Phép tính tích phân

Trong kí hiệu R f xdx ta gọi f x là hàm dưới dấu tích phân, f xdx là biểu thức dưới dấu tích phân.. Để tính tích phân không xác định, theo định nghĩa, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của n

Chương 5

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN

5.1 Tích phân hàm một biến

5.1.1 Nguyên hàm và tích phân bất định

1 Định nghĩa

Định nghĩa 5.1 Cho hàm f xác định trên khoảng (a, b) Hàm F (x) xác định trên (a, b) gọi là một nguyên hàm của hàm f (x) nếu F0(x) = f (x) với mọi x ∈ (a, b)

Ta thấy rằng F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì F (x) + C, trong đó C là hằng số tùy ý cũng

là một nguyên hàm của f (x)

Định lý 5.1 Nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì mọi nguyên hàm của f (x) đều có dạng

F (x) + C, trong đó C là hằng số

Định nghĩa 5.2 Cho hàm y = f (x) xác định trên (a, b) Ta gọi tích phân không xác định của f (x),

kí hiệu R

f (x)dx, là tập tất cả các nguyên hàm của f (x)

Định lý 5.1 suy ra nếu F (x) là một nguyên hàm của f (x) thì R

f (x)dx = F (x) + C, trong đó C

là hằng số tùy ý

Trong kí hiệu R

f (x)dx ta gọi f (x) là hàm dưới dấu tích phân, f (x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân

Để tính tích phân không xác định, theo định nghĩa, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm của nó

2 Tính chất

Tính chất 5.1 (R

f (x)dx)0 = f (x), d(R

f (x)dx) = f (x) Tính chất 5.2 R

dF (x) = F (x) + C Tính chất 5.3 R

(f (x) ± g(x))dx =R

f (x)dx ±R

g(x)dx

Tính chất 5.4 R

αf (x)dx = αR

f (x)dx

3 Phương pháp tính

• Tính trực tiếp: Sử dụng các tính chất và bảng nguyên hàm

Ví dụ 5.1 R x2− 1

x2+ 1dx =

R

(1 − 2

x2+ 1)dx = x − 2arctgx + C

• Phương pháp đổi biến:

Công thức 1 Tính: J =R

f (x)dx Đặt x = g(t) vớig(t) là hàm số liên tục và có hàm số ngược Khi đó: J =R

f (g(t)).g0(t)dt Chú ý: Sau khi tính tích phân xong phải trả lại biến

Ví dụ 5.2 Tính I =R dx

√

a2− x2

Đặt x = at ⇒ dx = adt

Khi đó: I =R adt

√

a2− a2t2 = arcsint + C Vậy I = arcsinx

a + C, ( C = const) Công thức 2 Tính J =R

f (x)dx Đặt t = ϕ(x) khi đó: f (x)dx = g[ϕ(x)]ϕ0(x)dx Khi đó, nếu ta biết: R

g(t)dt = G(t) + C thì

R

f (x)dx =R

g(ϕ(x)).ϕ0(x)dx =R

g(t)dt = G(t) + C = G[ϕ(x)] + C

Ví dụ 5.3 Tính I1 =R xdx

x4+ 2x2+ 5 =

(x2+ 1)2+ 4. Đặt u = x2+ 1 thì du = 2xdx

Ta có: I1 =R du

2(u2+ 4) =

1

2arctg

u

2 + C Vậy I1 =

1

2arc

(x2+ 1)

2 + C.

Ví dụ 5.4 Tính I2 =R dx

√

x2+ 1. Đặt √

x2+ 1 = x + t ⇒ x = 1 − t

2

2t ⇒ dx = −1

2.

t2+ 1

t2 dt;√

x2+ 1 = 1 − t

2

2t + t =

1 + t2 2t .

Ta có I2 = −1

2

R t 2 +1

t 2

t 2 +1 2t

dt = −R dt

t = − ln |t| + C Vậy I2 = − ln

√x2+ 1 − x + C.

