Chuyên đề số phức ôn tốt nghiệp 12

Chuyên đề số phứcA.. Số phức bằng nhau... Biểu diễn hình học của số phức.. được biểu diễn bởi điểm Ma;b trong Số phức mặt phẳng Oxy... Số phức liên hợp... Căn bậc hai của số thực a âm là

Chuyên đề số phức

A Tóm tắt lý thuyết

bi a

i = −

1.Định nghĩa số phức

Số phức z là một biểu thức có dạng

.

a là phần thực

b là phần ảo.

i là đơn vị ảo

C

2 Số phức bằng nhau.

bi a

z = + z' = a' + b'i









=

=

↔ +

=

' '

'

b b

a

a i

b a

bi a

bi a

O

M(a;b)

y

x

a

b

.

3 Biểu diễn hình học của số phức.

được biểu diễn bởi điểm M(a;b) trong

Số phức

mặt phẳng Oxy

bi a

2

2 b a

4 Mô đun số phức

• Môđun số phức

bi a

5 Số phức liên hợp.

là số phức Liên hợp của số phức

bi a

z = + z' = a' + b'i

6.Cộng, trừ, nhân và chia số phức.

và Cho hai số phức

+ Cộng hai số phức: ( a+bi) (+ a'+b'i) (= +a a') (+ +b b i')

+Trừ hai số phức: ( a+bi) (− a'+b'i) (= −a a') (+ −b b i')

a'+b'i ' ' ' '

ab a b

i

+

Căn bậc hai của số thực a âm là

.

i a

±

0

2 + bx + c =

ax

0 ,

, , b c ∈ ℜ a ≠

a

1,2

2

b i x

a

=

8 Phương trình bậc hai với hệ số thực.

với

Cho phương trình bậc hai

0

<

∆

7 Căn bậc hai của số thực âm.

B Bài tập

Bài 1. Xác định phần thực, phần ảo của các số phức sau:

b) i ( 2 − i )( 3 + i )

c) ( 1 + i )2 − ( 1 − i )2 d) ( 1 )

2

1

7

7

i

i

1

−

−

i i

i

g)

i

i i

i

+

− +

+

3

3 )

2 (

h)

i

i

2 1

2

3

+

−

= +

−

− + ( 2 4 i ) ( 3 2 i )

i

1

−

Giải

Phần thực là , phần ảo là -5

Ta có

i i

i

6 + + + 2 = +

=

) 3

)(

2

i − +

1

b)

Phần thực là , phần ảo là 7

) 3

)(

1 2

( i + + i

=

Ta có

c) ( 1 + i )2 − ( 1 − i )2= 1 + 2 i + i2 − 1 + 2 i − i2 = 0 + 4 i

Phần thực là 0 , phần ảo là 4

2

1

7

7

i

i

1 )

1 (

2

1

8

6 − = −

=

i i

Phần thực là -1 , phần ảo là 0

Bài 2.

iy x

Cho số phức

1

−

+

iz

i z

Giải

a) z2 + 2 z = z2 + 2z +1−1 = (x +1)2 + 2iy(x +1) + (iy)2 −1

i x

y x

y

x2 − 2 + 2 + 2 ( + 1 )

=

x y

x2 − 2 + 2

) 1 (

2 y x +

Phần thực là

Phần ảo là

Ta có

Ta có

b)

y ix

y i

x

−

−

−

+

=

1

) 1

( 1

−

+

iz

i

z

1

) 1

(

2 − +

−

+

=

yi ix

y i

x

)) 1

( )(

1 (

) 1

))(

1 (

(

y ix

y ix

y ix

y i

x

+

− +

+

+ +

−

+

=

2 2

2 2

2

1 )

1 (

2

+ +

−

+ +

+

y

x i

y x

xy

2

2 ( 1 )

2

+ + y x

xy

2 2

2 2

) 1 (

1

+ +

−

+

y x

y

x

Bài 3.

i y

i x

2 3

i y

i x

i ) ( 4 5 ) 2 2

1 ( + 2 − − 2 =

a)

b)

Tìm các số thực x, y thỏa mãn

Giải







= +

=

+

↔

3 7

2

1 5

3

y x

y

x

i y

i x

2

3

( − + − = −

a)













=

−

=

↔

11 7 11 8

y x

i i

y x

y

3

↔ ↔ ( − 3 + 4 i ) x − ( − 9 − 40 i ) y = 2 i

i y

i x

2 1

( + 2 − − 2 =

b)













