Lecture 11 TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Microsoft PowerPoint Lecture 11 1 Signal & Systems Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester 02/09 10 Lecture 11 404001 Tín hiệu và hệ thống PhânPhân ttííchch ttíínn hihiệệuu liênliên ttụụcc ddùùngng b[.]

Trang 1

Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10

Lecture-11

404001 - Tín hiệu và hệ thống

Phân tích tín hiệu liên tục dùng biến

Hàmtruyềnvàñá ứngcủahệthốngLTIC

Sơñồkhốivàthựchiệnhệthống

Ứngdụngtronghồitiếpvàññiiềukhiển

Biến ñổi Laplace và các tính chất

Biến ñổi Laplace

Tìm biến ñổi Laplace thuận

Tìm biến ñổi Laplace ngược

Biến ñổi Laplace của một số tín hiệu thông dụng

Các tính chất của biến ñổi Laplace

Trang 2

Biến ñổi Laplace

Biến ñổi Fourier cho phép phân tích tín hiệu thành tổng của các

thành phần tần số phân tích hệ thống ñơn giản & trực quan hơn

trong miền tần số

| ( ) |f t dt & | ( ) |h t dt

Biến ñổi Fourier là công cụ chủ yếu ñể phân tích TH & HT trong

nhiều lĩnh vực (viễn thông, xử lý ảnh, …)

Muốn áp dụng biến ñổi Fourier thì tín hiệu phải suy giảm & HT

với ñáp ứng xung h(t) phải ổn ñịnh

ðể phân tích tín hiệu tăng theo thời gian (dân số, GDP,…) và hệ

thống không ổn ñịnh dùng biến ñổi Laplace (là dạng tổng quát

của biến ñổi Fourier)

Xét tín hiệu f(t) là hàm tăng theo thời gian tạo hàm mới φ(t) từ

f(t) sao cho tồn tại biến ñổi Fourier: φ(t)=f(t).e-σt; σ∈R

Biến ñổi Fourier củaφ(t) ñược tính như sau:

( )ω [ ( )]φ t ∞ f t e( ) −σt e−j tωdt

−∞

Φ =F =∫ ∞ f t e( ) −(σ+jω)t dt

−∞

=∫ ðặt s=σ+jω: ( ) ( ) st

f t e dt

−∞

Φ =∫

Tín hiệu f(t) ñược tổng hợp như sau: f t( )=φ( ).t eσt

2

( ) [ ( )] t ( ) j t t

f t − ω eσ π ∞ F s e ωdω eσ

−∞

2

( ) j j ( ) st

j

f t π σ F s e ds

σ

+ ∞

− ∞

= ∫

( )

F s

=

Trang 3

( ) ( ) t

t f t e σ

t

j t

eω

t

( )

f t

t

( j )t

eσ+ω

Chọn giá trị củaσ: nếu tồn tại σ=σ0sao cho

φ(t) tồn tại Φ(ω)=F(s), thì với mọi σ≥σ0ñều

làm tồn tạiΦ(ω)=F(s) Lưu ý: s=σ+jω, nên :

Trong mp phức sao cho tần số phức s có

Re{s}≥σ0gọi là miền hội tụ

(ROC–Region Of Convergence)

Ví dụ: tìm ROC ñể tồn tại F(s) của các tín hiệu f(t) sau:

( ) ( )a f t =e u t a−at ( ); >0 ( ) ( )b f t =e−at u(−t a); >0 ( ) ( )c f t =u t( )

Tóm lại ta có:

( ) ( ) st

F s ∞ f t e dt−

−∞

=∫ Biến ñổi Laplace thuận

Biến ñổi Laplace ngược

1 2 ( ) j c j ( ) st

c j

f t π + ∞F s e ds

− ∞

c∈ROC

Ký hiệu của biến ñổi Laplace:

( ) ( )]