• Phương pháp tính tích phân từng phần

Giả sử u = u(x), v = v(x) là các hàm khả vi, liên tục trên một khoảng nào đó Khi đó

R

udv = uv −R

vdu + C ( C = const)

Ví dụ 5.5 Tính I =R

e2x sin 3xdx

Đặt

¨

u = e2x

dv = sin 3xdx ⇒

8

<

:

du = 2e2xdx

v = −1

3cos3x

Ta có I = −1

3e

2xcos3x+2

3

R

e2x.cos3xdx = =e

2x

13(2 sin 3x − 3 cos 3x) + C.

4 Tích phân của các hàm hữu tỉ, vô tỉ, lượng giác

Ví dụ 5.6 Tính I =R x + 1

x3+ xdx

Ta có I =R x + 1

x3+ xdx =

R x + 1 x(x2+ 1)dx =

x2+ 1 +

x(x2+ 1) = arctgx+

R

(1

x − x

x2+ 1)dx

= arctgx + ln |x| − 1

2ln |x

2+ 1| + C ( C = const)

Ví dụ 5.7 Tính I =R dx

3

√

x + 1 −√4

x + 1. Đặt t = 12√

x + 1 ⇒ x = t12− 1, dx = 12t11dt

Do vậy I =R 12t11dt

t4− t3 = 12R t8

t − 1dt =

R

(t7+t6+ t5+ t4+ t3+ t2+ t + 1 + 1

t − 1)dt =

Ví dụ 5.8 Tính I =R cos3x

sinx dx Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx

Khi đó: I =R 1 − t2

t dt = ln |t| −

t2

3 + C Vậy I = ln |sinx| + sin

2x

3 + C.

5.1.2 Tích phân xác định

1 Định nghĩa

Định nghĩa 5.3 Cho hàm y = f (x) xác định trên [a, b] Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi phân hoạch P:

a = x0 < x1 < < xn = b

Nếu trong mỗi đoạn ∆k[xk−1, xk] chọn tùy ý ck, ta có một phép chọn C Khi đó tổng

σP =

n

X

k=1

f (ck)(xk− xk−1),

gọi là tổng tích phân của hàm f (x) ứng với phép phân hoạch P và phép chọn C

Kí hiệu |P | = max xk− xk−1là đường kính của phép phân hoạch P Khi đó nếu tồn tại lim

|P |→0σP = I theo nghĩa: ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀ phân hoạch |P | < δ, mọi phép chọn C đều có

|σP − I| = |

n

X

k=1

f (ck)(xk− xk−1) − I| < ,

thì I gọi là tích phân xác định của hàm f (x) trên [a, b], hàm f (x) gọi là khả tích trên [a, b] và kí hiệu là

I =

b

Z

a

f (x)dx

Trong kí hiệu trên f (x) là hàm dưới dấu tích phân, f (x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, a gọi là cận dưới, b gọi là cận trên của tích phân, thường ta đọc là: tích phân từ a đến b

2 Điều kiện khả tích

Định lý 5.2 Nếu hàm f (x) khả tích trên [a, b] thì f(x) bị chặn trên [a, b]

Định lý 5.3 Nếu hàm f(x) liên tục trên [a, b] thì (x) khả tích trên [a, b]

Định lý 5.4 Nếu hàm f(x) bị chặn và chỉ có hữu hạn các điểm gián đoạn trên [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b]

Định lý 5.5 Nếu hàm f(x) đơn điệu và bị chặn trên [a, b] thì khả tích trên [a, b]

3 Tính chất của tích phân xác định

Định lý 5.6 Nếu f(x)=C (hằng số) với mọi x ∈ [a, b] thì

b

Z

a

f (x)dx =

b

Z

a

Cdx = C(b − a)

