Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 Trang 1 Tỉnh Bắc Giang I Trắc nghiệm (7 điểm) Câu 1 Cho đ[.]
Trang 1CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023
Tinh Bac Giang
I Trac nghiém (7 diém)
Cau 1
Cau 5
Cau 7
a Cho đường tròn tâm Ó có bán kính R day cung AB = 6 Biét AOB = 120° (nhw hinh vé)
Diện tích Ø của phân hình tròn giới hạn bởi cung ø nhỏ AB và dây AP băng
A § = 3(3r— 3) meme A ae
C 9= 4x— 343 D 9= 3|3z — V3]
Có tất cả bao nhiêu số nguyên ?n để hàm số = (7 — m) x + Jm-+2 d6ng bién trén R
# + 1n = m
2
Hệ phương trình |
†n# — 1HỤ — Tmˆ — 2 (m là tham số) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với
—2023 < m < 2023 để hệ có nghiệm duy nhất (z,;„) thỏa mãnz; — 2z, —y, > 0?
Tính tông tất cả các giá trị của tham số?n.,„ biết rằng phương trinh 2? — 3ma — 2m = 0 có hai
x + 3maz, + 6m ? nghiệm phân biệt z ;z, thỏa mãn— T > + + lại = 4
A =3 B.—” 23 c= 17 p = 153
Khi z =1 + Ÿ2 thì biểu thie P = x* — 52° + 92? — 127 +6 co gid tri bang a + /b Gid tri
của 2a — ö là
Cho hai điểm ,Ở thuộc đường tròn (O} voi BOC = 100° Cac tiép tuyén ctia đường tròn (0)
tai B va C cat nhau tai A S6 do gdc ABC băng
023 2
Cho biểu thức f(a 2z” — 21z + 2022)" Tính gia tri cua biêu thức ƒ (z) tại
J2
r= 3 7 + 442 49 3 7 — —
Trang 2
CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023
Cau 8
Cau 10
Cau 11
Cau 12
Cau 13
Cau 14
Cau 15
Cau 16
Cau 17
Trong mặt phắng tọa độ Oz gọi M (x;y, ) la hình chiếu vuông góc của diém O lên đường
thang d: y = mx — m — 2 (với mm là tham số) Khi độ dài đoạn thăng OAZ đạt giá trị lớn nhất,
tinh P= x, + 20,
A P =-3 B P =1 C P =2 D P = -2
ctmy=m+i1 Biét hé phuong trinh (với rm là tham số) vô nghiệm Giá trị của rm là
maz +y = 3m — Ì
Cho tam giác ABØ vuông tại 4, AŒ = 10N3 em Gọi M là trung điểm của BƠ Khi tam giác AMB là tam giác đều, tính chiều cao của tam giác ABC ké tir A
Trong mat phang toa dé Oxy , goi A,B 1a hai diém thay déi thudc hai tia Ox,Oy tương ứng sao cho ba diém A,B va M (2: 1) luôn thăng hàng Diện tích tam giác O4 có giá trị nhỏ nhất là
Biss
Tính giá trị của biểu thức ø + + e-+ đ
Cho tam giac ABC cân tại A4 với 4? = 9,8Œ = 12 và Ä là trung điêm của đoạn BƠ Gọi H
là chân đường cao của tam giác 4M kẻ từ M⁄ ;7,K lần lượt là trung điểm của doan MH, BH Đường thăng 47 cắt MK tạiF, giá trị của 47.4 bằng
Trong mặt phăng tọa độ Oz, gọi (z,:z,) là giao điểm của hai đường thắng = 2z + 3 và Biét rang A = [avs + bv5 + e7)(d 15 — 1 voi a,b,c,d la cdc số nguyên
= —# + 1 Giá trị của biểu thitc x, + 4y, bang
Cho đường tròn tâm O co ban kinh R = 16cm day cung AB = 20cm Trén day AB lay diém
C sao cho AC = 8§em Gọi D là hình chiếu vuông góc của Œ lên đường kính 47 của đường tròn tâm O Tính độ dài đoạn thang AD
Phương trình #Ÿ” — 4z + mm — 1 = 0 (?n là tham số) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 0 khi và
chỉ khi
A.?m >0 B l<?mn <5 Œ.1<m <5 D m < 5
Cho hai đường tròn (O:6 em) và (O!;8em) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A4,Đ và
