Chuyên đề 34 nón trụ cầu vd vdc hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài đường sinh của hình nón  N .Mặt phẳng qua trục của hình nón  N cắt hình nón theo thiết diện là ABCD.. Vì ABCD có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 nên ta có Câu 2:

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

 Trục là đường thẳng đi qua

hai điểm O O, .

 Thiết diện qua trục: Là

.Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy sao cho AB  , khoảng cách12

từ tâm của đường tròn đáy đến mặt phẳng SAB bằng

Gọi O , R lần lượt là tâm và bán kính đáy của khối nón, K , H lần lượt là hình

chiếu của O lên AB , SK Khi đó khoảng cách từ tâm của đường tròn đáy đếnmặt phẳng SABbằng OH

Ta có:

8003

Gọi a là độ dài đường sinh của hình nón  N .

Mặt phẳng qua trục của hình nón  N cắt hình nón theo thiết diện là ABCD .

Do đường sinh tạo với đáy một góc 60 nên ABCD là tam giác đều.

Vì ABCD có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2 nên ta có

Câu 2: Cắt khối nón  N bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa đáy

một góc bằng 60 ta được thiết diện là một tam giác vuông cân cạnh huyền0

2a Thể tích khối nón  N bằng

A

3

5 324

a



Lời giải

Giả sử khối nón  N có đỉnh là S, tâm đáy là O và thiết diện là giác vuôngcân SAB.

Gọi I là trung điểm của AB , khi đó SIO  600,

Câu 3: Cho hình nón ( )N có đỉnh S , chiều cao h  Mặt phẳng 3 ( )P qua đỉnh S cắt

hình nón ( )N theo thiết diện là tam giác đều Khoảng cách từ tâm đáy hìnhnón đến mặt phẳng ( )P bằng 6 Thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón( )N bằng

A 27 B 81 C 12 D 36.

Lời giải

Giả sử tam giác đều là SAB như hình vẽ Gọi I là trung điểm của AB Trong

tam giác vuông kẻ

V   OB h   

Câu 4: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O Một mặt phẳng đi qua đỉnh

của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là một tam giác vuông SAB có

diện tích bằng 4a2 Góc giữa trục SO và mặt phẳng SAB bằng 30 Diệntích xung quanh của hình nón đã cho bằng bao nhiêu?

A 3 10 a 2 B 4 10 a 2 C 10 a 2 D 2 10 a 2

Lời giải

Gọi M là trung điểm của AB , tam giác OAB cân tại đỉnh O nên OM AB

và SOAB suy ra ABSOM

Dựng OK SM theo đó OK AB nên OK SAB

Vậy góc tạo bởi trục SO và mặt phẳng SAB là góc OSM   30

Tam giác vuông cân SAB có diện tích 4a2 suy ra

Câu 5: Cho khối nón có góc ở đỉnh 120° và thể tích bằng p a3 Diện tích xung quanh

của khối nón đã cho bằng

A 2 3 a p 2 B 3 a p 2 C p a2. D 4 3 a p 2

Theo giả thiết ·ASB=120°Þ ·ASO=BSO· = °.60

Gọi bán kính đáy hình nón là ,r chiều cao là h, đường sinh là l.

Vì DSOB vuông ở O và có OSB· = °60

3.tan 30

Diện tích xung quanh khối nón: S=p rl=2p 3a2

Câu 6: Cho hình nón ( )N có đỉnh S , chiều cao h  Mặt phẳng 3 ( )P qua đỉnh S cắt

hình nón ( )N theo thiết diện là tam giác đều Khoảng cách từ tâm đáy hìnhnón đến mặt phẳng ( )P bằng 6 Thể tích khối nón giới hạn bởi hình nón( )N bằng

A 27 B 81 C 12 D 36.

