BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC

1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VỚI SINX VÀ COSX

(sin +cos ) + 3cosx=2

π x= +k2π

π x= +k2π 3









2 (1-2sinx)cosx = 3

(1+2sinx)(1-sinx) (KA-2009) ĐS :

x= +k (k Z)





3 sinx+cosxsin2x+ 3cos3x=2(cos4x+sin x) (3 KB-2009) ĐS :

π

x=- +k2π









4 3cos5x - 2sin3xcos2x - sinx=0 (KD-2009)ĐS :

18 3 (k Z)

x= - +k









5 4(sin x+cos x)+ 3sin4x=2 ĐS : 4 4

x=- +k

12 2 (k Z)

x= +k









6 2sinx+mcosx=1-m có nghiệm thuộc [- ; ]π π

2 2 ĐS : -1 m 3≤ ≤

7 cos7x- 3sin7x=- 2 , tìm (2π 6π; )

5 7

x∈ ĐS : x=53π 35π 59π; ;

8 3sin3x- 3cos9x=1+4sin 3x ĐS: 3

18 9 (k Z)









9 tanx-sin2x-cos2x+2(2cosx- 1 )=0

cosx ĐS: cos2x=0

10 8sinx= 3 + 1

cosx sinx ĐS:

π cos3x=cos x+

3

11 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8 ĐS: sinx=1

12 sin2x+2cos2x=1+sinx-4cosx ĐS: cosx=1

2

13 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 ĐS: sinx=1

2

14 sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 ĐS: sinx= ; cosx+sinx - 1=01

2

15 (sin2x+ 3cos2x) =cos(2x- )2 π

6 ĐS:

π cos(2x- )=-1

6

16 2cos x+cos2x+sinx=0 ĐS: sinx=1; tanx=-13

17 1+cot2x=1-cos2x2

sin 2x ĐS:

cos2x=0; sin(2x+

18 4(sin x+cos x)+ 3sin4x=2 ĐS: 4 4 cos(4x- )=cosπ 2π

1+sin 2x+cos 2x= sin4x

sin(2x+

20 tanx-3cotx=4(sinx+ 3cosx) ĐS:

tanx=- 3

π sin(x- )=sin2x

3









21 sin x+cos x=sinx-cosx ĐS: cosx=03 3

cos x+sin (x+ )=

4 4 ĐS:

cos(2x-

23 4sin xcos3x+4cos xsin3x+3 3cos4x=3 ĐS: 3 3 sin(4x+ )=sinπ π

24 2sin x-sinxcosx-cos x=m , tìm m sao cho phương trình có nghiệm ? ĐS:2 2

m

25

2

3π 5+4sin( -x) 6tanα

, tìm α để phương trình có nghiệm cos2α=0

2 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC 2, BẬC 3 ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

1 sin x- 3cos x=sinxcos x- 3sin xcosx (3 3 2 2 KB-2009) ĐS:

tanx=- 3 tanx=1 tanx=-1











2 sin x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3 ĐS: 2 tanx=-12

tan x=3







3 8cos (x+ )=cos3x3 π

tanx=0

3 tanx=

3 tanx= 3













4 sinx+cosx-4sin x=0 ĐS: tanx=13

5 sin x+(2m-2)sinxcosx-(m+1)cos x=m , tìm m để phương trình này có nghiệm 2 2 ĐS: -2 m 1≤ ≤