F s = L[f t -1

( ) ( )]

f t = L [F s

và Hoặc ñơn giản hơn: f t( )↔F s( )

Two-side

Trang 4

Ta thường quan tâm tới tín hiệu nhân quả & ñây cũng là ứng dụng

thường gặp của biến ñổi Laplace

( ) ( ) st

F s ∞ f t e dt−

−∞

=∫ ⇒ F s( )=∫0∞− f t e dt( ) −st Biến ñổi 1 bên

Giới hạn 0-: bao hàm cả xung ñơn vị tại gốc t=0

Biến ñổi Laplace 1 bên chỉ là trường hợp ñặc biệt của bñ 2 bên

Biến ñổi Laplace một bên:

Biến ñổi Fourier là trường hợp ñặc biệt của biến ñổi Laplace:

( ) ( )s j

F ω =F s =ω

Trong ñó: trục ảo jω là miền hội tụ Thường gọi: ñáp ứng tần số

Im

Re

Im

Re

ω

Bð Laplace của một số tín hiệu thông dụng

Trang 5

Biến ñổi Laplace củaδ(t): f t( )=δ( )t

Vs

Biến ñổi Laplace của e-atu(t):

( )t 1

δ ↔ δ( )t ↔1

( ) at ( )

f t =e− u t

1 ( )

at

e u t

s a

+ Vs

1 ( )

at

e u t

jω a

+

Biến ñổi Laplace của -e-atu(-t):

( ) at ( )

f t = −e− u −t

1 ( )

at

e u t

s a

−

( ) 1

F s

1

s a

+

1

s a

+

Biến ñổi Laplace của u(t):

( ) ( )

f t =u t

1 ( )

u t

s

↔ Vs u t( ) ( ) 1

j

πδ ω

ω

Im

Re

Im

Re

ω

1 ( ) ; : Re{ } 0

s

Trang 6

Tính chất tuyến tính:

Các tính chất của biến ñổi Laplace

1( ) 1( )

f t ↔F s

⇒

2( ) 2( )

f t ↔F s

Dịch chuyển trong miền thời gian:

( ) ( )

0

( 3 5 )

2

s s t

s

− −

−

 

 

 

Dịch chuyển trong miền tần số:

( ) ( )

f t ↔F s ⇒ 0

0

: cos ( ) s

Ex bt u t

s b

↔ + cos( ) ( ) 2 2

( )

e bt u t

s a b

+ +

ðạo hàm trong miền thời gian:

( ) ( )

f t ↔F s

n

d f t

dt

(1) ( )t s

δ

( )t 1

( )

δ

4 ( )

2

t

f t rect − 

 

2 2

( )

?

d f t dt

Trang 7

Tích phân miền thời gian:

( ) ( )

f t ↔F s ⇒

0

( ) ( )

s

τ τ

∫

0

( )

τ τ

−

−∞

∫

Thay ñổi thang ñộ (co/dãn):

( ) ( )

 

 

Tích chập miền thời gian:

1( ) 1( ); 2( ) 2( )

f t ↔F s f t ↔F s ⇒

1( ) 2( ) 1( ) ( )2

Tích chập miền tần số:

1( ) 1( ); 2( ) 2( )

2

1( ) ( )2 j 1( ) 2( )

ðạo hàm trong miền tần số:

( ) ( )

tf t

ds

↔ − 1

( )

1

t

e u t

s

− ↔

1 ( )

1

t

te u t

s

−

+

2

t u t ↔

Trang 8

Tìm biến ñổi Laplace thuận

Cần nắm vững biến ñổi Laplace của các tín hiệu cơ bản

u(t); δ(t)

Hàm mũ

Hàm ñiều hòa

Nắm vững các tính chất biến ñổi Laplace mở rộng!!!!

