• Hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.. Phương trình bậc hai với hệ số thực... Tính phần ảo và tính mô đun số phức z10... Xác
Trang 1Chuyên đề số phức
I Tóm tắt lý thuyết
1 Định nghĩa số phức
• Số phức z là một biểu thức có dạng z=a+bi, trong đó a và b là các số thực, i là một số thỏa mãn i2 = − 1
o a là phần thực
o b là phần ảo
o i là đơn vị ảo
• Tập hợp các số phức kí hiệu là £.
• Đặt biệt:
o Số phức z=a+0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết z=a
o Số phức z=0+bi có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo và viết z=bi
o Số phức z=0+0i vừa là số thực vừa là số ảo
2 Số phức bằng nhau.
• Hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i bằng nhau nếu phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau
a+bi=a'+b'i
b=b'
⇔
3 Biểu diễn hình học của số phức.
• Số phức z=a+bi được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong mặt phẳng Oxy
4 Mô đun số phức.
• Môđun số phức z=a+bi là số thực không âm kí hiệu z = a +b2 2
5 Số phức liên hợp.
• Số phức liên hợp của số phức z=a+bi là số phức z=a-bi
6 Cộng, trừ, nhân và chia số phức.
• Cho hai số phức z=a+bi và z'=a'+b'i
o Cộng hai số phức: ( a+bi ) ( + a'+b'i ) ( = a a + ' ) ( + + b b i ' )
o Trừ hai số phức: ( a+bi ) ( − a'+b'i ) ( = a a − ' ) ( + − b b i ' )
o Nhân hai số phức: ( a+bi a'+b'i ) ( ) ( = aa'-bb' ) ( + ab a b i ' + ' )
o Chia hai số phức:
ab a b
i
+
7 Căn bậc hai của số thực âm.
• Căn bậc hai của số thực a âm là ± i a
8 Phương trình bậc hai với hệ số thực.
• Cho phương trình bậc hai ax2 + b x+c=0 với a,b,c ∈ ¡ , a 0 ≠
• Khi ∆<0 phương trình có hai nghiệm phức:
b i x
a
− ± ∆
II Dạng lượng giác của số phức(dành cho chương trình nâng cao)
O
M(a;b) y
x a
Trang 2Lê Anh
( cos sin )
z = r ϕ + i ϕ (r > 0) là dạng lương giác của z = a + bi (a, b ∈ R, z ≠ 0)
* r = a2+ b2 là môđun của z.
* ϕ là một acgumen của z thỏa
cos sin
a r b r
ϕ ϕ
1 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ), z ' = r ' cos ' ( ϕ + i sin ' ϕ )thì:
* z z ' = r r ' cos ( ϕ ϕ + ' ) + i sin ( ϕ ϕ + ' ) * cos( ') sin( ')
i
2 Công thức Moivre: n N ∈ * thì r ( cos ϕ + i sin ϕ ) n = rn( cos n ϕ + i sin n ϕ )
3 Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác
Căn bậc hai của số phức z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) (r > 0) là cos sin
r ϕ + i ϕ
và r cos 2 i sin 2
III Các dạng bài tập.
