CHUYÊN đề số PHỨC ÔN THI THPT QG

Mà M N, ∈ C nên MNlớn nhất khi MN là đường kính đường tròn C ITrong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z

z là thuần ảo ⇔ phần thực của z bằng 0 (a = 0)

Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo

xa

Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 của số phức z ≠ 0 là số z -1 = 2 2 2

Chú ý: Nếu z 0∈ C là một nghiệm của (*) thì z 0 cũng là một nghiệm của (*).

II Các dạng bài tập luyện tập.

Câu 1. Dạng đại số và các phép toán trên tập số phức

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo , mô đun, số phức liên hợp của số phức

Phần thực: -5, phần ảo : 4, số phức liên hợp z= − − 5 4i, mô đun: z = 41

Ví dụ 2(Đề thi chính thức THPT QG năm 2017)Cho hai số phức z1 = − 5 7i và z2 = + 2 3i Tìm số phức z z= + 1 z2

= +

i z

i

−

=

− Tìm môđun của số phức z iz+ .

x y

a) Ta có: (1 + i)2 = 1 + 2i – 1 = 2i ⇒ (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i

nên z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

b) Ta có: 1 (1 )(1 ) 2

i i

* Tìm số phức dựa vào dạng đại số của số phức.

Nếu trong hệ thức tìm số phức z xuất hiện 2 hay nhiều đại lượng sau: z z z, , , ta sẽ sửdụng Dạng đại số của z là z= +x yi với x y R, ∈

Ví dụ 11: ((Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Cho số phức z a bi a b= + ,( , ∈R) thỏa mãn z+ + − 1 3i z i= 0 Tính S a= + 3b

Với b≥ − 3 thì (1) tương đương với: 2 2 4

Gọi z= a+ bi (a, b ∈R) Ta có z = a2 +b2 và z2 =a2 − +b2 2abi

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

Vậy các số phức cần tìm là 1+i; 1-i; -1+i; -1-i

Ví dụ 16: (Đề thi chính thức THPT QG năm 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa

24 13

x loai y

Ví dụ 16: (Vận dụng) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểmbiểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z− + + = 2 z 2 10.

Hướng dẫn giải

Gọi M x y( ); là điểm biểu diễn số phức z x yi= + , x y, ∈ ¡

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2

Gọi B là điểm biểu diễn số phức − 2

Ta có: z+ + − = 2 z 2 10 ⇔MB MA+ = 10.

Ta có AB= 4 Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2

tiêu điểm là A( )2;0 , B(− 2;0), tiêu cự AB= = 4 2c, độ dài trục lớn là 10 2a= ,

2 w

Ví dụ 20: (ĐỀ MINH HỌA QUỐC GIA NĂM 2017)Cho số phức z∈ £ thỏamãn z = 4 Biết tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w= +(3 4i z i) +

Mà M N, ∈( )C nên MNlớn nhất khi MN là đường kính đường tròn ( )C I

Trong dạng này, ta gặp các bài toán biểu diễn hình học của số phức hay còn gọi

là tìm tập hợp điểm biểu diễn một số phức z trong đó số phức z thỏa mãn một hệ thứcnào đó (thường là hệ thức liên quan đến môđun của số phức) Khi đó ta giải bài toánnày như sau:

Giả sử z = x+yi (x, y ∈ R) Khi đó số phức z biểu diễn trên mặt phẳng phức bởiđiểm M(x;y) Sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm mối liên hệ giữa x và y từ đó suy ratập hợp điểm M

Ví dụ 1: Tìm điểm biểu diễn của số phức z biết:

Câu 1. Điểm biểu diễn số phức z= − 2 3i có tọa độ là:: (2; 3 − )

Câu 2. Điểm biểu diễn số phức z= −2i có tọa độ là: (0; 2 − )

Câu 3. Cho số phức z= +6 7i Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là: (6; 7 − ) .

2016 2

(1 2 )

i z

i

= + là điểm nào?

(1 2 )

i z

i

= + là điểm

dưới đây là điểm biểu diễn của số phứcw iz= trên mặt phẳng tọa độ ?

