Các phương pháp tính tích phân và những sai lầm thường gặp

Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như: phâ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG XUÂN HÒA

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

VÀ NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP Tác giả sáng kiến: HÀ THỊ THANH

Mã sáng kiến : 37.52.03

Vĩnh Phúc, năm 2020

SỞ GD VÀ ĐT VĨNH PHÚC Đơn vị: Trường THPT Xuân Hòa

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

PHIẾU ĐĂNG KÝ VIẾT SÁNG KIẾN

CẤP: CƠ SỞ: x ; TỈNH:

I Thông tin về tác giả đăng ký sáng kiến

1 Họ và tên: HÀ THỊ THANH

2 Ngày sinh: 22/06/1978

3 Đơn vị công tác: Trường THPT Xuân Hòa-Phúc Yên- Vĩnh Phúc

4 Chuyên môn: TOÁN-TIN

5 Nhiệm vụ được phân công trong năm học: Chủ nhiệm 12A2

Giảng dạy môn Toán, Tin lớp 12A2, 12A3

II Thông tin về sáng kiến

1 Tên sáng kiến: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ

NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP

2 Cấp học: THPT

3 Mã lĩnh vực (Theo danh mục tại Phụ lục 3): 37.52.03

4 Thời gian nghiên cứu: Từ tháng 1/2019 đến tháng 2/2020

5 Địa điểm nghiên cứu: Trường THPT Xuân Hòa

6 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12A2, 12A3 trường THPT Xuân

Hòa

Ngày tháng năm 20 Ngày tháng năm 20 Ngày tháng năm 20

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu)

TỔ TRƯỞNG/NHÓM TRƯỞNG CHUYÊN MÔN

MỤC LỤC

1 Lời giới thiệu 1

2 Tên sáng kiến 2

3 Tác giả sáng kiến 2

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến 2

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 2

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử 2

7 Bản chất của sáng kiến 2

Thứ nhất: Về nội dung 2

VẤN ĐỀ I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 2

PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ 2

PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH 4

PHẦN III: KIẾN THỨC MỞ RỘNG 12

PHẦN IV: CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐH 2002-2015 16

VẤN ĐỀ II: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN 18 Thứ hai: Về khả năng áp dụng của sáng kiến 29

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có) 30

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến … 30

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến 30

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có) 31

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán có vai trò, vị trí và ý nghĩa quan trọng Đặc biệt môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông, môn Toán góp phần phát triển nhân cách học sinh Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá Rèn luyện những đức tính, phẩm chất của con người lao động mới như tính cẩn thận,

chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mỹ

Nhiệm vụ của dạy học môn Toán là: trang bị tri thức cơ bản cần thiết cho học sinh, rèn luyện kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn, phát triển trí tuệ cho học sinh, bồi dưỡng những phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho học sinh, đảm bảo trình độ phổ thông, đồng thời chú trọng bồi dưỡng những học sinh có năng khiếu về Toán

Trong chương trình toán học phổ thông, mạch kiến thức về nguyên hàm, tích phân đóng một vai trò vô cùng quan trọng Nó không chỉ liên quan đến các phần khác của toán học mà còn liên quan đến các môn học khác Đây là những phần kiến thức có ý nghĩa lớn trong việc phát triển các năng lực cho học sinh trong đó có năng lực phân tích, tổng hợp Trong các đề thi THPT Quốc Gia gần đây luôn xuất hiện các câu về nguyên hàm và tích phân

Mặc dù có nhiều tài liệu sách tham khảo viết về vấn đề nêu trên nhưng hầu như chưa có sự phân tích tỉ mỉ hoặc các dạng toán đã trở nên quá quen thuộc với học sinh Việc hệ thống hóa về loại toán này cũng chưa thật kỹ Do đó khi vận dụng vào các bài thi học sinh thường lúng túng

Chính vì những lý do trên nên mạch kiến thức về nguyên hàm, tích phân cần phải được chuẩn hóa Và do đó tôi chọn nghiên cứu về vấn đề này Trong khuôn khổ của sáng kiến, tôi sẽ trình bày các kiến thức về nguyên hàm và tích phân mang tính cập nhật nhất, phù hợp với các bài thi hiện nay giúp cho học sinh rèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp trên cơ sở đó hình thành và phát triển các năng lực chung như: tự học, giải quyết vấn đề, tư duy sáng tạo, bám sát

chương trình và nội dung kiến thức cơ bản của hai bộ sách giáo khoa và nội dung thường gặp trong các đề thi quốc gia

2 Tên sáng kiến:

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN VÀ NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Hà Thị Thanh

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Giáo viên Toán trường THPT Xuân Hòa

- Số điện thoại: 0974673955

- E_mail: hathithanh.gvxuanhoa@vinhphuc.edu.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến:

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: (Nêu rõ lĩnh vực có thể áp dụng sáng kiến và vấn đề mà sáng kiến giải quyết)

Do khuôn khổ và thời gian có hạn, với điều kiện thực tế của người thực hiện

đề tài, tôi chỉ mới dừng lại nghiên cứu và hệ thống các phương pháp tính tích phân và những sai lầm mà học sinh dễ mắc trong quá trình làm bài tập

- Sáng kiến tập trung nghiên cứu các phương pháp tính tích phân và những sai lầm mà học sinh dễ mắc được áp dụng cho hai lớp 12A2 và 12A3 trường THPT Xuân Hòa

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Học kì 1 năm học 2019 -2020

7 Bản chất của sáng kiến:

Thứ nhất: Về nội dung VẤN ĐỀ I: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

PHẦN I: KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1) Định nghĩa: Cho hàm số f liên tục trên K, a,b là hai số bất kỳ thuộc K, nếu

F là một nguyên hàm của f trên K thì F b F a  được gọi là tích phân

của f từ a đến b và kí hiệu là b  

a

f x dx

Phương pháp 1: Tìm bằng định nghĩa

Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích phân (đưa tích phân cần tìm

về tổng, hiệu của những tích phân đã tính được)

Phương pháp 3: Phương pháp đổi biến số

Phương pháp 4: Phương pháp tích phân htừng phần

PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

1 Phương pháp 1: Tìm bằng định nghĩa

Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp này thì bài toán tính tích phân chính là bài

toán tìm nguyên hàm chỉ thêm một bước là thế cận để ra kết quả

2 Phương pháp 2: Sử dụng tính chất của tích phân (đưa tích phân cần tìm về

tổng, hiệu của những tích phân đã tính được)

4 2

Bài tập tự luyện: Tính các tích phân sau

2 4

khác là ta cần đổi cận Vì thế các kinh nghiệm đã biết ở phần tìm nguyên hàm

bằng phương pháp đổi biến số vẫn tiếp tục được vận dụng

Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:

a) 2  5 1

1 x dx x

13 1

1 x dx x



 d)

1

2 0

x 

 e)

ln 5

0

1 3

x x x

dx e





 f) 2 3  

2 5

1

03 4

e dx e

a) 2

3 0

sin os

x dx

c x







i)

2 0

sin

1 3cos

x dx x

1 cos xsin cosx xdx

1

/

e

cos ln x ) dx;

2

1

x ln

2 1

3 3 0

5 1

dx xln x

a

Chú ý: Nguyên hàm sau phải dễ hơn hoặc “đồng dạng” với nguyên hàm ban đầu

ln )

e

x

c dx x

2 1

tan cos

) ln

c x xdx 1  

2 0

1 2 h)

x

x dx e

d ( 1)(4 1)

sin

d sin cos

5 cos 4 sin sin cos

1 cos ln

cos

4 sin

dx x

cos

dx x

cos 2 1

x x

dx e

1

4 1

1 2

Kỹ thuật 3: Tách tích phần thành hai phần sao cho khi TP từng phần của phần thứ nhất thì phần thứ 2 sẽ khử được -vdu

2

2 1 2

x x

Kỹ thuật 4: Thêm hằng số cho v khi tính tích phân từng phần

Trong các bài mà du có mẫu số ta nên chọn v thêm một hằng số thích hợp

để vdu khử bớt mẫu số

Ví dụ 12: Tính 1   

3 0

vx x nhưng rõ ràng thêm hằng số 1 vào v việc tính tích

phân tiếp thep nhàn hơn rất nhiều

1

3 0

ln sin cos cos

dx x

tan 1 cos

ln sin cos

cos

dx x





0 0

cos sin tan 1 ln sin cos tan 1

4 0

4 0

cos sin tan 1 ln sin cos

cos

cos tan 1 ln sin cos

cos

3 tan 1 ln sin cos ln os ln 2

Sau đây là một số bài tập về tích phân đã theo dạng và đề thi Đại học của

các năm để bạn đọc tự luyện

PHẦN IV:

CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐH 2002-2015

3 2

5 2

4

x x

sin 2 1



dx x

x I

(03-D) 2 

0

2

dx x x

2

1 1 x 1dx

x I

x

x x I

1

ln ln 3 1

(04-D) 3 

2

2

) ln(x x dx I

(05-A) 2  

0 1 3 cos

sin 2 sin



dx x

x x

0 1 cos

cos 2 sin



dx x

x x



xdx x

x I

sin cos

x dx I

3 ln ( 1)

1 sin cos

1 ln

1 1

x dx I

1 4

dx I

2 1

2 1



VẤN ĐỀ II: MỘT SỐ SAI LẦM CỦA HỌC SINH KHI TÍNH TÍCH PHÂN

) 1 (

x

x d

 =

3

1 1 = 

3 4

* Nguyên nhân sai lầm:

Hàm số y = 2

) 1 (

1



x không xác định tại x=1 2 ; 2 suy ra hàm số không liên tục trên  2 ; 2 nên không sử dụng được công thức newtơn – leibnitz như cách giải trên

* Lời giải đúng

Hàm số y = 2

) 1 (

 cần chú ý xem hàm số y=f(x) có liên tục trên  a; b không? nếu

có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho còn nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại

(x

dx

2/ x x 2dx

1 3

2

2

) 1 ( 

cos 1



x

x e

.

Bài 2: Tính tích phân: I =  

0 1 sinx dx

* Sai lầm thường gặp: Đặt t = tan





0 = 2 tan 1 2







- 2 tan0 1 

do tan

2

 không xác định nên tích phân trên không tồn tại

*Nguyên nhân sai lầm:

2 4

2 4 x

* Chú ý đối với học sinh:

Đối với phương pháp đổi biến số khi đặt t = u(x) thì u(x) phải là một hàm

số liên tục và có đạo hàm liên tục trên  a; b

1 2

3 3

0

* Nguyên nhân sai lầm:

Phép biến đổi x 32 x 3 với x  0 ; 4 là không tương đương

* Lời giải đúng:

0 4

0

2

3 3

3 3

3 3

x

= -   

5 2

1 2

9 2

3 2

3

2 3

1 x dx 2/ I = 3  

0

2 3

2 2

2 1

2

2x

x dx

* Nguyên nhân sai lầm:

Học sinh không học khái niệm arctanx trong sách giáo khoa hiện thời

* Lời giải đúng:

1 tan dt

d

4 tan 1

* Chú ý đối với học sinh:

Các khái niệm arcsinx, arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hiện

thời Học sinh có thể đọc thấy một số bài tập áp dụng khái niệm này trong một sách tham khảo, vì các sách này viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000)

Từ năm 2000 đến nay do các khái niệm này không có trong sách giáo khoa nên học sinh không được áp dụng phương pháp này nữa Vì vậy khi gặp tích phân dạng b 

thì đặt x = sint hoặc x = cost

2/ I = dx

x

x x

1  

0 2 3

1

3 2 2

*Suy luận sai lầm: Đặt x= sint , dx = costdt

 

t dx

x

x

cos

sin 1

3 2

* Nguyên nhân sai lầm:

Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 2

1 x thì thường đặt x = sint nhưng đối với tích phân này sẽ gặp khó khăn khi đổi cận cụ thể với x =

15

1

4 15

1

4 15 1

3 2

2

3

2 192

15 33 3

2 192

15 15 4

15 3

1

t dt t t

tdt t

* Chú ý đối với học sinh: Khi gặp tích phân của hàm số có chứa 2

1 x thì

thường đặt x = sint hoặc gặp tích phân của hàm số có chứa 1+x2 thì đặt x = tant

nhưng cần chú ý đến cận của tích phân đó nếu cận là giá trị lượng giác của góc đặc biệt thì mới làm được theo phương pháp này còn nếu không thì phải nghĩ đến phương pháp khác

1

dx x x

* Sai lầm thường mắc: I =  

1

1

1

2 2

2 2

2

2 1

1 1 1

1 1

dx x

x

x x

x x

Đổi cận với x = 1 thì t = 2 ; với x = 1 thì t = 2;

I =

 

2

2 2

1 (

= ln

2 2

2 2 ln 2 2 2

2 2 ln 2 2

2 2

2 4

2

1

1 1 1

1

x x

x x

là sai vì trong   1 ; 1 chứa x = 0 nên

không thể chia cả tử cả mẫu cho x = 0 được

* Lời giải đúng:

xét hàm số F(x) =

1 2

1 2 ln

2 2

x x

F’(x) =

1

1 )

1 2

1 2 (ln

2 2

1

4 2 2

x

x x

1

1

dx x

x

=

1 2

1 2 ln

2 2

x x

ln 2

2 2





*Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử cả mẫu của hàm số

cho x cần để ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN TÍCH PHÂN

Câu 1 Kết quả của tích phân 4 

A

2

1 2

8

sin cos

dx I

Câu 12 Kết quả của tích phân

I  D Đáp án khác

Câu 13 Kết quả của tích phân

4 2 0

1 sin

1 4

B

2

2 4

C

2

2 4

D

2

2 4

Câu 21 Kết quả của tích phân 2 

I  B I1 I2 C 2 2 ln3 2

2 3

I   D Đáp án khác

Câu 27 Cho tích phân   2 2

0

3 1

I  D Đáp án khác

Câu 30 Kết quả của tích phân

1 2

dx I

Câu 31 Kết quả của tích phân

I  x x dx là:

A.12 B 23 C.0 D.1

Câu 37 Kết quả của tích phân

4 3 2 2

 

C 1 2

I u du



 C

1 4 0

1 cos tan 2

Câu 50 Kết quả của tích phân

1 sin

tan cos

1

K x x dx là:

xdx J

dx K

2 0

Sáng kiến đã được áp dụng cho hai lớp 12 A2, 12A3 mà tôi dạy và cũng

có thể áp dụng cho các đối tượng học sinh lớp 12 ôn thi THPT Quốc Gia vì đây

là nội dung quan trọng và cần thiết để ôn thi THPT Quốc Gia

8 Những thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Nêu các điều kiện về vật

Sau khi thực hiện xong sáng kiến kinh nghiệm, bản thân tôi nhận thấy rằng:

- Đa số học sinh đã có phương pháp giải mạch lạc, hạn chế được việc chọn đáp án ngẫu nhiên trong các đề thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ)

- Nhiều em không chỉ giải đúng mà còn giải nhanh được các bài tập về tích phân, đáp ứng yêu cầu về thời gian làm bài thi TNKQ

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:

- Để giải nhanh dạng bài tập này, ngoài yêu cầu hiểu đúng bản chất của vấn

đề cần có kĩ năng về tính toán và tư duy nhanh

- Với bài tập khó phức tạp cần phân tích thật kĩ giả thiết để xây dựng được mối quan hệ giữa các yếu tố, tìm cách để biến một bài toán phức tạp thành các bài toán đơn giản nhất trong mối tương quan với nhau Để làm được điều này nên bắt đầu từ những vấn đề đơn giản và gần gũi, sau đó xét đến những vấn đề phức tạp dần để cuối cùng có thể đi đến khái quát chung

- Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện ở 2 lớp 12 kết quả như sau:

SKKN được áp dụng trong học kì I năm học 2019 - 2020 trên đối tượng học sinh thuộc 2 lớp 12A2, 12A3 là những lớp theo ban tự nhiên, học sinh có lực học khá giỏi và kết quả thu được khả quan

SKKN có khả năng áp dụng cho mọi đối tượng học sinh thuộc các lớp khác nhau, tuy nhiên tùy thuộc vào trình độ của học sinh mà giáo viên có thể vận dụng phương pháp của chuyên đề này theo các mức độ bài tập khác nhau để mang lại hiệu quả cao nhất

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có):

Số

TT

Tên tổ chức/ cá nhân

Thủ trưởng đơn vị/

Chính quyền địa phương

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đoàn Quỳnh(Chủ biên), Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung,

Nguyễn Duy Liêm, Đặng Hùng Thắng - Sách giáo khoa Giải Tích

12-Nâng cao- Nhà xuất bản Giáo dục

[2] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn

Văn Tuất- SGK Giải Tích 12 Cơ bản- Nhà xuất bản Giáo dục

[3] Dương Bửu Lộc, Đặng Phúc Thanh- Rèn luyện giải toán Giải Tích 12-

Nhà xuất bản Giáo dục

[4] Đề thi Đại học và Cao đẳng các năm từ 2002-2019