PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN MỸ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp Họ tên: Đơn vị: Nguyễn Văn Hiến THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Nm hc 2012 - 2013 Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN Cơ sở lí luận .3 Cơ sở thực tiễn II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu .5 Đối tượng nghiên cứu .6 Phương pháp nghiên cứu B NỘI DUNG I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ phương trình đối xứng loại một Hệ phương trình đối xứng loại hai II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC 10 Phương pháp biến đởi tương đương .10 DẠNG 1: Trong hệ có phương trình bậc ẩn x hay ẩn y 10 DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình hệ đưa dạng tích 15 Phương pháp đặt ẩn phụ 20 Phương pháp đánh giá 26 C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 30 I GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM .30 II KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM 36 Kết quả kiểm tra trước tiến hành dạy thực nghiệm 36 Kết quả kiểm tra sau tiến hành dạy thực nghiệm .36 So sánh đối chứng trước và sau tiến hành thực nghiệm 37 D KẾT LUẬN 38 I NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ 38 II BÀI HỌC KINH NGHIỆM .39 III KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 40 IV KẾT LUẬN CHUNG .40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 41 A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN Cơ sở lí luận Kiến thức về phương trình, hệ phương trình chương trình toàn của bậc học phổ thông là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp Gi¸o viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mü, Hng Yªn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP học sinh tiếp cận đến các nội dung khác chương trình toán học, vật lí học, hoá học, sinh học của bậc học này Trong chương trình toán của bậc học phổ thông, bắt đầu từ lớp học sinh được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cùng với đó học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”; “Quy tắc cộng đại số” Trong chương trình toán lớp và lớp học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ở mẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương trình chứa dấu Thông qua việc học các dạng phương trình học sinh được trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại số, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ, không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này là hệ phương trình không mẫu mực Việc giải các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương đương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phương trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện những đặc điểm rất riêng của từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ Cơ sở thực tiễn Tuy nội dung chương trình toán lớp và lớp đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các phương pháp giải Trong đó, việc trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực hầu không được đề cập tới sách giáo khoa và cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học sở Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ kiến thức của học sinh Chính vì vậy, nội dung các đề thi hoc sinh gioi Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên MễT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Hưng Yên, đề thi khảo sát chất lượng học kì môn toán nhiều năm gần của Sở Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinh phải giải các hệ phương trình không mẫu mực, với mục đích phân loại đối tượng học sinh Không những vậy, nội dung đề thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên của trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội ở môn toán vòng 1, vòng xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc kiểu hệ không mẫu mực Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực không có, chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng dạy đến chuyên đề này Vì vậy, dạy đến nội dung này giáo viên thường dạy lướt qua bằng một số ví dụ minh hoạ chưa làm rõ được những đường lối chung để giải các hệ phương trình không mẫu mực Chính vì những lí mang tính lí luận và thực tế mà chọn sáng kiến của mình là “Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9” II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp của cấp trung học sở Nhiệm vụ cần đạt: - Chỉ được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực - Đưa hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư kiờn thc bụ mụn Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên MễT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP - Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ phong phú cho tứng phương pháp Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cần lưu ý tiến hành giải các hệ phương trình loại này Phương pháp nghiên cứu Để hoàn thiện sáng kiến này đã sử dụng các phương pháp nghiên cưu sau: - Phương pháp vật biện chứng và vật lịch sử - Phương pháp trừu tượng hoá khoa học - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê - Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sát điều tra thực tế B NỘI DUNG I MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Định nghĩa: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:  ax + by = c  a ' x + b ' y = c ' (1) (2) đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước, a + b ≠ và a '2 + b '2 ≠ Nghiệm của hệ là cặp số ( x; y ) thoả mãn đồng thời hai phương trình (1) và (2) của hệ Giải hệ tức là tìm tất cả cac nghiờm cua hờ Cach giai: Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Trong chương trình toán trung học sở để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp: - Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế; - Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số Để minh hoạ cho hai phương pháp này ta xét ví dụ sau: 3 x − y = 2 x + y = Ví dụ Giải hệ phương trình  (1) (2) Lời giải: Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế) - Từ phương trình (2) của hệ, rút y theo x ta có y = − x Thay vào phương trình (1) của hệ ta được: 3x − ( − x ) = Hay x = 14 - Theo quy tắc thế hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình 7 x = 14 x = ⇔  y = − 2x y =1 sau:  Vậy hệ có nghiệm nhất ( x; y ) = ( 2; 1) Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số) - Nhân cả hai vế của phương trình (2) với rồi cộng với phương trình (1) vế với vế ta được: ( x + y ) + ( 3x − y ) = 10 + Hay x = 14 - Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ 7 x = 14 x = ⇔ 2 x + y = y =1 phương trình sau:  Vậy hệ có nghiệm nhất ( x; y ) = ( 2; 1) Nhận xét: Trong chương trình toán lớp 10 của cấp THPT học sinh mới bắt đầu tiếp cận đến việc giải hệ phương trình bằng phương pháp sử dụng định thức cấp Bằng phương pháp sử dụng định thức ta có thể giải hệ phương trình sau: 3 x − y = có: 2 x + y = Hệ phng trinh Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên MễT Sễ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP D= −2 −2 = 3.1 + 2.2 = ≠ 0; Dx = = 4.1 + 5.2 = 14; Dy = = 3.5 − 2.4 = 5 Dx 14  x = D = =  Suy hệ có nghiệm nhất:  D y = y = =1  D  Hệ phương trình đối xứng loại một Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại một nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y (nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi ta đổi vai trò của x và y cho nhau) Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ Cách giải thường dùng: Đặt S = x + y và P = xy , với điều kiện S2 − 4P ≥ đưa hệ đã cho về hệ đơn giản đã biết cách giải  x + y + xy = 11  2  x + y + ( x + y ) = 28  Ví dụ Giải hệ phương trình  Lời giải: Đặt S = x + y và P = xy , đó hệ đã cho có dạng: (1)  S + P = 11   S − P + 3S = 28 (2) Từ (1) suy P = 11 − S , thay vào phương trình (2) ta được: S − ( 11 − S ) + 3S = 28 hay S + 5S − 50 = Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: S = 5; S = −10 * Nếu S = thì P = 6, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai: t = t − 5t + = ⇔ ( t − ) ( t − 3) = ⇔  t = Suy ( x; y ) = ( 2; 3) hoặc ( x; y ) = ( 3; ) * Nếu S = −10 thì P = 21, nên x, y là các nghiờm cua phng trinh bõc hai: Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP  t = −3 t + 10t + 21 = ⇔ ( t + 3) ( t + ) = ⇔   t = −7 Suy ( x; y ) = ( −3; − ) hoặc ( x; y ) = ( −7; − 3) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: ( 2; 3) ; ( 3; ) ; ( −3; − ) ; ( −7; − ) Hệ phương trình đối xứng loại hai Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại hai nếu hệ phương trình, đổi vai trò của x và y cho thì phương trình này trở thành phương trình Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận x − y = được phương trình tích dạng ( x − y ) f ( x, y ) = ⇔ f x, y = )  ( Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản có thể giải được  x + = y (1)  Ví dụ Giải hệ phương trình sau:   y + = x (2)  Lời giải: Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được: x3 − y = ( y − x ) ⇔ ( x − y ) ( x + xy + y + ) = y  ⇔ x − y = (V × x + xy + y + =  x + ÷ + y + > ∀x, y ) 2  ⇔ y = x 2 Thay y = x vào phương trình (1) ta được: x = x − x + = ⇔ ( x − 1) ( x + x − 1) = ⇔   x = Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yªn MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: ( 1; 1) ;  −1 − −1 −   −1 + −1 +  ;  ÷;  ÷  ; ÷  2 ÷     II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC Phương pháp biến đổi tương đương Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy tắc biến đổi tương đương quy tắc thế, quy tắc cộng đại số Cùng với đó ta cần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình quá trình biến đổi quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình phương lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất nhân tử chung,… Nhìn chung việc biến đổi tương đương các hệ phương trình loại này đòi hỏi người làm phải rất khéo léo và linh hoạt từng bước biến đổi Ta có thể vận dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ không mẫu mực các tình huống sau DẠNG 1: Trong hệ có phương trình bậc ẩn x hay ẩn y x − y +1 = Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  2  x − y + xy − = Lời giải: Ta có: x − y +1 =  2  x − y + xy − = x = y −1  ⇔ 2 ( y − 1) − y + y ( y − 1) − =  x = y −1  ⇔ 5 y ( y − 1) =    x = y −   x = −1   y =  y = ⇔ ⇔  x = y −  x =    y =  y =   Vậy hệ có hai nghiệm: ( −1; ) ; ( 1; 1) Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên 10 MễT Sễ PHNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Với x = ⇒ z = −1, với x = −1 ⇒ z = Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( 1; 1; − 1) ; ( −1; 1; 1.) Nhận xét: - Cũng ví dụ 1, hệ phương trình có số ẩn nhiều số phương trình của hệ,do đó ta cũng phải tìm cách đánh giá giá trị các vế của phương trình từ đó xác định được giá trị của một các ẩn - Ta cũng có thể giải hệ bằng các cách đánh giá theo các cách biến đổi khác nhau, xuất phát từ các phương trình cũng từ những đặc điểm riêng khác 697  x + y = 81 Ví dụ Giải hệ phương trình sau  2  x + y + xy − x − y + =  Lời giải: Phương trình thứ hai của hệ được viết lại sau: x + ( y − 3) x + ( y − y + ) = Phương trình là phương trình bậc hai với ẩn x có ∆ x = ( y − 3) − ( y − ) 2 Để phương trình có nghiệm thì ∆ x ≥ ⇔ ≤ y ≤ Tương tự coi phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc hai với ẩn y ta cũng có: ≤ x ≤ 4     697 ⇒ x = ; y = Từ đó suy ra: x + y ≤  ÷ +  ÷ = 81 3 3 3 Thay x = ; y = vào hệ ban đầu thấy không thoả mãn Vậy hệ đã cho vô nghiệm Nhận xét: Trong ví dụ thứ này, chúng ta đã sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai để xác định miền giá trị của hai ẩn x và y, từ đó tiến