OAO' = 90° Duong thang d qua 4 cắt đường tròn tâm Ó và đường tròn tâm O' lân lượt tại
Œ và D (C,D đều khác A ) Giá trị lớn nhất của độ dai doan thing CD là
Trang 3
CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 Câu 18 Cho đường tròn tâm Ó có bán kính R va hai day cung A4,CD vuông góc với nhau tại 7 Biết
Câu 19
Câu 20
TƠ = 4.ID = 19,IB — 6 Tính ñ
A R=8 B R=V66 C R= 6ä D R=V65
Trong mat phang toa dd Oxy , cho dudng thang d: y = mx va parbol (P) rủ = ø ˆ(m là tham số) Tính tích tất cả các gia tricua m dé d cat (P) tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng V6
Cho các số thực z,,z thỏa mãn (3z — y) +e +11+ 8Vxr—5 + |e +ø”+ 2 = 4 Giá trị của
biểu thức P = |: ++ 2| bằng
I Tự luận (3 điểm)
Câu 1
Câu 3
Câu 4
A.P=30 B P = 31 C P =15 D P = 20
(6,0 diém)
1
1
2jz—1 — 4-1 Vx 2
b) Cho hai số thực z, thỏa mãn [0 +a" +1](y +afy + i = 2 Tinh
Q=afy +1+?\z +1
2 Tim tat cả các giá trị của tham số zn để phương trình zŸ — 2z + rn + 2 = 0 có hai nghiệm
a) Rút gọn biểu thức P =
VỚI z> 08
A [A 2 ~ 2 —
phân biệt z,;z+, thỏa mãn ø¡ = 2z,
3 Giải phương trình 4(ø — 9)Alz + va” —1 = 9(+? — 3z + 9)A3z — 2
(3,0 diém)
1 Cho hai đa thức A(x) = 82° — 42? +3741 và J(z) = 2z” — 4z? + 5z + 4 Biết
Am) =2 và BÍn) =5, với :n;n là hai số thực Chứng minh răng: 2n + n = 1
2
2 Cho các số nguyên dương z„ thỏa mãn weet la s6 nguyén Chimg minh rang z.y la
ry +y+2
sô chính phương
(6,0 điềm) Cho hai đường tròn (O;#) va (O';R') (voi R > R") cắt nhau tại hai điểm phân biệt
A và P Đường thắng ở thay đổi qua 4 cắt hai đường tròn (0: R) va lơ R') lan luot tai M,N(M,N khac A) va A thudéc doan thing MN Cac tiép tuyén voi duong tron (0: R) tai M
và đường tròn (o' :R') tại N cắt nhau tại K
1 Chứng minh tứ giác M/BNE nội tiếp
2 Gọi P,Q,H tương ứng là hình chiêu vuông góc của điêm ? lên các duong thang KM, KN
va MN Ching minh răng ba diém P, H,Q thăng hàng và đường thang PQ luôn tiếp xúc với một đường tròn cô định
3 Chứng minh rằng PW = Qï#ï khi các đường phân giác trong của góc Ä#KN và MBN cắt nhau tại một điểm năm trên đường thắng M |
(1,0 điểm) Cho ba số đương a,b,c thỏa mana’ + 6? +c? =1 Chimg minh rang
Trang 4
CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023
2 2 + 2 2 + 2 2 >
HUONG DAN GIAI
e Gido viên góp đề và hướng dân: Trần Thị Hoa SĐT: 0964.331.668
e_ Giáo viên góp đề và hướng dân: Bùi Văn Hưởng SĐT: 0976.074.495
I Trắc nghiệm (7 điểm)
Cau 1
Cau 6
—m——_B Cho đường tròn tâm Ó có bán kính # dây cung 1ð = 6 Biết 4O = 120° (như hình vẽ)
Diện tích Ø của phân hình tròn giới hạn bởi cung nhỏ 4Ø và dây 4? băng
A 8= 3|3m — v3) B.9=2|3m — v3]
C.8— án =3 3, D 9 = 3|3z — v2]
Có tất cả bao nhiêu số nguyên ?n, để hàm số — (7 — m) z + Am +2 đồng biến trên IR
A 11 B 8 C 9 D 12
# + 1n = m
2 (m là tham số) Có bao nhiêu giá trị nguyên của m với
†n# — THỊỤ — †nˆ — 2
Hệ phương trình |
—2023 < mm < 2023 để hệ có nghiệm duy nhất (z„;„) thỏa mãn øj — 2z, — g, > 0?
