Lý thuyết - Bài tập Lượng giác(Hot)

Phương trình vô nghiệm... Những đề TSĐHCác phương pháp sẽ sử dụng: 1 Không nên khai triển các điều kiện quá sớm, nếu các điều kiện phức tạp.

Một số công thức lượng giác

Công thức cơ bản

1) tan sin

a

a





sin

a

3) sin2acos2a1

4) tan cota a 1

2

1

1 tan

cos

a

a

6) 1 cot2 12

sin

a

a

Công thức nhân

1) sin 2a=2sina.cosa

2)

cos 2a 2cos a 1 1 2sin   a cos a sin a

3) tan 2 2 tan2

1- tan

a a

a



4) sin 3a3sina 4sin3a

5) cos3a4cos3a 3cosa

Công thức cộng, trừ

1) sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb

2) cos(a+b)=cosa.cosbsina.sinb

3) sin(ab)=sina.cosbcosa.sinb

4) cos(ab)=cosa.cosb+sina.sinb

5) tan( ) tan tan

1 tan tan

a b





Công thức biến đổi tổng thành tích

1) sin sin 2sin cos

2) cos cos 2cos cos

3) sin sin 2cos sin

4) cos cos 2sin sin

5) tan tan sin( )

cos cos

a b



6) tan tan sin( )

cos cos

a b



7) cot cot sin( )

sin sin

a b



8) cot cot sin( )

sin sin

b a



Công thức biến đổi tích thành tổng

1) sin cos 1sin( ) sin( )

2

a b a b  a b

2) cos cos 1cos( ) cos( )

2

a b a b  a b

3) sin sin 1cos( ) cos( )

2

a b a b  a b

A Phương trình bậc 1 một hàm số lượng giác

Kiến thức cần nhớ về phương trình cơ bản:

2

x u k



 





2

x u k





 



 3) tanxtanu x u k 

4) cotxcotu x u k 

5) sinx=m và cosx=m vô nghiệm nếu

6) Với giá trị m bất kỳ thỏa m  luôn tồn 1 tại :

 Góc 0;: cos m

 

   

7) Với bất kỳ giá trị m luôn tồn tại góc

; :

 

   

1

Một số phương trình cần nhớ nghiệm:

1)

2

2)

2

2

3)

2

x  x k  4)

2

x  x  k 

5)

cosx 1 x k 2

6)

cosx 1 x  k2

Ví dụ

1) Giải 2sinx  1 0

Giải:

1

2 6 7 2 6

















 



2) Giải 3 tan 3x  1 0

Giải:

3 tan 3 1 0 tan 3x=tan

6 3

x





3) Định m để phương trình sau vô nghiệm

cos 4 1 0

Giải:

 Với m=0 thì mcos 4x  1 0 vô nghiệm

 Với m≠0 thì cos 4x 1

m



 , phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi

1 1

m





 Kết luận: phương trình đã cho vô nghiệm khi

và chỉ khi 1<m<1m<m<11

Bài tập tương tự:

 Giải các phương trình sau:

1) 3 tan 2x=1 2) cos(x 30 ) 2cos (15 ) 10  2 0  3) sin 4 cos 6

4) sinxtanx

5) 4cos 3 x   3 6) cot(2x  1) 3

 Định m để các phương trình sau vô nghiệm:

1)2m1 cos x2m

2) (m1) tanx 1 0

B Phương trình bậc 2 một hàm số lượng giác

Ví dụ:

1) Giải 2sin2 x5sinx 3 0 Giải: sinx=3 bị loại

5

6

x

















2) Giải cot 32 x cot 3x 2 0 Giải:

* cot3x=1

x  k

u

x k u arc

3) Giải 4cos2x 2(1 2) cosx 2 0 Giải:

t=cosx,1≤t≤1t≤t≤11 2

4t  2(1 2)t 2 0

t  t

x  x  k 

x  x  k 

Bài tập tương tự:

1) 2cos 2x2cosx 2 0 2)5 tanx 2cotx 3 0

C Phương trình bậc 1 của

sinx và cosx

Dạng: asinx b cosx c 0

Chú ý:

x x x x 

sin cos 2 sin

4

x x x  

cos sin 2 cos

4

x x x 

Phương pháp giải toán:

a x b x c 

Chia 2 vế cho a2b2

Tồn tại góc  sao cho

Ta được phương trình:

2 2

sin cosx cos sinx c

a b



2 2

sin(x ) c

a b





 Nếu a2+b2<m<1c2 thì phương trình vô

nghiệm

 Nếu a2+b2≤t≤1c2 thì tồn tại góc  sao cho

2 2

a b

 

 Ta được phương trình sin(x  ) sin  Giải tìm x

Ví dụ:

1) Giải sinxcosx1

Giải: 2 sin 1

4

x 

1

2

3 2









 



2 2 2

x k















  



2) Giải 3 sinx cosx1 Giải: 3sin 1cos 1

2 x 2 x2 sin cos cos sin sin

2

5 2









 



2 3 2













 

 3) Giải 2sin3x+ 5 cos3x 3 Giải: 2sin3x+ 5cos3 1

Tồn tại góc : cos 2,sin 5

trình thành sin(3x  )1

2

x   k 

x   k 

4) Định m để phương trình sau có nghiệm

m x x Giải: m2+1≥10  m≤t≤13 V m≥3

Bài tập tương tự:

1) Giải sinx 2cosx3

2) Giải 2sin 3x cos3x1

3) Định m để (m1)sinx(m+1)cosx=1 có nghiệm

D Phương trình đẳng cấp bậc

2 đối với sinx,cosx Dạng: asin2 x b cos2 x c sin cosx x0

Phương pháp giải toán:

 Xét riêng cosx=0

 Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos2x đưa về phương trình bậc 2 của tanx

Ví dụ:

1) Giải 4sin2x5sinxcosx6cos2x=0 Giải:

 Xét cosx=0, thế vào phương trình ta có sinx=0 Mâu thuẫn với cosx=0

3

Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos2x ta được

4tan2x5tanx6=0 tan 2 tan 3

4

-3 arctan 2+k arctan +k

4

 

2) Giải 2sin2x5cosxcosxcos2x+2=0

Giải:

Do 2=2sin2x+2cos2x nên ta có:

4sin2x5sinxcosx+cos2x=0

Xét cosx=0 không thỏa phương trình

Xét cosx≠0, chia 2 vế cho cos2x ta được

4tan2x5tanx+1=0 tan 1 tan 1

4

1 arctan

3) Định m để phương trình

msin2xcos2x+sinxcosx=0 có nghiệm

Giải:

Nếu m=0 thì phương trình thành

cosx(sinxcosx)=0  cosx 0 tanx1

x  k x  k

Nếu m≠0 xét cosx=0 không thỏa phương trình

Xét cosx≠0 , chia 2vế cho cos2x ta có

mtan2x+tanx1=0 Phương trình có nghiệm khi

1

4

     

Kết luận: 1

4

m

Bài tập tương tự:

1) Giải 2sin2x+cos2x+3sinxcosx+5=0

2) Giải 3sin2xsinxcosx+cos2x=5

3) Giải 3sin2xsinxcosx+cos2x=1 4) Định m để 3sin2xsinxcosx+cos2x=m có nghiệm

E Phương trình đối xứng đối với sinx,cosx

Dạng: (sina xcos )x bsin cosx x c 0

Phương pháp giải toán:

Đặt t=sinx+cosx= 2 sin

4

x 



 thì

2 t t

   và

2 1 sinxcosx=

2

t 

Đưa được phương trình về dạng bậc 2 theo t

Ví dụ:

1) Giải sinxcosx sin cosx x1

Giải: Đặt t=sinx+cosx= 2 sin

4

x 



   ta được:

2 1 1 2

t

t   t2 2 1 0t   t 1

2

x k  x  k 

2) Giải sinx cosx sin cosx x1

Giải: Đặt t=sinx-cosx= 2 sin

4

x 



   ta được: 2 1 1

2

t

t  

2 2 1 0

t t

2

x  k  x  k 

3) Định m để phương trình

sinxcosx sin cosx x m có nghiệm Giải: Đặt t=sinx+cosx= 2 sin

4

x 



   ta được:

