HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ I... HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANHBài 1.. Giải hệ phương trình: a... Tìm a để hệ có nghiệm.. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất... GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁCBài 1...
Trang 1HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I HỆ BẬC NHẤT 2 ẨN: 1 1 1
x
x
−
y
y
−
− ((D≠0)
• Nếu ab≠ thì 0 D≠ nên hệ có nghiệm 0
• Nếu ab=0 ;a2 +b2 > thì hệ vô nghiệm 0
• Nếu a= = thì hệ có vô số nghiệm ( , )b 0 x y ∀x y, ∈
Bài tập:
2
;
6
;
2
II HỆ BẬC NHẤT 3 ẨN:
Nếu D≠ thì hệ có nghiệm duy nhất 0 x D x ;y D y;z D z
Trang 2Bài mầu: Giải hệ phương trình:
3
y
y
y
−
Bài tập:
1 1
;
1
;
;
III HỆ CHỨA MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT:
( )
1
1
b
⇔
=
Bài mẫu: Giải hệ phương trình:
1 3
(1) ⇔
2
1 1
2 2
1
1
−
−
Bài tập:
5 97
Tìm a để hệ có nghiệm (x; y) với xy nhỏ nhất
Trang 3IV HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1:
( ) ( )
f x y
g x y
=
với
=
= +
=
2
4
Bài mẫu: Giải hệ phương trình:
3 2
(1)
Đặt
= +
=
2
4
u ≥ v, khi đó: (1) ⇔
3 2
⇔
2 2
3
1
4 2
14
;
7 21
;
5 13
;
20 5
4
;
26 5 24
y x
;
2
2
1 3
+ + =
;
2 2
4
4
y x
y x
;
2 2
3
xy
;
2
4 0
x
y
;
3
;
11
xy
;
5 13
x
y
;
1 1
x x
Tìm m để hệ có nghiệm:
1
Trang 4V HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2:
( ) ( )
f x y
g x y
=
với
=
f x y
Bài mẫu: Giải hệ phương trình:
(1)
0
x
y
≥
≥
⇔
=
∨
⇔
0 1 3
0
x y
≥
≥
Bài tập: Tìm m để các hệ phương trình sau đều có nghiệm duy nhất:
2
2
1 1
;
2 2
2 2
2
2
m
y m
x
= +
;
4 4
VI HỆ ĐẲNG CẤP BẬC 2:
Phương pháp: Xét y= ; xét 0 y ≠ , khi đó đặt x0 =ty và GPT bậc 2 ẩn t
Bài mẫu: Giải hệ phương trình:
(1)
Do y = không là nghiệm của (1) nên đặt x0 =ty, khi đó (1) ⇔
2
145
=
Trang 5Bài tập:
;
;
5
2
−
;
2
3 1
;
2
y y
x
;
2
;
Tìm m để hệ
có nghiệm
VII HỆ BẬC 2 MỞ RỘNG
( )
( )
f x y
g x y
=
( )
( )
Bài tập
2
2
;
2
;
2
;
;
;
VIII HỆ ĐỒNG BẬC
Bài mẫu: Giải hệ phương trình:
1
(1)
(1) ⇔
1 1
⇔
⇔
3 3
1
2 3 3
1; 1;
2
x y x
y
Trang 6Bài tập
1
;
1
3
5
11
;
;
6
;
IX SỬ DỤNG PHÉP CỘNG VÀ PHÉP THẾ
Bài mẫu: Giải hệ phương trình:
2
2
2
2
4
17 1
x
7 175
;
2 2
;
2 2
2
;
;
6
;
2
2
;
3
1 2
;
3
;
1 0
;
X PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
1 1
x x
(1)
2 3
2 2
2
1
y
x
=
=
Bài tập:
2 2
3
;
1
;
Trang 71 3
−
=
=
;
1
xy
xy
+
;
y x xy
y x xy
;
;
3
;
3
2
+ =
;
;
10 3 5
;
1
1
y
y
;
2 2
1
x y
;
xy
xy xy
;
1
1
xy
xy
;
2
3
1
1
xy
xy
;
4
;
2
2
15
85
y
y
;
2 3
1