hành đánh giá giá trị hai vế của phương trình thứ nhất rồi suy gia tri cua x Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên 28 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP và y phải nhận.Tuy nhiên, phép biến đổi là không tương đương nên ta phải đem cặp giá trị (x; y) tìm được thay vào hệ ban đầu để kiểm tra xem chúng có đúng là nghiệm của hệ hay không Ví dụ Giải hệ phương trình sau  x +1 + x + + x + =   2  x + y + x + y = 80  y −1 + y − + y − Lời giải:  x ≥ −1  y ≥ ĐK:  Nhận thấy nếu thay x = y − vào phương trình thứ nhất của hệ thì vế trái bằng vế phải Do đó ta xét các trường hợp sau: * Nếu x > y − thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: VT = x + + x + + x + > y − + y − + y − = VP Do vậy hệ không có nghiệm x > y − * Nếu x < y − thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta có: VT = x + + x + + x + < y − + y − + y − = VP Do vậy hệ không có nghiệm x < y − Do đó hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau: x = y −  2  x + y + x + y = 80 x = y − ⇔ 2 y − 11 y − 50 =  −7 + 5 x =  ⇔ hc y = 5+ 5   x = y −  ⇔ 2 ( y − ) + y + ( y − ) + y = 80  x = y − ⇔  y − y − 25 =  7+5 x = −   y = −5    −7 + 5 + 5   + 5 − 5  ; ; ÷;  − ÷ 2 ÷  2 ÷     Vậy hệ đã cho có hai nghiệm:   BÀI TÂP Giải các hờ phng trinh sau: Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên 29 MễT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP  x + y + x + y −9 +  y −4+ x =  y −x+4 1)   9 + ( y − ) = x + y  x  2 + y = y − x − y 3)   x + x − y = x + 3y −   x − y −1 + x − y  y − 2x + =  y + 2x − 2)    y + x − y = + x − y − − ( x − 3)  x + y + z =  4)  ( + x ) ( + y ) ( + z ) = + xyz  ( x + y + z = 5)   xy − z =  2x2 1 + x = y   y2 6)  =z 1 + y  2z =x  1 + z  x2 + y2 + z =  7)  x y z  y + z + x =9  )  x = ( y − 1) ( z + )   8)  y = ( z − 1) ( x + )   z = ( x − 1) ( y + )  C THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM I GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM Dưới xin giới thiệu giáo án tiết triển khai sáng kiến sau học sinh lớp học xong công thức nghiệm của phương trình bậc hai tại lớp 9B trường THCS Đoàn Thị Điểm năm học 2012 - 2013 A - MỤC TIÊU: Sau học xong tiết học này: - Học sinh nằm số phương pháp giải hệ phương trình bậc cao, phương pháp thế, phương pháp đưa về phương trình tích - Học sinh biết vận dụng phương pháp để tiến hành giải số tập cụ thể thuộc kiểu lên lớp tiết học B - CHUẨN BỊ CỦA GIÁO VIÊN VÀ HỌC SINH: GV: Giáo viên chuẩn bị hệ thống kiến thức có liên quan đến chủ đề, ví dụ tập điển hình nhằm nêu bật nội dung phương phỏp Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị §iĨm, Yªn Mü, Hng Yªn 30 MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP HS: Nằm vững phân tích đa thức thành nhân tử, các phép biến đởi tương đương mợt hệ phương trình (phương pháp thế, phương pháp cợng đại sớ) C - TIẾN TRÌNH DẠY - HỌC: HOẠT ĐỘNG CỦA THÀY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ HS1: Phát biểu quy tắc thế gồm GV: - Nêu quy tắc thế để giải hệ bước SGK phương trình? Áp dụng: - Áp dụng giải hệ phương trình 2 x − y = 3 x − y = 14 sau:   x − ( x − 14 ) = 2 x − y =  ⇔   y = 3x − 14 3 x − y = 14  7 x = 35 x = ⇔ ⇔  y = 3x − 14  y = GV: Gọi HS nhận xét câu trả lời Vậy hệ đã cho có nghiệm nhất: và bài làm của HS1 bảng ( 5; 1) HS2: Phát biểu quy tắc cộng đại số GV: - Nêu quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình? - Áp dụng giải hệ phương trình 3 x − y = sau:  5 x + y = 12 GV: Gọi HS nhận xét câu trả lời và bài làm của HS2 bảng GV: Quy tắc thế và quy tắc cộng gồm bước SGK Áp dụng: 3 x − y =  5 x + y = 12 ( x − y ) + ( x + y ) = + 12  ⇔ 3 x − y =  8 x = 16 x = ⇔ ⇔ 3 x − y = y =1 Vậy hệ đã cho có nghiệm nhất: ( 2; 1) đại số mà các em đã được học để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Với việc vận dụng hai quy tắc Gi¸o viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mü, Hng