Bài 1: Xác định phần thực và phần ảo số phức
1 z=(1+ 7)− 5i 2 z=1+2i 5i − 2 + 2 i3 − 9 i4
Bài 2: Cho hai số phức z1 = + 2 5 , z =3-2i i 2 Xác định phần thực và phần ảo số phức 2 z1− 3 z22
Bài 3: Cho hai số phức z1 = − + 2 3 , z =-3-4i i 2 Xác định môđun số phức 2 z2 − 4 z2 + 2 z12
Bài 4: Xác định phần ảo và tính môđun số phức z, biết:
z= 1-2i + − 1 3 2 i i + 2 i 2 ( )2 ( ) ( )
z = − i i + − i − i
1
i z
i
+
=
z = + + mi + + mi Xác định số thực m để z là số thuần ảo
Bài 6: Xác định phần thực và phần ảo và tính môđun số phức liên hợp của các số phức z:
Bài 9: Xác định môđun số phức z, biết:
1 z = 2 − 2 i + 2+ 2 i 2 z = 4 − 3 i + 4+ 3 i + 2 − i 3 i
Bài 10: Xác định phần thực, phần ảo các số phức z và biểu diễn các số phức đó trên mp Oxy, biết:
2
1 z=2-3i 2 z=-3+4i-4i 2
2-3i
3 z= 1-2i 3 2 4 z=
1+i
i i
+
− +
Bài 11: Cho hai số phức z = − + 2 3 , z'=3-5i i
1 Xác định phần thực và phần ảo số phức 2z+3z’-2i+3
2 Xác định mô đun số phức 3z-5z’-3
3 Biểu diển số phức z+z’ trên mặt phẳng Oxy
Bài 12: Giải các phương trình sau trên tập số phức:
1 1-i z+ 2− = −i 4 5 2 1-2ii z = 2−3i 3 1-z 2i= −1 2i + 2−3i
Bài 13: Tìm phần thực và phần ảo số phức z, biết:
1 z- 2+3i 1 9 2 1-2i 2 3 10
3 2iz+ 2-3i 1 1 3 4 3z- 1-i 1
5 2iz- 1-i 1 2 2 3
Trang 3Bài 14: Xác định phần ảo z và tính mô đun số phứcz, biết: z- 1 9 ( − i ) ( = 2+3i ) z
Bài 15: Giải các phương trình sau x2 − 2x+5=0trên tập số phức
Bài 16: Giải các phương trình sau z2 − 6 +10=0 z trên tập số phức
Bài 17: Gọi z , z1 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 − 2 +10=0 z Tính giá trị của biểu thức A=2 z12 + 3 z22
Bài 18: Giải các phương trình sau z4 + 3 z2− 4=0trên tập số phức
Bài 19: Giải các phương trình sau x4 + 10 +9=0 x2 trên tập số phức
Bài 20: Tính mô đun số phức z, biết: ( ) ( )
2
1 2
z
i
=
−
Bài 21: Cho số phức z = − 2 3 i Tính mô đun số phức z z − 3
Bài 22: Cho số phức z = − 2 2 i Xác định phần ảo số ( )2
z − z
Bài 23: Cho số phức z = + 1 i Tính mô đun số phức z5
Bài 24: Cho số phức z = + 1 i Tính phần ảo và tính mô đun số phức z10
Bài 25: Với i là đơn vị ảo i2 = − 1 Chứng minh rằng ( 2 3 4 5)2
Bài 26: Với i là đơn vị ảo i2 = − 1 Chứng minh rằng ( 2008 2009 2010 2011 2012 2013)2
2
i + i + i + i + i + i = i
Bài 27: Với i là đơn vị ảo i2 = − 1 Chứng minh rằng
2020
4 5
1
1
i i i i i
i i
+ + + + +
Bài 28: Với i là đơn vị ảo i2 = − 1 Chứng minh rằng ( )40
1+i =1048576
Bài 29: Với i là đơn vị ảo i2 = − 1 Chứng minh rằng ( 2 3 4 5 6 7 8 9)2
1 + + + + + + + + + i i i i i i i i i = 2 i
Bài 30: Xác định mô đun số phức z, biết: ( ) (2 )3
z = + i − − i
Bài 31: Xác định mô đun số phức ( )20
1
z = + i
Bài 32: Xác định phần ảo số phức ( )30
1
z = + i
Bài 33: Biểu diễn số phức ( )6
1
z = + i trên mặt phẳng Oxy
Bài 34: Xác định phần ảo số phức ( ) (2 ) (3 )4
z = + i + + i + + i
Bài 35: Xác định mô đun số phức ( ) ( )
( )
2
z
i
=
Bài 36: Xác định mô đun số phức z, biết ( )
( )
3
2
1 1
i z
i
− +
=
Bài 37: Xác định mô đun số phức z, biết
10
z
i i
+ + + + +
Bài 38: Xác định mô đun số phức z, biết
10 2
1
3 4
i i
i i
+ +
−
Bài 39: Tính mô đun số phức z, biết: ( )4
z = + i − − i
Trang 4Lê Anh
Bài 40: Tính mô đun số phức z, biết: z = ( 2 i − + − − 1 i ) 4 3 i
Bài 41: Xác định số phức liên hợp của số phức ( )2 ( )
z = − i i − − − i − i
Bài 42: Xác định phần ảo số phức 3 4 8 6
1 4 3
z
i
− + −
=
− −
Bài 43: Xác định phần ảo số phức 2 3 4 3 4 3
z
=
Bài 44: Tính mô đun số phức z, biết: ( 2 3)2
3 4
i i i z
i i
=
Bài 45: Tính mô đun số phức z, biết: ( )
2
2
1 2
i i i z
i
=
Bài 46: Cho hai số phức z1= − 3 4 , z i 2 = − 8 6 i
1 Tính giá trị biểu thức 2 2
A = z + z z + z
2 Tính giá trị biểu thức
2
A
z z
=
+
SỐ PHỨC BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI
Bài 1. Giải phương trình 2x2−5x+ =4 0 trên tập số phức.