A Q(1; 2) B N(2;1) C M(1; 2) − D P( 2;1) −

Giải : Đáp án B

w = =iz i(1 2 ) 2 − i = +i Vậy điểm biểu diễn w có tọa độ là: (2;1)

Ví dụ 2: Cho số phức z = 1+ 3i và số phức z’ = 2 + i Hãy:

a) Biểu diễn số phức z và z’ trên mp phức

b) Biểu diễn số phức z + z’ và z’ – z trên mp phức

Giải:

a) Biểu diễn số phức z = 1 + 3i là điểm M(1;3)

Biểu diễn số phức z’ = 2 + i là điểm M’(2;1)

b) z + z’ = 3 + 4i, biểu diễn trên mp phức bởi P(3;4

z’ – z = 1 – 2i, biểu diễn trên mp phức bởi Q(1;-2)

Ví dụ 3: (Vận dụng)Xác định các số phức biểu diễn bởi các đỉnh của một lục giác đều

có tâm là gốc tọa độ O trong mặt phẳng phức, biết rằng một đỉnh biểu diễn số i

Giải: Gọi D là điểm biểu diễn số i ⇒ A biểu diễn số −i

Dễ thấy điểm E có tọa độ cos ;sin 3 1;

Ví dụ 4: Xác định tập hợp các điểm trong mp phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn

từng điều kiện sau:

d) 1

z i − là số ảo ⇔ z – i là số ảo ⇔ x + (y – 1)i là số ảo ⇔ x = 0 và y ≠ 1 Vậy tập hợpcác điểm biểu diễn nằm trên trục Oy (trừ điểm có tung độ bằng 1)

Ví dụ 5: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp

các điểm M(z) thỏa mãn một trong các điều kiện sau đây:

1 2

x

y

A

B O

Do đó zmin ⇔ = ⇒ =x 2 y 2 Vậy z= + 2 2i

Ví dụ 9: (Vận dụng) Biết rằng số phức z thỏa mãn u= + −(z 3 i z) ( + + 1 3i) là một số thực Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Ví dụ 10: (Vận dụng)Tìm số phức Z có mô đun lớn nhất và thỏa mãn điều kiện

Gọi d là đường thẳng đi qua O và I ⇒d y: = 5x

Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và (C) 1

3 15 ( ; )

4 4

M

1 5 ( ; )

có diện tích A S= 9 π B S = 12 π C S = 16 π D.

25

S = π

Hướng dẫn giải Chọn C.

bán kính r= 4. Vậy diện tích cần tìm là S= π 4 2 = 16 π

3 Phương trình bậc hai với hệ số thực, phương trình qui về phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Tìm nghiệm phức của các phương trình sau :

Phương trình trở thành:

2 2

Vậy phương trình có 4 nghiệm: -1, 1, −i 3, i 3

Ví dụ 2: Giải các phương trình bậc hai sau:

a) z2 + 2z + 5 = 0

a) z2 + (1-3i)z – 2(1 + i) = 0 (tham khảo)

Giải:

a) Xét phương trình: z2 + 2z + 5 = 0

Ta có: ∆ = -4 = 4i2 ⇒ phương trình có hai nghiệm: z1 = -1 +2i và z2 = -1 – 2i

b) Ta có: ∆ = (1-3i)2 +8(1+i) = 2i = (1+i)2

nên 1+i là một căn bậc hai của số phức 2i

⇒ Phương trình có hai nghiệm là: z1 = 3 1 1 2

Giải Điều kiện: z i≠

Phương trình đã cho tương đương với z2 − +(4 3i z) + + = 1 7i 0

Phương trình có hai nghiệm là: z= + 1 2i và z= + 3 i.