Yªn 31 MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP còn giúp các em giải được nhiều loại hệ phương trình khác nữa Bài học hôm nay, thày và các em cùng tìm cách vận dụng các quy tắc để giải một số hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hoạt động 2: Vận dụng quy tắc thế để giải hệ Dạng 1: Vận dụng quy tắc thế Lời giải: Ví dụ Giải hệ phương trình  x + y + x + y = 15  x + y =  x + (3 − x ) + x + 6(3 − x) = 15 ⇔ y = 3− x  x + y + x + y = 15  x + y = GV: Với hệ phương trình các ⇔ 2 x − 11x + 12 =  y = 3− x em nhận thấy ta không thể sử  dụng quy tắc cộng đại số được ⇔  x = hc x =  y = 3− x  Tuy nhiên, ở phương trình thứ hai của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn x, bậc nhất đối với ẩn y Do đó, ta có thể vận dụng quy tắc thế để tính x theo y (hoặc tính y theo x) rồi thế vào phương trình  x = x =  ⇔ hc   y = −1 y =   Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( 4; 3 3 − 1) ;  ; ÷ 2 2 thứ nhất ta nhận được phương trình chỉ là một ẩn, vì thế ta có thể tìm được giá trị của các ấn GV: Gọi một HS lên bảng giải hệ HS: Ví dụ Giải hờ phng trinh Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên 32 MễT Sễ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP  x y + x + y − 15 =   2 x + y − 2x − y − =   x y + x + y − 15 =   2 x + y − 2x − y − =  GV: Trong hệ phương trình chúng ta nhận thấy phương trình thứ nhất của hệ là bậc nhất với ẩn y, nên ta có thể sử dụng phương pháp thế  15 − x y = x +3  ⇔ 2  x +  15 − x  − x −  15 − x  − =  ÷  ÷   x +3   x +3    15 − x (1) y = ⇔ x +3  x8 + x6 + x − 144 x = (2)  * Giải phương trình (2): GV: Gọi HS lên bảng tiến hành giải hệ, HS dưới lớp làm bài vào vở x8 + x + x − 144 x = ⇔ x ( x + x + x − 144 ) = ⇔ x ( x − ) ( x + ) ( x + x + 32 ) = GV: Như vậy, qua ví dụ này các em thấy nếu ở một phương trình của hệ là bậc nhất với một ẩn nào x = ⇔ x =   x = −2  đó thì việc vận dụng quy tắc thế Từ đó ta tìm được các nghiệm của có thể giải được hệ Tuy nhiên, hệ: sử dụng quy tắc này thường (2; 1), (−2; 1), (0; 5) dẫn đến một phương trình bậc cao, mà việc giải chúng đòi hỏi các em phải nhẩm được một vài nghiệm hữu tỉ của nó rồi tiến hành đưa phương trình về dạng tích Hoạt động 3: Đưa một phương trình về dạng tích rồi vận dụng quy tắc thế để giải hệ Ví dụ Giải hệ phương trình sau Lời giải: Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yªn Mü, Hng Yªn 33 MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP  x − x( y − 1) + y + y ( x − 3) =   x − xy − y = GV: Với hệ trường hợp này ta không thể áp dụng quy tắc thế vì cả hai phương trình của hệ đều không là bậc nhất với ẩn x hay ẩn y Tuy nhiên ta có thể biến  x − x( y − 1) + y + y ( x − 3) =   x − xy − y = ( x − y ) + ( x − y ) − =  ⇔  x − xy − y =  ( x − y − 1) ( x − y + ) =  ⇔  x − xy − y =   x − y − =   x − xy − y = ⇔  x − y + =    x − xy − y =  đổi phương trình thứ nhất của hệ x − y −1 = về dạng tích và sau đó ta tiếp tục * Giải hệ:  x − xy − y =  vận dụng quy tắc thế cho các hệ mới nhận được GV: Trình bầy mẫu với hệ ví dụ GV: Như vậy, chúng ta thấy phương pháp thế vẫn được sử x − y −1 =   x − xy − y =   y = x −1 ⇔  x − x ( x − 1) − ( x − 1) =   y = x −  x = 1; y = ⇔ ⇔  x = −1; y = −2 x = x − y + =  x − xy − y = * Giải hệ:  x − y + =   x − xy − y =  y = x + ⇔  x − x ( x + 4) − ( x + 4) =  y = x + dụng ví dụ này Sau thế ⇔  ta nhận được một phương trình  x + 5x + = của hệ là phương trình bậc hai với Hệ này vô nghiệm vì phương trình ẩn x, ta có thể sử dụng công thức x + x + = vô nghiệm nghiệm để giải Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( 1; ) , ( −1; − 2) Lời giải: Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yªn Mü, Hng Yªn 34 MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP Ví dụ Giải hệ phương trình sau 2 x − y + xy + y − x + = (1)   2 (2) x + y + x + y − =  2 x − y + xy + y − x + =   2 x + y + x + y − =  GV: Các em hãy tìm cách phân ( x + y − ) ( x − y − 1) =  ⇔ 2 x + y + x + y − =   x + y − = (a)  2  x + y + x + y − = ⇔ 2x − y −1 =  (b)   x + y + x + y − =  tích phương trình thứ nhất của hệ * Giải hệ (a): (Đề thi tuyển sinh THPT chuyên Hưng Yên năm 2012) đưa về dạng tích rồi từ đó giải hai hệ phương trình nhận được GV: Gọi HS lên bảng biến đổi và giải hệ đã cho x + y − =  2 x + y + x + y − = y = 2− x  ⇔ 2 x + ( − x) + x + ( − x) − =  y = 2− x x = ⇔ ⇔ y =1 x − 2x +1 = * Giải hệ (b): 2 x − y − =  2 x + y + x + y − =  y = 2x −1  ⇔ 2  x + ( x − 1) + x + ( x − 1) − =  GV: Gọi học sinh dưới lớp nhận xét bài làm của bạn bảng  y = 2x −1 ⇔ 5 x − x − =  x =   y =  ⇔   x = −4     −13  y =  Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: −4 −13  ; ÷   ( 1; 1) ;   Hoạt động 3: Hướng dẫn học tập ở nhà - Xem lại ví dụ Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yªn Mü, Hng Yªn 35 MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP - Làm tập sau:  x − x( y − 1) + y + y ( x − 3) = 1)   x − xy − y =  x + xy + y =  2)   y + xy + x =  x2 + x = y + y  3)  2 x + y = 3( x + y )   x + 7x = y + y 4)  2 x + y = x + y +   x2 + y2 + x + y =  5)   x ( x + y + 1) + y ( y + 1) =  II KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM Kết quả kiểm tra trước tiến hành dạy thực nghiệm Để có kết quả đối chứng trước tiến hành dạy thực nghiệm đối với học sinh, đã tiến hành cho 32 học sinh lớp 9B trường THCS Đoàn Thị Điểm năm học 2012-2013 làm bài kiểm tra tiền thực nghiệm với nội dung đề bài sau: ĐỀ BÀI: Giải các hệ phương trình sau: 2 x + y = a)  2 x + y − x + y = 2 x + y − xy − x + y =  b)  2  x + y − 5x − y + =   x2 + y2 =  c)  2 5 x − xy + y = 11   x + y − xy = 13  d)  7 x − 13 x + y = 18  BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TIỀN THỰC NGHIỆM Dưới Điểm Số lương (32 hs) Tỉ lệ % 0-2 14 44% 3-4 12 38% 5-6 18% 7-8 Trên - 10 trung trung 0% bình 26 82% bình 18% 0% Kết quả kiểm tra sau tiến hành dạy thực nghiệm Sau tiến hành triển khai nội dung của sáng kiến với chuyên đề “Giải hệ phương trình không mẫu mực” đối với 32 học sinh lớp 9B nhóm thực nghiệm tại trường THCS Đoàn Thị Điểm năm hoc 2012-2013, tụi tiờn Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên 36 MễT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP hành cho nhóm học sinh làm bài kiểm tra hậu thực nghiệm với nội dung đề sau: ĐỀ BÀI: Giải các hệ phương trình sau: 3 x + y = a)  2  x + y + 3x + y = 2 x + y − xy − x + y =  b)  2 x + y − 4x + y =   x − xy + x + =  c)   y − xy − y + =   x + y − xy + x =  d)   x − xy + x − y =  BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ HẬU THỰC NGHIỆM Dưới Điểm Số lương (32 hs) Tỉ lệ % 0-2 0% 3-4 12% 5-6 16% 7-8 11 34% Trên - 10 trung trung 12 38% bình 12% bình 28 88% So sánh đối chứng trước và sau tiến hành thực nghiệm BIỂU ĐỒ SO SÁNH KẾT QUẢ TRƯỚC VÀ SAU TIẾN HÀNH DẠY THỰC NGHIỆM Nhận xét Nhìn vào biểu đồ ta có thể nhận thấy: - Kết quả khảo sát trước tiến hành dạy thực nghiệm cho thấy, học sinh hầu chưa có kỹ vận dụng các phương pháp thế, phương pháp cộng đại số vào việc giải các hệ phương trình không mẫu mực thuục kiờu bõc Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên 37 MễT Sễ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP hai khá đơn giản Kết quả là 82% học sinh chỉ đạt điểm dưới 5, thế nữa kết quả học sinh đạt điểm trung bình chỉ ở mức 5-6 điểm - Kết quả khảo sát sau tiến hành dạy thực nghiệm đã thể hiện rất rõ mức độ nắm vững kiến thức cả về phương pháp và kỹ vận dụng các phương pháp đó vào việc giải các hệ phương trình cụ thể Không có học sinh đạt điểm 0, số học sinh điểm dưới trung bình chỉ là học sinh; điểm trung bình chủ yếu là điểm từ đến 10 D KẾT LUẬN I NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ - Do vấn đề hạn chế về mặt kiến thức toán, phương pháp giải toán của học sinh THCS, nên sáng kiến