x = + i ; 2 5 7
Bài 2. Giải phương trình x2−4x+ =7 0 trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 1) Đáp số: x 1 = +2 3 i ; x 2 = −2 3 i
Bài 3. Giải phương trình x2−6x+25 0= trên tập số phức.
TN THPT – 2007 (lần 2) Đáp số: x 1= +3 4 i ; x 2 = −3 4 i
Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức:
Bài 5. Giải phương trình x2−2x+ =2 0 trên tập số phức.
TN THPT – 2008 (lần 2) Đáp số: x 1 = +1 i ; x 2 = −1 i
Bài 6. Giải phương trình 8z2 −4z+ =1 0 trên tập số phức.
TN THPT – 2009 (CB) Đáp số: 1 1 1
4 4
x = + i ; 2 1 1
4 4
x = − i
Bài 7. Giải phương trình 2z2− + =iz 1 0 trên tập số phức.
TN THPT – 2009 (NC) Đáp số: x 1=i ; 2 1
2
x = − i
Bài 8. Giải phương trình 2z2+6z+ =5 0 trên tập số phức.
TN THPT – 2010 (GDTX) Đáp số: 1 3 1
2 2
x = − + i ; 2 3 1
2 2
x = − − i
Bài 9. Cho hai số phức: z = +1 2i, z = −2 3i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z −2z
Trang 5TN THPT – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8
Bài 10. Cho hai số phức: z1= +2 5i, z2= −3 4i Xác định phần thực và phần ảo của số phức z z1 2.
TN THPT – 2010 (NC) Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7
Bài 11. a/Gọi z1, z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2+2z+10 0= Tính giá trị của biểu thức A=|z1|2+|z2|2.
b/Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2 z2 − 4 z + = 11 0 Tính giá trị của biểu thức
2
1 2
A
+
= +
Bài 12. Tìm số phức z thỏa mãn |z− +(2 i) |= 10 và z z =25.
ĐH Khối B – 2009 (CB) Đáp số: z = 3 + 4i ∨ z = 5
Bài 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện |z− −(3 4 ) | 2i = .
ĐH Khối D – 2009 Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – 4 ), bán kính R = 2.
Bài 14. Cho số phức z thỏ mãn: (1+i) (22 −i z) = + + +8 i (1 2 )i z Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2009 (CB) Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 15. Giải phương trình 4 3 7
2
z i
− − = −
− trên tập số phức.
CĐ Khối A,B,D – 2009 (NC) Đáp số: x 1= +1 2 i ; x 2 = +3 i
Bài 16. Tìm phần ảo của số phức z, biết: z=( 2+i) (12 − 2 )i
Bài 17. Cho số phức z thỏa mãn:
3 (1 3 ) 1
i z
i
−
=
− Tìm môđun của z iz+ .
Bài 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả mãn điều kiện |z i− =| | (1+i z) |.
ĐH Khối B – 2010 (CB) Đáp số: đường tròn x 2+( y+1) 2 =2
Bài 19. Tìm số phức z thoả mãn điều kiện | |z = 2 và z2 là số thuần ảo.
ĐH Khối D – 2010 Đáp số: z 1 = 1 + i; z 2 = 1 – i; z 2 = –1 –i; z 4 = –1+ i.