y x
xy
;
1
xy
;
XI HỆ PHƯƠNG TRÌNH 3 ẨN VỚI DẠNG TỔNG, TÍCH CƠ BẢN: ;
Bài mẫu: Giải hệ phương trình:
1 0
(1)
2
0
1
1
x
y
z
Trang 8Bài tập:
187 154 238
;
9
27
;
1 4 9
;
45 63 54
;
;
2 2 2
+ =
;
2 2 2
2 2 2
2
2
2
z
x
y
+ =
;
6 5 12 7 4 3
xy
yz
zx
=
+
+
+
;
24 5 24 7 4
xyz
xyz
xyz
=
+
=
+
+
;
2
3
4
+
+
;
1 2 1 3 1 4
yz x
zx y
xy z
+
+
;
2
2
2
2
7 21
6 18 4
;
2 3 4
;
2
2
2
2
2
2
;
= + +
;
0 0 0
;
;
XII HỆ CHỨA CĂN THỨC
35
(1)
(1) ⇔
30
⇔
3
30
uv
=
=
⇔
3
Trang 9Bài tập: ( 3) 3
1
;
1 1
x x
;
2 2
;
2
6
;
1
;
1 1
;
35 5
;
2 4
4
;
1
1
;
5 2 10
y x
;
1 3
x
y
;
78
y x
;
2
3
y
x
;
;
;
4 4
1 1
1 1
;
1
2
;
1 1
;
2 4
;
;
2
;
;
;
4
;
3
+ =
3
+ =
;
2
3
1
Trang 10XIII HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH
Bài 1 Giải hệ phương trình: a
(1) b
2 2 2
1 1 1
= +
= +
(2)
f u =u +u + ⇒ u f′( )u =3u2 +2u+ =1 2u2 +(u+1)2 ≥0 ,∀ u
suy ra hàm f u( ) đồng biến u∀ ∈ Không mất tính tổng quát giả sử
x≥y≥ ⇒z f x( )≥ f y( )≥ f z( ) ⇔ 2z+ ≥1 2x+ ≥1 2y+ ⇔ ≥ ≥1 z x y⇒ = = x y z
Khi đó hệ (1) ⇔
1 1
= = = −
x y z ≥ nên y+ ≥1 0;z+ ≥1 0;x+ ≥ ⇒ , ,1 0 x y z≥ − 1
z = + ≥ ⇒ > ⇒x z y = + > ⇒z y> Không mất tính tổng quát giả sử x≥y≥ > ⇒ z 0 2 2 2
0
x ≥y ≥z > ⇒ y+ ≥ + ≥ + 1 z 1 x 1
2
y+ =x < ⇒y≤ ⇒ + =z y < ⇒ ≤ Không mất z
tính tổng quát giả sử 1− ≤ ≤x y≤ ≤ ⇒z 0 2 2 2
0
x ≥ y ≥z > ⇒ y+ ≥ + ≥ + 1 z 1 x 1
2
2
2
x=y= =z −
Bài tập:
2 2 2
;
2 2 2
;
;
; ;
;
( ) ( ) ( )
3 2
3 2
3 2
2 2 2
1 4
1 4
1 4
x x
y y
z z
y z x
+ + +
=
=
Trang 11
XIV HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
Bài mẫu: Giải hệ phương trình:
512 8
2 2
Sử dụng công thức logm b logm a
2
Chú ý: log2 x, log2 y, log2 z cùng dấu suy ra ( ; ; ) { (16; 2; 4 ,) ( 1 1 1; ; ) }
16 2 4
4
4
4
4
y x
x y
−
−
;
5
11
4 3
4
;
5
y x x
−
;
( )
2 2
2
1 8
2
y x
x y
+ +
+
;
2
y x
x y
−
−
;
2 2
y x
;
2
2
;
( ) 2
1
x y
x y
+
=
;
16
;
3
4 2
y
;
8
x y y x
xy
;
9 8
y x
;
3
Trang 12( )
x
y
5
4
7
6 16
x
xy
;
2
2
;
27
2 log
3
;
2
2
2
;
2
2
y x
;
2
;
( )2
y x
;
1
x
y
−
= −
12
3
y
x
;
2
2
1
+
=
;
3
log
y
x
;
( )
( )
1
5 2
log
log
1
2
x y
x y
+
−
=
;
2
4
xy
=
;
( )
3 lg
26 1
2
y
−
=
;
x
y y
x
;
3
x
;
( )
1 lg
x y
;
2 2
3
1 log
x y
=
;
5
5 3
27
3 log
y x
−
;
3
x y
2
2
3
2 10
27
y
5
y
y
x x
;
3
y x
y x
+
=
;
2
x y
Trang 13log
;
2
4
1 6 log
2 x 2 x
;
3
log 2 1
x y x
x x y
+ + + +
;
3
log 4
3
625
y
y
x x
;
3
3
x
y
( )
lg 2
2
x y
x y
x y
−
−
−
;
2 log
y
x
;
2
1
y
x
;
5
2
log 2 log log 3 log
3 2
x
y
y
x
y x
;
( )
9
log 4
x y
−
;
( )
x y
y x
−
;
3 2
;
4
3
2 2
3
x
y
;
;