Định lý 5.7 Nếu f(x) và g(x) khả tích trên [a, b], thì f(x) ± g(x) cũng khả tích trên [a, b] và

b

Z

a

(f (x) ± g(x))dx =

b

Z

a

f (x)dx ±

b

Z

a

g(x)dx

Định lý 5.8 Nếu f(x) khả tích trên [a, b] và α ∈ R thì αf (x) cũng khả tích trên [a, b] và

b

Z

a

αf (x)dx = α

b

Z

a

f (x)dx

Định lý 5.9 Hàm f(x) khả tích trên [a, b] khi và chỉ khi mọi c ∈ (a, b), f(x) khả tích trên [a, c] và [c, b] và

b

Z

a

f (x)dx =

c

Z

a

f (x)dx +

b

Z

c

f (x)dx

Định lý 5.10 Nếu f (x) ≤ g(x) với mọi x ∈ [a, b] và các hàm f(x) và g(x) khả tích trên [a, b] thì

b

Z

a

f (x)dx ≤

[

Z

a

b]g(x)dx

Định lý 5.11 Nếu hàm f(x) khả tích trên [a, b] thì |f (x)| cũng khả tích trên [a, b] và

b

Z

a

f (x)dx| ≤

b

Z

a

|f (x)|dx

Định lý 5.12 [Định lý giá trị trung bình] Nếu hàm f(x) khả tích trên [a, b], m ≤ f (x) ≤ M thì tồn tại µ ∈ [m, M ] sao cho

b

Z

a

f (x)dx = µ(b − a)

4 Phương pháp tính tích phân xác định

- Phương pháp đổi biến

- Phương pháp tích phân từng phần

5 Ví dụ

Ví dụ 5.9 Tính I =R2

0

√

4 − x2dx Đặt x = 2 sin t ⇒ I = π

Ví dụ 5.10 Tính J =Re

1

ln xdx = = 1

6 Ứng dụng của tích phân xác định

- Tính diện tích hình phẳng

- Tính độ dài cung

- Tính vật thể tròn xoay

- Diện tích mặt tròn xoay

5.1.3 Tích phân suy rộng

1 Tích phân suy rộng với cận vô tận

Định nghĩa 5.4 Cho hàm f (x) xác định trên [a; +∞) và f (x) khả tích trên đoạn [a; b] ⊂ [a; +∞) Nếu tồn tại lim

b→+∞

b

R

a f (x)dx thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy rộng với cận vô tận (tích phân suy rộng loại 1) của f (x) trên [a; +∞) và kí hiệu: +∞R

a f (x)dx Vậy

+∞ Z

a

f (x)dx = lim

b→+∞

b

Z

a

Nếu tích phân (5.1) tồn tại và hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ Nếu tích phân (5.1) bằng ∞ hoặc không tồn tại thì ta nói tích phân đó phân kỳ

Ví dụ 5.11 a I = +∞R

1

dx

x2 = lim

b→+∞

b

R

1

dx

x2 = lim

b→+∞(−1

x)

b

1

= lim

b→+∞(1 −1

b) = 1

Do đó tích phân hội tụ và +∞R

1

dx

x2 = 1

b Tương tự +∞R

0

dx

x2+ 1 =

π 2

c +∞R

1

dx

x = +∞ ⇒ tích phân phân kì.

Định nghĩa 5.5 Nếu hàm f (x) xác định trên (−∞; a] thì ta định nghĩa Ra

−∞f (x)dx = lim

b→−∞

a

R

b

f (x)dx

Nếu hàm f (x) xác định trên (−∞; +∞) thì ta định nghĩa +∞R

−∞

f (x)dx = Ra

−∞

f (x)dx ++∞R

a

f (x)dx

Ví dụ 5.12 +∞R

−∞

1

1 + x2dx = R0

−∞

1

1 + x2dx + +∞R

0

1

1 + x2dx = lim

b→−∞arctgx

0

b

+ lim

b→+∞arctgx

b

0

= lim

b→−∞(−arctgb)+ lim

b→+∞(arctgb) =π

2 +

π

2 = π

2 Tiêu chuẩn hội tụ của tích phân với cận vô tận

Tính chất 5.5 Nếu tích phân +∞R

a

f (x)dx hội tụ thì tích phân +∞R

b

f (x)dx (b > a) cũng hội tụ và

+∞ R

a

f (x)dx =Rb

a

f (x)dx + +∞R

b

f (x)dx Tính chất 5.6 Nếu tích phân

+∞ R

a

f (x)dx hội tụ thì tích phân +∞R

a cf (x)dx (c ∈ R) cũng hội tụ và

+∞ R

a

cf (x)dx = c+∞R

a

f (x)dx (c ∈ R)

