Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a.. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II... Một số phương trình lượng giác thường gặp:II.2.1.. Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNHLƯỢNG GIÁC
I CÔNG THỨC
I 1 Công thức lượng giác cơ bản
2 2
2
1
1
a
¢
I 2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a Cung đối: α à−α
b Cung bù: α àπ α−
c Cung phụ: à
2
c c
d Cung hơn kém π α: à (α π+ )
Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan và cot
I 3 Công thức cộng
tan
1 tan tan
tan
1 tan tan
a b
a b
+ + =
−
−
− =
+
Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia
1 trừ tích tan.
I 4 Công thức nhân đôi
Trang 22 2 2 2
2
2 tan
1 tan
a
a
−
I 5 Công thức hạ bậc
+
I 6 Công thức tính theo tan
2
2
I 7 Công thức nhân ba
3
2
1 3tan
a
−
−
I 8 Công thức biến đổi tổng thành tích
I 9 Công thức biến đổi tích thành tổng
1
2 1
2 1
2
I 10 Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt
Cung 0 00( ) 300
6
π
÷
0 45 4
π
÷
0 60 3
π
÷
0 90 2
π
÷
0 2 120
3
π
0 3 135
4
π
0 5 150
6
π
1800( )π
2
2 2
3
3 2
2 2
1
2
2 2
1
1 2
2
2
3
1 3
Chú ý:
• sin
2
n
α = với α =0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 900 0 0 0 0 ứng với n = 0; 1; 2; 3; 4.
Trang 3• Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại:
0 0
a 180
α π
=
I 11 Đường tròn lượng giác
Trang 4II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
II 1 Phương trình lượng giác cơ bản:
II.1.1 Phương trình sin x a =
⊕ a >1: Phương trình vô nghiệm
⊕ a ≤1
2
α
= +
360
β β
β
π
Tổng quát: sin ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 ( )
2
π
* Các trường hợp đặc biệt
2
2
π
¢
¢
¢
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
12
2
3
Giải
11 12
π
¢
k
= − +
2
π
¢
Trang 52
)sin
2 3
3
π
¢
II.1.2 Phương trình cos x a =
⊕ a >1: Phương trình vô nghiệm
⊕ a ≤1
• c x cos = osα ⇔ = ± +x α k2π(k∈¢)
• c x cos = osβ0 ⇔ = ±x β0+k3600(k∈¢)
• c x aos = ⇔ = ±x arcc a kos + 2π(k∈¢)
Tổng quát: c f xos ( ) =c g xos ( ) ⇔ f x( ) = ±g x( )+k2π (k∈¢)
* Các trường hợp đặc biệt
2
π
¢
¢
¢
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
4
2
2
4
Giải
a x c= π ⇔ = ± +x π k π k∈¢
2
c c x= − ⇔c x c= π ⇔ x= ± π +k π ⇔ = ±x π +kπ k∈¢
d x= ⇔ = ±x +k π k∈¢
II.1.3 Phương trình tan x a =
π
¢
¢
¢
Tổng quát: tan f x( ) =tang x( ) ⇔ f x( ) =g x( )+kπ (k∈¢)
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
3
) tan 4
3
Giải
Trang 6( )
a x= π ⇔ = +x π kπ k∈¢
b x= − ⇔ x= − +kπ ⇔ =x − +kπ k∈
II.1.4 Phương trình cot x a =
π
¢
¢
¢
Tổng quát: c f xot ( ) =c g xot ( ) ⇔ f x( ) =g x( )+kπ (k∈¢)
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
3
7
) cot 2
Giải
a x= π ⇔ x= π +kπ ⇔ = +x π kπ k∈¢
1
c x−π = ⇔ x−π = π ⇔ x− = +π π kπ ⇔ x= +π kπ ⇔ = +x π kπ k∈
Bài tập đề nghị:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
3
cot 45
3
x
2
2
x
3
x
10) sin 8( x+600)+sin 2x=0 11) cos cos 2( 300)
2
x
x
= − − 12) sinx−cos 2x=0
4
π
− =
2
3
16) sin 4x= −cosx 17) sin 5x= −sin 2x 18) sin 22 x=sin 32 x
22) sin 22 x+cos 32 x=1 23) sin 5 cos3x x=sin 6 cos2x x
24) cos −2sin2 =0
2
x
2
x x 26) tan 5 tan3x x=1
Trang 72
π
Bài 2: Tìm ;
2 2
∈ ÷ sao cho:tan 3( x+ =2) 3.
Bài 3: Tìm x∈(0;3π) sao cho: sin 2cos 0
HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Giải các phương trình sau:
18) sin 22 =sin 32 ⇔1 cos4− =1 cos6+ ⇔cos4 = −cos6 ⇔cos4 =cos(π−6 )
22)
23) sin 5 cos3 =sin 6 cos2 ⇔1(sin 2 +sin8 ) (=1 sin 4 +sin8 ) ⇔sin 2 =sin 4
24) cos −2sin2 = ⇔0 cos − −(1 cos ) = ⇔0 cos =1
x
25) +π ÷ ( −π) ( )=
2
2
x hoặc cot 5( x−π) =0 không là nghiệm của pt (25) nên ta có:
π
1
x
26) tan 5 tan3x x=1 26( )
Vì tan 5x=0 hoặc tan3x=0 không là nghiệm của pt (26) nên ta có:
π
1
x
Trang 8II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp:
II.2.1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
II.2.1.1 Định nghĩa: phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
0
at b+ = t trong đó a,b là các hằng số (a≠0)và t là một trong các hàm số lượng giác.