6 mcos x-4sinxcosx+m-2=0 , tìm m để phương trình này có nghiệm thuộc 2 (0; )π

4 ĐS: 1<m<8

3

7 cos x- 3sin2x=1+sin x ĐS: tanx=0; tanx=- 32 2

8 cos x-4sin x-3cosxsin x+sinx=0 ĐS: 3 3 2 tanx= -1; tanx= ± 3

3

9 3cos x-4sin xcos x+sin x=0 ĐS: tanx=±1; tanx=± 34 2 2 4

10 sin2x+2tanx=3 ĐS: tanx=1

11 sinxsin2x+sin3x=6cos x ĐS: tanx=2; tanx=± 33

12 cotx-1= cos2x +sin x- sin2x2 1

1+tanx 2 (KA-2003) ĐS: tanx=1

13 sin3x+cos3x+2cosx=0 ĐS: tanx= -1; tanx=± 3

14 6sinx - 2cos x=3 5sin4xcosx

2cos2x ĐS: tanx=1

15 sinx-4sin x+cosx=0 ĐS: tanx=13

16 tanxsin x-2sin x=3(cos2x+sinxcosx) ĐS: tanx=-1; tanx=± 32 2

17 (4-6m)sin x+3(2m-1)sinx+2(m-2)sin xcosx-(4m-3)cosx=03 2

a Giải phương trình khi m=2

b Tìm m để phương trình có nghiệm có duy nhất một nghiệm trên [0; ]π

4

3 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI SINX VÀ COSX

1 (1+sin x)cosx+(1+cos x)sinx=1+sin2x (KA-2007) ĐS: sinx+cosx=12 2

2 1+sin x+cos x= sin2x3 3 3

2 ĐS: sinx+cosx=-1

3 1+tanx=2 2sinx ĐS: sinx+cosx= 2; sinx+cosx=- 1

2

4 sinx-cosx +4sin2x=1 ĐS: sin2x=0

5 sin x-cos x=m , tìm m để phương trình có nghiệm ĐS: 3 3 -1 m 1≤ ≤

6 sinx+sin x+cos x=0 ĐS : 2 3 x=π +k2π ; cos = 2-1 (k Z)





7 sin x+cos x-1= sin2x3 3 3

π

3π

4

ϕ ϕ



8 2(sinx+cosx)=tanx+cotx ĐS : x= +k2π (k Z)π

4





9 3(cotx-cosx)-5(tanx-sinx)=2 ĐS :

π

x=α- +k2π

3

4 (k Z); x=β+hπ (tanx= )h Z

x= -α+k2π

4









10 3tan x-tanx+2 3(1+sinx)π x2 =8cos ( - )2

tan x= ; sin(x+ )=

11 2sin x-sinx=2cos x-cosx+cos2x ĐS : tanx=1; sinx+cosx=0; sinx+cosx=-13 3

12 sinx+sin x+sin x+sin x=cosx+cos x+cos x+cos x ĐS :2 3 4 2 3 4

tanx=1; sinx+cosx=-1

13 tan x(1-sin x)+cos x-1=0 ĐS : cosx=1; tanx=1; sinx+cosx+sinxcosx=02 3 3

14 cos 2x+2(sinx+cosx) -3sin2x-3=0 ĐS : 2 3 cos(x- )=0; cos(x- )=π π 1

15 2sinx+cotx=2sin2x+1 ĐS : sinx= ; sinx-cosx=1 5-1

16 cos2x+5=2(2-cosx)(sinx-cosx) ĐS : sin(x- )=π 1

17 sin x+cos x=cos2x ĐS : tanx=-1; sinx-cosx=-13 3

18 3tan x+4tanx+4cotx+3cot x+2=0 ĐS : 2 2 x=- +kππ

4

19 tanx+tan x+tan x+cotx+cot x+cot x=6 ĐS :sin2x=12 3 2 3

20 22 +2tan x+5tanx+5cotx+4=02

21 m(sinx+cosx+1)=1+sin2x tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn π

[0; ]

2 ĐS :

1

m 2( 2-1)

2≤ ≤

22 sin x+cos x=msinxcosx , tìm m để phương trình có nghiệm ĐS : 3 3 ∀ ∈m R

23 m(sinx+cosx)+1+ (tanx+cotx+1 1 + 1 )=0

2 sinx cosx , tìm m để phương trình có nghiệm trên (0; )π

2 ĐS : m≤ 2 1−

24 2cos2x+sin xcosx+sinxcos x=m(sinx+cosx) , tìm m để phương trình có ít 2 2 nhất một nghiệm trên [0; ]π

2 ĐS : m ≤2

25 12 +cot x+m(tanx+cotx)+2=02

cos x , tìm m để phương trình có nghiệm ĐS :

m ≥2

4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC SỬ DỤNG NHIỀU ĐẾN PHÉP BIẾN ĐỔI

