Microsoft PowerPoint Lecture 08 ppt 1 Signal & Systems Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester 02/09 10 Lecture 8 404001 Tín hiệu và hệ thống BiBiểểuu didiễễnn ttíínn hihiệệuu bbằằngng chuchuỗỗii Fou[.]
Trang 1Signal & Systems - Tran Quang Viet Ờ FEEE, HCMUT Ờ Semester: 02/09-10
Lecture-8
404001 - Tắn hiệu và hệ thống
Chuỗi Fourier lượng giác
Chuỗi Fourier hàm mũ phức
đáp ứng của hệ thống LTIC với tắn hiệu tuần hoàn
Biểu diễn tắn hiệu bằng tập tắn hiệu trực giao
Biểu diễn tắn hiệu dựa vào không gian tắn hiệu trực giao:
Tìm cnthỏa ựiều kiện năng lượng sai số min:
Sai số:
1
N
n n n
e t f t c x t
=
2 1
1 ( ) ( )
t
n
c f t x t dt
E
Năng lượng của thành phần sai số min: 2
1
N
n
=
Năng lượng của thành phần sai số 0 nếu N ∞ tập cơ sở
1
N
n
f t c x t c x t c x t c x t
=
≃
Khi N ∞ , ta có: lưu ý dấu Ộ=Ợ ựúng về mặt năng lượng
1
( ) n n( );
n
f t c x t t t t
∞
=
2 1
* 1
( ) ( )
t
n
c f t x t dt E
Trang 2Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Xét tập tín hiệu lượng giác sau:
{1, cos( ω t ), cos(2 ω t ), , cos( n ω t ), ; sin( ω t ), sin(2 ω t ), , sin( n ω t ), }
n: số nguyên dương
T0=2π/ω0 : chu kỳ của hài cơ bản
nω0: thành phần tần số thứ n - hài thứ n
Trong khoảng thời gian: t1<t<t1+T0
1 0
1
0
t T
t + n ω t dt =
∫
1 0
1
t T
t+ n ω t m ω t dt =
∫
1 0
1
0
t T
t + n ω t dt =
1
2
t T
t + n ω t dt = T
∫
1 0 1
2
t T
t + n ω t dt = T
∫
1 0 1
0
t T
t + dt = T
∫
Vậy tập tín hiệu lượng giác trên là tập tín hiệu cơ sở trực giao
Chuỗi Fourier lượng giác
Biểu diễn f(t) trong không gian tín hiệu lượng giác:
f t a a n ω t b n ω t t t t T
1 0
1
1 0 1
0
2 ( ) 1
t T
t
t T t
f t dt a
dt
+ +
= ∫
∫
1 0
1
1 0 1
0 2 0
( ) cos( ) cos ( )
t T
t
t
f t n t dt a
n t dt
ω ω
+
+
= ∫
∫
1 0
1
1 0 1
0 2 0
( )sin( ) sin ( )
t T
t
t
f t n t dt b
n t dt
ω ω
+
+
= ∫
∫
1 0 1 0 0
1
( )
t T t
a f t dt T
+
1 0 1
0 0
2
( ) cos( )
t T
1 0 1
0 0
2
( )sin( )
t T
⇒
⇒
⇒
Trang 3Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác
Kết hợp các thành phần sin và cosin ta có dạng rút gọn:
1
n
f t C C n ω t θ t t t T
∞
=
C = a
C = a + b
1
n
n
b a
θ − −
1 0 1 0 0
1
( )
t T t
a f t dt T
+
1 0 1
0 0
2
( ) cos( )
t T n
t
1 0 1
0 0
2
( )sin( )
t T n
t
Chuỗi Fourier lượng giác
Ví dụ:
Tìm chuỗi Fourier của f(t)=e-t/2trong khoảng 0≤t≤π
0 2 / T0 2
ω = π =
/ 2
1
0,504
t
a πe dt
π
−
/ 2
2 0
cos(2 ) 0,504
1 16
t n
n
π
π
+
∫
/ 2
2 0
sin(2 ) 0,504
1 16
t n
n
n
π
π
+
∫
2 1
2
1 16
n
∞
=
+
0 0 0,504
C = a =
2
2 0,504
1 16
n
C
n
+
1 tan 4
θ = − −
1 2
1
2
1 16
n
n
π
∞
−
=
+
Trang 4Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier ϕ(t) cho f(t) chỉ ñúng trong khoảng t1≤t≤t1+T0
Ngoài khoảng t1≤t≤t1+T0? ϕ(t)≠f(t) !!!
1
n
t C C n t for all t
∞
=
0
( t T ) ( ); t for all t
⇒ − = ϕ(t) biểu diễn cho tin hiệu tuần hoàn?
Vậy nếu ϕ(t); t1≤t≤t1+T0 biểu diễn cho f(t); t1≤t≤t1+T0 ϕ(t) biểu diễn
cho tín hiệu tuần hoàn do lập lại phần của f(t); t1≤t≤t1+T0với chu kỳ T0.
