Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm trình bày các kiến thức về nguyên hàm và tích phân mang tính cập nhật nhất, phù hợp với các bài thi hiện nay giúp cho học sinh rèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp trên cơ sở đó hình thành và phát triển các năng lực chung như: tự học, giải quyết vấn đề, tư duy sáng tạo, bám sát chương trình và nội dung kiến thức cơ bản của hai bộ sách giáo khoa và nội dung thường gặp trong các đề thi quốc gia.
Trang 1S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O VĨNH PHÚCỞ Ụ Ạ
TRƯỜNG TRUNG H C PH THÔNG XUÂN HÒAỌ Ổ
BÁO CÁO K T QU Ế Ả
NGHIÊN C U, NG D NG SÁNG KI N Ứ Ứ Ụ Ế
Tên sáng ki n:ế CAC PH́ ƯƠNG PHAP TINH TICH PHÂŃ ́ ́
VA NH NG SAI LÂM TH̀ Ữ ̀ ƯƠNG GĂP̀ ̣
Tác gi sáng ki n:ả ế HA THI THANH̀ ̣
Mã sang kiêń ́ : 37.52.03
Trang 2S GD VA ĐT VINH PHUCỞ ̀ ̃ ́
Đ n vi: Trơ ̣ ương THPT Xuân Hoa ̀ ̀
C NG HÒA XÃ H I CH NGHĨA VI T NAMỘ Ộ Ủ Ệ
1. Tên sáng ki nế : CAC PH́ ƯƠNG PHAP TINH TICH PHÂN VÁ ́ ́ ̀
NH NG SAI LÂM THỮ ̀ ƯƠNG GĂP̀ ̣
2. C p h cấ ọ : THPT
3. Mã lĩnh v c ự (Theo danh m c t i Ph l c 3): 37.52.03ụ ạ ụ ụ
4. Th i gian nghiên c uờ ứ : T tháng 1/2019 đ n tháng 2/2020.ừ ế
5. Đ a đi m nghiên c uị ể ứ : Trương THPT Xuân Hoa.̀ ̀
6. Đ i tố ượng nghiên c uứ : Hoc sinh l p 12A2, 12A3 tṛ ớ ương THPT Xuâǹ Hoa.̀
Ngày tháng năm 20 Ngày tháng năm 20 Ngày tháng năm 20
Trang 3Ha Thi Thanh̀ ̣
Trang 4BÁO CÁO K T QUẾ Ả
NGHIÊN C U, NG D NG SÁNG KI NỨ Ứ Ụ Ế
1 L i gi i thi u ờ ớ ệ
Trong nhà trường ph thông, môn Toán có vai trò, v trí và ý nghĩa quanổ ị
tr ng. Đ c bi t môn Toán có vai trò quan tr ng trong vi c th c hi n m c tiêuọ ặ ệ ọ ệ ự ệ ụ chung c a giáo d c ph thông, môn Toán góp ph n phát tri n nhân cách h củ ụ ổ ầ ể ọ sinh. Cùng v i vi c t o đi u ki n cho h c sinh ki n t o tri th c và rèn luy nớ ệ ạ ề ệ ọ ế ạ ứ ệ
k năng Toán h c c n thi t, môn Toán còn có tác d ng góp ph n phát tri nỹ ọ ầ ế ụ ầ ể năng l c trí tu chung nh : phân tích, t ng h p, tr u tự ệ ư ổ ợ ừ ượng hoá, khái quát hoá Rèn luy n nh ng đ c tính, ph m ch t c a con ngệ ữ ứ ẩ ấ ủ ười lao đ ng m i nhộ ớ ư tính c n th n, chính xác, tính k lu t, tính phê phán, tính sáng t o, b i dẩ ậ ỷ ậ ạ ồ ưỡ ng
óc th m m ẩ ỹ
Nhi m v c a d y h c môn Toán là: trang b tri th c c b n c n thi tệ ụ ủ ạ ọ ị ứ ơ ả ầ ế cho h c sinh, rèn luy n k năng Toán h c và k năng v n d ng Toán h c vàoọ ệ ỹ ọ ỹ ậ ụ ọ
th c ti n, phát tri n trí tu cho h c sinh, b i dự ễ ể ệ ọ ồ ưỡng nh ng ph m ch t đ oữ ẩ ấ ạ
