Đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 12 môn Toán

Tổng hợp chọn lọc nhiều đề thi học sinh giỏi tỉnh của lớp 12 của các tỉnh thành phố trong cả nước những năm gần đây. Nhiều đề thi và có lời giải chi tiết, các câu hỏi được chọn lựa kỹ càng phù hợp để được giải trong kỳ thi.

6 11 Đề thi ch ọ n h ọ c sinh gi ỏ i Toán 12 n ă m 2016 s ở GD và Đ T Qu ả ng Ninh 42

8 11 De va dap an thi chon HSG Toan lop 12 nam hoc 20142015 cua tinh Vinh Phuc 56

11 Đề thi ch ọ n h ọ c sinh gi ỏ i Toán 12 n ă m 2016 s ở GD và Đ T Qu ả ng Ninh 41

11 De va dap an thi chon HSG Toan lop 12 nam hoc 20142015 cua tinh Vinh Phuc 55

SỞ GD&ĐT HẢI DƯƠNG

NHÓM 11 TRƯỜNG THPT

ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: Toán

Ngày thi 24/9/2022 Thời gian làm bài: 180 phút, không tính thời gian phát đề

+

=

− có đồ thị là ( )C Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng lần

lượt tại A,B sao cho AB=IA 10

2 Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x−m3+4m−2 Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm

số có hai điểm cực trị sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cắt đường tròn (x 3)− 2+ −(y 2)2 =14tại 2 điểm A, B phân biệt thỏa mãn AB = 9

Câu II( 2 điểm) 1 Giải hệ phương trình ( )

Câu III(2 điểm) 1 Cho dãy số (u n) được xác định như sau: 1 2 *

u n

2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi ,

H Klần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD Biết A( )4;6 , phương trình của HK:

3x−4y− =4 0, điểm C thuộc đường thẳng d1: x+ − =y 2 0, điểm Bthuộc đường thẳng d2:

x− y− = và điểm Kcó hoành độ nhỏ hơn 1 Tìm tọa độ các điểm B C D, ,

Câu IV( 3 điểm) Cho hình chóp S ABC

1 Cho SA vuông góc với đáy, SC =2 2, BCS =45, góc giữa hai mặt phẳng(SAB và ) (SBC bằng 90 , góc giữa hai mặt phẳng ) (SAC và ) (SBC)bằng 60 Tính thể tích khối chóp

lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABC

Câu V( 1 điểm) Choa b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng:

-HẾT - HƯỚNG DẪN CHẤM

+

=

− có đồ thị là ( )C Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận

Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C biết tiếp tuyến đó cắt đường tiệm cận ngang và

tiệm cận đứng lần lượt tại A, Bsao cho AB= 10IA

3

31

3

31

Với x =0 2 M( )2;5 Phương trình tiếp tuyến : y= − +3x 11

Với x =0 0 M(0; 1−  Phương trình tiếp tuyến : ) y= − −3x 1 0,25

2 Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x−m3+4m−2 Tìm các giá trị của m để

đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị cắt 1,0

3 *3

1

3

x x

I

 +

  Phương trình có tối đa 2 nghiệm

Mà g( )1 =g( )6 = , nên 0 ( )4 có hai nghiệm x=1,x=6

Vậy nghiệm( )x y của hệ phương trình là ; ( )1;1 và 6;1

6

2 Một trường học có 27 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ trong đó có đúng 2

cặp vợ chồng Nhà trường chọn ngẫu nhiên 5 người trong số 42 giáo viên trên đi công

tác Tính xác suất sao cho trong 5 người được chọn có đúng một cặp vợ chồng

Cần chọn 3 người trong số 40 người còn lại ( trừ A B, ) mà không có cặp (C D , )

Số cách chọn 3 người bất kỳ trong số 40 người là 3

u n

2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A trên BD và CD Biết A( )4;6 , phương trình của

HK: 3x−4y− =4 0, điểm C thuộc đường thẳng d1: x+ − =y 2 0, điểm Bthuộc đường

thẳng d2: x−2y− =2 0và điểm Kcó hoành độ nhỏ hơn 1 Tìm tọa độ các điểm B C D, ,

1,0

Gọi E=ACHK

Tứ giác AHKD nội tiếp HAD=HKC

Tứ giác ABCD nội tiếp ABC=ACD

Tam giác ABD vuông tại AABD=HAD

Vì vậy HKC =ACD hay tam giác ECK cân tại E EC=EK

0,25

a a

Viết được phương trình AD x: −2y+ =8 0

Viết được phương trình CD x: +2y=0

Tìm được D −( 4; 2) Vậy B( ) (6; 2 ,C 4; 2 ,− ) (D −4; 2)

