Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 Trang 1 Tỉnh Kon Tum Câu 1 (5,0 điểm) 1 Rút gọn biểu thức[.]
Trang 1Tỉnh Kon Tum
Câu 1 (5,0 điểm)
, vớia 0 và a 1
2 Cho hàm số f x m1x3m2 có đồ thị là đường thẳng Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm M, cắt trục tung tại điểm N(các điểm M N , không trùng với gốc tọa độ O) Tìm giá trị của m để tam giác OMN cân
Câu 2 (5,0 điểm)
1 Giải phương trình 2 x 1 x 4 1 x 3
2 Hai cửa hàng A và B bán cùng một loại bánh với giá 10 000đồng một cái, nhưng mỗi cửa hàng
có hình thức khuyến mãi khác nhau:
Cửa hàng A: Đối với 5 cái bánh đầu tiên giá mỗi cái bánh là 10 000đồng, đối với 5 cái bánh tiếp theo cửa hàng sẽ giảm 4% giá bán Kể từ cái bánh thứ 11 với mỗi cái bánh khách hàng chỉ phải trả 72%
giá bán
Cửa hàng B: Cứ mua 5 cái bánh thì được tặng 1 cái bánh cùng loại
Bạn An có 250 000đồng, hỏi bạn An nên chọn cửa hàng nào trong hai cửa hàng A và B để mua được
nhiều bánh nhất?
Câu 3 (5,0 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, vẽ đường tròn tâm D, bán kính DA Từ điểm M thuộc cạnh AB (M không trùng với A và B), vẽ tiếp tuyến MN với đường tròn D (N là tiếp điểm), tiếp tuyến này cắt đoạn BCtại H
1 Tính chu vi tam giác BMH theo a
2 Xác định vị trí điểm M trên cạnh ABđể độ dài đoạn thẳng MH nhỏ nhất
Câu 4 (5,0 điểm)
1 Cho hình chữ nhật ABCD có AD a, AB a 3 Gọi Klà hình chiếu vuông góc của điểm B
lên đoạn thẳng AC Các điểm H M , lần lượt là trung điểm của KA và CD Chứng minh tam giác BMH
vuông và tính diện tích tam giác BMH theo a
2 Tìm tất cả các cặp số nguyên x y, thỏa mãn x y2 2 6 x 2 3 xy x 1
-Hết -
9
Học sinh giỏi
Trang 2HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1 (5,0 điểm)
, vớia 0 và a 1
2 Cho hàm số f x m 1 x 3 m 2 có đồ thị là đường thẳng Đường thẳng cắt trục hoành tại điểm M, cắt trục tung tại điểm N(các điểm M N , không trùng với gốc tọa độ O) Tìm giá trị của m để tam giác OMN cân
Lời giải
1
2
Theo đề bài, không song song với các trục tọa độ và không đi qua gốc tọa độ nên
1 2 3
m m
3m 2
1 m
Để tam giác OMN là tam giác cân thì
OM = ON
3m 2
3m 2
1 m
1
1 m
Trang 3
3m 2
3m 2
1 m
1
1 m
3
1 m
Vậy m = 0 hoặc m = 2 là giá trị cần tìm
Câu 2 (5,0 điểm)
1 Giải phương trình 2 x 1 x 4 1 x 3
2 Hai cửa hàng A và B bán cùng một loại bánh với giá 10000đồng một cái, nhưng mỗi cửa hàng
có hình thức khuyến mãi khác nhau:
Cửa hàng A: Đối với 5 cái bánh đầu tiên giá mỗi cái bánh là 10000đồng, đối với 5 cái bánh tiếp theo cửa hàng sẽ giảm 4% giá bán Kể từ cái bánh thứ 11 với mỗi cái bánh khách hàng chỉ phải trả 72%
giá bán
Cửa hàng B: Cứ mua 5 cái bánh thì được tặng 1 cái bánh cùng loại
Bạn An có 250 000đồng, hỏi bạn An nên chọn cửa hàng nào trong hai cửa hàng A và B để mua được
nhiều bánh nhất?