Ví dụ:
Kết luận: chuỗi Fourier chỉ biểu diễn cho TH tuần hoàn!!!
Chuỗi Fourier lượng giác
Chuỗi Fourier lượng giác của tín hiệu tuần hoàn:
f t a a n ω t b n ω t
1
n
f t C C n ω t θ
∞
=
0
0 0
2 ( ) cos( )
n
T
a f t n t dt
0
0 0
2 ( )sin( )
n
T
b f t n t dt
0 0
0
1 ( )
T
a f t dt
T
C = a + b
1
n
n
b a
θ − −
Phương trình tổng hợp
Phương trình phân tích
Trang 5Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier lượng giác
Ví dụ 1:
Chuỗi Fourier lượng giác
Ví dụ 2:
2 2
0 ( even)
8 / ( even)
n
n C
A n π n
=
0 ( even) / 2 ( 1,5,9,13, ) / 2 ( =3,7,11, )
n
n n n
π
Trang 6Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
ðiều kiện tồn tại chuỗi Fourier:
0
( )
T f t dt < ∞
∫
Tồn tại {Cn} hữu hạn năng lượng sai số Ee 0 khi N ∞
Lưu ý f(t) và ϕ(t) không bằng nhau tại mọi t
Ví dụ: Hiện tượng Gibbs khi tổng hợp tín hiệu không liên tục
Nếu (Dirichlet condition)
Chuỗi Fourier hàm mũ phức
{ e jn ω0t } ; n = 0, 1, 2, ± ±
0
n
∞
=−∞
0
*
1
( ) jn t
n T n
E
ω
0
0
1
( ) jn t
n
T
T
ω
−
; ω = 2 / T π
Phương trình phân tích
Phương trình tổng hợp
Trang 7Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
Chuỗi Fourier hàm mũ phức
Ví dụ:
( )
f t
T = → ω = π
0 0
0 1 / 2
1 / 2 0
( )
n T
−
1
4
j n j n n
π
−
n
D
otherw ise
π
2
1
n
n odd
j n
π
π
+∞
= −∞
Chuỗi Fourier hàm mũ phức
Mối liên hệ giữa chuỗi Fourier hàm mũ phức & chuỗi Fourier
lượng giác:
0
2
n
C
e ω + θ e − ω + θ
n
1
n
∞
=
0
1
n
∞
−
−
=
n n
D e ω
∞
=−∞
Dạng hàm mũ &
lượng giác là tương ñương thường
dùng hàm mũ
e θ e ω e − θ e − ω
Trang 8Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/09-10
0 0
2
2
n
n
j n n
j n n
C
C
θ
θ
−
−
=
=
=
1, 2,3,
n =
0 0 ;
2
Phổ biên ñộ: ( chẵn )
Phổ pha: ( ∠ D n = θ n ; ∠ D − n = − θ n ; lẻ )
Mối liên hệ giữa chuỗi Fourier hàm mũ phức & chuỗi Fourier
lượng giác:
Lượng giác
Hàm mũ phức
Chuỗi Fourier hàm mũ phức
ðịnh lý Parseval :
1
n
∞
=
0 1
1 2
n
∞
=
0
n
∞
=−∞
0 1
2
Công suất của tín hiệu tuần hoàn bằng tổng công suất của tất cả các hài
Trang 9Signal & Systems - Tran Quang Viet Ờ FEEE, HCMUT Ờ Semester: 02/09-10
đáp ứng của hệ thống LITC với tắn hiệu tuần hoàn
0
0 0
2
n
T
ω
∞
=−∞
j t j t
e ω → H j ω e ω
0
=−∞ =−∞
→
(LTI)
Tuần hoàn cùng chu kỳ với f(t)
Hàm truyền làm:
Hàm truyền không tạo tần số mới!!!
Xem HT LTIC như
là bộ lọc (Filter)
đáp ứng của hệ thống LITC với tắn hiệu tuần hoàn
Vắ dụ :
vi(t)
0
i
v t = Ri t + v t
( )
i t
( )
dt
=
0
( )
i
dv t
dt
0
0
dv t
c
RC
ω =
0
( D ω c ) ( ) v t ω c i v t ( )
( )
c c
P s
H s
ω ω
+
c
H j
j
ω ω
ω ω
= +
2
1
i
n
n od d
j n
π
π
+∞
= −∞
Trang 10Signal & Systems - Tran Quang Viet Ờ FEEE, HCMUT Ờ Semester: 02/09-10
Vắ dụ :
ω ω
ω ω
( )
i
V jω
( )
i
∠
đáp ứng của hệ thống LITC với tắn hiệu tuần hoàn
/ c
ω ω
/ c
ω ω
ω << ω
ω ω <
Trang 11Signal & Systems - Tran Quang Viet Ờ FEEE, HCMUT Ờ Semester: 02/09-10
đáp ứng của hệ thống LITC với tắn hiệu tuần hoàn
/ c
ω ω
/ c
ω ω
/ c
ω ω
/ c
ω ω
ω ω >