đ c t t đ p cho h c sinh, đ m b o trình đ ph thông, đ ng th i chú tr ngứ ố ẹ ọ ả ả ộ ổ ồ ờ ọ
b i dồ ưỡng nh ng h c sinh có năng khi u v Toán. ữ ọ ế ề
Trong chương trình toán h c ph thông, m ch ki n th c v nguyênọ ổ ạ ế ứ ề hàm, tích phân đóng m t vai trò vô cùng quan tr ng. Nó không ch liên quanộ ọ ỉ
đ n các ph n khác c a toán h c mà còn liên quan đ n các môn h c khác. Đâyế ầ ủ ọ ế ọ
là nh ng ph n ki n th c có ý nghĩa l n trong vi c phát tri n các năng l c choữ ầ ế ứ ớ ệ ể ự
h c sinh trong đó có năng l c phân tích, t ng h p. Trong các đê thi THPTọ ự ổ ợ ̀ Quôc Gia gân đây luôn xu t hi n cac câu vê nguyên ham va tích phân.́ ̀ ấ ệ ́ ̀ ̀ ̀
M c dù có nhi u tài li u sách tham kh o vi t v v n đ nêu trênặ ề ệ ả ế ề ấ ề
nh ng h u nh ch a có s phân tích t m ho c các d ng toán đã tr nên quáư ầ ư ư ự ỉ ỉ ặ ạ ở quen thu c v i h c sinh. Vi c h th ng hóa v lo i toán này cũng ch a th tộ ớ ọ ệ ệ ố ề ạ ư ậ
k Do đó khi v n d ng vào các bài thi h c sinh thỹ ậ ụ ọ ường lúng túng
Chính vì nh ng lý do trên nên m ch ki n th c v nguyên hàm, tích phânữ ạ ế ứ ề
c n ph i đầ ả ược chu n hóa. Và do đó tôi ch n nghiên c u vê vân đê nay. ẩ ọ ứ ̀ ́ ̀ ̀ Trong khuôn kh c a sang kiên, tôi s trình bày các kiên th c vê nguyên hàm và tíchổ ủ ́ ́ ẽ ́ ứ ̀
Trang 5phân mang tính c p nh t nh t, phù h p v i các bài thi hi n nay giúp cho h cậ ậ ấ ợ ớ ệ ọ sinh rèn luy n năng l c phân tích, t ng h p trên c s đó hình thành và phátệ ự ổ ợ ơ ở tri n các năng l c chung nh : t h c, gi i quy t v n đ , t duy sáng t o, bámể ự ư ự ọ ả ế ấ ề ư ạ sát chương trình và n i dung ki n th c c b n c a hai b sách giáo khoa vàộ ế ứ ơ ả ủ ộ
n i dung thộ ường g p trong các đ thi qu c gia.ặ ề ố
Đ a ch tác gi sáng ki n: Giáo viên Toan trị ỉ ả ế ́ ường THPT Xuân Hòa
S đi n tho i: 0974673955 ố ệ ạ
E_mail: hathithanh.gvxuanhoa@vinhphuc.edu.vn
4. Ch đ u t t o ra sáng ki n:ủ ầ ư ạ ế
5. Lĩnh v c áp d ng sáng ki n: ự ụ ế (Nêu rõ lĩnh v c có th áp d ng sáng ki n ự ể ụ ế
và v n đ mà sáng ki n gi i quy t) ấ ề ế ả ế
Do khuôn kh và th i gian có h n, v i đi u ki n th c t c a ngổ ờ ạ ớ ề ệ ự ế ủ ười th cự
hi n đ tài, tôi ch m i d ng l i nghiên c u va hê thông cac phệ ề ỉ ớ ừ ạ ứ ̀ ̣ ́ ́ ương phap tinh́ ́ tich phân va nh ng sai lâm ma hoc sinh dê măc trong qua trinh lam bai tâp.́ ̀ ữ ̀ ̀ ̣ ̃ ́ ́ ̀ ̀ ̀ ̣
Sáng ki n t p trung nghiên c u các phế ậ ứ ương phap tinh tich phân va nh nǵ ́ ́ ̀ ư ̃sai lâm ma hoc sinh dê măc đ̀ ̀ ̣ ̃ ́ ược áp d ng cho hai l p 12Aụ ớ 2 và 12A3 trườ ngTHPT Xuân Hòa
6. Ngày sáng ki n đế ược áp d ng l n đ u ho c áp d ng th : ụ ầ ầ ặ ụ ử