2 1 2

t

t  m  t22t 1 2m

2

2m ( 1)t 2

Do  2 t 2 nên ( 2 1)    t 1 2 1

 2

1 2 2

1

 

Bài tương tự:

1) Giải sinxcosx sin cosx x2

2) Giải sinx cosx sin cosx x1

3) Định m để phương trình

sinx cosx sin cosx x m có nghiệm

F Một số phương trình khác

1) s in2xsin5x=sin3xsin4x

HD: biến đổi tích thành tổng

2) sin4x+cos4x=1

HD: 12sin2xcos2x=1  sinx=0 V cosx=0 

2

x k 

3) sin4x+cos4x=2

HD: sinx 1, cosx 1 Phương trình vô

nghiệm

4) sin2 xsin 32 x2sin 22 x

HD: hạ bậc

1 cos 2 1 cos 6

1 cos 4

x

2cos 4x cos 6x cos 2x

cos 4x cos 4 cos 2x x

cos 4 (1 cos 2 ) 0x x

cos 4x 0 cos 2x 1

2

x  k x k 

x  k x k

5) tan3x=tanx

HD:

tan3x=tanx

2

3

x x l











 



2 2

x l











 

 



x m

6) tan5x=tan3x HD:

tan5x=tan3x 3 2

x x l











 



2

x l







 

 



Vậy ta chỉ nhận x m

7) cot 2 cot

2

x x 

HD:

2 2











 





  



Phương trình vô nghiệm

Cách khác:

Với điều kiện sinx≠0 và cosx≠0 cot 2 cot

2

x x

   cot 2x tanx

cos 2 sin in2x cos



sin

2 inx

x

x s

1 2sin x 2sin x

8)* sin3x+cos3x+2cosx=0 HD:

sin3x+cos3x+2cosx=0

3sinx-4sin x+4cos x-3cosx+2cosx=0



3

3sinx-4sin x+4cos x-cosx

=0

cos x



2 (3 t )(t 1) 0

x  k x  k

x

x

 HD:

ĐK: sinx≠0, cosx≠0, tanx≠1

2

x





1 2sinx.cosx sin

x



2

cosx 2sinx 2s in x.cosx

2

2 tan

x

x

3 2

     (t=tanx)

2

(t 1)(2t t 1) 0

4

t x  k

10) sin2x+2tanx=3 HD:

ĐK cosx≠0 2sinx.cos2x+2sinx=3cosx

2t+2t(t +1)=3(1+t )

3 2

2t 3t 4t 3 0

2 ( 1)(2t t t 3) 0

1

4

5

G Những đề TSĐH

Các phương pháp sẽ sử dụng:

1) Không nên khai triển các điều kiện quá

sớm, nếu các điều kiện phức tạp.

VD: Giải phương trình:

2 cot tan 4sin 2

sin 2

x

HD:

ĐK sinx≠0, cosx≠0

(Chúng ta không vội khai triển thành

2

x k 

)

2 cot tan 4sin 2

sin 2

x

2 2

4sin 2

x



2sin 2

x

x

2

cos 2x 2sin 2x 1

2

2 cos 2x cos 2x 1 0

1 cos 2 1 cos 2

2

Khi cos2x=1 thì sinx=0 không thỏa ĐK

Khi cos2x=-1/2 thì cos 2 x=1/4 thỏa ĐK

Vậy ta nhận cos 2 1

x  x  k

2) Nắm chắc cách giải phương trình lượng

giác cơ bản phương trình bậc I của 1 hàm số

lượng giác bậc II của 1 hàm số lượng giác

đẳng cấp bậc I của sinx và cosx đẳng cấp bậc

II, bậc n của sinx,cosx phương trình đối xứng đối với sinx,cosx…

3) Lưu ý một số kỹ năng kiểm tra điều kiện

của phương trình lượng giác: “Tập hợp

2

m





2

m



   hợp lại.”

