Chương 2 phân bố ứng suất trong khối đất

Các thành phần ứng suất - chuyển vị tại một điểm trong đất: Lấy một khối đất phân tố tại một điểm M trong nền đất đặt trong hệ trục tọa độ vuông góc oxyz như hình vẽ 2.1 thì ứng suất củ

Chương II

PHÂN BỐ ỨNG SUẤT TRONG KHỐI ĐẤT

II.1 Khái niệm

Khi tính toán nền các công trình xây dựng nói chung, chúng ta cần giải quyết hai bài toán chủ yếu : biến dạng và cường độ Muốn thế, việc đầu tiên phải nghiên cứu trạng thái ứng suất - biến dạng của đất

Để xác định trạng thái ứng suất - biến dạng trong đất, đến nay trong cơ học đất người ta vẫn xem đất là môi trường biến dạng đàn hồi tuyến tính, trong đó mối quan hệ giữa ứng suất – biến dạng là tuyến tính

Có ba loại ứng suất cần phải nghiên cứu:

- Ứng suất do trong lượng bản thân của đất gây ra gọi là ứng suất bản thân

- Ưùng suất do tải trọng công trình gây ra gọi là ứng suất do tải trọng ngoài

hay còn gọi là ứng suất phụ thêm

- Ưùng suất tại mặt phân cách giữa đáy móng và đất do tải trọng bên trên

truyền xuống thông qua đáy móng gọi là ứng suất tiếp xúc

Các loại ứng suất này có đặc điểm khác nhau cho nên cách tính toán cũng sẽ không giống nhau

Các thành phần ứng suất - chuyển vị tại một điểm trong đất:

Lấy một khối đất phân tố tại một điểm M trong nền đất đặt trong hệ trục tọa độ vuông góc oxyz như hình vẽ 2.1 thì ứng suất của phân tố đất này và chuyển vị của điểm M được biểu diễn như sau:

- Các thành phần ứng suất pháp: σx , σy, σz

- Các thành phần ứng suất tiếp: τzx , τxz , τxy , τyx , τyz , τzy

- Các thành phần chuyển vị: w, u, v

II.2 Phân bố ứng suất do trọng lượng bản thân của đất

Trước khi chịu tác dụng của tải trọng bên ngoài thì trong đất vẫn tồn tại trạng

thái ứng suất do chính trọng lượng bản thân của đất gây ra Để xác định ứng suất này

ta chấp nhận giả thiết : mặt đất nằm ngang và tính chất của đất không thay đổi theo

phương ngang, đất nằm trong trạng thái cân bằng tĩnh học

Đối với nền đất đồng nhất, ứng suất thẳng đứng do trọng lượng bản thân của

đất gây ra, σzγ ( còn hay gọi là ứng suất thường xuyên σtx ), tại một điểm bất kì có độ

sâu z kể từ mặt đất, được tính theo công thức :

σzγ = γ.z Với γ là trọng lượng riêng tự nhiên của đất

Trường hợp tổng quát, nền đất gồm nhiều lớp đất khác nhau thì ứng suất do

trong lượng bản thân của đất tại độ sâu z là:

γ

i n

í i

σ γ

( 2 1 )

( 2 3 ) ( 2 2 )

Hoặc là :

Trong đó: - γ(z) là trọng lượng riêng của đất thiên nhiên tại chiều sâu z

- ξ là hệ số áp lực hông của đất

- n là số lượng các lớp đất trong phạm vi tính toán

- γi là trọng lượng riêng của lớp đất thứ i

- hi là chiều dày của lớp đất thứ i

Sáu thành phần ứng suất tiếp luôn bằng không

Lưu ý: Đối với các lớp đất thấm nước, nằm dưới mực nước ngầm thì khi tính

toán σzγ phải sử dụng trọng lượng riêng đẩy nổi

Biểu đồ phân bố ứng suất (σzγ ) trên trục thẳng đứng trong nền đất có dạng

một đường gãy khúc như trên hình 2.2

O x

Sét pha, γ1 h1

γ1xh1 Cát pha, γ2 h2

( σzγ ) γ1xh1+ γ2xh2 Sét, γ3 h3

z γ1xh1+ γ2xh2+γ3xh3

Hình 2.2

II.3 Xác định ứng suất tại đáy móng

∫

=

0

) (

γ ξ σ σ

z y

( 2.4 ) ( 2.5 )