Tính chất 5.7 Nếu tích phân +∞R

a f (x)dxvà +∞R

a g(x)dx hội tụ thì tích phân +∞R

a (f (x) ± g(x))dx cũng hội tụ và +∞R

a (f (x) ± g(x))dx = +∞R

a f (x)dx ±+∞R

a g(x)dx

Tính chất 5.8 Cho hàm f (x), g(x) xác định trên [a; +∞) Giả sử 0 ≤ f (x) ≤ g(x) với mọi

x ∈ [a; +∞) khi đó nếu +∞R

a

g(x)dx hội tụ thì +∞R

a

f (x)dx hội tụ; nếu +∞R

a

f (x)dx phân kì thì+∞R

a

g(x)dx phân kì

Tính chất 5.9 Nếu các hàm f (x), g(x) là các hàm không âm trên [a; +∞) và có lim

x→+∞

f (x) g(x) = k ∈ (0, +∞) Khi đó các tích phân +∞R

a

f (x)dx và +∞R

a

g(x)dx cùng hội tụ hoặc cùng phân kì

3 Tích phân hội tụ tuyệt đối

Tích phân +∞R

a

f (x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu tích phân +∞R

a

|f (x)| dx hội tụ

Tính chất 5.10 Nếu tích phân +∞R

a |f (x)| dxhội tụ thì tích phân +∞R

a f (x)dx hội tụ

Ví dụ 5.13 Xét sự hội tụ của tích phân +∞R

1

1

xsdx

Ta đã biết +∞R

1

1

xdx = +∞, tích phân phân kì.

Nếu+∞R

1

1

xdx = +∞ thì

1

xs > 1

x do đó theo tính chất 4,

+∞ R

1

1

xsdx với s ≤ 1 là phân kỳ

Nếu s > 1 tích phân hội tụ vì +∞R

1

1

xsdx = lim

b→+∞

b

R

1

dx

xs = lim

b→+∞

‚

1

−(s − 1)xs−1

Œ

b

1

= lim

b→+∞

‚

1

s − 1 − 1

−(s − 1)bs−1

Œ

s − 1.

Vậy ta có +∞R

1

1

xsdx =

8

<

:

∞ nếu s ≤ 1 1

s − 1 nếu s > 1.

Ví dụ 5.14 Xét tích phân +∞R

1

dx

√

1 + x√3

2 + x2

Ta có √ 1

1 + x√3

2 + x2 < 1

x12x23

= 1

x76

Theo ví dụ trên R dx

x76

hội tụ, nên tích phân hội tụ theo tính chất 4

Ví dụ 5.15 Xét tích phân +∞R

1

dx

x2− 2x + 3

Ta có R dx

x2 hội tụ và lim

x→+∞

1

x 2 −2x+3 1

x 2

= 1 do đó tích phân hội tụ theo tính chất 5

5.2 Tích phân bội (Tích phân bội 2)

5.2.1 Định nghĩa

* Bài toán thể tích của vật thể hình trụ

Giả sử hàm số z = f (x, y) liên tục, xác định, không âm trong một miền đóng, bị chặn (D) có biên L trong mặt phẳng Oxy Bài toán đặt ra là: hãy tính thể tích của vật thể hình trụ giới hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z = f (x, y) và mặt trụ có đường sinh song song với Oz tựa trên L

*Cách làm:

+ Chia D thành n miền tuỳ ý bởi phép phân hoạch P , gọi tên và diện tích mỗi mảnh là

∆s1, , ∆sn

+ Lấy mỗi ∆si làm đáy, dựng vật thể hình trụ mà mặt xung quanh có đường sinh song song với