0,25 Câu

Câu IV

(2,0

điểm)

Câu IV Cho hình chóp S ABC

1 Cho SA vuông góc với đáy, SC =2 2, BCS =45, góc giữa hai mặt phẳng(SAB và )

(SBC bằng 90 , góc giữa hai mặt phẳng ) (SAC và ) (SBC)bằng 60 Tính thể tích khối

do đó tam giác ABC vuông tại B

Suy ra tam giác SBC vuông cân tại B

A

B

C I

H

Trong tam giác vuông ABC có 12 12 12

BI = AB + BC

BI BC AB

BC BI

−

2 155

1.2

1 6

n p

1 1

n p

Trong mp(IJK), qua các đỉnh của tam giác IJK, vẽ các đường thẳng song song với cạnh

đối diện, chúng đôi một cắt nhau tạo thành tam giác MNP như hình vẽ

PHƯƠNG ÁN THAY CÂU HÌNH Ạ

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình AD x: −2y+ =3 0

Trên đường thẳng qua B và vuông góc với đường chéo AC lấy điểm E sao cho BE=AC (D và E nằm

về hai phía so với đường thẳng AC) Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết điểm

Ta có đường thẳng EF đi qua hai điểm E(2;-5) và F(4;-4) Do đó ta lập được phương trình

v u

n n

u

 

 

  Cho dãy số ( )u n xác định bởi công thức: 1 2

u

 

 

  Theo bài ra, u n+2 =8u n+1−15u n  n 1,n , ta có

( 2).5n

n

v = − − Khi đó u n+1−3u n=( 2)5− n−1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐIỆN BIÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

( Đề thi có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP CƠ SỞ

MÔN: TOÁN Năm học: 2018 - 2019 Ngày thi: 05/12/2018

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

ĐỀ BÀI Câu 1 (2,0 điểm)

1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 2 5

Câu 2 (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: sin (1x cos 2 )x sin 2x 1 cosx

2 Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 3

Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và đáy ABCD

là hình chữ nhật biết AB = a, AD = 2a Gọi M là trung điểm cạnh BC , N là giao điểm

của AC và DM , H là hình chiếu vuông góc của A lên SB Đường thẳng SC tạo với mặt

phẳng (ABCD) một góc  , với tan 2

đường thẳng CD tại N thỏa mãn BM.DN = 25 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD

2 Cho tứ diện ABCD và một điểm M chuyển động trong tứ diện Các đường thẳng

AM, BM, CM, DM cắt các mặt phẳng (BCD), (ADC), (ABD), (ABC) lần lượt tạiA B ', ',

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO TỈNH ĐIỆN BIÊN

( Hướng dẫn chấm có 07 trang )

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP CƠ SỞ

MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2017 - 2018

y x x cắt đường thẳng d:y m(2 x) 2 tại ba điểm phân biệt

A(2; 2),B C , biết rằng hai điểm B C , cách đều đường thẳng

x

0,5

Số giao điểm của 2 đồ thị hàm số là số nghiệm của phương trình Để ( ) C cắt d

tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Suy ra phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 2

9

(*) 4

1 1 2 2

3 2

1 2

1) (2,0 điểm) Giải phương trình: sin (1 x cos 2 ) x sin 2 x 1 cosx

PT  2cos2x sinx sin 2 x cosx 1 0

(3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng

(ABCD và đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB = a, AD = 2a Gọi ) M là

trung điểm cạnh BC , N là giao điểm của AC và DM , H là hình chiếu

vuông góc của A lên SB Đường thẳng SC tạo với mặt phẳng ( ABCD một )

góc , với tan 2

5

 = Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMN và khoảng

cách từ điểm H đến mặt phẳng (SMD)

(2,0điểm) Tính thể tích khối chóp S.ABMN

Ta có góc giữa SC với ( ABCD ) là góc SCA

6 d(H,(SMD))=

3 2

a

a a

0,25

5

1) (2,0điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD biết

điểm A có tung độ dương, đường thẳng AB có phương trình 3x + 4y – 18 = 0

4

M − 

  thuộc cạnh BC, đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại N

thỏa mãn BM.DN = 25 Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD

N C

D

M

Đường thẳng BC đi qua M và vuông góc với AB nên có PT: 4x−3y−24=0

MC = + MC 5 C(3; 4− ) thỏa mãn bài toán

2) (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD và một điểm M chuyển động trong tứ