* Phương trình quy về bậc hai

Ví dụ 7: Giải các phương trình: z3 – 27 = 0

Giải: z3 – 27 = 0 ⇔ (z – 1) (z2 + 3z + 9) = 0 ⇔ 2

2,3

1 1

3 3 3

3 9 0

2

z z

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

Ví dụ 8: Giải phương trình trên tập hợp số phức: z4 − +z3 6z2 − 6z− = 16 0

Giải:

Nhận biết được hai nghiệm z=-1 và z=2

Phương trình đã cho tương đương với (z− 2) (z+ 1) (z2 + = 8) 0

Giải ra ta được bốn nghiệm: z= − 1; z= 2; z= ± 2 2i

Ví dụ 9: (Đặt ẩn phụ) Giải phương trình sau trên tập số phức

1 2

i z

z

z z

Vậy phương trình có các nghiệm: z= − ±1 6;z= − ± 1 i

Ví dụ 11:Gọi z , z , z , z 1 2 3 4là bốn nghiệm của phương trình 4 3 2

Câu 2. Cho số phứcz= + 1 3 i Số phức z2có phần thực là

3

4

−

Câu 3. Câu 3 Phần thực của số phức 3 4

4

i z

i i

−

= + + là

= + Số phức liên hợp của zlà

Câu 13. Cho số phức z, Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

A z = z B z z+ là một số thuần ảo

C z z. là một số thực D mođun số phức z là một số thựcdương

Câu 16. Tính 1 2017

2

i z

i

+

= + .

5

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

Câu 27. Trong £, phương trình iz+ − = 2 i 0 có nghiệm là:

A z= − 1 2i B z= + 2 i C z= + 1 2i D z= − 4 3i

Câu 28. Trong £, phương trình (2 3 ) + i z z= − 1 có nghiệm là:

Câu 36. Gọi z1là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z2 + + = 2z 3 0 Tọa

độ điểm M biểu diễn số phức z1 là:

Câu 39. Cho số phức z= + 3 4i và z là số phức liên hợp của z Phương trình bậc

Câu 42. Trong £, biết z z1 , 2 là nghiệm của phương trình z2 − 3z+ = 1 0 Khi đó,

tổng bình phương của hai nghiệm có giá trị bằng:

Câu 43. Tìm số phức z thỏa mãn: z− + =(2 i) 10 và z z. =25

A z= + 3 4i hoặc z= 5 B z= − + 3 4i hoặc z= − 5

C z= − 3 4i hoặc z= 5 D z= + 4 5i hoặc z= 3

BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC

Câu 44. Điểm biểu diễn hình học của số phức z a ai= + nằm trên đường thẳng:

A y x= B y= 2x C y= −x D y= − 2x

Câu 45. Gọi Alà điểm biểu diễn của số phức 5 8i+ và Blà điểm biểu diễn của số

phức − +5 8 i Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau

A Hai điểm A và Bđối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểmA và Bđối xứng với nhau qua trục tung

C Hai điểmA và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O.

D Hai điểmA và Bđối xứng với nhau qua đường thẳng y x=

Câu 46. Gọi Alà điểm biểu diễn của số phức z= + 2 5ivà Blà điểm biểu diễn của

số phức z′ = − + 2 5i Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành

B Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung

C Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O

D Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y x=

Câu 47. Điểm M biểu diễn số phức z 3 4i2019

i

+

= có tọa độ là

A M(4; − 3 ) B M(3; 4 − ) C M( )3;4 D M(− 4;3)

Câu 48. Trong mặt phẳng phức, gọi A B C, , lần lượt là các điểm biểu diễn của các

số phức z1 = − + 1 3i, z2 = + 1 5i, z3 = + 4 i Số phức với điểm biểu diễn D sao cho

tứ giác ABCD là một hình bình hành là:

A 2 3i+ B 2 i− C 2 3 i+ D 3 5 i+

Câu 49. Gọi z1và z2là các nghiệm phức của phương trình z2 − 4z+ = 9 0 Gọi M N,

là các điểm biểu diễn của z1và z2trên mặt phẳng phức.Khi đó độ dài của MN

là:

A MN = 4. B MN = 5. C MN = − 2 5. D MN = 2 5.

Câu 50. Gọi z1và z2là các nghiệm của phương trình z2 − 4z+ = 9 0 Gọi M N P, , lần

lượt là các điểm biểu diễn của z z1 , 2và số phức k = +x yi trên mặt phẳng phức.

Khi đó tập hợp điểm P trên mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông tại P

là:

A đường thẳng có phương trình y x= − 5.