Lời giải

Giả sử tam giác đều là SAB như hình vẽ Gọi I là trung điểm của AB Trong

tam giác vuông kẻ

a

và SAO 30 ,0 SAB 600 Độdài đường sinh của hình nón theo a bằng

A a 2 B a 3 C 2a 3 D a 5

Lời giải

Gọi H là trung điểm của AB , K là hình chiếu của O lên SH

Vì tam giác OAB cân tại O OH AB

Mà SAB600  SAB đều

32

.Xét tam giác vuông SOH vuông tại O:

OH SH  SO  SA  SA  SA

.2

r  Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm O

đến mặt phẳng chứa thiết diện là 2, 4 cm 

Tính diện tích của thiết diện đó

A I

Thiết diện đi qua đỉnh là tam giác cân SAB

Kẻ OI AB OK, SI 1

Ta có ABOI AB, SO ABSOI ABOK 2

Từ và suy ra OK SAB d O SAB ,   OK

.Theo bài ra ta có AO r 5; SO h 3; OK 2, 4

Câu 9: Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn

đáy sao cho khoảng cách từ O đến SAB bằng  33

a

và SAO 30 ,0 SAB 600

Độ dài đường sinh của hình nón theo a bằng

A O

S

Gọi K là trung điểm của AB ta có OK AB vì tam giác OAB cân tại O

Mà SOAB nên ABSOK  SOK  SAB mà  SOK  SAB SK nên từ

O dựng OH SK thì OH SAB OH d O SAB ,  

Xét tam giác SAO ta có:

sin

Câu 10: Một gia đình dự định làm bể lọc nước có dạng hình nón có bán kính đáy

là r và đường sinh bằng 3m Phần lắp đậy của bể được làm bằng tôn với giá

thành 0,5 triệu đồng 1 m2 còn phần thành bể được làm bằng thép không rỉvới giá 2 triệu đồng 1 m2 Để phù hợp với thiết kế nhà cần dung tích bể nước

là lớn nhất, vậy chi phí để thi công bể là bao nhiêu triệu đồng?

606

r r r

é êê

=-Û ê=ê

=ê

Vậy dung tích bể lớn nhất khi r = 6

Vậy chi phí làm bể là

Phần lắp đậy của bể: T1= 0,5 p r2= 3 p.

Phần thành bể: T2=2.p rl=6 6p.

Vậy tổng chi phí thi công là 3 p + 6 6 p .

Câu 11: Cho hình nón đỉnh S , góc ở đỉnh bằng 120 , bán kính đáy bằng R3a 3

Mặt phẳng  P đi qua đỉnh S cắt nón theo thiết diện là 1 tam giác Khi diện

tích thiết diện lớn nhất Smax, tính góc giữa thiết diện và mặt đáy?

8m, độ dài đường sinh bằng 24mvà M là điểm sao cho 2MSuuur+MAuuur =0.r Hãytính chiều dài nhỏ nhất của sợi dây đèn cần có.

MSuuur+MAuuur= Ûr SMuuur = SAuur Þ SM = SA= m

Trải hình nón ra như hình bên dưới

S

A' A

SA

Chiều dài nhỏ nhất của sợi dây đèn cần có là đoạn thẳng

Câu 13: Cho mặt cầu  S bán kính R Hình nón  N thay đổi có đỉnh và đường

tròn đáy thuộc mặt cầu  S Thể tích lớn nhất của khối nón  N là:

A

3

3281

R

3

3227

R

Lời giải

Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn hơn hoặc bằng thể tích khối nón đỉnh S

Do đó chỉ cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy là r và

đường cao là SI h  với h R

Thể tích khối nón được tạo nên bởi  N là:

 

1

Ta có f h 3h24hR

  0

f h   3h24hR0 h hoặc 0

43

R

h 

.Bảng biến thiên:

R

h 

Vậy thể tích khối nón được tạo nên bởi  N

R

h 

Câu 14: Người ta cần làm một vật dụng dạng hình nón Diện tích toàn phần của

hình nón bằng 1600 ( cm2) Khi thể tích khối nón lớn nhất, bán kính đáy củachiếc nón là

Câu 15: Cho khối nón đỉnh S có bán kính đáy bằng 2 3a Gọi A và B là hai

điểm thuộc đáy sao cho AB4a Biết khoảng cách từ tâm của đáy đến mặtphẳng SAB bằng 2a, thể tích của khối nón đã cho bằng