LƯỢNG GIÁC

1 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx (KD-2008) ĐS: cosx= - ; sin2x=11

2

2 2sin 2x+sin7x - 1=sinx (KB-2007)2 ĐS: cos4x=0; sin3x=1

2 3

2(sin x+cos x)-sinxcosx

=0

5π x= +k2π (k Z)

4 cos 3xcos2x - cos x=0 (KA-2005)2 2 ĐS: cos4x=1

sin ( - )tan x - cos =0

6 (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx ĐS: tanx=0; tanx= -1

7 2sin3x(1 - 4sin x)=12 ĐS: sin6x=sin( -x)π

2

8 4cos x+3tan x-4 3cosx+2 3tanx+4=02 2 ĐS:

3 cosx=

2 1

tanx=-3











9 8cos4xcos 2x+ 1-cos3x +1=02 ĐS:

1

cos4x=-2 cos3x=1









10

2

sin x+ (cos3xsin x+sin3xcos x)=sinxsin 3x

sin4x 0

1 sinx=

2 sin3x ±1

≠









≠



(3bài

trên sử dụng phương pháp tổng hai số không âm để giải)

11 sin x - cos x= sinx + cosx4 4

12 (cos2x-cos4x) =6+2sin3x2

13

cos x-sin x

=2cos2x sinx + cosx

14 3-cosx - cosx+1=2

15 cos3x+ 2 cos 3− 2 x =2(1 sin 2 )+ 2 x

tan x+cot x=2sin (x+ )

4

17 cos2x+cos3x-2=0

4

18 cos2x+cos4x+cos6x=cosxcos2xcos3x+2

19 cos2x- 3sin2x- 3sinx-cosx+4=0

20 4cosx - 2cos2x - cos4x=1

sinxcos2xcos3x

22 cos 3xcos2x - cos x=0 (Từ bài 11 đến bài 22 sử dụng phương pháp đối lập)2 2

5 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA CĂN

sinx 0

1 cosx=

2

≤









2 sin x+cos x+sin xcotx+cos tanx= 2sin2x3 3 3 3 ĐS: sinx+cosx 0

sin2x=1

≥







1+8sin2xcos 2x = 2sin(3x+ )

π sin(3x+ ) 0

4 1 sin2x=

2









4 1-sin2x + 1+sin2x =4cosx

1 sin2x

2

sin2x=









5 sinx+ 3cosx+ sinx+ 3cosx =2 ĐS: sin(x+ )=π 1

6 3 tanx+1(sinx+2cosx)=5(sinx+3cosx) ĐS: tanx=3

7 ( 1-cosx + cosx )cos2x= sin4x1

π

4

= ±

8 sin x(1+cotx)+cos x(1+tanx)=23 3 ĐS: sin cos 0

sin 2 1

x





9 cos2x + 1+sin2x =2 sinx+cosx ĐS: tanx=-1; cosx=1

6 NHẬN DẠNG TAM GIÁC

1 Tính các góc của ∆ABC nếu sin(B+C)+sin(C+A)+cos(A+B)=3

2 ĐS:

π A=B=

6

2 Tính các góc của ∆ABC nếu cos2A+ 3(cos2B+cos2C)+ =05

2 ĐS: A=30 ; B=C0

3 Chứng minh ∆ABC có C=1200 nếu sinA+sinB+sinC-2sinAsin =2sinB C

4 Tính các góc của ∆ABC biết số đo 3 góc tạo thành cấp số cộng và

3+ 3 sinA+sinB+sinC=

2

5 Tính các góc của ∆ABC nếu

b +c a sinA+sinB+sinC=1+ 2





A=90 ; B=C=45

6 Cho ∆ABC không tù thỏa mãn điều kiện cos2A+2 2cosB+2 2cosC=3, tính ba góc của ∆ABC ĐS:A=90 ; B=C=450 0

7 Chứng minh rằng ∆ABC có ít nhất một góc bằng 600 khi và chỉ khi

sinA+sinB+sinC

= 3 cosA+cosB+cosC

8 Chứng minh ∆ABC vuông khi cot =B a+c

9 Chứng minh nếu ∆ABC vuông tại A nếu b + c = a

cosB cosC sinBsinC

10 Chứng minh ∆ABC vuông nếu cos cos cos - sinA B C Asin sin =B C 1

11 Chứng minh ∆ABC vuông tại A nếu 3(cosB+2sinC)+4(sinB+2cosC)=15

12 Chứng minh ∆ABC có sin2A+sin2B=4sinAsinB thì là ∆ vuông

13 Chứng minh nếu ∆ABC có tanA+tanB=2cotC

2 thì ∆ cân

14 Chứng minh ∆ABC cân nếu sinAcos3 B=sin cosB 3A

15 Chứng minh nếu ∆ABC cân nếu

cos A+cos B 1

= (cot A+cot B) sin A+sin B 2

16.Chứng minh ∆ABC cân nếu a+b=tan (atanA+btanB)C

2

17 Cho ∆ABC thỏa mãn acosB-bcosA=asinA-bsinB, chứng minh ∆ABC vuông hay cân?

18 ∆ABC là ∆ gì nếu (a +b sin(A-B)=(a -b )sin(A+B)2 2) 2 2

7 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC

TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2013 Bài 1 (ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình :

5 sin cos3 sin 3 cos 2 3

1 2sin 2

x

+

5

;

x=π x= π

Bài 2 (ĐH B2002) Giải phương trình :

sin 3 2 x− cos 4 2 x= sin 5 2 x− cos 6 2 x ĐS : ;

x= π x= π (

k Z∈ )

Bài 3 (ĐH D2002)Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng của phương trình :

cos3x− 4cos2x+ 3cosx− = 4 0 ĐS :

x=π x= π x= π x= π

Bài 4 (ĐH A2003) Giải bất phương trình :

2

cot 1 sin sin 2

x

x

4

x= +π kπ

(k Z∈ )

Bài 5 (ĐH B2003) Giải bất phương trình :

2 cot tan 4sin 2

sin 2

x

3

x= ± +π kπ (

k Z∈ )

Bài 6 (ĐH D2003) Giải phương trình:

sin tan cot 0.

x

π

 

4

x= +π k π x= − +π kπ (

k Z∈ )

Bài 7 (ĐH A2004) Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện:

os2 2 2 cos 2 2 cos 3

Tính ba góc của tam giác ABC ĐS : A= 90 ;0 B C= = 450

Bài 8 (ĐH B2004) Giải phương trình:

5sinx− = 2 3(1 s inx) tan − 2x ĐS : 2 ; 5 2

x= +π k π x= π +k π (

k Z∈ )

Bài 9 (ĐH D2004) Giải phương trình:

(2cosx−1)(2sinx+cos ) sin 2x = x−sinx. ĐS : 2 ;

x= ± +π k π x= − +π kπ (

k Z∈ )

Bài 10 (ĐH A2005) Giải phương trình:

cos 3 cos 2 2 x x c− os 2x= 0 ĐS :

2

k

x= π

(k Z∈ )

Bài 11 (ĐH B2005) Giải phương trình:

1 sin + x+ cosx+ sin 2x c+ os2x= 0 ĐS : 2 2 ;

x= ± π +k π x= − +π kπ (

k Z∈ )

Bài 12 (ĐH D2005) Giải phương trình:

os sin os sin 3 0.

    ĐS : x 4 k

= + (k Z∈ )

Bài 13 (ĐH A2006) Giải phương trình:

2( os sin ) sin x cos

0

2 2sin

x

− ĐS :

5 2 4

x= π +k π

(k Z∈ )

Bài 14 (ĐH B2006) Giải phương trình:

cot sinx 1 tan x tan 4

2

x

  ĐS :

5

;

x= π +kπ x= π +kπ (

k Z∈ )

Bài 15 (ĐH D2006) Giải phương trình:

cos3x c+ os2x− cosx− = 1 0 ĐS : ; 2 2

3

x k= π x= ± π +k π (

k Z∈

)

Bài 16 (ĐH A2007) Giải hệ phương trình:

(1 sin + 2 x)cosx+ +(1 cos 2 x)sinx= + 1 sin 2x ĐS :

x k= π x= +π k π x= − +π kπ

(k Z∈ )