Trang 61) Đ nh nghĩa: Cho hàm s liên t c trên K, a,b là hai s b t k thu c K, n uị ố ụ ố ấ ỳ ộ ế
F là m t nguyên hàm c a trên K thì độ ủ ược g i là tích phân c a t a đ n bọ ủ ừ ế
và kí hi u làệ
Trong trường h p thì đợ ược g i là tích phân c a trên ọ ủ
Nh v y : ư ậ trong đó F là m t nguyên hàm c a trên Kộ ủ
T ĐN ta th y bài toán tính tích phân th c ch t là bài toán tìm nguyênừ ấ ự ấ hàm sau đó thay c n vào.ậ
2) Cho hàm s liên t c và nh n giá tr không âm trên , khi đó di n tích Số ụ ậ ị ệ
c a hình thang cong gi i h n b i đ th hàm s ủ ớ ạ ở ồ ị ố , tr c hoành và hai đ ngụ ườ
th ng ẳ x=a, x=b là
3) Các tính ch t c a tích phân: Gi s là hai hàm s liên t c trên K vàấ ủ ả ử ố ụ
a,b,c là ba s th c tùy ý thu c K. Ta có:ố ự ộ
Phương pháp 2: S d ng tính ch t c a tích phân (đ a tích phân c n tìmử ụ ấ ủ ư ầ
v t ng, hi u c a nh ng tích phân đã tính đề ổ ệ ủ ữ ược)
Phương pháp 3: Phương pháp đ i bi n s ổ ế ố
Phương pháp 4: Phương pháp tich phân ht ng ph n.́ ừ ầ
PH N II: CÁC D NG BÀI T P ĐI N HÌNHẦ Ạ Ậ Ể
Trang 7Nhân xet:̣ ́ N u s d ng phế ử ụ ương pháp này thì bài toán tính tích phân chính là bài toán tìm nguyên hàm ch thêm m t bỉ ộ ước là th c n đ ra k t qu ế ậ ể ế ả
2 Phương pháp 2: S d ng tính ch t c a tích phân (đ a tích phân c n tìm vử ụ ấ ủ ư ầ ề
t ng, hi u c a nh ng tích phân đã tính đổ ệ ủ ữ ược)
Nh v y cách tính tích phân b ng ph ư ậ ằ ươ ng pháp đ i bi n s , c b n ổ ế ố ơ ả
s gi ng h t nh bài toán tìm nguyên hàm b ng ph ẽ ố ệ ư ằ ươ ng pháp đ i bi n ổ ế
s , ch khác là ta c n đ i c n. Vì th các kinh nghi m đã bi t ph n tìm ố ỉ ầ ổ ậ ế ệ ế ở ầ nguyên hàm b ng ph ằ ươ ng pháp đ i bi n s v n ti p t c đ ổ ế ố ẫ ế ụ ượ ậ c v n d ng ụ
Trang 9e) f)
g) h)
2) Tính các tích phân sau:
a) b) c) d)
e) f)
g) h) i) l)
m) o)
p) q)
3) Tính các tích phân sau:
Trang 10
4)
10)
Phương pháp 4: Tích phân t ng ph n ừ ầ C n tìm ầ Trong đó : f(x) d tìm đ o hàm còn ễ ạ g(x) d tìm nguyên hàmễ
B1: Đ t ặ (v là nguyên hàm đ n gi n nh t c a ơ ả ấ ủ g(x)) B2: Áp d ng công th c nguyên hàm t ng ph nụ ứ ừ ầ
Chú ý: Nguyên hàm sau ph i d h n ho c “đ ng d ng” v i nguyên ả ễ ơ ặ ồ ạ ớ hàm ban đ u ầ Ví d 6: ụ Tính các tích phân sau:
L i gi i: ờ ả a) Đ t ặ Đ t ặ Ta có Đ t ặ Ta có Đ t ặ Ta có .Đ t ặ Ta có Ví d 7:ụ Tính các tích phân sau:
L i gi iờ ả : Đ t ặ
Trang 11Kinh nghi m:ệ C n tính trong m t s bài t p c m th y không áp d ng nh ngầ ộ ố ậ ả ấ ụ ữ
phương pháp thường làm thì th đ t xem có s d ng đử ặ ử ụ ược tích phân liên k tế không?