Oz, phía trên giới hạn bởi z = f (x, y), phía dưới giới hạn bởi ∆si

+ Trong mỗi mảnh nhỏ ∆si bất kì, lấy điểm M (xi, yi) tuỳ ý Khi đó, tích f (xi, yi)∆si chính là thể tích của hình trụ thẳng đứng đáy ∆si, đường cao f (xi, yi), Vì z = f (x, y) liên tục nên thể tích này khác rất ít thể tích ∆vi của vật thể hình trụ nhỏ thứ i Vậy V ≈ Pn

i=1

f (xi, yi)∆si Phép tính này càng chính xác nếu n càng lớn và ∆si càng nhỏ Do đó, nếu tồn tại lim

n→∞

n

P

i=1

f (xi, yi)∆si thì V = lim

n→∞

n

P

i=1

f (xi, yi)∆si với đường kính lớn nhất của mảnh ∆si → 0, giới hạn này không phụ thuộc vào cách chia miền (D) và cách chọn điểm Mi

Định nghĩa 5.6 [Định nghĩa kép-Tích phân hai lớp-Tích phân bội ] Cho hàm số z = f (x, y) xác định trong miền đóng và bị chặn (D) Thực hiện phép phân hoạch P chia (D) thành n miền nhỏ tùy ý ∆s1, , ∆sn Trong mỗi ∆si lấy Mi(xi, yi) bất kì Khi đó, ta gọi tổng

In=

n

X

i=1

f (xi, yi)∆si

là tổng tích phân của hàm f (x, y) trong miền (D) Nếu tồn tại giới hạn lim

max ∆x i →o n→∞

In= I không phụ

thuộc vào phép chia miền D và cách chọn các điểm Mi thì giới hạn đó được gọi là tích phân hai lớp của hàm số f (x, y) trong miền D và kí hiệu

ZZ

D

Vậy: RR

D

f (x, y)ds = lim

n→∞

n

P

i=1

f (xi, yi)∆si (D) : miền lấy tích phân,

f : hàm dưới dấu tích phân

ds : yếu tố diện tích

*Chú ý:

+ Nếu tích phân (5.2) tồn tại ta nói f (x, y) khả tích trên (D)

+ Vì tích phân hai lớp không phụ thuộc vào cách phân hoạch miền D nên nếu chia D thành các miền nhỏ bởi các đường thẳng song song với Ox, Oy thì diện tích của mỗi miền nhỏ là ∆si ≈ ∆xi∆yi Khi đó, ds ≈ dxdy Vậy, ta còn viết:

ZZ

D

f (x, y)ds =

ZZ

D

Định lý 5.13 Nếu hàm f(x, y) liên tục trên miền đóng, bị chặn D thì nó khả tích trên miền đó 5.2.2 Tính chất

(1) Nếu f (x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ D và diện tích miền D bằng S thì RR

D

f (x, y)ds = S (2) RR

αf (x,y)dxdy

= αRR

D

f (x, y)dxdy

(3) RR

D

[f (x, y) ± g(x, y)]dxdy =RR

D

f (x, y)dxdy ±RR

D

g(x, y)dxdy (4) Nếu chia D thành hai miền nhỏ D1, D2 không trùng lên nhau thì

ZZ

D

f (x, y)dxdy =

ZZ

D

f (x, y)dxdy +

ZZ

D

f (x, y)dxdy

(5) Nếu f (x, y) ≤ g(x, y), moi(x, y)dxdy thì

ZZ

D

f (x, y)dxdy ≤

ZZ

D

g(x, y)dxdy

Đặc biệt nếu f (x, y) ≥ 0 trên D thì ta có RR

D

f (x, y)ds ≥ 0

(6) Nếu f (x, y) khả tích trên D mà m ≤ f (x, y) ≤ M thì

mS ≤

ZZ

D

f (x, y)ds ≤ M S

với S là diện tích của mienf D

(7) Nếu f (x, y) liên tục trên miền đóng, bị chặn và liên thông trên miền D thì tồn tại x0, y0 ∈ D sao cho RR

D

f (x, y)ds = f (x0, y0)S

5.2.3 Cách tính

Định lý 5.14 [Định lý Fubini 2] Cho hàm số f (x) liên tục trên miền D Nếu miền D xác định với

a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) trong đó các hàm số ϕ1(x), ϕ2(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a, b] thì

ZZ

D

f (x, y)ds =

b

Z

a

 ϕ Z 2 (x)