kinh nghiệm này mới chỉ đề cập đến một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực phù hợp với trình độ lực của đối tượng là học sinh lớp của bậc học trung học sở Trong thực tế, để giải các hệ loại này ta có thể sử dụng các kiến thức về tính đơn điệu của hàm số, sử dụng các kiến thức về bất đẳng thức bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Bunhiacôpxki, … để tiến hành đánh giá - Trong sáng kiến này cũng không đề cập đến một loại hệ phương trình cũng thường gặp, đó là hệ phương trình hoán vị vòng quanh, hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ phương trình đẳng cấp, vì là những loại hệ về bản đã có hướng giải quyết chung cho chúng - Kết quả thực nghiệm của sáng kiến này chỉ mới tiến hành một số lượng học sinh là 32 em, với đối tượng và chủ yếu là học sinh khá, học sinh giỏi mà chưa tiến hành thực nghiệm các đối tượng học sinh trung bình, học sinh ở các đơn vị trường học khác Vì vậy, kết quả thực nghiệm có thể chưa thực sự chuẩn xác và có tính thực tiễn cao đối với các đối tượng học sinh trung bình trở xuống - Hệ thống bài tập luyện tập tác giả đã cố gắng lựa chọn và sắp xếp nhằm mục đích làm tài liệu để học sinh có thể luyện tập, giáo viên có thể lấy làm bài tập tham khảo Tuy nhiên, thời gian tiờn hanh nghiờn cu va hoan thiờn Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yªn 38 MỢT SỚ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP sáng kiến còn ít nên các bài tập đưa có thể chưa phong phú, chưa phát huy được hết khả tư của học sinh quá trình học tập II BÀI HỌC KINH NGHIỆM Khi thực hiện áp dụng sáng kiến của mình vào thực tế giảng dạy tại trường THCS Đoàn Thị Điểm, bản thân đã nhận thấy một số bài học kinh nghiệm cân được nêu để các đồng nghiệp nghiên cứu và vận dụng vào công tác giảng dạy bộ môn Toán nói chung và đặc biệt là nội dung “Giải hệ phương trình không mẫu mực” nói riêng đạt kết quả tốt đó là: Chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực là một chuyên đề khó đối với học sinh, đặc biệt là đối với học sinh THCS Tuy nhiên nội dung này thường được đưa vào các đề tuyển sinh vào các trường chuyên, lớp chọn và các đề thi học sinh giỏi Vì vậy, việc giảng dạy chuyên đề này cho đối tượng là học sinh THCS đòi hỏi giáo viên cần có sự chuẩn bị kỹ lưỡng về kiến thức cho học sinh, nhất là các nội dung: - Các phương pháp giải phương trình đại số như: phương pháp đưa về phương trình tích; phương pháp đưa về dạng tổng các bình phương; phương pháp đặt ẩn phụ; phương pháp sử dụng tính đối nghịch (phương pháp đánh giá giá trị hai vế của phương trình); phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ của một đa thức; … Tất cả các nội dung này giáo viên cần chuẩn bị chu đáo cho học sinh từ giữa học kì II của lớp - Các quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình: quy tắc thế và quy tắc cộng đại số, học sinh được học ở chương III Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn chương trình Đại số Thực tế qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân của tác giả nhận thấy, là một chuyên đề khó đối với học sinh nếu giáo viên tận tâm, nhiệt tình thì việc giúp học sinh tiếp thu nội dung kiến thức của chuyên đề này không quá khó khăn Với mỗi hệ phương trình không mẫu mực thường có khá nhiều cách giải khác nhau, đó giảng dạy giáo viên cần phát huy tính sáng tạo của học sinh Giáo viên nên hướng dẫn học sinh tiếp cận đến cách giải hờ cõn rõt Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên 39 MễT Sễ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP linh hoạt, tuỳ vào đặc tính riêng của từng hệ, cố gắng cho học sinh giải các hệ đưa bằng các phương pháp khác nhau, đặc biệt là các phương pháp mà học sinh đã được tiếp cận trước đó Do mức độ tư của học sinh THCS còn hạn chế, nên giảng dạy nội dung này giáo viên cần hết sức bình tĩnh, từng bước hướng dẫn các em phân tích