Trang 12Bài t p t luy n: ậ ự ệ
1) ; 2) ; 3) ;
4) ; 5) ; 6)
7) ; 8) 9) ;
10) 11) 12);
13) 14) 15)
16) Cho f(x) liên t c trên ụ R và v i m i ớ ọ x thu c ộ R ta có . Tính I=; 17) Cho f(x) liên t c trên (2;2) và v i m i x thu c (2;2) ta có . Tính I=.ụ ớ ọ ộ K thu t 2: Tách tích phân c n tìm v t ng các tích phân có th tínhỹ ậ ầ ề ổ ể được b ng phằ ương pháp đ ng nh t h s ồ ấ ệ ố Ví d 9: ụ Tính L i gi i: ờ ả Ta có
K thu t 3: Tách tích ph n thành hai ph n sao cho khi TP t ng ph nỹ ậ ầ ầ ừ ầ c a ph n th nh t thì ph n th 2 s kh đủ ầ ứ ấ ầ ứ ẽ ử ược vdu Ví d 10: ụ Tính L i gi i : ờ ả Bình thường ta ph i tính Nguyên hàm t ng ph n 2 l n, nh ng đ ả ừ ầ ầ ư ể ý: đ kh vdu ta ph i thêm b t đ t o ra ể ử ả ớ ể ạ Nh sau:ư Đ t ặ
Tương t ta xét ví d 11: Tinh ự ụ ́ L i gi i : ờ ả Ta có Ta đ t ặ
Suy ra =+ =
K thu t 4: Thêm h ng s cho v khi tính tích phân t ng ph n ỹ ậ ằ ố ừ ầ
Trang 13Trong các bài mà du có m u s ta nên ch n ẫ ố ọ v thêm m t h ng s thích ộ ằ ố
h p đ ợ ể vdu kh b t m u s ử ớ ẫ ố
Ví d 12: ụ Tính
L i gi i :ờ ả
Đ t ặ
L ra ta thẽ ường l y nh ng rõ ràng thêm h ng s 1 vào ấ ư ằ ố v vi c tính tích phânệ
ti p thep nhàn h n r t nhi u ế ơ ấ ề
Trang 15Khi tính c n chú ý xem hàm s ầ ố y=f(x) có liên t c trên không? n u có thì ápụ ế
d ng phụ ương pháp đã h c đ tính tích phân đã cho còn n u không thì k t lu nọ ể ế ế ậ ngay tích phân này không t n t i.ồ ạ
* Chú ý đ i v i h c sinh:ố ớ ọ
Đ i v i phố ớ ương pháp đ i bi n s khi đ t ổ ế ố ặ t = u(x) thì u(x) ph i là m tả ộ hàm s liên t c và có đ o hàm liên t c trên .ố ụ ạ ụ
Trang 16I = ta ph i xét d u hàm s f(x) trên r i dùng tính ch t tích phân tách I thànhả ấ ố ồ ấ
t ng các phân không ch a d u giá tr tuy t đ i.ổ ứ ấ ị ệ ố
* Chú ý đ i v i h c sinh:ố ớ ọ
Các khái ni m arcsinệ x, arctanx không trình bày trong sách giáo khoa hi nệ
th i. H c sinh có th đ c th y m t s bài t p áp d ng khái ni m này trongờ ọ ể ọ ấ ộ ố ậ ụ ệ
m t sách tham kh o, vì các sách này vi t theo sách giáo khoa cũ (trộ ả ế ước năm 2000). T năm 2000 đ n nay do các khái ni m này không có trong sách giáoừ ế ệ khoa nên h c sinh không đọ ược áp d ng phụ ương pháp này n a. Vì v y khi g pữ ậ ặ tích phân d ng ta dùng phạ ương pháp đ i bi n s đ t ổ ế ố ặ t = tanx ho c ặ t = cotx ;
Trang 17Khi g p tích phân c a hàm s có ch a thì thặ ủ ố ứ ường đ t ặ x = sint nh ng đ i v iư ố ớ tích phân này s g p khó khăn khi đ i c n c th v i ẽ ặ ổ ậ ụ ể ớ x = không tìm đượ c
* Chú ý đ i v i h c sinh: Khi g p tích phân c a hàm s có ch a thì thố ớ ọ ặ ủ ố ứ ườ ng
đ t ặ x = sint ho c g p tích phân c a hàm s có ch a 1+ặ ặ ủ ố ứ x2 thì đ t ặ x = tant nh ngư
c n chú ý đ n c n c a tích phân đó n u c n là giá tr lầ ế ậ ủ ế ậ ị ượng giác c a góc đ củ ặ
bi t thì m i làm đệ ớ ược theo phương pháp này còn n u không thì ph i nghĩ đ nế ả ế
*Chú ý đ i v i h c sinh: Khi tính tích phân c n chia c t c m u c a hàm số ớ ọ ầ ả ử ả ẫ ủ ố
cho x c n đ ý r ng trong đo n l y tích phân ph i không ch a đi m ầ ể ằ ạ ấ ả ứ ể x = 0.