Bài 20. Cho số phức z thỏ mãn: (2 3 )− i z+ +(4 i z) = − +(1 3 )i 2 Xác định phần thực và phần ảo của z.
CĐ Khối A,B,D – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.
Bài 21. Giải phương trình z2− +(1 i z) + + =6 3i 0 trên tập số phức.
CĐ Khối A,B,D – 2010 (NC) Đáp số: x 1 = −1 2 i ; x 2 =3 i
Bài 22:
a Số phức z thỏa mãn (1+i)2(2−i)z=8+i+(1+2i)z Tìm phần thực, phần ảo của z.
ĐS: a a=2, b=−3
b Tìm số phức z thỏa mãn:
( ) ( )
1
3
z
z i
z i
z i
− =
−
−
+
.HD: Gọi z=x+yi; (1)⇒x=y, (2)⇒y=1 ĐS: z=1+i
Bài 23:Giải phương trình:
4
1
z i
z i
+
=
− ÷
ĐS: z∈{0;1;−1}
Bài 24:Giải phương trình: 2z + = z 0
Trang 6Lê Anh
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z ĐS: z∈{0;i;−i}
Bài 25:Giải phương trình: 2z + = z 0
HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình ⇒ x, y ⇒ z ĐS: z=0, z=−1, 1 3
z = ± i
Bài 26:Giải phương trình: 4 3 2 1 0
2
z
z − z + + z + =
HD: Chia hai vế phương trình cho z2 ĐS: z=1±i, 1 1
z = − ± i
Bài 27:Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0.
HD: Đặt thừa số chung ĐS: 1 3 1 3
z = − z = ± i z = − ± i
Bài 28:Cho phương trình: (z + i)(z2−2mz+m2−2m)=0 Hãy xác định điều kiện của tham số m sao cho phương trình:
a Chỉ có đúng 1 nghiệm phức b Chỉ có đúng 1 nghiệm thực c Có ba nghiệm phức
Bài 29:Tìm đa thức bậc hai hệ số thực nhận α làm nghiệm biết:
a α = 2−5i b α = −2−i 3 c α = 3 - i 2
Bài 30:Giải phương trình sau biết chúng có một nghiệm thuần ảo:
a z3−iz2−2iz−2 = 0 b z3+(i−3)z2+(4−4i)z−7+4i = 0.
Bài 31:Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức: 2 z i − = − + z z 2 i ĐS: 2
4
x
y =
Bài 32:Trong các số phức thỏa mãn 3
2 3
2
z − + i = Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.
2 3
2
z − + i = ⇒ … ⇒( ) (2 )2 9
4
x − + y + =
* Vẽ hình ⇒|z|min⇒z ĐS: 26 3 13 78 9 13
z = − + − i.
Bài 33:Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau:
a
( )
10
9
(1 i)
3 i
+
HD: Sử dụng công thức Moivre ĐS: a Phần thực 1
16
− , phần ảo bằng 0, b Phần thực 0, phần ảo bằng 128
Bài 34:Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20
HD: Áp dụng công thức tính tổng của CSN ĐS: phần thực −210, phần ảo: 210+1
(
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A LÝ THUYẾT
1 Giai thừa: n!= n.(n−1)!=n.(n−1).(n−2) … 3.2.1, n≥0.
2 Số chỉnh hợp chập k của n phần tử: ( ) !
!
k n
n
Ak
n = − , n≥k>0.
3 Số tổ hợp chập k của n phần tử: ! ( ) !
!
k n k
n
Ck
n = − , n≥k≥0.
4 Quy ước n!=0!=1.
n n n n n n n
n n
n n
n n n
b C ab C b a C b
a C b a C a C b
a + = 0 + 1 − 1 + 2 − 2 2 + + − 2 2 − 2 + − 1 − 1 + Công thức số hạng tổng quát: Tk+1 = Cn kan−kbk, 0≤k≤n.