Vẽ OH AB tại Hsuy ra H là trung điểm AB

2 2

Xét OAH vuông tại H ta có OH  OA2 HA2  2 3a2 2a2 2 2a

Áp dụng hệ thức lượng trong SOH vuông tại O ta có

Câu 16: Cho hình nón đỉnh S , đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường

tròn đáy sao cho khoảng cách từ O đến SAB bằng  33

Gọi K là trung điểm của AB ta có OK AB vì tam giác OAB cân tại O

Mà SOAB nên ABSOK  SOK  SAB mà  SOK  SAB SK nên từ

O dựng OH SK thì OH SAB OH d O SAB ,  

Xét tam giác SAO ta có:

sin

C ÂU 17: Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O, bán kính R Dựng hai

đường sinh SA và SB, biết AB chắn trên đường tròn đáy một cung có số đobằng 60 , khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng SAB bằng  2.

R

Thể tíchcủa khối nón bằng

Gọi I là trung điểm AB.

Ta có cung AB bằng 60 nên AOB  60

Tam giác AOI vuông tại I, ta có

Câu 18: Cho hình nón có chiều cao 6a Một mặt phẳng  P đi qua đỉnh của hình

nón và có khoảng cách đến tâm là 3a , thiết diện thu được là một tam giác

vuông cân Thể tích của khối nón được giới hạn bởi hình nón đã cho bằng

A 150 a 3 B 96 a 3 C 108 a 3 D 120 a 3

Lời giải Chọn D

Mặt phẳng  P cắt hình nón theo thiết diện là tam giác SDE Theo giả thiết, tam giác SDE vuông cân tại đỉnh S Gọi G là trung điểm DE , kẻ OH SG

V    a  a a

Câu 19: Cho một hình nón có bán kính đáy bằng 2a Mặt phẳng  P đi qua đỉnh

 S của hình nón, cắt đường tròn đáy tại A và B sao cho AB2a 3, khoảngcách từ tâm đường tròn đáy đến mặt phẳng  P bằng

22

a

Thể tích khốinón đã cho bằng

A

3

83

Lời giải

Chọn B

Gọi C là trung điểm của AB , O là tâm của đáy Khi đó

3 2

Câu 20: Cắt khối nón  N bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa

đáy một góc bằng 600 ta thu được thiết diện là một tam giác đều cạnh 4a

Gọi I là tâm đáy nón Ta có thiết diện qua đỉnh là tam giác SBA

Gọi M là trung điểm của AB. Suy ra SMI  600.

Do tam giác SAB đều cạnh 4a

4 3

2 32

a

Xét tam giác SIM vuông tại I ta có SI 3 ;a IM a 3

Xét IMA vuông tại M ta có IA IM2MA2  3a22a2 a 7

.Khi đó 1 2 1  2 3

7 3 7

Câu 21: Cắt khối nón  N bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa

đáy một góc bằng 60 ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2 a Thể tích

Mặt phẳng  P cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều SAB cạnh

Gọi O là tâm đáy nón, đỉnh nón là S,thiết diện là tam giác đều SAB.

Kẻ OH AB,H là trung điểm AB  SHO30 0

Câu 23: Cắt khối nón  N bởi mặt phẳng đi qua đỉnh và tạo với mặt phẳng chứa

đáy một góc bằng 30 , ta được thiết diện là tam giác đều cạnh 2a Thể tích

 Góc giữa thiết diện và mặt phẳng đáy là SHI   30

 Xét SHI vuông tại I , ta có

60 Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón có đỉnh O, đáy là hình tròn

O;3

A

54 77

xq

81 77

xq

S  

C

27 77

xq

S  

D

36 77

Từ   3 , 4 ta có: 4 9  x2 3x2  9 x2 277  x3 217

9 737

l O A  

.Vậy:

36 77

xq

S Rl 

Câu 25: Cho hình nón có thể tích là V , khối trụ nội tiếp trong hình nón có diện

tích đáy bằng một nửa diện tích đáy của khối nón Tính thể tích V  của khối trụ theo V