( )t

δ

( )

u t

( )

at

e− u t

cos( ) ( )bt u t

sin( ) ( )bt u t

( )

F s

( )

f t

1

1/ s

1/(s+a)

2 2

s s +b

2 2

b s +b

Tìm biến ñổi Laplace ngược

Công thức tính biến ñổi ngược:

c j

f t + ∞ F s e ds

− ∞

= ∫

Chúng ta không tập trung vào việc tính trực tiếp tích phân trên!!!

Mô tả F(s) về các hàm ñơn giản mà ñã có kết quả trong bảng các cặp

biến ñổi Laplace Thực tế ta quan tâm tới các hàm hữu tỷ!!!

Zero của F(s): các giá trị của s ñể F(s)=0

Pole của F(s): các giá trị của s ñể F(s)→∞

Nếu F(s)=P(s)/Q(s) Nghiệm của P(s)=0 là các zero & nghiệm

của Q(s)=0 là các pole

Trang 9

Dùng bảng

Dùng ?

Ví dụ:

2

3 2

s

−

2

3 2

t t

s

− −

⇒  + + = − + + + + = − + +

start

m<n

m≥≥≥n Polynomicaldividing;

in case m=n F(s)/s

Expend the proper.

The result depends on

n unknown coefficients (k1, k2,…)

Find unknown coefficients

by using:

[1] Clearing func [2] Heaviside [3] Mixing boths

Xét hàm hữu tỷ sau:

1

( )

n

F s

−

m≥n: improper; m<n: proper, chúng ta chỉ tập trung vào proper!!!

Trang 10

( ) ( ) / ( )

F s =P s Q s

Xác ñịnh zero & pole của F(s); zero & pole phải khác nhau

Khai triển các hàm proper:

Giả sử các pole là: s=λ1,λ2,λ3,…

Khai triển F(s) dùng quy luật sau:

• Các pole không lặp lại:

3

k

F s

• Các pole lặp lại, giả sửλ2lặp lại r lần

1

0

r

j

r j j

k

F s

−

=

Phương pháp hàm tường minh xác ñịnh các hệ số:

• Nhân 2 vế với Q(s); sau ñó cân bằng thu ñược hệ phương trình

theo các hệ số cần tìm

It’s easy to understand and perform, but it needs so much work and time!!!

• Giải hệ phương trình tìm các hệ số

2

3

1 2

3 2

2

k

s

−

2

• ví dụ:

1 2 3

1 2 3 1

1

k

= −

⇒

1 2 3

1 1 1

k k k

= −

=

⇒

Trang 11

Phương Heaviside xác ñịnh các hệ số:

•Các pole không lặp lại: ( ) ( )

i

•Các pole lặp lại:

1

!

i

r

j

r

s

d

j ds

λ

=

= −

3

8 10 ( )

( 1)( 2)

s

F s

s s

+

= + +

( 1) ( 2) ( 2) ( 2)

k

Phương hổn hợp: phương pháp nhanh nhất!!!

3

8 10 ( )

( 1)( 2)

s

F s

s s

+

= + +

( 1) ( 2) ( 2) ( 2)

k

1 22 0 22 2

k +k = ⇒k = − ( ); :

sF s s→ ∞

0 :

5

( )

1

8 10

2

2 s

s

k

s =−

+

2

8 10

6

1 s

s k s

=−

+

1 20 22 21

2

21

10 16 6 8

2 2

Trang 12

Ví dụ: tìm biến ñổi Laplace ngược của các hàm sau:

2

7 - 6 ( ) F(s)=

6

s a

s − −s

2 2

( ) F(s)=

s b

+

2

6( 34) ( ) F(s)=

( 10 34)

s c

s s s

+ + +

Tiêu đề	Tín hiệu và hệ thống
Tác giả	Tran Quang Viet
Người hướng dẫn	PTS. Tran Quang Viet
Trường học	Ho Chi Minh City University of Technology
Chuyên ngành	Signal & Systems
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	2009-2010
Thành phố	Ho Chi Minh City

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	232,22 KB