VD: Giải tan3x=tan5x

Xem lại phần trước

4) Quan hệ cosx và 1sinx:

2

1 sin cos (1 sin ) cos



VD: Giải (1 2sin x)cos x 3

(1 2sin x)(1 sin x)





HD:

ĐK: sinx≠1 và sin 1

2

x

Nhận xét có

2

1 sin cos (1 sin ) cos



Phương trình thành:

(1 2sin x)(1 sin x)

3 (1 2sin x) cos x



 sin x cos 2x

3 cos x sin2x

 Nhận xét có 2 loại biến là x và 2x:

 3 cos x sin x   3 sin2x cos2x =0 

3

Hoặc là:

x



(biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với các cung là ,11 ,23

18 18 18



, kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu)

Hoặc là:

x

(khi đó sinx=1 thỏa điều kiện ban đầu)

x  k  x  l 

5) Khi có nhiều loại biến tham gia thì ưu tiên

cho hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán

VD: Giài

3

sin x cos x sin 2x 3 cos 3x

2(cos 4x sin x)

HD:

3

sin x cos x sin 2x 3 cos 3x

2(cos 4x sin x)

1 sin x sin 3x sin x 3 cos3x

2

2(cos 4x sin x sin 3x)

1 3

sin 3x sin x 3 cos 3x

2 cos 4x sin x sin 3x

sin 3x 3 cos3x 2 cos 4x

sin 3x cos 3x cos 4x

6



2 7x

k

x







6) Biến đổi và rút thừa số chung

VD: Giải

2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx   

HD:

2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx   

2

4sinx.cos x 2sinx.cosx 1 2cosx

2sinx.cosx(1+2cosx) 1 2cosx

(1+2cosx)(sin2x 1) 0

1

cos

2

sin 2 1

x

x

















2 2 3 4













 

  



7) Nhận xét phương trình đẳng cấp bậc n của sin n x, cos n x: xét riêng cosx=0, khi cosx≠0 thì

chia 2 vế cho cosnx VD: Giải

sin 3 cos

sin cos 3.sin cos

 HD:

Xét cosx=0 không thỏa phương trình

Vậy với cosx≠0:

Chia 2 vế cho cos3x, đặt t=tanx

t  3t  t 3 0

2 (t 3)(t 1) 0

x  k x  k

8) Tính đối xứng của sinx và cosx đặt

t=sinx+cosx VD: Giải

1 sin x cosx (1 cos )sinx 1 sin2x 2    2 x   HD:

1 sin x cosx (1 cos )sinx 1 sin2x 2    2 x  

2

cos sin cos sin cos sin (sin cos )

2

cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos )

4 sin cos sin cos 1 0

x









Với phương trình thứ nhất ta có

4

x k Với phương trình thứ hai đặt t=sinx+cosx ta được t22t+1=0  t=1 sin 1

x 

2 2 2

x k















  



9) Một số biến đổi thường dùng

2

1 sin 2 x(sinxcos )x

2

1 sin 2 x(sinx cos )x

sin 2 sin cos

2

x

x x 

sin xcos x(sinxcos )(1 sin cos )x  x x

sin x cos x(sinx cos )(1 sin cos )x  x x

sin xcos x 1 2sin cosx x

cos x sin x cos x 2

sin xcos xsin xcos x sin xcos x

cos sin

cos 2 (sin cos sin cos )

VD: Giải

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x





10) Sử dụng

cos

1 tan tan

x

x x

  

