6-CHUYEN DE 6- NON-TRU-CAU (GIAI CHI TIET)

6-CHUYEN DE 6- NON-TRU-CAU (GIAI CHI TIET)

PH N 2 HÌNH H C Ầ Ọ CHUYÊN Đ 4 Ề

 C t m t nón tron xoay b i mpă ặ ơ ( ) đi qua đ nh c a m t nón i ủ ặ :

+ Mp( ) c t m t nón theo 2 đ ng sinhă ă ươ  Thi t di n là tam giác cân.ê ệ

+ Mp( ) ti p xuc v i m t nón theo m t đ ng sinhê ơ ă ô ươ ( ) là m t ph ng ti p di n c a hình ă ẳ ê ệ ủ

nón

 C t m t nón tron xoay b i mpă ặ ơ ( ) không đi qua đ nh c a m t nón i ủ ặ :

+ Mp( ) vuông góc v i tr c hình nónơ u  Giao tuy n là 1 đ ng parabol.ê ươ

+ Mp( ) song song v i 2 đ ng sinh hình nónơ ươ  Giao tuy n là 2 nhánh c a 1 hypebol.ê ủ

+ Mp( ) song song v i ơ 1 đương sinh hình nón  Giao tuy n là m t đ ng tron.ê ô ươ

 N u c t m t tr tron xoay (có bán kính là ê ă ă u r) b i m t ơ ô mp  vuông góc v i tr c ơ u  thì ta

đươc đương tron có tâm trên  và có bán kính b ng ă r và r cung là bán kính c a m t tr đó.ủ ă u

 N u c t m t tr tron xoay (có bán kính là ê ă ă u r) b i m t ơ ô mp  không vuông góc v i tr c ơ u 

nh ng c t t t c các đư ă â a ương sinh, ta đươc giao tuy n là m t đê ô ương elíp có tr nh b ng u o ă 2r và

tr c l n b ng u ơ ă

2sin

r

 , trong đó  là góc gi a tr c ư u  và mp  v i ơ 00   900.

 Cho mp  song song v i tr c ơ u  c a m t tr tron xoay và cách ủ ă u  m t kho ng ô a d .

+ N u ê d r thì mp  c t m t tr theo hai đă ă u ương sinh � thi t di n là hình ch nh t.ê ệ ư â+ N u ê d r thì mp  ti p xuc v i m t tr theo m t đê ơ ă u ô ương sinh.

b) V trí t ị ươ ng đ i gi a đi m và m t c u: ố ữ ể ặ ầ Cho đi m ể A và m t c u ă ầ S O R Ta có: ; 

 Đi m ể A thu c ộ m t c u ă ầ �OA R  Đi m ể A n m trong ằ m t c u ă ầ �OA R

Đ c bi t khi ă ệ h0 m t ph ng ă ẳ  P c t m t c u theo m t đ ng tron l n có bán kính ă ă ầ ô ươ ơ r R 

d) Giao c a m t c u v i đ ủ ặ ầ ớ ườ ng th ng Ti p tuy n c a m t c u ẳ ế ế ủ ặ ầ

Câu 1.Cho hình nón  N có chi u cao ê h, đ dài đô ương sinh l, bán kính đáy r Ký hi u ệ S xq là di n tíchệ

xung quanh c a ủ  N Công th c nào sau đây là đung?ứ

Câu 3.Cho hình nón  N có chi u cao ê h, đ dài đô ương sinh l, bán kính đáy r Ký hi u ệ S tp là di n tíchệ

toàn ph n c a ầ ủ  N Công th c nào sau đây là đung?ứ

N

V  r h

C  

13

3R

31

3R

Câu 7.G i ọ l h, ,r l n lầ ươt là đ dài đô ương sinh, chi u cao và bán kính đáy c a hình nón Đ ng th cê ủ ẳ ứ

nào sau đây luôn đung

Câu 11. Cho hình nón  N có đ ng sinh b ng 9ươ ă cm, chi u cao b ng 3ê ă cm Th tích c a kh i nónể ủ ố

Câu 13. Cho tam giác ABC vuông t i ạ A Khi quay tam giác đó quanh c nh góc vuông ạ AB , đ ngươ

g p khuc â BCA t o thành hình tron xoay nào trong b n hình sau đây.ạ ố

a

, khi đó bán kính m t c u là:ă ầ

a

62

a

23

a

 

5 cm

Câu 24.Ch ra kh ng đ nh sai trong các kh ng đ nh sau.ỉ ẳ ị ẳ ị

A Kh i lăng tr có di n tích đáy là ố u ệ B, đương cao là h, khi đó th tích kh i lăng tr là ể ố u V Bh