Với một móng nông, tải trọng do kết cấu bên trên của công trình tác dụng lên nền đất thông qua mặt đáy móng và gây nên ứng suất tiếp xúc giữa đáy móng với nền đất Trong phạm vi bài giảng này ta chỉ xét ứng suất theo phương thẳng đứng Các ứng suất này được xem là áp lực của công trình truyền cho nền khi tính toán nền và ngược lại là phản lực của nền khi tính toán móng

Cường độ và qui luật phân bố phản lực nền phụ thuộc vào nhiều yếu tố như :

o Kích thước hình dạng móng

o Độ cứng của móng

o Đặc điểm của tải trọng

o Các đặc tính cơ học - vật lý của đất nền v.v …

Ở đây ta nghiên cứu phương pháp dựa trên giả thiết xem ứng suất tiếp xúc dưới đáy móng phân bố theo qui luật đường thẳng ( tuyến tính )

Trường hợp bài toán không gian

Đáy móng hình chữ nhật, tải lệch tâm theo hai phương, ứng suất tại điểm có tọa độ ( x, y ) dưới đáy móng tính theo công thức tổng quát sau :

Hình 2.3

y

y x

x y

J

x M J

y M F

P

P

O x

M(x,y) z l

.M y

b x o x

ey ex P

y

Tại các điểm xmax = ± l/2 ; ymax = ± b/2 ứng suất tính theo công thức:

Hay có thể viết

Trong đó:

- b, l là kích thước hai cạnh của đáy móng

- P là tải thẳng đứng tác dụng tại đáy móng

- ex, ey là độ lệch tâm theo phương x và phương y

e l

e l

Y c

W

M W

M l b

P

( 2 8 ) ( 2 7 )

z

Trường hợp bài toán phẳng

Đây là trường hợp móng băng chịu tải lệch tâm, khi đó ứng suất tại một điểm bất kỳ dưới đáy móng được tính theo công thức:

Trị số ứng suất đáy móng cực đại và cực tiểu:

Hoặc

Trong đó :

- b là bề rộng của đáy móng băng, ( m )

- P là tải thẳng đứng trên một mét dài tác dụng tại đáy móng, ( T/m)

- ex là độ lệch tâm theo phương x, ( m )

O

z M(x,y)

P

Hình 2.6

II.4 Phân bố ứng suất trong đất – bài toán không gian

Khi tính toán ứng suất trong đất, dựa vào mối tương quan giữa hai kích thước của diện chịu tải, người ta chia thành hai trường hợp cơ bản:

Y

Y x

J

x M b

P

p( ) = ± .

Y

Y W

M b

min) (max;

b

e b

o Bài toán không gian

o Bài toán phẳng

4.1 Lực tập trung thẳng đứng trên mặt đất

Như đã biết, tải trọng của công trình truyền lên nền đất thông qua diện tích đáy móng, cho nên trên thực tế không thể tồn tại một lực tập trung thẳng đứng trên mặt đất Mặc dù vậy bài toán này giữ vai trò cơ bản và quan trọng nhất, đó là bài toán J.Boussinesq

Đặt bài toán

Giả sử có một mặt đất Q, chịu tác dụng của tải trọng tập trung thẳng đứng P tại một điểm O trên mặt đất, một điểm M bất kỳ có tọa độ ( x, y, z ) trong nền đất

Yêu cầu : Tìm ứng suất và chuyển vị tại điểm M

Kết quả cuối cùng

3

R

z P

]}

)(

)2()

(

[3

21{

.2

3

2 3

2 3

2 2

5

2

z R R

z R x z R R

z Rz R R

zx P

+

−+

−

−

−+

πσ

( 2.11 )

( 2.12 )

Ưùng suất tiếp

Tổng ứng suất

Chuyển vị theo phương z, phương x và phương y lần lượt như sau :

Trong đó: P - tải trọng thẳng đứng tác dụng trên bề mặt nền đất

E,µ - modun biến dạng và hệ số nở hông của nền đất

R - khoảng cách từ điểm xét đến điểm đặt của lực (chọn làm gốc)

]

1)1(2.[

2

)1(

3

2

R R

z E

)2()

