6 tích phân suy rộng

Ý nghĩa hình họclà diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, trục Ox và đồ thị hàm f x... Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng −∞f x dx... Ý nghĩa hình họclà

TÍCH PHÂN SUY RỘNG

Bài giảng điện tử

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2013

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng a f (x )dx

f (x ) trên [a, +∞) và được ký hiệu là

+∞

R

a

f (x )dx

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng a f (x )dx

Ý nghĩa hình học

là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, trục Ox và đồ thị hàm f (x )

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng −∞f (x )dx

f (x ) trên (−∞, b] và được ký hiệu là

b

R

−∞

f (x)dx

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng −∞f (x )dx

Ý nghĩa hình học

là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = b, trục Ox và đồ thị hàm f (x )

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân −∞

Định nghĩa

Nếu hàm số f (x ) xác định trên R và khả tích trên

mọi đoạn [a, b] thì ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại

hai tích phân ở vế phải đều hội tụ không phụ

thuộc lẫn nhau

Công thức Newton-Leibnitz

Cho hàm số f (x ) có nguyên hàm là F (x ) trên

[a, +∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b] Tíchphân suy rộng loại 1



khi tồn tại giới hạn hữu hạn lim

Cho f (x ) khả tích trên mọi đoạn

[a, b] ⊂ [a, +∞) và c > a Khi đó tích phân

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng của hàm

có dấu không đổi được xác định theo tiêu chuẩn

tuyệt đối của tích phân suy rộng

Định nghĩa

Định nghĩa

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

Định lý

Cho f (x ) và g (x ) khả tích trên mọi đoạn

[a, b] ⊂ [a, +∞) sao cho 0 6 f (x) 6 g (x),

I hội tụ

Trường hợp 2: Nếu α < 1 thì α = 1 − 2a, a > 0 Khi đó 1

x α lnβ x =

1

x 1−a 1

x −a lnβ x Xét1

x 1−a phân kỳ ⇒ I phân kỳ

Trường hợp 3: Nếu α = 1 thì đặt t = ln x Khi đó

Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau

Tìm α để tích phân sau hội tụ



dx, α 6= 0 Đáp số

phân kỳ ∀α

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng f (x )dx trên [a, b)

Cho hàm số f (x ) xác định trên nửa khoảng [a, b)

và không bị chặn khi x → b Giả sử f (x ) khả tíchtrên mọi đoạn [a, η] ⊂ [a, b) Khi đó trên [a, b)

tích phân suy rộng loại 2 trên [a, b)

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng f (x )dx trên [a, b)

và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 2 hội tụ,

Ý nghĩa hình học

là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, x = b trục Ox và đồ thị hàm f (x ),

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng f (x )dx trên (a, b]

Cho hàm số f (x ) xác định trên nửa khoảng (a, b]

và không bị chặn khi x → a Giả sử f (x ) khả tíchtrên mọi đoạn [ξ, b] ⊂ (a, b] Khi đó trên (a, b]

tích phân suy rộng loại 2 trên (a, b]

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng f (x )dx trên (a, b]

và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 2 hội tụ,

Ý nghĩa hình học

là diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, x = b trục Ox và đồ thị hàm f (x ),

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa tích phân f (x )dx , c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

c ∈ (a, b) thì tích phân suy rộng

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa tích phân f (x )dx , c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

Công thức Newton-Leibnitz

nhưng có nguyên hàm là F (x ) trên mọi đoạn

[a, η] ⊂ [a, b) Tích phân suy rộng loại 2

Công thức Newton-Leibnitz

nhưng có nguyên hàm là F (x ) trên mọi đoạn

[ξ, b] ⊂ (a, b] Tích phân suy rộng loại 2

Công thức Newton-Leibnitz

có nguyên hàm là F (x ) trên đoạn [a, c] và nguyênhàm G (x ) trên đoạn (c, b] f (x ) khả tích trên mọiđoạn [a, η] ⊂ [a, c) và [ξ, b] ⊂ (c, b] Ngoài ra,

tồn tại giới hạn hữu hạn lim

Định lý

Cho hàm f (x ) và |f (x )| khả tích trên mọi đoạn

Tương tự đối với trường hợp hàm f (x ) và |f (x )|

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

(a, b]) thì ta xét sự hội tụ của hàm |f (x )|

Định lý

Cho hàm số f (x ) và g (x ) khả tích trên mọi đoạn

Ngoài ra, với x ∈ [a, b) luôn có

0 6 f (x) 6 g (x)

kỳ

Định lý

Cho hàm số f (x) và g (x) khả tích trên mọi đoạn

[a, η] ⊂ [a, b) và không bị chặn khi x → b− Ngoài ra, với

x ∈ [a, b) luôn có 0 6 f (x), 0 6 g (x), lim

1 − x 2 = lim

x →1 −

cos2x 3

√

1 + x.

1 (1 − x ) 1/3 = ∞ nên x = 1 là điểm kỳ dị.

√

1 + x.

1 (1 − x ) 1/3 ∼ cos

2 1 3

√

2 .

1 (1 − x ) 1/3 , khi x → 1− Ta có α = 1

3 < 1 nên I hội tụ.

Khảo sát sự hội tụ của tích phân

Tìm α để tích phân sau hội tụ

THANK YOU FOR ATTENTION