2
2
2 3
x y
+
− =
;
;
2
y x
y
;
;
2 2
3
;
;
2
x
y
;
4
1
25
y
;
3
2
x x
− +
;
Tìm a để hệ có nghiệm:
;
2
2
0
;
( )
3 3
2
1
3
x y x y
x y
+
−
Trang 14XV HỆ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
( )
1
1
a
a
−
Nhân hai vế của (1) với (–2) rồi cộng với (2) ta có: ( 3 )2 4
1
a
−
Điều kiện cần: (3) có nghiệm ⇔ 1+a< ⇔0 a< − 1
a
2
x y
Từ đó suy ra hệ bất phương trình đã cho có nghiệm
Kết luận: Hệ bất phương trình có nghiệm ⇔ a< − 1
Bài 2 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất:
2
2
1
x
Điều kiện cần: Nếu (x y, ) là một nghiệm thì (−x y, ) cũng là nghiệm của hệ nên để hệ có nghiệm duy nhất thì x= Thế 0 x= vào hệ suy ra 0 a=0 ∨ a= 2
Điều kiện đủ: Với a= dễ thấy hệ có 2 nghiệm 2 (0; 1 , 1; 0− ) ( ) (loại)
Với a= thì hệ ⇔ 0
( ) ( )
2
x
Từ (2) suy ra: x ≤1; y ≤ , khi đó: 1
2x + x ≥2 + x = +1 x ≥y+x , từ đó hệ có nghiệm duy nhất (x y; )=(0;1)
Bài tập: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất:
2
2
4
+ =
+ =
;
2
2 log 3
−
;
Tìm a để hệ có nghiệm b∀ :
2
1
;
;
bx
Trang 15XVI GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
1 1
Từ điều kiện x≥0,y≥ ⇒ 0 y+4≥2 ; x+ ≥ và hệ ⇔ 1 1 x= y= 0
Bài 2 Giải hệ phương trình
1
0
x
= −
=
Bài tập:
;
1
4 4
;
2
2
2
2
1
2
1
2
1
z
x
z
x
y
x
y
z
y
=
=
;
2 2 3
4
2 1 3 1 4
1
x y
z
=
+
=
=
;
;
2 4
2 4
1
1
x y
y x
;
2
2
2
= +
;
2 2
4
2 2
4
1
1
x
y
y
x
;
3 1
3
xyz
=
;
3
9
x y
;
;
2
;
2
2
2
2
2
2
x
y
y
z
z
x
=
;
4 4 4
1 1 1
x y
y z
z x
=
=
;
4 6 4 6 4 6
2
2
2
x y y z z x
;
2 2 2
x y x y z y z x z
=
−
=
−
=
−
;
Trang 16XVII GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
3
Nếu a < 0 thì hệ vô nghiệm Xét a ≥ 0:
u v
≥
+ =
( )C u: 2+v2=3(a+1) là họ các đường tròn tâm O(0, 0) bán kính R= 3(a+1) ( )d :u + = là họ các đường thẳng // với nhau tạo với Ou v a
góc 135°
Xét đường thẳng (d1) :u+ =v 3(a+1) đi qua A(R, 0); B(0, R) ∈(C)
và đường thẳng (d2) :u+ =v 6(a+1) tiếp xúc với (C) tại M
Nhìn vào đồ thị ⇒ để hệ có nghiệm thì (d) cắt (C) tại điểm có tọa độ dương
⇔ (d) nằm giữa (d1) và (d2) ⇔ 3(a+1)≤ ≤a 6(a+1)
⇔
2
2
2
a
Bài 2 Cho hệ bất phương trình:
2 2
a Tìm a để hệ có nghiệm b Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
2 2
2 2
2
4
6
⇔
−
(P1): y = f (x) là 1 parabol quay bề lõm
xuống dưới và có đỉnh là (−1, 1)
(P2): y = g(x) là 1 parabol quay bề lõm lên trên và cắt (P1) tại 0; 8
7
a Hệ đã cho có nghiệm ⇔ Đường thẳng y = a đi qua miền gạch chéo tạo bởi
(P1) và (P2) ⇔ 0 ≤ a ≤ 1