A 2023 B 4043 C 2022 D 4044
Tính tông tất cả các giá trị của tham sốn.„ biết răng phương trình z° — 3zmz+ — 2m = 0 có hai
x + 3mz, + 6m mi
m x, + 3mx, + 6m 7
A =8 C.- 17 D.^, 153
Khi z =1 + Ÿ2 thì biểu thức P = #* — 5z + 9z? —12z-+6 có giá trị bằng a + ‡fb Giá trị
của 2a — ö là
A 48 B 6 C 36 D 0
_—
Cho hai diém B,C thuộc đường tròn (0) voi BOC = 100° Các tiếp tuyến của đường tròn (0)
tại B va Œ cắt nhau tại 4 Số đo góc A4BƠ bằng
A 50° B 45° C 40° D 55°
Trang 5
CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023
Cau 7
Cau 8
Cau 10
Cau 11
Cau 12
Cau 13
Cau 14
Cau 15
Cau 16
2 2023 2 Cho biểu thức f (x) = (22° — 21x + 2022) _ Tinh giá trị của biểu thức f(x) tại
A 202522 B —1 C1 D 2050292,
Trong mặt phăng tọa độ Oz gọi (x,;4,) la hinh chiéu vudng géc cia diém O lên đường
thang d: y = mx — m — 2 (với rn là tham số) Khi d6 dai doan thang OM dat gia trị lớn nhất,
tinh P= x, + 2y,
A P=-3 B P=1 C P =2 D P =-2
(với ?m, là tham sô) vô nghiệm Giá trỊ của ?n, là maz +y = 3m — Ì
A m= +1 B.m=0 C.m=-1 D.m=1
Cho tam giac ABC vu6ng taiA, AC =10V3cm Goi M latrung diém cia BC Khi tam giác Biét hé phuong trinh |
AMB là tam giác đều, tính chiều cao của tam giác 4Ø kẻ từ A
Trong mặt phăng tọa độ Oz, gọi A,B là hai điểm thay đổi thuộc hai tia Óz,Ó/ tương ứng sao cho ba diém A,B va M (2: 1) ludn thang hang Dién tich tam giac OAB có giá trị nhỏ nhất là
A 6 B.4 C 8 D 2
OF = [avs + bAl5 + evi) (d 15 — | với œ„b,c,d là các số nguyên
M3 + x5 + vĩ
Tinh giá trị của biểu thức ø + b + e + đ
A 2 B 1 C.3 D 0
Cho tam giác ABC cantai A vo1 41B =9,BC = 12 và M là trung điểm của đoạn BƠ Gọi
H là chân đường cao của tam giac AMB kẻ từA⁄/;7,K lân lượt là trung điểm của đoạn MH,BH Đường thang AI cat MK tại, giá trị của AI.AE bang
A 32 B 34 C 33 D 35
Trong mặt phăng tọa độ Oz, gọi Ä⁄ (z,:1,) là giao điểm của hai đường thăng = 2z + 3 và Biét rang A =
= —z + 1 Giá trị của biểu thức đụ + 4y, bang
3 Cho đường tròn tâm O co ban kinh R = 16cm day cung AB = 20cm Trén day AB lay diém
A —2
C sao cho AC = 8cm Goi D 1a hinh chiéu vuông góc của C lên đường kính 4# của đường tron tam O Tinh d6 dai doan thang AD
Phương trình #Ÿ — 4z + mm — 1 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 0 khi và
chỉ khi
Am >0, BSMHSốŠ — C1l<m<5 7 Dm<5
Trang 6
CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023 Cau 17 Cho hai duong tron O:6 em) và (O';8em) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B va
OAO' = 90° Duong thang ở qua 4 cắt đường tròn tâm O và đường tròn tâm O' lân lượt tại
Œ và D (C,D đều khác 4) Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thắng Ø7 là
A 20cm, B 30cm C 24cm D 25 cm
Câu 18 Cho đường tròn tâm Ó có bán kính ?? và hai dây cung 18,CD vuông góc với nhau tại 7 Biết