BÀI T P TR C NGHI M KHÁCH QUAN TÍCH PHÂNẬ Ắ Ệ
Câu 1. K t qu c a tích phân là: ế ả ủ
Trang 18Câu 2. K t qu c a tích phân là: ế ả ủ
Trang 20A B. C. D.
Câu 35. K t qu c a tích phân khi đó ế ả ủ a b ng: ằ
A a = 7 B. a = 8 C. a = 9 D. a = 10
Câu 36. K t qu c a tích phân là: ế ả ủ
Trang 22co thê ap dung cho cac đôi t́ ̉ ́ ̣ ́ ́ ượng hoc sinh l p 12 ôn thi THPT Quôc Gia vi đâỵ ớ ́ ̀
la nôi dung quan trong va cân thiêt đê ôn thi THPT Quôc Gia.̀ ̣ ̣ ̀ ̀ ́ ̉ ́
8. Nh ng thông tin c n đữ ầ ược b o m t (n u có): Khôngả ậ ế
9. Các đi u ki n c n thi t đ áp d ng sáng ki n: ề ệ ầ ế ể ụ ế Nêu các đi u ki n về ệ ề
Đa s h c sinh đã có phố ọ ương pháp gi i m ch l c, h n ch đả ạ ạ ạ ế ược vi cệ
ch n đáp án ng u nhiên trong các đ thi tr c nghi m khách quan (TNKQ).ọ ẫ ề ắ ệ
Nhi u em không ch gi i đúng mà còn gi i nhanh đề ỉ ả ả ược các bài t p vềậ tich phân, đáp ng yêu c u v th i gian làm bài thi TNKQ.́ ứ ầ ề ờ
10.2. Đánh giá l i ích thu đ ợ ượ c ho c d ki n có th thu đ ặ ự ế ể ượ c do áp d ng ụ sáng ki n theo ý ki n c a t ch c, cá nhân: ế ế ủ ổ ứ
Đ gi i nhanh d ng bài t p này, ngoài yêu c u hi u đúng b n ch t c aể ả ạ ậ ầ ể ả ấ ủ
v n đ c n có ki năng vê tinh toan va t duy nhanh.ấ ề ầ ̃ ̀ ́ ́ ̀ư
Trang 23 V i bài t p khó ph c t p c n phân tích th t kĩ gi thi t đ xây d ngớ ậ ứ ạ ầ ậ ả ế ể ự
được m i quan h gi a các y u t , tìm cách đ bi n m t bài toán ph c t pố ệ ữ ế ố ể ế ộ ứ ạ thành các bài toán đ n gi n nh t trong m i tơ ả ấ ố ương quan v i nhau. Đ làmớ ể
được đi u này nên b t đ u t nh ng v n đ đ n gi n và g n gũi, sau đó xétề ắ ầ ừ ữ ấ ề ơ ả ầ
đ n nh ng v n đ ph c t p d n đ cu i cùng có th đi đ n khái quát chung.ế ữ ấ ề ứ ạ ầ ể ố ể ế
Sáng ki n kinh nghi m đế ệ ược th c hi n 2 l p 12 k t qu nh sau:ự ệ ở ớ ế ả ư
SKKN được áp d ng trong h c kì I năm h c 2019 2020 trên đ i tụ ọ ọ ố ượ ng
h c sinh thu c 2 l p 12A2, 12A3 là nh ng l p theo ban t nhiên, h c sinh cóọ ộ ớ ữ ớ ự ọ
l c h c khá gi i và k t qu thu đự ọ ỏ ế ả ược kh quan.ả
SKKN có kh năng áp d ng cho m i đ i tả ụ ọ ố ượng h c sinh thu c các l pọ ộ ớ khác nhau, tuy nhiên tùy thu c vào trình đ c a h c sinh mà giáo viên có thộ ộ ủ ọ ể
v n d ng phậ ụ ương pháp c a chuyên đ này theo các m c đ bài t p khác nhauủ ề ứ ộ ậ
đ mang l i hi u qu cao nh t.ể ạ ệ ả ấ
11. Danh sách nh ng t ch c/cá nhân đã tham gia áp d ng th ho c ápữ ổ ứ ụ ử ặ
d ng sáng ki n l n đ u (n u có):ụ ế ầ ầ ế