B Di n tích xung quanh c a m t nón có bán kính đệ ủ ă ương tron đáy r và đương sinh l là Srl

C = 2r D

3

=2

C

2

=2

Câu 28. Kh ng đ nh nào sau đây là kh ng đ nh đung?ẳ ị ẳ ị

A Đo n th ng n i hai đi m cùng thu c m t m t c u là m t đạ ẳ ố ể ô ô ă ầ ô ương kính c a m t c u đó.ủ ă ầ

B Kho ng cách gi a hai đáy c a m t hình tr b ng chi u cao c a hình tr đó.a ư ủ ô u ă ê ủ u

C N u m t ph ng c t m t c u thì giao tuy n c a chung là m t đê ă ẳ ă ă ầ ê ủ ô ương tron l n c a m t c u đó.ơ ủ ă ầ

D Đ dài đo n th ng n i hai đi m thu c hai đô ạ ẳ ố ể ô ương tron đáy c a m t hình tr b ng đ dàiủ ô u ă ô

A Giao đi m c a hai để ủ ương chéo AC và BD B Tr ng tâm tam giác ọ ABC

C Trung đi m c nh ể ạ SD D Trung đi m c nh ể ạ SC

M C Đ 2, 3 Ứ Ộ Câu 1.Th tích c a kh i nón sẽ thay đ i nh th nào n u tăng đ dài bán kính đáy lên hai l n màể ủ ố ổ ư ê ê ô ầ

v n gi nguyên chi u cao c a kh i nón?ẫ ư ê ủ ố

A Tăng 4 l n.ầ B Gi m a 2 l n.ầ C Tăng 2 l n.ầ D Không đ i.ổ

H ướ ng d n gi i ẫ ả

Ch n A ọ

Th tích kh i nón ban đ u: ể ố ầ   2

13

Th tích kh i nón sau khi tăng đ dài bán kính đáy lên hai l nể ố ô ầ   2

13

Câu 2. Môt hình nón có thiêt diện qua truc là môt tam giác vuông cân có cạnh

góc vuông băng a Diện tích xung quanh của hình nón băng

sinh băng 3 và thiêt diện qua truc là tam giác đêu băng:

Hướng dẫn giải Chọn D

S

A O

B H

Giả sử thiết diện qua trục là tam giác đều SAB và OH là khoảng cách từ tâm mặt đáy đến đường sinh SA

Ta có : OH  3, sin 60

OH

OA

� �OA2�AB4 và l  AB4.

Câu 4. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền là 2 3 Thể

tích của khối nón này bằng

A 3 B 3 2. C . 3. D 3 3.

Lời giải Chọn C

V  r h

Suy ra

1.3 3 33

Câu 5. Cho hình tru có bán kính đáy băng 2a Môt măt phẳng đi qua truc của

hình tru và căt hình tru theo thiêt diện là hình vuông Tính thể tích khối tru đãcho

A 18 a 3 B 4 a 3 C 8 a 3 D 16 a 3.

Lời giải Chọn D

Thiêt diện qua truc là hình vuông nên AB AA �2R4a.

Nên thể tích khối tru: V B h. R AA2. �.4 4a2 a16a3.

Câu 6. Một hình trụ có bán kính đáy là 2 cm  Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ, cắt hình trụ

theo thiết diện là một hình vuông Tính thể tích khối trụ đó

A 4 cm3 . B 8 cm3 . C .16 cm3 . D 32 cm3 .

Lời giải Chọn C

C D

O

O�

Giả sử ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ (hình vẽ) Theo giả thiết ABCD là hình vuông nên chiều

cao của hình trụ h OO �2r4 cm  .

S 

232

a

S  

D Sa2.

Lời giải Chọn C

* Theo hình vẽ, do ABCD là hình vuông cạnh a nên ta có: h l OO  �AD a , 2 2

Gọi thiết diện qua trục là ABCD

Theo đề ra 2AB AD  10a�AB AD 5a.

Bán kính đáy AO a �AD2a�AB3 a

Thể tích khối trụ là: V Shr h2.  .3a2 a3a3.

Câu 9. Căt khối tru bơi môt măt phẳng qua truc ta đươc thiêt diện là hình chư

nhât ABCD có AB và CD thuôc hai đáy của hình tru, AB4a,AC5a Tính thể

tích khối tru

A V 16πa3. B V 12πa3. C V 4πa3. D V 8πa3.

