 (2)

2

t

x  x   x  k (k Z )

0,25

2 2

x y xy





ĐK: y  1 (1)  x y y2  1 x2 1

Kết hợp với (2) ta được

2 2

2

2 2

2 1

x xy

y x

x y xy

2

2 & (2) 3 1

Thử lại ta có x0,y và 1 1 , 2

III 1 Chứng minh tan sin 9 3( 3 ), 0;

x x x  x   

2

2



1 9 2cos 9cos 2 (2cos 1)(cos x 4cos 2) '( ) cos

2

x     x  x  f x

dấu với 1 2cos x Bảng biến thiên của ( )f x

x 0

3



2



'( )

( )

f x

0,25

0,25

f x  x x x  x   

   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

3

x 

Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên , , 0;

2

A B C  

A A A  Tương tự, cộng lại ta được

A B C A B C  A B C   

Kết hợp với A B C   ta có đpcm 

0,25

0,25

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x 4 4 x 16x2 1,00

TXĐ: D  4;4 Đặt t  x 4 4x t,  Bình phương ta 0

được t2  8 2 (x4)(4 x) 8 Dấu bằng có khi x=4

Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có

Do t 0 2 2  t 4

Khi đó

2

2

t

y f t  t    t  t t  

f t   t f t    (loại) t

(2 2) 2 2, (4) 0

Vậy

 4;4  2 2;4

 4;4  2 2;4

maxy max ( ) 2 2f t

    khi x= 4

0,25 0,25 0,25 0,25

IV 1 Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a 1,50

D'

B'

C

A

B D

S

BC  AB BCSABC SAB BC AB

SC P SC  AB AB  SBC  AB SB

Tương tự AD'SD

0,25 0,25

' ' ' ' ' ' '

S AB C D S AB C S AD C

' '

.

S AB C

S ABC

V SB SC SB SB SC SC SA SA

V  SB SC  SB SC  SB SC   (1)

' '

.

S AD C

S ADC

0,25 0,25

Do

3 2

S ABC S ADC

a

Cộng (1) và (2) theo vế ta được

' ' ' '

' ' '

S AB C S AD C

S AB C D

V

( Hình vẽ trang cuối)

.

1

3

S AMN AMN

Trên tia đối của tia DC lấy điểm P sao cho DP BM  x

,

ABM ADP AM AP BAM DAP

MAN  BAM  DAN  NAP DAP DAN  

MAN PAN

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác vuông CMN ta được

x  y  xy a x  ax a  y  ay xy a x y   a 0,25

a ax y

x a



 

 Thế vào (*) ta được

2

1

2

MAN

a ax

x a



 Đặt

2

2

2

2

a

f  f a  , f(( 2 1) ) a a2( 2 1)

 

2 0;

max ( )

2

a

a

f x

 

2 0;

a f x a  Vậy

3

3 max

6

S AMN

a

,





3

3( 2 1) min

3

S AMN

a

0,25

V

a b c

x y

  ta có x2 y2 2xy x2 2xy y2 x2 2x y

y

3 3

a ab c

a ab c

2 2

2

2

a a a a a b b b c c         a b c

Tương tự, cộng lại ta được

a b c

3

a b c

y x

450 A

D

B

C

M

N P