2
II.2.1.2 Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản
Giải
5
2 6
π
= +
= +
¢
b c x+ = ⇔c x= − ⇔c x= π ⇔ x= ± π +k π k∈¢ ⇔ = ± +x π kπ k∈¢
3
II.2.1.3 Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cosx−sin 2x=0
Giải
2
, 1
6
x x
= +
=
¢
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
II.2.2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Trang 9II.2.2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng
2
0
at + + =bt c , trong đó a, b, c là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác.
Ví dụ:
a) 2sin2x+sinx− =3 0 là phương trình bậc hai đối với sin x
b) cos x2 +3cosx− =1 0 là phương trình bậc hai đối với cos2x
c) 2 tan2x−tanx− =3 0 là phương trình bậc hai đối với tan x
d) 2
3cot 3x−2 3 cot 3x+ =3 0 là phương trình bậc hai đối với cot 3x
II.2.2.2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai
theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện − ≤ ≤1 t 1 nếu đặt t bằng sin hoặc cos)
Giải
2
Đặt t=sinx, điều kiện t ≤1 Phương trình (1) trở thành:
( )
2
2
=
+ − = ⇔ =
Với t=1, ta được sinx= ⇔ =1 x k2π(k∈¢)
( )
2
Đặt t c x= os , điều kiện t ≤1 Phương trình (2) trở thành:
( )
2
â 2
3 1 0
2
=
+ − = ⇔
=
2
c x= − + ⇔ = ±x − + +k π k∈¢ Các câu còn lại giải tương tự
II.2.2.3 Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
2
Giải
2
x x
=
x= ⇔ x= +π kπ ⇔ = +x π kπ k∈¢
3
Vì 7 >1 nên phương trình 3cos 2x− =7 0 vô nghiệm
Trang 10Kết luận: vậy nghiệm của phương trình đã cho là ,( )
( )
Điều kiện: sinx≠0và cosx≠0 Khi đó:
tan
x
Đặt t =tanx, ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t2− − =4 12 0t
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
31) 2 cos2x−3cosx+ =1 0 32) cos2 x+sinx+ =1 0 33) 2 cos2x−4 cosx=1
34) 2sin2x+5sin – 3 0x = 35) 2cos2x +2cosx - 2 =0 36) 6cos2x+5sinx−2=0
3 tan x− +(1 3) tan =0x 38) 24 sin2 x+14cos 21 0x− =
− + − =
2 4cos 2( 3 1)cosx− − x+ 3 0 =
II.2.3 Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx:
II.2.3.1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng
II.2.3.2 Phương pháp:
⊕ Kiểm tra cosx=0có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này
⊕ cosx≠0chia cả hai vế cho cos x đưa về phương trình bậc hai theo tan x : 2
(a d− )tan2x b+ tanx c d+ − =0
Ví dụ: Giải phương trình sau
Bài tập đề nghị:
41) 3sin2x−4sin cos +5cosx x 2 x=2 42) 2 cos2x−3 3 sin 2x−4sin2x= −4
43) 25sin2x+15sin 2x+9cos2x=25 44) 4sin2x−5sin cosx x−6cos2x=0
II.2.4 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :
II.2.4.1 Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là phương trình có dạng
a x b+ x c= trong đó , ,a b c∈¡ và 2 2
0
Ví dụ: sinx+cosx=1; 3cos 2x−4sin 2x=1;
II.2.4.2 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a2+b2 ta được:
2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2
• Nếu 2c 2 1
• Nếu 2c 2 1
Trang 11α
α
+ ) sau đó giải phương trình
lượng giác cơ bản
Chú ý: Phương trình sin a x b+ cosx c= trong đó , ,a b c∈¡ và 2 2
0
Giải
Ví dụ: giải các phương trình sau:
a) sinx+cosx=1; b) 3cos 2x−4sin 2x=1;
Bài tập đề nghị: Giải các phương trình sau:
47) 2sinx−2cosx= 2 48) 3sinx+4cosx=5 49) 3sin(x+ +1 4 cos) (x+ =1) 5