Lời giải Chọn B

+ Bán kính đương tròn đáy là: 2 2

AB

r  a

.+ Chiêu cao khối tru: h AD  AC2CD2    2 2

Câu 11. Môt hình tru có bán kính đáy băng a, măt phẳng qua truc căt hình tru

theo môt thiêt diện có diện tích băng 8a Tính diện tích xung quanh của hình2

tru ?

A 4 a 2 B 8 a 2 C 16 a 2 D 2 a 2

Lời giải Chọn B

Thiêt diện qua truc của hình tru là hình chư nhât, có đô dài môt cạnh là 2a , có diện

tích là 8a , suy ra chiêu cao của hình tru là 2

2842

Câu 12.M t hình tr có di n tích xung quanh b ngô u ệ ă S , di n tích đáy b ng di n tích m t m t c u bánệ ă ệ ô ă ầ

Câu 15.Cho hình thang vuông ABCD có AB2 ,a DC4a, đương cao AD2a Quay hình thang

ABCDquanh AB thu đươc kh i tron xoay ố  H Tính th tích ể V c a kh i ủ ố  H

A

340

.3

a

V  

B

320.3

R

5 32

a

R

5 33

Khi đó ta có tam giác ACD và ABD vuông cùng có c nh huy n ạ ê AD nên

b n đi m ố ể A, B, C và D cùng thu c m t c u tâm ô ă ầ I đương kính AD

Bám kính m t c u là: ă ầ

12

602

Xét tam giác SOA vuông t i ạ O , ta có 0

3tan 60 3

Câu 18. Một hình nón có đường sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 90� Cắt hình nón bằng một mặp

phẳng   sao cho góc giữa   và mặt đáy hình nón bằng 60� Khi đó diện tích thiết diện là

23

22

3a .

Lời giải Chọn A

Gọi S là đỉnh hình nón, O là tâm đường tròn đáy; I là trung điểm AB , Góc tạo bởi mp thiết diện và đáy

là góc �SIO

+ Trong tam giác vuông SOA có

22

6tan 60 6

Theo đề bài ta có góc ở đỉnh hình nón là  120� và khi cắt hình nón bởi mặt phẳng qua đỉnh S tạo thành tam giác đều SAB nên mặt phẳng không chứa trục của hình nón.

Do góc ở đỉnh hình nón là  120� nên OSC�  �60

Xét tam giác vuông SOC ta có

�tanOSC OC

SO

tan

OC SO

Do tam giác SAB đều nên 1 2

2 3 sin 602

Câu 20. Cho hình nón có chi u cao ê h20cm, bán kính đáy r25cm M t ph ng ă ẳ   đi qua đ nhỉ

c a hình nón cách tâm c a đáy ủ ủ 12 cm Tính di n tích thi t di n c a hình nón c t b i mpệ ê ệ ủ ă ơ

Mặt khác ta có: M là trung điểm của AB và OM  AB.

Xét tam giác MOA vuông tại M : MA OA2 OM2  252 152 20.

Vậy SSAB SM MA. 25.20 500  cm2

Câu 21. Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5 và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 Cắt khối trụ bởi

một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3 Tính diện tích S của thiết

diện được tạo thành

A S 56. B S 28. C S7 34. D S 14 34.

Lời giải Chọn A

Gọi ABCD là thiết diện qua trục của hình trụ và I là trung điểm cạnh AB

Ta có:

Tam giác OAI vuông tại I có: OI  ; 3 OA5 �IA4�AB2.IA8.

Khi đó S ABCD AB AD. , với AD OO�  7 �S ABCD 56.

Câu 22. Môt hình tru có diện tích xung quanh băng 4 , thiêt diện qua truc là hình

vuông Môt măt phẳng   song song vơi truc, căt hình tru theo thiêt diện là

tứ giác ABB A��, biêt môt cạnh của thiêt diện là môt dây cung của đương tròn

đáy của hình tru và căng môt cung 120� Tính diện tích thiêt diện ABB A��

Lời giải Chọn C

Gọi R , h , l lần lươt là bán kính, chiêu cao, đương sinh của hình tru.

Ta có S xq 4 �2  R l4 � R l 2.

Gia sử AB là môt dây cung của đương tròn đáy của hình tru và căng môt cung 120�

Ta có ABB A�� là hình chư nhât có AA�  h l

Xét tam giác OAB cân tại O , OA OB R  , �AOB120��AB R 3.

ABB A

S �� AB AA�R 3.l R l 3 2 3.