B là đường tròn có phương trình x2 − 2x y+ 2 − = 8 0.

C là đường tròn có phương trình x2 − 2x y+ 2 − = 8 0,nhưng không chứa M N,

D là đường tròn có phương trình x2 − 4x y+ 2 − = 1 0nhưng không chứa M N,

Câu 51. Biết z i− = +(1 i z) , tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phương trinh

A Tam giác ABC vuông cân B Tam giác ABC cân

C Tam giác ABC vuông D Tam giác ABC đều

Câu 56. Tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thoả mãn z i− + + =z i 4 có

Thử c= 1 vào phương trình (1) thì thỏa mãn

Câu 58. Số phức z được biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ như hìnhvẽ:

Hỏi hình nào biểu diễn cho số phức i

z

ϖ = ?

x O

1

1

y

ω

B D.

Hướng dẫn giải Chọn C.

Câu 59. Trong các số phức zthỏa z+ + 3 4i = 2, gọi z0 là số phức có

mô đun nhỏ nhất Khi đó

A S 2017 1009i = − B 1009 2017 + i C 2017 1009 i+ D 1008 1009 i+

Hướng dẫn giải Chọn C

i i

liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây Hàm số đó là hàm số nào?

A y = − + x 3 3x 2 − 1

C y = − − x 3 3x 2 − 1

(C) vuông góc với đường thẳng x 4y 4 0 − + = có phương

Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y 12 ;y 12 ;x ;x

thiết diện của một vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (− ≤ ≤ 1 x 1) là một hình vuông cạnh 2 1 x − 2.

khối lăng trụ bằng trung bình cộng của các cạnh đáy Khi đó thể tích khối lăng trụ là:

A 2888 B 1245 2 C 1123 D 4273

A Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau

B Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn nằm trong hai mặt phẳng song song

C Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau

D Có duy nhất mọt mặt cầu đi qua hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt

và không cùng nằm trong một mặt phẳng

Câu 40: Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là hai dây cung của hai đường tròn đáy Mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ Diện tích hình vuông đó là:

R

2

hình nón tròng xoay sinh bởi đường gấp khúc AC'A ' khi quay quanh AA ' bằng:

cao Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón thì có bán kính là:

nào sau đây vuông góc với cả ar và br:

Câu 50: Cho mặt cầu ( )S :x 2 + + − y 2 z 2 2x 4y 4z 0 − − = Mặt phẳng tiếp xúc với (S) tại

Từ đó, suy ra hàm số nghịch biến trên (−∞ − ; 1] và [ ]0;1.

 Lời giải tự luận 2: Ta lần lượt có:

 Tập xác định D = ℝ

 Đạo hàm: y' 4x = 3 − 4x, y' 0 ≥ ⇔ x 3 − ≥ ⇔ ∈ − x 0 x [ 1;0] [∪ +∞ 1; ).

Dựa trên việc xét dấu bằng cách vẽ trục số như sau:

Từ đó, suy ra hàm số nghịch biến trên (−∞ − ; 1] và [ ]0;1

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử: Nhận xét rằng hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phương với a > 0 thì:

 Có khoảng nghịch biến chứa -∞ nên các đáp án C và D bị loại

 Có khoảng nghịch biến không chứa +∞ nên đáp án A bị loại

Vậy hàm số đồng biến trên R \ 0{ }

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử: Ta lần lượt đánh giá:

 Vì D = ¡ \ 0{ } và với hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất thì y' 0 = hoặc vô nghiệm hoặc có hai nghiệm phân biệt đối xứng qua điểm O Do đó, các đáp án A và B bị loại Tới đây ta chỉ còn phải lựa chọn C và D

 Lấy x = 1 và x = 2 suy ra y 1( )= − 1 và y 2( ) = 1, tức là hàm số đồng biến trên , suy ra đáp án C bị loại

= :

 Nhận xét – Mở rộng: Cho dù hàm số đã cho không tuần hoàn nhưng chúng ta vẫn có

thể sử dụng phương pháp lựa chọn đáp án bằng phép thử bởi với mọi k giá trị của

 Lời giải trích lược tự luận dựa trên tính chất: Ta lần lượt có:

 Hàm đa thức bậc ba y ax = 3 + bx 2 + cx d + có hoành độ điểm uốn là:

 Nhận xét – Mở rộng: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì:

 Trong cách giải tự luận 1, chúng ta tìm hai nghiệm của phương trình y' 0 = rồi tính tổng hai nghiệm đó

 Trong cách giải tự luận 2, chúng ta tìm tổng hai nghiệm của phương trình y' 0 =

bằng định lí Vi-ét và cách giải này tỏ ra hiệu quả hơn trong trường hợp hai nghiệm củaphương trình y' 0 = lẻ.