IC =4,ID = 12,IB =6 Tinh R
A R=8 B R =V66 C R= V6 bp R= 65
CAu 19 Trong mat phang toa dé Oxy , cho dudng thang d: y = ma va parbol (P) rủ = ø ˆ(m là tham
số) Tính tích tat cả các giá trictia m dé d cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho khoảng cách
giữa hai điểm đó bằng V6
A =4 B 2 Œ —2 D —6
Cau 20 Cho cac sé thuc x,y,z thoa man (3z — y) +e +114 8V2—5 + |» +?+ 2 = 4 Gia tri cua
biểu thức P = |: ++ 2| bằng
A.P=30 B P = 31 C.P=15 D P = 20
II Tw ludn (3 diém)
Câu 1 (6,0 diém)
1
vr — 2r-Vr+l|[ Tp La .|#Wz +—+—+2
b) Cho hai số thực z, thỏa mãn [0 +a" +1](y +afy + i = 2 Tinh
Qa=ayy +l+yv2’ +1
2 Tim tat cả các giá trị của tham số zn để phương trình #Ÿˆ — 2z -Ƒ mm -Ƒ 2 = 0 có hai nghiệm
VỚI z> 08
a) Rút gọn biểu thức P =
phân biệt z;z, thỏa mãn đc = 2x,
3 Giải phương trình 4(ø — 2)Nz + Ý+” —1 = 9(2” —3r+ 2)v2z —9
Lời giải
1)
a) Vol x >0 va x #7, taco:
Vx (2Vx +1 2x-Vx +1 m= nh nàn IỆ Vy 5) l 2)
- Gale Ray Bên Bến ) || 2 y Pas +l) ề oy a
_|_2Ve-1 fae fay
_ (2x +1)(2vx-1) sa \| 4
Trang 7
CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023
_x, 2 Vx 1 _avx+2 2N\Nx -
KL
b) Từ giả thiết ta được (x+vx +IÌ(»+jy +1)=2
e xytoayy? +1+y\x?+I++? +1Ajy? +1=2 (I)
ýx?+1—x>vx? =x=|a|—x>0,Vx và tương tự \jJy?+1—=y>vy?—y=|y|—-y>0,Wy
(x+ V2? +1)(y+ Jv +1)=2 2 (Vx? +1-x)(Jy' +1-¥)=
ewe Healy stave +1 +129 =-5 (2)
I 2
Cộng theo về của (1) và (2) ta được: xy +14 y¥x°4+1= T
KU
2) Ta có A'=—I—m: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
A'>0œ©-1-m>0m<~—1 (*)
Theo định ly Vi-et ta được
x,.X,=m+2 (2)
` ti tA 2 x 2 x, =-2>%x,=4
Từ giả thiệt x; = x, và (1) taduge x) +x,-2=00
x=1 >x,=1
So sánh với điều kiện ta được x=-2; x,=4
Thay x,=-~2; x, =4 vào (2) ta được m = —10 (thỏa mãn điều kiện (*) )
KL
2x-2>0
3) Điều kiện xác định: ©x>I1 Với điều kiện trên:
L +¥x°-1>0
Phương trình tương đương với (x— 2) avs +x? -1-9(x-1)V2x- | =0
oe =9(x-I)2x-2 (2)
Phuong trinh (2)
<> 2f(x—1) + 24[(x=1) (x +1) +(x 41) = 9(x-1)Vx-1
©2(dx-1+vx+1) =9(x-1)x-1
Trang 8
CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023
= 2(vx-14+Vx+1)=9(x-1)Vx-1 (3)
© 3Vx—1[3(x-1)-2]+2(2Vx-1-Vx+1)=0
2 We=I(3x-8)+2{ | =-0
Do x2=1>3Vx-1+ 1 >0O nén phuong trinh tuong duong voi
2Vx-l+vVx+4+1 3x-5=0e x=2 (thỏa mãn)
Vậy phương trình có tap nghiém la S = {2 ;|
Câu 2 (3,0 điểm)
1 Cho hai đa thức A(x) — 8z” — 4z” + 3z +1 và J(z) = 2z” — 4z? + 5z + 4 Biết
Am) =2 và BÍn) =5, với ; là hai số thực Chứng minh răng: 2 + nø = 1
2 Cho các sô nguyên dương z,¡ thỏa mãn ver là sô nguyên Chứng minh răng z./ là
ø + +2
sô chính phương
Lời giải
1 Ta ching minh néu B(a)= B(b) > a=b (*) Thật vậy
2a—`—4a”+5a+4= 2b`—4b” +5b+ 4
©2(4`~b`)-4(a°—b°)+5(a—b)=0