Trang 7B BÀI TẬP
1 (CĐ_Khối D 2008)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
18
5
1 2
+
x
x ,(x>0).ĐS: 6528
2 (ĐH_Khối D 2004)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton của
7
4
+
x
x với x>0.ĐS: 35
3 (ĐH_Khối A 2003)Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
+ 5 3
1 , biết rằng 1 3 7 ( 3 )
+ + C n
n
n
4 (n nguyên dương, x>0, (Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 495
5 (ĐH_Khối D 2005)Tính giá trị biểu thức
( 1 ) !
3 3
4 1
+
+
= +
n
A A
4
2 3
2 2
2
+ n n n
k
n
A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử)ĐS:
4
3
=
M
6 (ĐH_Khối A 2006)Tìm số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Newton của
n
x
+ 7 4
1 , biết rằng 1
220 1 2
2
1 2
1
1
n n
C , (n nguyên dương và Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 210
7 (ĐH_Khối D 2008)Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2 1 2048
2
3 2
1
n n
C (Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: n=6
8 (ĐH_Khối D 2007)Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x)5+x2(1+3x)10.ĐS: 3320
9 (ĐH_Khối D 2003)Với n là số nguyên dương, gọi a 3n− 3 là hệ số của x 3n− 3 trong khai triển thành đa thức của (x2+1)n (x+2) n Tìm n để
a 3n− 3=26n.ĐS: n=5
10 (ĐH_Khối D 2002)Tìm số nguyên dương n sao cho 0Cn + 2 C1n + 4 Cn2 + + L 2n nCn = 243.ĐS: n=5
11 (ĐH_Khối B 2008)Chứng minh rằng k
n
k n
k
C n
2
1
1 1 1
=
+ +
+
+ + +
(n, k là các số nguyên dương, k≤n, Cn k là số tổ hợp chập k của n
phần tử)
12 (ĐH_Khối B 2007)Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Newton của (2+x) n, biết:
3nCn−3n− 1C n+3n− 2C n−3n− 3C n+ … +(−1)n C n =2048 (n là số nguyên dương, Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: 22
13 (ĐH_Khối B 2006)Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của
A Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.ĐS: k=9
14 (ĐH_Khối B 2003)Cho n là số nguyên dương Tính tổng n
n
n n
n
n C
C C
1
1 2 3
1 2 2
1
2
3 1
2 0
+
− + +
− +
−
của n phần tử).ĐS:
1
2
+
− + +
n
n n
15 (ĐH_Khối B 2002)Cho đa giác đều A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O) Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1A2…An, tìm n.ĐS: n=8
16 (ĐH_Khối A 2008)Cho khai triển (1+2x) n =a0+a1x+ … +a n x n , trong đó n∈N* và các hệ số a0, a1,…a n thỏa mãn hệ thức
4096 2
2
1
0 + a + + an n =
a Tìm số lớn nhất trong các số a0, a1,…a n ĐS: a8=126720
17 (ĐH_Khối A 2007)Chứng minh rằng 1 12 1 23 1 25 1 22 1 22 1
n n
+
L , (Cn k là số tổ hợp chập k của n phần
tử)
Trang 8Lê Anh
18 (ĐH_Khối A 2005)Tìm số nguyên dương n sao cho 2 2 3 2 4 2 ( 2 1 ) 2 2 1 2005
1 2 2 4
1 2 3 3
1 2 2 2
1 2
1 1
+ +
+ +
n n
n n
, (Cn k là số tổ hợp chập k của n phần tử).
ĐS: n=1002
19 (ĐH_Khối A 2004)Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của [1+x2(1−x)]8 ĐS: 238
20 (ĐH_Khối A 2002)Cho khai triển nhị thức
n x n n
n x x
n n
x n x n
n x n
n x x
C C
C C
+
+ +
+
=
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
3
1 3 2
1 1 3
1 2
1 1 2
1 0 3
2
1
2 2
2 2
2 2
2
(n là số nguyên dương) Biết rằng trong khai triển đó Cn3 = 5 C1n và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x.ĐS: n=7, x=4
21 Cho số phức z=1+i.
a Viết khai triển nhị thức Newton của nhị thức (1+i) n
b Tính các tổng S1=1−C n +C n−C n+… S2=C n−C n +C n−…
22 Chứng minh rằng C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250
−o0o−