VD: Giải cot sin 1 4

2

x

x x tgx tg 

HD: ĐK sinx≠0, cosx≠0

7

cot sin 1 4

2

x

x x tgx tg 

cotx tanx 4

2

tan x 4 tanx 1 0

tanx 2 3

arctan 2 3

Nghiệm thỏa ĐK

11) Đưa về một loại hàm số lượng giác

VD: Giải cos3x cos2x cosx 1 0   

HD:

cos3x cos2x cosx 1 0   

2cos x cos x 2cosx 1 0

2 (2cosx 1)(cos x 1) 0

1

2

2

2 3

x  k  x k

12) Do 1≤sinx,cosx≤1 nên có các kết quả sinx,cosx≤sinx,cosx≤1 nên có các kết quả 1 nên có các kết quả

sau:

sin 1 cos 1 sin cos 1



 sin 1 sin 1 sin sin 1





cos cos 1



 Tương tự cho trường hợp vế phải là 1

sin cos 1





sin sin 1





cos cos 1





VD: Giải cos 3x cos2x cos x 02  2  HD:

cos 3x cos2x cos x 0 

1+cos6x cos 2 1+cos2x

0

x

cos6x cos 2x 1

cos 2 1 cos 6 1 cos 2 1 cos 6 1



 Khi cos2x=1 thì

3 cos 6x4cos 2x 3cos 2x=1 Khi cos2x=1 thì

3 cos 6x4cos 2x 3cos 2x=1 Vậy hệ trên tương đương sin2x=0 cho ta nghiệm

2

x k 

13) Một bài toán hay về kiểm tra điều kiện

VD: Giải phương trình:

x



HD:

ĐK cosx≠0

x



2

0

x



1 sinxtan 2x 1 cosx 0

1 sin sinx 2x cos 2x cos 3x 0

(sinx cos )(1 sin cosx x x cosx sin ) 0x

Khi sinx+cosx=0 ta có

4

x k Khi 1sinxcosx+cosxsinx=0 Đặt t=cosxsinx, sin cos 1 2

2

t

x x 

Ta được t22 1 0t   t 1

3 2

2

x  k  x  k 

So với ĐK ta chỉ nhận x k2 Đáp số:

4

x k, x k2

Đề thi và hướng dẫn

1) (A-2009) Giải phương trình

(1 2sin x) cos x

3 (1 2sin x)(1 sin x)





HD:

ĐK: sinx≠1 và sin 1

2

x

Nhận xét có

2

1 sin cos (1 sin ) cos



Phương trình thành:

(1 2sin x)(1 sin x)

3 (1 2sin x) cos x





sin x cos 2x

3 cos x sin2x



Nhận xét có 2 loại biến là x và 2x:

 3 cos x sin x   3 sin2x cos2x =0 

3

Hoặc là:

x



(biểu diễn trên đường tròn lượng giác ứng với

các cung là ,11 ,23

18 18 18



, kiểm tra bằng máy tính thì thỏa các điều kiện ban đầu)

Hoặc là:

x

(khi đó sinx=1 thỏa điều kiện ban đầu)

x  k  x  l 

Đây là một bài toán hay,chỉ cần kiến thức cơ bản nhưng phải chặt chẽ.

2) (B-2009) Giải phương trình:

3

sin x cos x sin 2x 3 cos 3x

2(cos 4x sin x)

HD:

Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x,2x,3x,4x nên định hướng là hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán.

3

sin x cos x sin 2x 3 cos 3x

2(cos 4x sin x)

1 sin x sin 3x sin x 3 cos 3x

2

2(cos 4x sin x sin 3x)

sin 3x sin x 3 cos 3x

2 cos 4x sin x sin 3x

sin 3x 3 cos 3x 2 cos 4x

sin 3x cos 3x cos 4x

6



2 7x

k

x







3) (D-2009) Giải phương trình

3 cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0  

HD:

Nhận xét: có quá nhiều loại biến tham gia x,2x,3x,5x nên định hướng là hạ bậc và biến đổi lượng giác để rút gọn đề toán.

4) (A-2008) Giải phương trình :

4sin 3

2

x







HD:

cos

x





2

2





Phư

ơng trình thành:

2 2(sin cos ) 0 sinxcosx x x 

1

sin cos

9

sin 0

4

1 sin 2

2

x

x















4

8 5 8















 













5) (B-2008) Giải phương trình :

sin 3 cos

sin cos 3.sin cos



HD:

Đây là phương trình đẳng cấp bậc 3

Xét cosx=0 không thỏa phương trình

Vậy với cosx≠0:

Chia 2 vế cho cos3x, đặt t=tanx

t  3t  t 3 0

2

(t 3)(t 1) 0

x  k x  k

6) (D-2008) Giải phương trình :

2sinx 1 cos2x sin2x    1 2cosx

HD:

Không phải đẳng cấp Không phải hạ bậc

Chỉ có x và 2x Không đưa được về 1 loại biến

Định hướng biến đổi + rút thừa số chung

2sinx 1 cos2x sin2x 1 2cosx   

2

4sinx.cos x 2sinx.cosx 1 2cosx

2sinx.cosx(1+2cosx) 1 2cosx

(1+2cosx)(sin2x 1) 0

1 cos

2 sin 2 1

x x

















2 2 3 4













 

  



7) (A-2007) Giải phương trình :

1 sin x cosx (1 cos 2    2 x)sinx 1 sin2x 

HD:

Nhận xét tính đối xứng của sinx và cosx, phán đoán đưa về sinx+cosx

1 sin x cosx (1 cos )sinx 1 sin2x 2    2 x  

2

cos sin cos sin cos sin (sin cos )

2

cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos )

4 sin cos sin cos 1 0

x







 Với phương trình thứ nhất ta có

4

x k Với phương trình thứ hai đặt t=sinx+cosx ta được t22t+1=0  t=1 sin 1

x 

2 2 2

x k















  



8) (B-2007) Giải phương trình :

2

2sin 2x sin 7x 1 sin  x

HD:

Có x, 2x và 7x Phán đoán hạ bậc và biến đổi lượng giác

sin 7x sinx cos 4x0

2 cos 4 sin3x cos 4x x 0

cos 4 (2sin3x 1) 0x

cos 4 0

1 sin 3 sin

x











2















9) (D-2007) Giải phương trình:

2

HD: sinx 3 cosx1 1 3 1

2 6 2 2











 



 

  



10) (A-2006) ) Giải phương trình:

2(cos sin ) sin cos

0

2 2sin

x



 HD:

ĐK sin 1

2

x 

2 6sin xcos x sin cosx x 0

2

3sin 2x sin 2x 4 0

sin 2 1

4

2 4

5

2 4













 



Do ĐK chỉ nhận 5 2

4

x  k 

11) (B-2006) Giải phương trình :

2

x

x x tgx tg 

HD: ĐK sinx≠0, cosx≠0

2

x

x x tgx tg 

cotx tanx 4

2

tan x 4 tanx 1 0

tanx 2 3

arctan 2 3

Nghiệm thỏa ĐK

12) (D-2006) Giải phương trình:

cos3x cos2x cosx 1 0   

HD:

Phán đoán có thể đưa về f(cosx)=0

cos3x cos2x cosx 1 0   

2cos x cos x 2cosx 1 0

2 (2cosx 1)(cos x 1) 0

1

2

3

x  k  x k

13) (A-2005) Giải phương trình:

cos 3x cos2x cos x 0  

HD:

Phán đoán hạ bậc lượng giác

cos 3x cos2x cos x 0 

1+cos6x cos 2 1+cos2x

0

x

cos6x cos 2x 1

cos 2 1 cos 6 1 cos 2 1 cos 6 1



 Khi cos2x=1 thì

3 cos 6x4cos 2x 3cos 2x=1 Khi cos2x=1 thì

3 cos 6x4cos 2x 3cos 2x=1 Vậy hệ trên tương đương sin2x=0 cho ta nghiệm

2

x k 

14) (B-2005) Giải phương trình :

1 sinx cosx sin2x cos2x 0     HD:

Phán đoán có sự đối xứng sinx và cosx, định hướng rút thừa số chung sinx+cosx

1 sinx cosx sin2x cos2x 0    

sinx cosx sin cos cos x sin 0

x

(sinx cosx)(1+2cosx) 0

4 1 cos

2

x

x













4

3











 



 





15) (D-2005) Giải

HD:

Phán đoán hạ bậc và biến đổi lượng giác

x x x    x   

2 2

2sin cos

2

sin 2x cos 4x sin 2x 1 0

2

sin 2x sin 2x 2 0

sin 2 1

4

11