Lời giải
1
2 x 1 x 4 1 x 3 1
Điều kiện xác định x 4 Khi đó, phương trình 1 tương đương
2 x 1 x 4 1 x 4 1 x 4 1
2 x 1 x 4 1
2 x 4 x 4 6 0
2 x 4 3 x 4 2 0
x 4 2
x 0
Vậy phương trình 1 có tập hợp nghiệm là S 0
2
Cửa hàng A:
Số tiền mua 5 cái bánh đầu tiên là: 10 000.5 50000 (đồng)
Trang 4+HN và HClà các tiếp tuyến của đường tròn D nên HC HN
+MNvà MAlà các tiếp tuyến của đường tròn D nên MN MA
Chu vi tam giác BHM là
2 p BM HM BH
BM HN NM BH
BM AM HC BH
BA BC 2a
Vậy chu vi tam giác BHM bằng 2a
2
Ta có BH BM 2 0 2 2 2
Theo chứng minh ở trên ta suy ra BM BH 2 a HM ,
và BMHvuông tại Bnên BH2 BM2 MH2
Từ đó suy ra 1 trở thành 2 MH2 2 a MH 2
2 MH 2 a MH 2
Đặt MH x x , 0, khi đó
2 trở thành x2 4 ax 4 a2 0
x 2 a 2 a 2 x 2 a 2 a 2 0
x 2 a 2 2 aMH 2 a 2 1
Vậy giá trị nhỏ nhất của MH bằng 2 a 2 1 khi BM BH
Suy ra BM a 2 2 1
Câu 4 (5,0 điểm)
1 Cho hình chữ nhật ABCD có AD a , AB a 3 Gọi Klà hình chiếu vuông góc của điểm B
lên đoạn thẳng AC Các điểm H M , lần lượt là trung điểm của KA và CD Chứng minh tam giác BMH
vuông và tính diện tích tam giác BMH theo a
2 Tìm tất cả các cặp số nguyên x y, thỏa mãn x y2 2 6 x 2 3 xy x 1
Lời giải
1
Gọi trung điểm của KB là I
HIlà đường trung bình của tam giác ABK
Trang 5HI//AB và 1
2
HI AB
Mlà trung điểm của CD 1
2
MC CD
ABCD là hình chữ nhật nên AB CD và AB//CD
HI MCvà HI//MCHICMlà hình bình hành CI / / MH
ABCD là hình chữ nhật nên AB BC
và HI//AB nên HI BCHIlà đường cao của tam giác CHB
BK ACBK là đường cao của tam giác CHB
Vì Ilà giao điểm của BK và HI nên I là trực tâm của tam giác CHB CIlà đường cao của tam giác
CHB CI HB
Do CI MH // nên HM HB HMB vuông tại H
+ ABCvuông tại Bcó BKlà đường cao, AB a 3, BC AD a
2
AB BC a BK
AC
2
AB
AK
AC
2
a
a
HK AK
HKB
vuông tại K nên 21
4
a
HB
MCB
vuông tại C có 1 3
a
2
a
MB
+ HMB vuông tại H 7
4
a
HM
Diện tích tam giác HMB là 1
2
HMB
S HM HB
2
32
a
2
x y x xy x (1), với x y ,
Ta có
(1) x y2 2 3 x y xy2 6 x 2 xy 2 0
xy xy 3 x 1 2 xy 3 x 1 0
xy 3 x 1 xy 2 0
2
xy
xy x
* Xét xy 2
Từ x y , suy ra x y ; 1;2 ; 1; 2 ; 2;1 ; 2; 1
*Xét xy 3 x 1
xy x x y 3 1
Trang 6HI//AB và 1
2
HI AB
Mlà trung điểm của CD 1
2
MC CD
ABCD là hình chữ nhật nên AB CD và AB//CD
HI MCvà HI//MCHICMlà hình bình hành CI / / MH
ABCD là hình chữ nhật nên AB BC
và HI//AB nên HI BCHIlà đường cao của tam giác CHB
BK ACBK là đường cao của tam giác CHB
Vì Ilà giao điểm của BK và HI nên I là trực tâm của tam giác CHB CIlà đường cao của tam giác
CHB CI HB
Do CI MH // nên HM HB HMB vuông tại H
+ ABCvuông tại Bcó BKlà đường cao, AB a 3, BC AD a
2
AB BC a BK
AC
2
AB
AK
AC
2
a
a
HK AK
HKB
vuông tại K nên 21
4
a
HB
MCB
vuông tại C có 1 3
a
2
a
MB
+ HMB vuông tại H 7
4
a
HM
Diện tích tam giác HMB là 1
2
HMB
S HM HB
2
32
a
2
x y x xy x (1), với x y ,
Ta có
(1) x y2 2 3 x y xy2 6 x 2 xy 2 0
xy xy 3 x 1 2 xy 3 x 1 0
xy 3 x 1 xy 2 0
2
xy
xy x
* Xét xy 2
Từ x y , suy ra x y ; 1;2 ; 1; 2 ; 2;1 ; 2; 1
*Xét xy 3 x 1
xy x x y 3 1
Trang 7Từ x y , suy ra x y ; 1;4 ; 1;2
Vậy tập hợp các cặp số nguyên thỏa mãn (1) là:
1;2 ; 1; 2 ; 2;1 ; 2; 1 ; 1;4 ; 1;2
-Hết -
Quy định khi gõ lời giải:
1 Phông chữ:Times New Roman, cỡ chữ 12
2 Công thức gõ trên mathtype, cỡ chữ 12
3 Hình vẽ được vẽ trên các phần mềm: geogebra; Geometer’s Sketchpad
4 Tên file: stt+ hsg9+ tên tỉnh Ví dụ: 1.hsg9 An Giang.docx
Trang 824 Hà Nội
58 Thành phố Hồ Chí Minh
Trang 962 Vĩnh Phúc