Câu 23.Cho kh i lăng tr tam giác đ u có c nh đáy b ng ố u ê ạ ă a Góc gi a đư ương chéo c a m t bên vàủ ă

đáy c a lăng tr là ủ u 60� Tính di n tích m t c u ngo i ti p hình lăng tr đó.ệ ă ầ ạ ê u

213π

25π

9 a

L i gi i ờ ả

Ch n A ọ

G i ọ H là tâm ABC thì

33

a

AM 

M t ph ng trung tr c c a đo n ă ẳ ự ủ ạ AA� c t tr c c aă u ủ

đương tron ngo i ti p ạ ê ABC t i ạ I thì I là tâm m t c u ngo i ti p lăng tr ă ầ ạ ê u

G i ọ O là tâm hình vuông ABCD, M là trung đi m c a ể ủ SC

Trong m t ph ng ă ẳ SOC d ng đự ương th ng qua ẳ M và

vuông góc v i ơ SC c t ă SO t i ạ I Khi đó I là tâm m t c uă ầ

ngo i ti p hình chóp ạ ê S ABCD. và bán kính rSI .

Xét tam giác vuông ABC ta có: AC2 2a.

Xét tam giác vuông SOC ta có:SO SC2OC2 2a.

V y di n tích m t c u c n tìm là: â ệ ă ầ ầ

2342

Xét tam giác vuông ABC ta có AC2  AB2BC2 2a.

Xét tam giác vuông SAC có SC2 SA2AC2 16a2�SC4a

a



275

a



237

a



L i ờ gi i ả

Ch n ọ A

Tâm m t c u ngo i ti p hình lăng tr tam giác đ u là tâm c aă ầ ạ ê u ê ủ

hình lăng tr tam giác đ u đó.u ê

Khi đó, bán kính m t c u là: ă ầ

2 2

Câu 28. M t hình tr có bán kính đáy b ng ô u ă 3 , chi u cao b ng ê ă 2 3 và g i ọ  S là m t c u đi quaă ầ

hai đương tron đáy c a hình tr Tính di n tích m t c u ủ u ệ ă ầ  S

M t c u ă ầ  S có tâm I là trung đi m c a ể ủ OO và bán kính � R IA IB IC ID   

Câu 30. Hình tr có thi t di n qua tr c là hình vuông c nh u ê ệ u ạ 2a M t m t c u ti p xuc v i các đô ă ầ ê ơ ương

sinh c a hình tr và hai đáy c a hình tr T s th tích c a kh i tr và kh i c u là.ủ u ủ u ỉ ố ể ủ ố u ố ầ

32

12

43

L i gi i ờ ả

Ch n B ọ

Do thi t di n đi qua tr c c a hình tr là hình vuông c nh ê ệ u ủ u ạ 2a nên bán kính

đáy, chi u cao c a hình tr l n lê ủ u ầ ươt là và m t c u n i ti p kh i tr có bánă ầ ô ê ố u

T C

V

.

V 

Câu 31. Cho hình chóp S ABC. có ABC là tam giác vuông cân t i ạ B, AB BC 2a, c nh ạ SA vuông

góc v i m t ph ng ơ ă ẳ ABC, SA2 2a Tính di n tích m t c u ngo i ti p ệ ă ầ ạ ê S ABC theo a

Suy ra: SBC SAC� �  � do đó m t c u đ ng kính 90 ă ầ ươ SC là m t c u ngo i ti p ă ầ ạ ê S ABC .

Xét tam giác vuông ABC ta có: AC2  AB2BC2 8a2.

6



� R

Xét tam giác vuông SAC ta có: SC2 SA2 AC2 8a28a2 16a2 �SC4a.

Câu 34. Cho hình l p phâ ương ABCD A B C D. ���� có Ovà O� l n lầ ươt là tâm c a hình vuông ủ ABCD và

A B C D���� G i ọ V1 là th tích kh i nón tron xoay có đ nh là trung đi m c a ể ố ỉ ể ủ OO�và đáy là

đương tron ngo i ti p hình vuông ạ ê ABCD; V2 là th tích kh i tr tron xoay có hai đáy là haiể ố u

đương tron n i ti p hình vuông ô ê ABCD và A B C D���� T s th tích ỉ ố ể

1 2

13

O O'

L i gi i ờ ả

Ch n C ọ

G i ọ M, N l n lầ ươt là trung đi m ể BC và SA; O là tâm đương tron ngo i ti p tam giác ạ ê ABC

Do ABC cân t i ạ A nên O AM�

Qua O d ng ự  là tr c đu ương tron ngo i ti p tam giác ạ ê ABC // SA .

Trong SAM, k đẻ ương th ng qua ẳ N vuông góc v i ơ SA c t ă  t i ạ I Khi đó IS IA IB IC nên I là tâm m t c u ngo i ti p hình chóp ă ầ ạ ê S ABC.