©(a-b)| 24? +2ab+2b°~4(a+b)+5 |=0 (1)
Do 2a° +2ab+ 2b’ -4(a+b)+5=(at+b-2) +a’ +b? +1>0 Va, b
Nên từ (1) ta duge a—b=O0>a=b
Ta duge B(1—2m)=2(1-2m) —4(1-2m) +5(1-2m)+4
= -2(8m’ - 4m’ +3m+1)+9
=-2A(m)+9
=-22+9
=5 (do 4(m)=2) (2)
Từ (1) va (2) ta được B(n)= B(1-2m) Ap dung tinh chat (*) suy ra n=1-2m hay
2m+n =1 (Điều phải chứng minh)
Trang 9
CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023
2 —
2 Do x tenet Z nén x°+2x-1:(xy+y+2) (1)
xy+ y+2
Câu 3
=(x+I'~2iy(x+1)+2=z|(x+1}°~2 #(x+1)+2
=(z+])| y(x+1!)+2|-|[2(x+1)+2y |:y(x+1)+2
=2(x+l)+2y:y(x+l)+2=2(z+l)+2y> y(x+1)+2 (do x, y nguyên dương)
= (x-1)(v-2)<2 (2)
+ Với y=] thay vào (I)
x7 +2x—l:x+3—(x+3)(x-3)+2(x+3)+2:x+2—2:x+2 (không thỏa mãn)
phải có
Vì x>I1, y>2 và (x-I)(y-2)e<NÑ, kết hợp với (2) suy ra (x—1)(y—2) <{0;1;2}
THI: (x-I)(y-2)=0<© thay vao (1) thây không thỏa mãn
TH2: hs _)-2)=I =(x:y)< {(2;3);(2;4);(3;3)}
(x-1)(>-2)=2
Thay lại vao (1) ta thấy chỉ có (x; y) = (3:3) thỏa mãn suy ra xy = 9 là số chính phương
(dpcm)
(6,0 điềm) Cho hai đường tròn (O;#) va (O';R') (voi R > R') ct nhau tại hai điểm phân biệt
A và P Đường thắng ở thay đổi qua 4 cắt hai đường tròn (0: R) va lơ R') lan luot tai M,N(M,N khac A) va A thuéc doan thang MN Cac tiép tuyén voi duong tron (0: R) tai M
va đường tròn (0! :R') tại N cat nhau tai K
1 Chimg minh tt giac MBNK nội tiếp
2 Gọi P,Q,H tương ứng là hình chiêu vuông góc của điêm # lên các duong thang KM, KN
va MN Ching minh rang ba điểm P, ï,Q thăng hàng và đường thang PQ luôn tiếp xúc với một đường tròn cô định
3 Chứng minh rằng PW = Qï#ï khi các đường phân giác trong của góc Ä#KN và MBN cắt nhau tại một điểm năm trên đường thắng M |
Lời giải
Trang 10
CLB Toán THCS Zalo: 0989.15.2268 TUYEN TAP DE HOC SINH GIOI CAP TINH — NAM 2022-2023
1 Chứng minh
Ta có MBA= KMA hay MBA= KMN (1) đính chất góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và
tính chất góc nội tiếp)
Tương tự VB4= KN4 hay NBA= KNM (2)
Ta có MBN = MBA+ NBA (3)
Tur (1), (2) va (3)ta duoc MBN = KMN+KNM (4)
Do KMN + KNM + MKN =180° => KMN + KNM =180°- MKN (5)
Từ (4) và (5) ta được MBN + MKN =180° hay tứ giác M/BNK nội tiếp
2 Chứng minh
Từ giả thiết ta cũng có tứ giác PBOK nội tiếp nên PBÓ =180°- PKO (6)
Từ (5) và (6) suy ra MBN = PBO => PBM = QBN (7)
Xét truong hop H thuộc đoạn 4X (các trường hop con lai tuong tu) Dé thay tir giac PM BH
nội tiếp vi MPB = MHB =90° va ONHB nội tiếp vì BHN + BỌN =180°, do dé PHM = MBP
(8) và HN = QBN (9)
Từ (7) (8) và (9) ta suy ra ba diém P, H, Q thang hàng
Trước hết do 87⁄4 = 90° nên điểm #7 thuộc đường tròn đường kính 4 (10)
Xét tứ giác nội tiép PMBH , taco:
HBM = 180°— HPM = PMH + PHM mà PMH = ABM suy ra HBM = PHM + ABM (11)