O S

Gọi chiều cao của khối trụ cần tìm là x , bán kính kính đáy là r',

Câu 26: Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn O;3 và O;3 Biết

rằng tồn tại dây cung AB thuộc đường tròn  O sao cho O AB là tam giácđều và mặt phẳng O AB  hợp với mặt phẳng chứa đường tròn  O một góc60 Tính diện tích xung quanh S xq của hình nón có đỉnh O, đáy là hình tròn

O;3

A

54 77

xq

S  

81 77

xq

S  

C

27 77

xq

S  

D

36 77

l O A  

.Vậy:

36 77

xq

S Rl 

Câu 27: Cho hình trụ có chiều cao bằng 6a Biết rằng khi cắt hình trụ đã cho bởi

mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 3a, thiết diệnthu được là một hình vuông Thể tích khối trụ được giới han bởi hình trụ đãcho bằng

A 216a3. B 150a3 C 3

54a D 108a3.

Lời giải Chọn D

P

Q O'

O M

N

.Thiết diện MNPQ là hình vuông nên 2 3

Câu 28: Cắt một hình trụ bằng mặt phẳng ( )a vuông góc mặt đáy, ta được thiết

diện là một hình vuông có diện tích bằng 16 Biết khoảng cách từ tâm đáyhình trụ đến mặt phẳng ( )a bằng 3 Tính thể tích khối trụ.

A 2 3p B

523

p

Lời giải Chọn C

Mặt phẳng ( )a vuông góc mặt đáy, ta được thiết diện là một hình vuông

ABCD có diện tích bằng 16 Þ Cạnh hình vuông bằng 4

( )a

Ta có IA= IO2+OA2 = 9 4+ = 13.

Vậy thể tích khối trụ trên là: V =p 13 4( )2 =52p(dvtt)

Câu 29: Khi cắt khối trụ  T bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục

của trụ  T một khoảng bằng 3 a ta được thiết diện là hình vuông có diệntích bằng 4a2 Tính thể tích V của khối trụ  T

A V 7 7a3 B

3

7 73

V  a

C

3

83

V  a

D V 8a3

Lời giải Chọn D

Thiết diện là hình vuông ABCD S ABCD 4a2 AD CD 2a

Gọi H là trung điểm CD  OH CD OH ABCD OH a 3

Câu 30: Cắt một khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình

chữ nhật ABCD có cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy của khối trụ Biết

a DC

 bán kính mặtđáy của hình trụ là

64

a

r 

cosDAC AD

a AD

 chiều cao của hình trụ là

22

Câu 31: Cho hình trụ có đường cao bằng 8a Một mặt phẳng song song với trục

và cách trục hình trụ 3a , cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông Diện

tích xung quanh và thể tích khối trụ bằng

A S 80a2, V 200 a 3 B S 60a2, V 200 a 3

C S80a2, V 180 a 3 D S 60a2, V 180 a 3

Lời giải Chọn A

Thiết diện ABCD là hình vuông có cạnh là 8a h8a 

Gọi O O, là tâm của hai đáy của hình trụ và  P là mặt phẳng song song với trục và cách trục OO một khoảng 3cm

Mp P cắt hai hình tròn đáy    O , O theo hai dây cung lần lượt là AB CD, vàcắt mặt xung quanh theo hai đường sinh là AD BC, Khi đó ABCD là hình chữ

cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là  300 Thể tích tứ diện ABOO'là

A

3

3 .2

R

B

3

3 .4

R

C

3

.4

R

D

3

.2

R

Lời giải Chọn C

Ta có '  . '  'AO  A 'BO 

13

34

OA B

R S

Câu 34: Cắt hình trụ  T bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một

khoảng bằng 2a, ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng

2

36a Diện tích xung quanh của  T bằng

A 4 13 a 2 B 12 13 a 2 C 6 13 a 2 D 8 13 a 2

Lời giải Chọn B

I O

O'

C

D

B A

Cắt hình trụ  T bởi mặt phẳng song song với trục OO ta được thiết diện là một hình vuông ABCD có diện tích bằng 36a Suy ra2