AMC

 có cos�

MC ACM

.sin2

974

4

a

S  R  

Câu 36. M t hình tr có chi u cao b ng bán kính đáy Hình nón có đ nh là tâm đáy trên c a hình trô u ê ă ỉ ủ u

và đáy là hình trong đáy dươ ủi c a hình tr G i u ọ V là th tích c a hình tr , 1 ể ủ u V2 là th tích c aể ủhình nón Tính t s ỉ ố

1 2

V

V

22

L i gi i ờ ả

Ch n B ọ

Ta có:

1

2

31

43

V

V 

V  R

Suy ra

3 1

3 2

Khi quay quanh tr c u DF, tam giác AEF t o ra m t hình nón có th tíchạ ô ể .

2 1

Câu 39. Cho hình ch nh t ư â ABCD và n a đử ương tron đương kính AB nh hình vẽ G i ư ọ I J, l nầ

lươt là trung đi m c a ể ủ AB CD, Bi t ê AB4; AD6 Th tích ể V c a v t th tron xoay khiủ â ểquay mô hình trên quanh tr c u IJ là:

40 3

88 3

�

Câu 40. Cho hình nón có bán kính đương tron đáy b ng ă a Thi t di n qua tr c hình nón là m t tamê ệ u ô

giác cân có góc đáy b ng ơ ă 45� Tính th tích kh i c u ngo i ti p hình nón.ể ố ầ ạ ê

3a

C

34

3a

D 4 a 3

L i ờ gi i ả

Ch n ọ C

Theo gi thi t, suy ra góc đ nh c a hình nón là a ê ơ ỉ ủ 90� Do đó kh i c u ngo i ti p hình nón có tâmố ầ ạ ê

là tâm c a đủ ương tron đáy hình nón

V y bán kính kh i c u là â ố ầ ra V y th tích kh i c u là â ể ố ầ

34

3a

Câu 41. Cho hình nón tron xoay có chi u cao ê h20 cm , bán kính đáy r25 cm  M t thi t di n điô ê ệ

qua đ nh c a hình nón có kho ng cách t tâm đáy đ n m t ph ng ch a thi t di n làỉ ủ a ừ ê ă ẳ ứ ê ệ

a



L i ờ gi i ả

Ch n ọ B

G i ọ V1là th tích kh i nón có để ố ương sinh là CD , bán kính R AB a  ,chi u cao ê h a

.2

A I

A B C D

Ta có

333

Câu 44. Cho t di n đ u ứ ệ ê SABC c nh ạ a Di n tích xung quanh c a hình nón đ nh ệ ủ ỉ S và đ ng tronươ

đáy là đương tron ngo i ti p tam giác ạ ê ABC là

a

rAO

23

a



2136

a



2272

a



L i ờ gi i ả

Ch n ọ D

Do m t ph ng c t hình tr đi qua tr c c a nó nên ta có:ă ẳ ă u u ủ

Đương sinh l3a và bán kính đáy

32

O

Câu 48. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông c nh b ng ạ ă a C nh bên ạ SA vuông góc v i m tơ ă

đáy và SA a 2 Tính th tích kh i c u ngo i ti p hình chóp ể ố ầ ạ ê S ABCD theo a

3a D 8 a 3

L i ờ gi i ả

Ch n ọ C

Ta ch ng minh đứ ươc các tam giác SBC , SAC và SCD là

các tam giác vuông l n lầ ươ ạt t i B A D, ,

Suy ra các đi m ể B A D, , nhìn c nh ạ SC d i m t gócươ ô

G i ọ SO và SA l n lầ ươt là đương cao và đương sinh c a hình nón Ta có ủ �ASO �.30

Trong tam giác SAO ta có:

�sinASO OA

SA

l

۰

a

V 

363

a

V 

366

a

V 

362

Th tích kh i nón là ể ố

21

.3

V 

V y có th làm ra t i đa â ể ố 15 kh i c u.ố ầ

Câu 3. M t cái c c hình tr cao ô ố u 15 cm đ ng đ c ự ươ 0,5 lít nươc H i bán kính đo ương tron đáy c aủ

cái c c x p x b ng bao nhiêu (làm tron đ n hàng th p phân th hai)?ố â ỉ ă ê â ứ

b ng ă 25cm Di n tích toàn ph n c a h p s a đó g n v i s nào sau đây nh t?ệ ầ ủ ô ư ầ ơ ố â

hình tr sao cho chi u cao c a hình tr g p u ê ủ u â 3 l n đầ ương kính qu bóng, đáy c a hình tra ủ u