50) 3cosx+4sinx= −5 51) 2sin 2x−2 cos 2x= 2 52) 5sin 2x−6cos2x=13;(*)
III BÀI TẬP
Bài 1 Giải các phương trình sau:
55 sin 2 1
2
x= 56 os2 3
2
c x= − 57 ( 0) 1
3
x+ = −
58 cot 5 1
π
− =
59 sin 2x sin x 4
π
60 cot 2x 3 cot 4 5x
+ = − −
tan 5
3
x=
Bài 2 Giải các phương trình sau:
6
65
2 cos 2x c− os2x=0 66 (tanx+1 cos) x=0
67 2sin2x+sinx− =3 0 68 4sin2 x+4cosx− =1 0 69 tanx+2cotx− =3 0
2cot x−6cot x+ =4 0 71 4 4
sin x c− os x=cosx−2
72 (1−cos4 sin 4x) x= 2 sin 22 x (*) 73 3sin2 x−2sin cosx x c+ os2x=0
74 cos2 x−sin2 x− 3 sin 2x=1 75 2 2 1
2
Bài 3 Giải các phương trình sau:
76 3sinx+4cosx=5 77 2sin 2x−2 cos 2x= − 2 78 3cosx−sinx= 2
2
x+ x= 80 cos 2x+9 cosx+ =5 0
Bài 4 Giải các phương trình sau:
81) sin 6x+ 3 cos 6x= 2
Trang 1282) cos2x+sinx+ =1 0
83) 3sinx+ 3 cosx=1
84) 5cos 2x−12sin 2x=13
2
86) cos2x−sinx=2
87) 4sin2 x+3 3sin 2 2cosx− 2x=4
88) 24sin2x+14cosx−21 0=
− + − =
91) 3sin2 x+8sin cosx x+(8 3 9 cos− ) 2x=0
92) 2sin 3x+ 2 sin 6x=0
93) 3 cos2x−5 sin2 x= 1
95) 4cos 22x− ( 3 1 cos− ) x+ 3 0 =
96) sin2 x–10sin cosx x+21cos2x=0
97) cos2x−sin2x− 2sin 2x=1
98) cos 4 sin3 cosx+ x x= sin cos 3x x
sin
x
Dành cho HS khá – giỏi 100) cosx+ 3 sinx=2 os3c x
101) tanx+tan 2 tan 3 x= x
HD:
Giải phương trình
3 2
0
Trang 13
102) ( 2sinx−cosx) (1 cos+ x) =sin2 x
103) (1 cos 2 )sin 2− x x=sin 2 x
Hướng dẫn:
2 (1 cos 2 )sin 2− x x=sin x
104) cos 1 tanx( − x) (sinx+cosx)=sinx
105) cotx−tanx=sinx+cosx
Hướng dẫn
cotx−tanx=sinx+cosx, (điều kiện sinx≠0và cosx≠0)
( )
( )
sin cos
−
⇔
HD giải pt 91b):
cosx−sinx−sin cosx x=0
2
t
Thay vào phương trình, ta được:
2
2 1
2
t
t+ − = ⇔ + − = ⇔ = − −t t t ∨ = − +t
Ta giải 2 phương trình: cosx−sinx= − −1 2; cosx−sinx=− +1 2
4
Giải phương trình bậc hai đối với hàm số cos 2x
107) 2sin 17x+ 3cos 5x+sin 5x=0
HD:
3
108) cos 7x−sin 5x= 3 cos 5( x−sin 7x)
Trang 14109) tan 2( 45 tan 180 0) 0 1
2
x
−
HƯỚNG DẪN GIẢI
52) 5sin 2x−6cos2x=13;(*)
53)
π π
2 2
1 cos 2
2
x x
x
72) (1−cos4 sin 4x) x= 2 sin 22 x
(1−cos4 sin 4x) x= 2 sin 22 x
⇔
2
87) cosx+ 3 sinx c= os3x
cosx+ 3 sinx=cos3x
Trang 15BÀI TẬP BỔ SUNG:
Giải các phương trình sau:
201) cos5 sin 4x x=cos3 sin 2x x
202) cos2 +cos 22 = 1
2
203) sinx+sin 2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x
204) sin3x+sin 5x+sin7x=0
205) cos2x+cos 22 x+cos 32 x=1(*)
3
x
x
3
III ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM
2
2 2sin
x
=
2
x
7)(1 sin+ 2x)cosx+ +(1 cos2x)sinx= +1 sin 2x (Khối A – 2007)
9)
2
10)
4sin 3
2
x
π
(Khối A – 2008) 11)sin3x− 3 cos3x=sin osxc 2x− 3 sin2xc xos (Khối B – 2008)
13)(1 2sin1 2sin cos) (1 sin ) 3
Trang 1614)sinx+cos sin 2x x+ 3 cos3x=2 cos 4( x+sin3x) (Khối B – 2009)
15) 3 cos5x−2sin 3 cos 2x x−sinx=0 (Khối D – 2009)
cos
x x
π
+
(Khối A – 2010)
17) (sin 2x+cos 2 cosx) x+2cos 2x−sinx=0 (Khối B – 2010)
18) sin 2x c− os2x+3sinx−cosx− =1 0 (Khối D – 2010)
1 cot
x
20) sin 2 cosx x+sin cosx x c= os2x+sinx+cosx (Khối B - 2011)
x
22) 3 sin 2x c+ os2x=2cosx−1 (Khối A và A - 2012)1
23) 2 cos( x+ 3 sinx)cosx=cosx− 3 sinx+1 (Khối B - 2012)
24) sin 3x c+ os3x−sinx+cosx= 2 cos 2x (Khối D - 2012)