đặc điểm riêng biệt của từng hệ sở phân dạng theo đường lối chúng III KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN - Như đã trình bầy nội dung lí chọn sáng kiến, sáng kiến kinh nghiệm này được viết nhằm mục đích phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đối với học sinh lớp của cấp THCS và ôn tập thi vào các trường chuyên, lớp chọn của bậc THPT - Những nội dung sáng kiến cũng có thể làm tài liệu cho học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn tập thi vào các trường Đại học, Cao đẳng, làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp bộ môn Toán của bậc THCS và THPT - Để có thể triển khai nội dung của sáng kiến này đạt kết quả tốt đối với học sinh, đòi hỏi giáo viên cần chuẩn bị cho học sinh các kiến thức về: các phương pháp giải phương trình đại số; phương pháp giải hệ đối xứng, hệ đẳng cấp; các kiến thức bản về bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức - Đối với học sinh lớp của bậc THCS, ta chỉ nên áp dụng sáng kiến này học sinh đã được học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai, tốt nhất là học sinh đã hoàn thành chương trình toán của bậc THCS và chuẩn bị ôn thi học sinh giỏi vào cuối năm, ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn của bậc THPT IV KẾT LUẬN CHUNG Giải hệ phương trình không mẫu mực là một yêu cầu khó các đề thi, để kiểm tra Để giải được những hệ loại này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về phương trình và hệ phương trình, học sinh phải rất linh hoạt về cách giải cho từng hệ khác Với đặc điểm này mà ta co thờ anh Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên 40 MễT Sễ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP giá được tính mềm dẻo, tính linh hoạt tư của học sinh, khả phát hiện tình huống có vấn đề tốt của người học Đây chính là lí mà nội dung các đề thi chọn học sinh giỏi của bậc THCS cũng của bậc THPT và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng hiện hầu không thể thiếu được yêu cầu này Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp huyện, cấp tỉnh và đặc biệt là ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào các trường chuyên, lớp chọn và ngoài tỉnh Tác giả hy vọng sáng kiến kinh nghiệm của mình có thể là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các đồng nghiệp giảng dạy toán, góp phần giúp cho nâng cao chất lượng giáo dục đại trà và đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi bậc trung học Yên Mỹ, ngày 12 tháng năm 2013 Người viết sáng kiến Nguyễn Văn Hiến TÀI LIỆU THAM KHẢO 1/ Một số vấn đề phát triển đại số – Vũ Hữu Bỡnh (NXBGD); Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên 41 MễT Sễ PHNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 2/ 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp - Nguyễn Văn Vĩnh, Nguyễn Đức Đồng (NXBGD); 3/ Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS phần “Đại số” – Nguyễn Vũ Thanh (NXBGD); 4/ Toán nâng cao chuyên đề “Đại số 9” - Vũ Dương Thuỵ, Nguyễn Ngọc Đạm (NXBGD); 5/ Tuyển tập 30 năm Toán học và tuổi trẻ – (NXBGD) 6/ Đại số 10 – Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (NXBGD) 7/ Phương trình bậc hai và một số ứng dụng – Nguyễn Đức Tấn, Vũ Đức Đoàn, Trõn c Long, Nguyờn Anh Hoang, (NXBGD) Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yªn 42 ... việc cộng, trừ phương trình hệ theo vế chia hai vế phương trình hay hai phương trình hệ cho đại lượng khác phương trình, nhờ nhận việc phải chọn ẩn phụ cho hợp lí Ví dụ Giải hệ phương trình sau:... nghiệm: 19     −2 −1   19 ; ÷;  ; ÷;  ; ÷;   19   19 ÷ 3 3    −3 19 − 19  ;  ÷  19 19 ÷   Nhận xét: Trong hệ phương trình trên, phương trình thứ nhất chính là phương. .. Học sinh nằm số phương pháp giải hệ phương trình bậc cao, phương pháp thế, phương pháp đưa về phương trình tích - Học sinh biết vận dụng phương pháp để tiến hành giải số tập cụ thể