=

=

↔

26 1 26 3

y

x







= +

= +

−

2 40

4

0 9

3

y x

y

x







= +

= +

−

↔

1 20

2

0

3

y x

y x

x, y thỏa mãn hệ phương trình

)

Bài 4

sau:

Tìm số phức liên hợp

a) z = 2 + 3 i b) z = ( 2 + 3 i )3 c)

i

i z

2 1

3

2

−

+

=

3

4

2 −

=

Giải

a)

,

Với z = 2 + 3 i

,

ta có z = 2 + 3 i = 2 − 3 i

z = 2 + 3 i = 22 + 32 = 13

b) Ta có

3

) 3 2

( i

z = + = 23 + 3 . 22. 3 i + 3 . 2 .( 3 i )2 + ( 3 i )3

i

9

46 +

−

=

i i

Suy ra z = − 46 − 9i

3

) 3 2

( + i

=

Ta có:

c)

z

) 2 1

)(

2 1

(

) 2 1

)(

3 2

(

i i

i

i

+

−

+

+

=

i

i

2 1

3

2

−

+

2 1

6 3

4

2

+

− +

+

5

7 5

4

+

−

=

5

7

4 + i

−

=

Suy ra z

i

5

7 5

4

−

−

=

2 2

5

7 5

4











−

+













=

z

5

65 25

65

=

=

i

3

4

2 −

=

d)

z

z

3

4

2 +

=

3

34

=

2

3

4









 +

=

Thực hiện phép tính

Bài 5

* Phép cộng ( Bài 1 sgk tr 135)

a) ( 3 − 5i) + ( 2 + 4i)

b) (−2 − 3i) + (−1− 7i)

c) (4 + 3i) − (5 − 7i) d) ( 2 − 3i) − ( 5 − 4i)

* Phép nhân ( Bài 3 tr 136 sgk)

Nhân như nhân hai đa thức Với qui ước i2 = − 1

a) ( 3 − 2i).( 2 − 3i)

b) (−1+ i).(3 + 7i)

) 3 4

(

5 + i ( − 2 − 5 i 4 ) i

i

i

2 3

2

−

+

3 2

2

1

i

i

+

+

i

i

3 2

5

i

2

5 −

* Phép chia: ( Bài 1 tr 138 sgk)

a)

Bài 2 (tr 138 sgk)

z

1

i

a)

Bài tập luyện tập

Bài 3 tr 138 sgk

) 4 2

)(

3 (

2 i + i + i

a)

b)

i

i

i

+

−

+

2

) 2 ( ) 1

c) 3 + 2 i + ( 6 + i )( 5 + i )

d)

i

i i

6 3

4

5 3

4

+

+ +

−

Giải các phương trình sau:

Bài 4 tr 138 sgk:

a) ( 3 − 2 i ) z + ( 4 + 5 i ) = 7 + 3 i

b) ( 1 + 3 i ) z − ( 2 + 5 i ) = ( 2 + i ) z

i

z

2 5

) 3 2

( 3

−

Tìm căn bậc hai của mỗi số phức sau:

Bài 6

b)

Giải các phương trình sau trên tập số phức Bài 7

a) x2 + 3 x + 3 = 0 b) x2 − 4 x + 20 = 0

c) 2 x2 − 3 x + 2 = 0 d) z2 − 4 z + 4 = 0

Giải

a) Xét phương trình x2 + 3 x + 3 = 0

∆ = 9 − 12 = − 3 = ( 3 i )2

2

3

3

2

i

x = − +

2

3

3

1

i

Phương trình có hai nghiệm phức là

,

20

4 −

=

b)

0 20

4

x

'

∆

Xét phương trình

16

−

= = ( i 4 )2

Xét phương trình

0 4

4

z

d)

0 2

3

2x2 − x + =

∆

4

7

3

1

i

c)

Phương trình có hai nghiệm phức là ,

16

9 −

Phương trình có hai nghiệm phức là

4

7

3 , x2 = + i

Xét phương trình

'

∆ = 4 − 4 4 = − 12 = ( 2 3 i )2

i

i

2

3 2

2

1 = − + = − +

i

i

2

3 2 2

2 = − − = − −

Tính modun các nghiệm của phương trình

Bài 8.

0 13

4

2 − z + =

z

Có = 16 − 4 13

Giải

∆ = − 36 = ( i 6 )2

Phương trình có hai nghiệm phức là

i

i

2

3 2

2

1 = − + = − + z i 1 3i

2

3 2

2 , 2 = − − = − −

Xin chân thành cảm ơn các thầy cô

đã quan tâm theo dõi!