ϕ 1 x

f (x, y)dy

‹

dx =

b

Z

a

dx

ϕ 2 x

Z

ϕ 1 (x)

f (x, y)f (x, y)dy (5.4)

* Chú ý:

+ Nếu miền D xác định bởi c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y), trong đó các hàm số ψ1(y), ψ2(y)

là các hàm số liên tục trên đoạn [c, d] thì ta cũng có

ZZ

D

f (x, y)ds =

d

Z

c

ψ Z 2 (y)

ψ 1 (y)

f (x, y)dx



dy =

d

Z

c

dy

ψ Z 2 (y)

ψ 1 (y)

f (x, y)dx (5.5)

+ Nếu miền D là hình chữ nhật a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, f (x, y) liên tục trên D thì ta có

ZZ

D

f (x, y)ds =

b

Z

a

dx

d

Z

c

f (x, y)dy =

d

Z

c

dy

b

Z

a

Đặc biệt, nếu f (x, y) = f (x).g(y) thì

I =

b

Z

a

f (x)dx

d

Z

c

+ Khi tính Rb

a f (x, y)dx thì ta coi y là hằng số, Rb

a f (x, y)dy thì ta coi x là hằng số

Ví dụ 5.16 Tính I =RR

D

x2ydxdy trong đó D là miền xác định bởi 1 ≤ x, y ≤ 2

Ta có: RR

D

x2ydxdy = R2

1

x2dxR2

1

ydy =R2

1

x2 •€1

2y

2 Š 2

1

˜

= 3 2

2

R

1

x2dx = 3

2

x3

3

2

1 = 7 2

Ví dụ 5.17 TínhRR

D

dxdy (x + y)2 với D là miền xác định bởi {1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}

Ta có RR

D

dxdy (x + y)2 =R2

1

R1

0

dy (x + y2)

‹

dx = R2

1

€

x + y

y=1

y=0

Š

dx = R2

1

€1

x − 1

x + 1

Š

dx = [lnx − ln(n + 1)]

2

1

= ln(

4)3.

Ví dụ 5.18 TínhRR

D

x2ydxdy, D là miền tam giác có 3 đỉnh A(1, 0), B(1, 1), C(0, 0)

Miền D có thể viết dưới dạng {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x} , do vậy I = R1

0

dx

Rx

0

x2ydy



=

1

R

0

x2dx y

2

2

x

0

!

= 1 2

1

R

0

x4dx = 1

10x

5

1

0 =

1

10.

Ví dụ 5.19 Tính RR

D

(x2 + y2)dxdy trong đó D là miền giới hạn bởi các đường thẳng y = x, y =

x + 1, y = 1, y = 3

Theo giả thiết, miền D được xác định như sau {1 ≤ y ≤ 3, y − 1 ≤ x ≤ y} Do đó, ta có I =

3

R

1

dy

R

y−1

(x2+ y2)dx

Œ

=R3

1

dy

‚

x3

3 + y

2xŒ

x = y

x = y − 1

!

= 14

Ví dụ 5.20 TínhRR

D

xydxdy, trong đó D xác định bởi các đường x = √

y trục Ox và x + y = 2 Theo giả thiết, miền D được xác định bởi ¦

0 ≤ y ≤ 1, √

y ≤ x ≤ 2 − y©

Do đó

I =R1

0

y

2−y R

√

y

xdx

!

dy = 1 2

1

R

0

y ((2 − y)2− y) dy = 7

24. Cách khác Chia D thành hai miền D1 và D2 , trong đó D1 = {0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x2} và D2 = {1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 − x}

Vậy I =R1

0

dxx

2

R

0

xydy +R2

1

dx2−xR

0

xydy = 7

24. 5.2.4 Đổi biến trong tích phân hai lớp

* Công thức đổi biến tổng quát:

Định lý 5.15 Xét tích phân hai lớpRR

D

f (x, y)dxdy, trong đóf (x, y) liên tục trên D Thực hiện phép đổi biến số:

¨

x = x(u, v)

y = y(u, v), Giả sử rằng

1) x(u, v), y(u, v) là những hàm số liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trên trong miền đóng