 Trong cách giải tự luận dựa trên tính chất, các em học sinh cần biết được tính chất đối xứng của các điểm cực đại và cực tiểu (nếu có) của hàm đa thức bậc ba qua điểm uốn Như vậy, nếu bài toán yêu cầu “Tính tổng các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số” thì ngoài cách giải tự luận thông thường chúng ta có thể thực hiện như sau:

Trong cách giải trích lược tự luận dựa trên tính chất, các em học sinh cần biết được

mọi hàm đa thức bậc ba y ax = 3 + bx 2 + cx d + luôn có hoành độ điểm uốn là U

b x

 Lời giải tự luận 2: Với x > 0, sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

ô

C si 3

 Lời giải tự luận: Tập xác định D = ℝ

 Giả sử ( )d :y a x b 1 = 1 + 1 là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số, ta có:

= − − là tiệm cận xiên bên phải của (C).

 Giả sử ( )d : y a x b 2 = 2 + 2 là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số, ta có:

= + là tiệm cận xiên bên trái của (C).

 Lựa chọn đáp án bằng trích lược tự luận: Ta có tập xác định D = ℝ

 Giả sử ( )d :y a x b 1 = 1 + 1 là tiệm cận xiên bên phải của đồ thị hàm số, ta có:

= − − là tiệm cận xiên bên phải

Do đó, đáp án B là đúng (bởi đường tiệm cận này chỉ có duy nhất trong đáp án B)

 Lựa chọn đáp án bằng phép thử: Ta biết rằng đồ thị hàm số luôn có hai tiệm cận xiên dạng y a x b = i + i, i = 1, 2 với: bi B 1

2

2 A

= ± = ± ⇒ Các đáp án A, C và D bị loại

Do đó, đáp án B là đúng

 Nhận xét – Mở rộng: Như vậy, để lựa chọn được đáp án đúng cho bài toán trên thì:

 Trong cách giải tự luận, chúng ta thực hiện theo đúng phương pháp đã biết để tìm các đường tiệm cận của hàm vô tỉ

 Trong cách lựa chọn đáp án bằng phép thử, chúng ta cũng sử dụng kiến thức thu nhận được trong nhận xét của bài 4

Tuy nhiên, các em học sinh dễ nhận thấy rằng:

 Phương pháp tự luận sẽ mất nhiều thời gian Ngoài ra, rất nhiều em học sinh không có được kĩ năng tốt để thực hiện bởi nó được trình bày rất sơ lược trong sách giáo khoa

 Phương pháp nháp nhanh cho dù giảm được một nửa thời giam (ở bài toán này) nhưng vẫn dễ gây nhầm lẫn trong tính toán Ngoài ra, nếu có nhiều hơn một kết quả trắc nghiệm chứa phương trình y x 1

2

= − − thì không thể giảm được thời gian.

 Phương pháp lựa chọn đáp án bằng phép thử sử dụng kiến thức không được trình bày trong sách giáo khoa nên hẳn nhiều em học sinh không biết hoặc không còn nhớ

Do vậy, chúng ta sẽ quan tâm tới việc sử dụng định nghĩa để lựa chọn được đáp án

đúng trong phương pháp lựa chọn đáp án bằng phép thử.

Câu 8: Đáp án A.

 Lời giải tự luận 1: Ta lần lượt có:

 Tiệm cận đứng x = 1

 Tiệm cận ngang y = 2

Suy ra, đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm I 1;2( )

 Lời giải tự luận 2: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất luôn có tâm đối xứng là: