12 ứng dụng của tích phân xác định

TÍCH PHAÂN BAÁT ÑÒNH ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Bài toán diện tích D D a  x  b, y nằm giữa 0 và f(x) a b Bài toán diện tích D a  x  b, y nằm giữa f1(x) và f2(x) a b Bài toán diện tíc[.]

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Bài toán diện tích

Bài toán diện tích

Bài toán diện tích

Bài toán diện tích

Lưu ý

Có thể vẽ hình các đường cong đơn giản hoặc tìm hoành độ(tung độ giao điểm) để xác định cận tích phân

•Tính hoành độ giao điểm  tích phân tính

theo biến x(ngược lại là tính theo y)

Ví dụ

2 0

16 (2 )

15

   

Ví dụ

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:

2, 0, 2

y x y   x y  

Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:



Ví dụ

24

y 

2 2 24

Bài toán thể tích

D: a  x  b, y nằm giữa 0 và f(x)

Quay D xung quanh Ox

Vật thể tạo ra có dạng tròn xoay.

Lưu ý về tính đối xứng

Nếu miên D đối xứng qua Ox, D1 là phần phía

trên Ox của D

1 1

Ví dụ

D : x  0, y  2 – x2, y  x

Tính thể tích khi D quay quanh Ox, oy

1 20

2 1

y   x

Tính thể tích khi D quay quanh Ox, Oy

1 20

2  1 x dx

  

1 20

2 1

y

V    x  x dx

Bài toán diện tích, thể tích với

đường cong tham số

( ) t ( ) ( )

t

S D   y t x t dt 

D giới hạn bởi trục hoành, 2 đường thẳng x=a,

x=b và đường cong tham số

6 (sin t sin ) t dt

    3 16 

2   

     

x y dx V

3 3

cos , sin ,0

x  t y  t   x  và trục hoành

D:

Tính thể tích tạo ra khi D quay quanh Ox, Oy

Nhận xét: D đối xứng qua Oy (thay x bởi  - x )

0 2 2

2   ( ) ( ) 

  y t x t dt

1 0

2

Vy    x y dx

0 6 22

2 sin 3cos ( sin )

x

V    t t  t dt

0 3 3 22

2   cos sin 3cos ( sin ) t t t t dt

7 9

2 0

6 (sin t sin ) t dt





  

Độ dài đường cong phẳng Diện tích mặt tròn xoay

 2

1 ( )

b a

Cho đường cong C: y= f(x), a  x  b

Độ dài đường cong C:

Khi C quay quanh Ox tạo thành diện tích :

Ví dụ

1 ( 12),0 12 6

x





  

Cho đường cong C:

Tính độ dài đường cong và diện tích mặt

tạo ra khi C quay quanh Ox

S    y  y dx 

12 0

4 ( 12)

Cho đường cong C:

Tính diện tích mặt tròn xoay tạo ra khi

C quay quanh Oy

ln 2 20

2 y 1 y

y

S    e  e dy

2 21

Bài toán độ dài cung và diện tích mặt tròn xoay với

đường cong tham số

   

2 1

t t

Cho đường cong C: x = x(t), y = y(t), t1 t  t2

   

2 1