(

[3

21{

.2

3

2 3

2 3

2 2

5

2

z R R

z R y z R R

z Rz R R

zy P y

+

+

−+

−

−

−+

πσ

5

2

2

3

R

yz P

3

R

xz P

])(

)2(3

21[

.2

3

2 3

z R xy R

xyz P xy

3

)1(

R

z P

z y

πσσσ

])()21(.[

2

)1(

x R

xz E

P u

])()21(.[

2

)1(

y R

yz E

P v

( 2.13 )

( 2.14 ) ( 2.15 )

( 2.16 )

( 2.17 )

( 2.18 ) ( 2.19 )

( 2.20 )

( 2.21 )

Để tiện tính toán, biểu thức ( 2.11 ) được viết lại dưới dạng :

Trong đó

r - khoảng cách từ điểm ta xét tới trục z

Hệ số k đã được lập thành trong bảng 2.1, k = f ( r/z )

Khi trên mặt đất có n lực tác dụng P1, P2, … Pn thì trị số ứng suất tại điểm M bất kỳ ở độ sâu z ( σz ) xác định bằng cách cộng tác dụng theo công thức sau :

Trong ( 2.25 ), ki là hệ số ứng suất của lực Pi , tra bảng theo tỉ số ri /z

z =

σ

2

2])(1[

1.23

z r

P k

3 3 2

2 2 2

1

z

P k z

P k z

P k z

Bảng 2.1 : Giá trị hệ số k

4.2 Tải trọng phân bố trên diện chịu tải chữ nhật

Tải trọng phân bố đều trên diện chữ nhật

Đặt bài toán

Giả sử trên mặt đất có một diện chịu tải hình chữ nhật, chịu tải phân bố đều p và một điểm M( x, y, z ) trong nền đất

Yêu cầu : tìm ứng suất thẳng đứng tại điểm M

Kết quả cuối cùng

Lấy tích phân biểu thức trên toàn bộ diện tích chịu tải hình chữ nhật ta có:

b b

a a

σzo = ko p

σzg = kg p

Trong đó :

- p là cường độ tải trọng phân bố đều trên diện chịu tải

- ko, kg là các hệ số phụ thuộc tỉ số l/b ( l là cạnh dài ; b là cạnh ngắn của diện chịu tải chịu tải chữ nhật ) và tỉ số z/b ( z là chiều sâu của điểm tính ứng suất kể từ mặt diện đặt tải )

Các giá trị ko, kg đã được thành lập ở các bảng 2.2 và bảng 2.3

Khi cần tính ứng suất σz tại những điểm bất kì, không nằm trên trục qua tâm,

hoặc trên trục qua góc, ta dùng phương pháp điểm- góc

Phương pháp điểm góc :

Nội dung của phương pháp này là phân tích diện chịu tải cho trước thành nhiều diện chịu tải nhỏ hình chữ nhật, sao cho điểm cần tính trở thành điểm góc của những diện chịu tải mới đó rồi dùng công thức ( 2.29 ) có chứa hệ số kg, để tính ứng suất và cuối cùng cộng đại số các kết quả thu được

Có 3 trường hợp điển hình đối với điểm cần tính ứng suất – điểm A theo phương pháp điểm góc

( 2.28 ) ( 2.29 )

Bảng 2.2 : Giá trị hệ số ứng suất k o

l/b

0.0 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.4 0.800 0.830 0.848 0.859 0.866 0.870 0.875 0.878 0.879 0.880 0.881 0.881 0.8 0.449 0.496 0.532 0.558 0.578 0.593 0.612 0.623 0.629 0.636 0.639 0.642 1.2 0.257 0.294 0.325 0.352 0.374 0.392 0.419 0.437 0.449 0.462 0.470 0.477 1.6 0.160 0.187 0.211 0.232 0.251 0.267 0.294 0.314 0.329 0.348 0.360 0.374 2.0 0.108 0.127 0.145 0.161 0.176 0.190 0.214 0.233 0.248 0.269 0.285 0.306 2.4 0.077 0.091 0.105 0.118 0.130 0.141 0.161 0.178 0.192 0.213 0.230 0.258 2.8 0.058 0.069 0.079 0.089 0.099 0.108 0.124 0.139 0.152 0.172 0.189 0.223 3.2 0.045 0.053 0.062 0.070 0.077 0.085 0.099 0.111 0.122 0.141 0.158 0.196 3.6 0.036 0.043 0.049 0.056 0.062 0.068 0.080 0.091 0.100 0.117 0.133 0.174 4.0 0.029 0.035 0.040 0.046 0.051 0.056 0.066 0.075 0.084 0.098 0.113 0.157 4.4 0.024 0.029 0.034 0.038 0.043 0.047 0.055 0.063 0.071 0.084 0.098 0.143 4.8 0.020 0.024 0.028 0.032 0.036 0.040 0.047 0.054 0.060 0.072 0.085 0.131 5.2 0.017 0.021 0.024 0.028 0.031 0.034 0.040 0.046 0.052 0.063 0.074 0.121 5.6 0.015 0.018 0.021 0.024 0.027 0.030 0.035 0.040 0.045 0.055 0.065 0.112 6.0 0.013 0.016 0.018 0.021 0.023 0.026 0.031 0.035 0.040 0.048 0.058 0.105 6.4 0.012 0.014 0.016 0.018 0.021 0.023 0.027 0.031 0.035 0.043 0.052 0.098 6.8 0.010 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020 0.024 0.028 0.032 0.038 0.046 0.092 7.2 0.009 0.011 0.013 0.015 0.016 0.018 0.022 0.025 0.028 0.035 0.042 0.087 7.6 0.008 0.010 0.012 0.013 0.015 0.016 0.019 0.022 0.025 0.031 0.038 0.082 8.0 0.007 0.009 0.010 0.118 0.013 0.015 0.018 0.020 0.023 0.028 0.034 0.078

10 0.005 0.006 0.067 0.008 0.009 0.010 0.011 0.013 0.015 0.018 0.023 0.061

12 0.003 0.004 0.005 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.010 0.013 0.016 0.049

- Điểm A nằm trên trục thẳng đứng đi qua một điểm trên cạnh của diện chịu tải ( abcd ) cho trước

Công thức tính ứng suất thẳng đứng của điểm A trên hình vẽ là :

σz = [ kg (ohae) +kg (oebf) +kg (ofcg) + kg (ogdh) ].p

- Điểm A trên trục thẳng đứng đi qua điểm nằm ngoài diện chịu tải ( abcd ) cho trước

Công thức tính ứng suất của điểm A trên hình vẽ là:

σz = [kg (ohae) -kg (ogbe) -kg (ohdf) + kg (ogcf) ] p

Trong đó : µ _ hệ số nở hông của đất

λ _ hệ số để tính tổng ứng suất

Tải trọng phân bố theo qui luật tam giác trên diện chịu tải hình chữ nhật

Sơ đồ tải trọng trình bày trên hình 2.14

Ứng suất σz của những điểm có độ sâu z nằm trên trục qua góc ( C, D ) có tải trọng lớn nhất bằng p, được tính nhờ công thức:

σz = kT p Còn những điểm nằm trên trục qua góc ( A, B ) có tải trọng bằng 0:

σz = k’T p Các hệ số kT, k’T phụ thuộc các tỉ số l/b; z/b tra theo bảng 2.4 và bảng 2.5

Chú ý: khi tải trọng phân bố đều người ta quy ước l là cạnh dài, b là cạnh ngắn của diện đặt tải ; còn khi tải trọng phân bố theo qui luật tam giác thì bảng tra ở đây thiết lập với qui ước b là cạnh theo phương tải trọng thay đổi

Muốn tính ứng suất tại một điểm bất kì trong nền đất dưới diện chịu tải chữ nhật phân bố theo qui tam giác ta cũng dùng phương pháp điểm góc với những hệ số

II.5 Phân bố ứng suất trong đất bài toán phẳng

Tải trọng có qui luật phân bố thay đổi trên phương x và không thay đổi theo phương y được gọi là tải trọng hình băng Ứng suất tại một điểm trong đất trong trường hợp này thuộc bài toán phẳng ( trạng thái ứng suất - biến dạng của nền chỉ phụ thuộc 2 toạ độ x,z )

Trong thực tế, chỉ cần diện chịu tải có chiều dài lớn hơn một số lần nhất định

so với bề rộng ( l ≥ ( 7 ÷ 10 ).b ) thì có thể xem như bài toán phẳng và ứng suất thành phần gồm: σz, σx , τxz

5.1 Tải trọng đường trên mặt đất

Tải trọng tập trung thẳng đứng phân bố đều trên đường thẳng theo phương y được gọi là tải trọng đường Xét một đoạn vô cùng nhỏ dy trên trục phân bố tải trọng thì lực phân bố trên đoạn xét này xem như lực tập trung ( hình 2.17 ) Aùp dụng công thức Boussinesq để tìm ứng suất do tải tập trung phân tố, từ đó tích phân lên từ -∞ đến +∞ sẽ thu được ứng suất do tải trọng đường

Thực hiện tích phân suy rộng này đưa đến kết quả sau:

5 2 2 2

3

)(

2

.3

z y x

z pdy z

++

=+∞∫

∞

Các công thức ( 2.34 ), ( 2.35 ), ( 2.36 ) gọi là công thức Flament ( 1892 ) và là

cơ sở để xây dựng cách tính ứng suất cho bài toán phẳng

3

)(

.2

z x

z p

σ

2 2 2

2

)(

.2

z x

z x p x

+

=

πσ

2 2 2

2

)(

.2

z x

x z p

τ

( 2.34 )

( 2.37 ) ( 2.35 )

( 2.36 )

σx = kx .p

τxz = kτ .p Trong đó :

p cường độ tải trọng phân bố đều

kz , kx , kτ các hệ số để tính ứng suất, phụ thuộc các tỉ số x/b ; z/b và được thiết lập trong bảng 2.6

x, z toạ độ của điểm xét ( Hình 2.18 )

b bề rộng diện chịu tải trọng

b

O

x

M ( x,z )

z

Hình 2.18

Khi tính toán độ lún của nền đất có xét đến ảnh hưởng biến dạng hông trong điều kiện bài toán phẳng ta phải dùng tổng ứng suất θ’ = σz + σx Người ta còn rút ra một kết quả nữa là: tại mọi điểm, phương của ứng suất chính lớn nhất trùng với đường phân giác góc nhìn 2β của điểm đó

b

Khi sử dụng các công thức ( 2.40 ), ( 2.41 ) ta tính

Hình 2.19 được các ứng suất chính tại điểm M (x,y)

( 2.38 ) ( 2.39 )

p

x2β

π

σ = p + ( 2.40 )

)2sin2(

π

σ = p − ( 2.41 )

z/b 0.0 0 0.1 0 0.2 5 0.3 5 0.5 0 0.7 5 1.0 0 1.2 5 1.5 0 1.7 5 2.0 0 3.0 0 4.0 0 5.0 0 6.0 0

5.3 Tải trọng hình băng phân bố theo luật tam giác

Để tính các thành phần ứng suất tại điểm M( x,z ) ta dùng các bảng tra

Bảng tra 2.7 cho sẵn các trị số kz= σz /p với hệ trục tọa độ (0; x; z ) như hình vẽ 2.20, được dùng để tính ứng suất σz = kz p

II.6 Tóm tắt chương

- Để tính ứng suất và biến dạng trong đất người ta chấp nhận giả thiết nền đất là bán không gian đàn hồi, liên tục, đồng nhất và đẳng hướng

- Chúng ta phân biệt ứng suất trong đất ra làm 3 loại:

o Ứng suất tiếp xúc

o Ứng suất do tải trọng ngoài gây ra

o Ứng suất do trọng lượng bản thân của đất gây ra

- Tính ứng suất tiếp xúc, ta chia ra hai trường hợp:

o Tải tác dụng đúng tâm

o Tải tác dụng lệch tâm

- Ứng suất thành phần do tải trọng ngoài gây ra:

o Phân biệt bài toán phẳng hay bài toán không gian

o Xác định ứng suất trong đất do tải trọng ngoài gây ra không phụ thuộc vào loại đất

o Chúng ta có thể áp dụng nguyên tắc công tác dụng để xác định ứng suất tại một điểm ở trong đất

- Ứng suất do trọng lượng bản thân của đất

o Nếu nền đồng nhất, qui luật phân bố ứng suất sẽ tăng tuyến tính theo chiều sâu

o Nếu nền không đồng nhất, qui luật phân bố ứng suất sẽ là các đường thẳng gẫy khúc theo chiều sâu

- Các trường hợp tính ứng suất khác, khi cần thiết, sinh viên có thể tìm đọc các sách khác

II 7 Bài tập

Bài tập mẫu 2.1

Cho một diện chịu tải ABCD có hình dạng và kích thước như hình vẽ, chịu tải phân bố đều p = 30 T/m2 Hãy xác định giá trị ứng suất thẳng đứng σz tại một điểm trên trục qua E ở độ sâu z = 4m