Diện tích xung quanh của hình trụ  T là S xq 2rl 2 13.6a a12 13a2

Câu 35: Cắt hình trụ  T bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một

khoảng bằng 3 ,a ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng

Thiết diện là hình vuông ABCD và d OO ABCD ;   OH

2

S  a  BC h  a OH 3 ,a R BH2OH2  13 a

Diện tích xung quanh: Sxq 2Rh8 13 a2

Câu 36: Cắt hình trụ  T bởi mặt phẳng song song với trục và cách trục một

khoảng bằng 2a , ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng

I'

A

B

D

Gọi I I , lần lượt là tâm hai đường tròn đáy Suy ra trục của  T là II

Thiết diện là hình vuông ABCD S ABCD 16a2  lABAD4 a

Gọi O O, lần lượt trung điểm của AD BC,  OA2a

d II ABCD d I ABCD IO a R IA  IO OA  a  a  a

Diện tích xung quanh của hình trụ  T bằng: S 2  R l2 2 2 4 a a16 2a2

Câu 37: [ Mức độ 3] Cắt hình trụ ( )T bởi mặt phẳng song song với trục và cách

trục một khoảng bằng 3a , ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích

bằng 36a2 Diện tích xung quanh của ( )T bằng

A 12 2 a 2 B 36 2 a 2 C 24 2 a 2 D 18 2 a 2

Lời giải

Gọi thiết diện của hình trụ được cắt bởi mặt phẳng sog song với trục và

cách trục một khoảng bằng 3a là hình vuông ABCD Gọi H là trung điểm

của đoạn thẳng AB

Từ giả thiết suy ra AB=6 ,a OH =3aÞ OA=3a 2Þ S xq=2p Rl=36 2p a2.

Câu 38: Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn O R và ,  O R, 

Biếtrằng tồn tại dây

cung AB của đường tròn O R sao cho tam giác O AB,   đều và góc giữa hai

Gọi K là trung điểm AB , đặt AB2a.

Ta có : AB OK và AB OO nên OKO    60  O K 2OK  O K 2 4OK2

Câu 39: Một khối trụ có bán kính đáy r2a O O, lần lượt là tâm đường tròn đáy

Một mặt phẳng song song với trục và cách trục

152

a

, cắt đường tròn  O

tại hai điểm A B, Biết thể tích của khối tứ diện OO AB bằng

3 154

a

Độ dàiđường cao của hình trụ bằng

Lời giải Chọn C

Vẽ đường sinh AC, khi đó mặt phẳng ABC song song với  OO và cách OOmột khoảng

152

3

154

Câu 40: Cho hình trụ có chiều cao bằng 8a Biết hai điểm A C, lần lượt nằm trên

hai đáy thỏa AC10a , khoảng cách giữa AC và trục của hình trụ bằng 4a

Thể tích của khối trụ đã cho là

Lời giải Chọn D

Gọi    O , O lần lượt là hai đường tròn đáy A O C,  O .

Dựng AD CB, lần lượt song song với OO ( D O B ,  O Dễ dàng có ABCD là

Câu 41: Cho hình trụ có chiều cao bằng 5 3 Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng

song song với trục và cách trục một khoảng bằng 1, thiết diện thu được códiện tích bằng 30 Diện tích xung quanh của hình trụ đã cho bằng

A 10 3 B 5 39 C 20 3 D 10 39

Lời giải Chọn C

Goi hình trụ có hai đáy là ,O O và bán kính R

Cắt hình trụ đã cho bởi mặt phẳng song song với trục nên thiết diện thu

được là hình chữ nhật ABCD với AB là chiều cao khi đó AB CD 5 3 suy ra

Câu 42: Cho hình trụ có O O, là tâm hai đáy Xét hình chữ nhật ABCD có A B,

cùng thuộc  O và C D, cùng thuộc  O sao cho AB a 3, BC2a đồng thời

ABCD tạo với mặt phẳng đáy hình trụ góc 60 Thể tích khối trụ bằng

A a3 3 B

3 39

a



3 33

a



D 2a3 3

Lời giải Chọn A

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của CD AB, và I là trung điểm của OO.

Suy ra góc giữa mặt phẳng ABCD và mặt phẳng đáy là  IMO   60