D0 của mặt phẳng O0uv

2) Các công thức xác định một song ánh từ miền D0 lên miền D của mặt phẳng Oxy

3) Định thức Jacobi: J = D(x, y)

D(u, v) =

x0u x0v

y0u y0v

6= 0 trong D0

Khi đó ta có công thức:

ZZ

D

f (x, y)dxdy =

ZZ

D 0

f (x(u, v), y(u, v))|J |dudv (5.8)

Ví dụ 5.21 Tính RR

D

(x + y)dxdy, D giới hạn bởi các đường x + y = 0, y = −x + 3, y − 2x =

−1, y − 2x = 1

Ta viết D dưới dạng

¨

x + y = 0, x + y = 3

y − 2x = −1, y − 2x = 1

Ta thực hiện phép đổi biến số:

¨

u = x + y

v = x − 2y ⇒ x = u − v

3 , y =

2u + v 3 Đây là một song ánh từ R2 vào R2 Miền D0 bây giờ được xác định bởi {0 ≤ u ≤ 3, −1 ≤ v ≤ 1}

Và định thức Jacobi J =

1/3 −1/3 2/3 1/3

= 1/3 6= 0 Vậy

RR

D

(x + y)dxdy, D =

3

R

0

du R1

−1



u − v

2u + v 3



dv = 3

Ví dụ 5.22 Tính tích phân RR

D

xydxdy với D giới hạn bởi

¨

y2 = x; y2 = 3x

y = x; y = 2x

Hướng dẫn Ta viết lại miền D dưới dạng

8

>

>

y2

x = 1;

y2

x = 3 y

x = 1;

y

x = 2.

Rồi thực hiện phép đổi biến số

8

>

>

u = y

2

x

v = y x Khi đó miền D0 xác định bởi {1 ≤ u ≤ 3, 1 ≤ v ≤ 2}

*Đổi biến trong tọa độ cực

+ Với điểm M (x, y) ∈ Oxy ta có công thức liên hệ tọa độ với hệ tọa độ cực:

8

<

:

x = r cos ϕ

Điểm (x, y) hoàn toàn xác định khi biết rvà ϕ Cặp r, ϕ được gọi là tọa độ cực của điểm M

+ Với

8

<

:

r > 0

0 ≤ ϕ ≤ 2π (∆) thì (*) xác định một phép đổi biến số giữa tọa độ vuông góc Oxy

và tọa độ cực r, ϕ Vì J = r > 0, nên theo định lí 3 ta có :

ZZ

D

f (x, y)dxdy =

ZZ

∆

f (r cos ϕ, r sin ϕ) (5.9)

Ví dụ 5.23 TínhRR

D

dxdy

√

4 − x2− y2, trong đó D giới hạn bởi

¨

(x − 1)2+ y2 ≤ 1

y ≥ 0

Nếu ta chuyển sang hệ tọa độ cực thì 0 ≤ ϕ ≤ π/2 Thay

8

<

:

x = r cos ϕ

y = rϕ vào (x − 1)

2+ y2 ≤ 1

ta được 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ

Vậy (∆) : {0 ≤ ϕ ≤ π/2, 0 ≤ r ≤ 2 cos ϕ} Do vậy I = π

2. 5.3 Tích phân đường

5.3.1 Đường trong mặt phẳng và trong không gian

Cho x(t), y(t) là các hàm liên tục trên đoạn [a, b] Khi đó, tập hợp các điểm L = {(x(t), y(t)), t ∈ [a, b]} gọi là đường cong liên tục trong mặt phẳng Oxy

2 Điều kiện khả tích

Định lý 5.2 Nếu hàm f (x) khả tích. .. (D) : miền lấy tích phân,

f : hàm dấu tích phân

ds : yếu tố diện tích

*Chú ý:

+ Nếu tích phân (5.2) tồn ta nói f (x, y) khả tích (D)

+ Vì tích phân hai lớp không...

Z

a

Nếu tích phân (5.1) tồn hữu hạn ta nói tích phân hội tụ Nếu tích phân (5.1) ∞ khơng tồn ta nói tích phân phân kỳ

Ví dụ 5.11 a I = +∞R