Bài 17 (ĐH B2007) Giải hệ phương trình 2

2 sin 2x+ sin 7x− = 1 sinx

x= +π π x= π + π x= π + π

(k Z∈ )

Bài 18 (ĐH D2007) Giải hệ phương trình :

2

sin cos 3 cos 2

x

  ĐS : 2 ; 2

x= +π k π x= − +π k π

(k Z∈ )

Bài 19 (ĐH A2008) Giải hệ phương trình:

4sin( ) 3

2

x

x sim x

π π

− ĐS : x= − +π4 kπ;x= − +π8 kπ;x=58π +kπ

(k Z∈ )

Bài 20 (ĐH B2008) Giải hệ phương trình:

sin x− 3 osc x= sin x cos x− 3 sin xcosx ĐS : ;

k

x= +π π x= − +π kπ

(

k Z∈ )

Bài 21 (ĐH D2008) Giải hệ phương trình:

2sinx 1 cos2x( + ) + sin2x 1 2cosx = + ĐS : 2 2 ;

x= ± π +k π x= +π kπ

(

k Z∈ )

Bài 22 (ĐH A2009) Giải phương trình:

( )

1 2sin cos

3

1 2 sin 1 sin

x x

−

= + − ĐS : 2

18 3

k

x= −π + π

(k Z∈ )

Bài 23 (ĐH B2009)Giải phương trình:

sinx+ cos sin 2x x+ 3 cos 3x= 2 cos 4( x+ sin 3x) ĐS : 2 ; 2

k

x= − +π k π x= π + π

(

k Z∈ )

Bài 24 (ĐH D2009) Giải phương trình :

3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0 − − = ĐS : ;

x= π + π x= − +π π

(

k Z∈ )

Bài 25 (ĐH A2010) Giải phương trình :

(1 sinx cos 2 ) in( 4) 1

cos

x s x

x

π

=

x= − +π k π x= π +k π

(

k Z∈ )

Bài 26 (ĐH B2010) Giải phương trình:

(sin 2x c+ os2 ) cosx x c+ os2x s− inx=0 ĐS :

4 2

k

x= +π π

(k Z∈ )

Bài 27 (ĐH D2010) Giải phương trình:

sin2x cos 2 − x+ 3sinx− cosx− = 1 0 ĐS : 2 ; 5 2

x= +π k π x= π +k π

(

k Z∈ )

Bài 28 (ĐH A2011) Giải phương trình:

1 sin 2 2 os2 2 sin x sin 2

1 cot

x c x

x x

+ ĐS : x 2 k ;x 4 k2

k Z∈ )

Bài 29 (ĐH B2011) Giải phương trình:

sin2x cos +sinxcosx=cos2x+sinx cosx + x ĐS : 2 ; 2

k

x= +π k π x= +π π (

k Z∈ )

Bài 30 (ĐH D2011) Giải phương trình :

sin2x 2cos in 1 0

3 t anx

x s x

+ ĐS : 2

3

x= +π k π

(k Z∈ )

Bài 31 (ĐH A2012) Giải phương trình :

3 sin2x+cos2x=2cosx-1 ĐS : ; 2 ; 2 2

x= +π kπ x k= π x= π +k π

(k Z∈ )

Bài 32 (ĐH B2012) Giải phương trình:

2(cosx+ 3 sin ) cosx x=cosx− 3 sinx+1

ĐS : 2 2 ; 2

k

x= π +k π x= π

(k Z∈ )

Bài 33 (ĐH D2012) Giải phương trình:

sin3x + cos3x – sinx + cosx = 2cos2x

k

x= +π π x= π +k π x= −π +k π

(k Z∈ )

Bài 34 (ĐH A2013) Giải phương trình: 1 tan x 2 2 sin x

4

π

x= − +π kπ x= ± +π k π

(k Z∈ )

Bài 35 (ĐH B2013) Giải phương trình:

2

sin 5x 2cos x 1 + =

x= − +π π x= −π + π

(k Z∈ )

Bài 36 (ĐH D2013) Giải phương trình

sin 3x cos 2x s inx 0 + − =

k

x= +π π x= − +π k π x= π +k π

(k Z∈ )