b Hệ đã cho có nghiệm duy nhất ⇔ Đường thẳng y = a cắt miền gạch chéo tại
một điểm duy nhất ⇔ a = 0 hoặc a = 1
3a+3
v
3a+3
6a+6
6a+6
y
O
x -1
1
-2/3
Trang 17XVIII GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
Bài 1 Giải hệ phương trình
Điều kiện: 1− ≤x y; ≤ Đặt 1 x=cos ;α y=cos ;β α β∈, [0;π thì hệ ]
1
x y
=
Bài 2 Giải hệ phương trình: {2x+x y2 =y; 2y+ y z2 =z; 2z+z x2 =x} (1)
Dễ thấy x= y= = là một nghiệm của hệ (1) và z 0 x= ±1;y= ±1;z= ± không là 1 nghiệm của (1) Khi đó biến đổi (1) ⇔
2
y
x= α α ∈ −π π α ≠ ±π suy ra y=tan 2 ;α z=tan 4 ;α x=tan 8α =tanα
⇒ 8
7
k
XIX GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
2 2
(1) có nghiệm ⇔ m≠2;m≠ và 7 (x x1; 2) (∩ x3;x4)≠ ∅ ⇒ m< 0
Ngược lại với m< thì dễ thấy hệ luôn có nghiệm 0 x= Vậy ycbt ⇔ 0 m< 0
( )
2
(1) ⇔ 4− < < − Đặt x 1 f x( )=x3 +3x2 −9x−10 Ta có f′( )x =3(x2 +2x−3)
f′ x = ⇔x= − x= Lập bảng biến thiên với chú ý f (−4)=10;f (−3)=17; ( 1) 1
f − = suy ra f x( )>0 ,∀ ∈ − −x ( 4; 1) Vậy nghiệm của hệ (1), (2) là (− − 4; 1)
Bài tập: Tìm a để hệ có nghiệm
2 2
2 2
2
2
Trang 18XX MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC & CAO ĐẲNG
Bài 1 (TSĐH 2008 – khối A) Giải hệ PT:
5 4 5
4
(1)
Đặt
2
=
2 2 2
5
4
5
4 4
= −
3
x y
=
Xét
2
Bài 2 (TSĐH 2008 – Khối D) Giải hệ PT:
Giải
( )
Từ điều kiện suy ra x+y> nên ( )0 1 ⇔x−2y− = ⇔1 0 x=2y+1 ( )3
Thay (3) vào (2) ta được (y+1) 2y=2(y+1)⇔ y= (do 2 y+ > ) 1 0 ⇒ = x 5 Vậy nghiệm của hệ là (x y; ) (= 5; 2)
Bài 3 (TSĐH 2003 – Khối B) Giải hệ phương trình
2 2 2 2
2 3
2 3
y y x x x y
=
+
Giải
=
=
Trang 19Bài 4 (TSĐH 2003 – Khối A) Giải hệ phương trình
3
(1)
Giải
Điều kiện x≠0 , y≠ 0
(1) ⇔
3
3
3 3
=
• Ta có
1
2
=
• Xét hệ
3
1
2
x
−
3
1
4
3
1
4
f x = f − >
1 3
Giải
Đặt u= x≥0 ; v= y≥ Sử dụng 0 u3 +v3 =(u+v)3 −3uv u( +v) thì
1
1 3
+ =
có nghiệm
1
+ =
có nghiệm
2
0
1
4 0
m
Trang 20Bài 6 (TSĐH 2006 – Khối A) Giải hệ PT 3
Giải
Điều kiện: x≥ −1, y≥ −1, xy ≥ Đặt t0 = xy (t≥ ) thì 0 t2 =xy Ta có:
3
+ = +
Thay xy=t2, x+y= + vào phương trình thứ hai ta nhận được: 3 t
3+ + +t 2 2 t + + + =3 t 1 16⇔2 t + +t 4=11− t
3
t
Với t= ta có 3 x+y=6, xy= Suy ra, nghiệm của hệ là 9 (x y; ) (= 3; 3)
Bài 7 (TSĐH 2005 – Khối B)
Giải hệ phương trình
( )
Giải
x
y
≥
< ≤
; ( )2 ⇔3 1( +log3x)−3 log3 y⇔log3x=log3 y⇔x=y Thay y= vào (1) ta có x x− +1 2−x= ⇔1 x− + − +1 2 x 2 (x−1 2) ( −x)= 1 (x 1 2) ( x) 0 x 1, x 2
Vậy hệ có hai nghiệm là (x y; ) (= 1; 1) và (x y; ) (= 2; 2)
Bài 8 (TSĐH 2002 − khối D) Giải hệ phương trình:
1
x
x
y
+
+
Hệ ⇔
x