(BCD), (ADC), (ABD), (ABC) lần lượt tại A B C D ', ', ', ' Xác định vị trí điểm

' '

Câu 6 Từ ui+ 1= 1 + u1u2 ui , i=1,2  ui+1 -1 = u1u2 ui = ui ( u1u2 ui-1+ 1 -1)

 ui+1 – 1 = ui( ui -1) Hiển nhiên ui > 1, mọi i =1, 2 suy ra

+

→

nlim Sn = 2

Đề ôn tập

Câu 1: Cho hàm số 1

3

x y x

− −

=

− có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C) Tìm các số

thực m để đường thẳng d y: = + cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B tạo thành tam giác ABI có x m

Câu 4: Cho sáu thẻ, mỗi thẻ ghi một trong các số của tập E =1; 2;3; 4;6;8 (các thẻ khác nhau ghi các

số khác nhau) Rút ngẫu nhiên ba thẻ, tính xác suất để rút được ba thẻ ghi ba số là số đo ba cạnh của

Câu 6: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A Tam giácSAB đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Biết AB=7 ,a BC=7a 3 E là điểm trên cạnh SC sao cho

Hướng dẫn- Đáp án

Câu 1

- Giao điểm của hai đường tiệm cận I(3; 1− )

- Phương trình hoành độ giao điểm: 1

3

x

x m x

2 3

m

3

1 3

m =

Câu 3: Điều kiện:

1cos

2cos 0tan 0

x x x

2 3 sin 3 cos 2sin

cos 2 3 sin 3 cos 2sin sin 2sin cos

,2

23

a , b , c là ba cạnh của tam giác ABC , với BC = , CA b a = , AB c= có góc C tù

24

Khi đó phương trình (1) tương đương :

Vậy hàm f x ( )liên tục và đồng biến trên miền đang xét nên Min f x ( ) f 2 4

Xét hàm số g y 2 y 3 2 y 1 y 1 liên tục và đồng biến trên miền đang xét nên Min

Do đó phương trình (2) có nghiệm khi các đẳng thức xảy ra ,tức là x 2; y 1

Câu 6

Tam giác ABC vuông tại A nên AC 7a 3 2 7a 2 7a 2

Gọi H là trung điểm củaAB

Dựng D sao cho BCAD là hình bình hành Khi đó AC // BED

d AC BE, d AC BED, d A BED, 2d H, BED

Vì BD SAB BDE SAB Gọi I SH DE SAB BDE BI

Từ H kẻ HK BI tại K Khi đó HK BDE d AC BE, 2HK

d AC BE, 2HK a 21

Câu 7

Gọi I và K lần lượt là hình chiếu của H trên MC và SI Vì MC⊥(SHI) nên

G

D

CB

A

S

Gọi H thuộc mặt phẳng (ABC và ) DH ⊥(ABC)

Tam giác ABH có AB=a; ABC =135 ; CBH =90  ABH =45 suy ra ABH

vuông cân tại A AH= AB= a

Kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với DA, DB

Suy ra HE ⊥(ABD), HF⊥(BCD) nên góc giữa hai mặt phẳng (ABD , ) (BCD )

DH a HF

=

+Mặt khác:

Đề đọc tham khảo Câu 1 (2 điểm)

3

n n

k u k

→+= +

Đáp án tham khảo

Câu 1

Câu 2

Câu 3

Câu 4

BC x− y+ = Đường thẳng BH đi qua H và nhận EF làm vectơ pháp

tuyến, nên BH: 2x+ + =y 1 0 Tọa độ điểm B thỏa mãn hệ phương trình

Ta chứng minh được dãy số ( )u n là dãy số tăng và không bị chặn trên

+ Dãy số ( )u n là dãy tăng, với u = thì 1 1 2 ( )2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH YÊN BÁI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

+

=+ Tìm trên đồ thị hàm số đã cho những điểm có tổng khoảng cách đến

hai đường tiệm cận nhỏ nhất

Câu 2 (1,0 điểm)

Giải bóng đá U18 gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài và 3 đội của Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia các đội đó thành ba bảng A, B và C, mỗi bảng 4 đội Tính xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở ba bảng khác nhau

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Câu 5 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G Gọi E, H lần lượt là trung điểm

của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A, I là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng CD Biết điểm D − −( 1; 1), đường thẳng IG có phương trình 6x−3y− =7 0 và điểm E có hoành

độ bằng 1 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Câu 6 ( 1 điểm) Giải phương trình:

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Chữ kí giám thị số 1:

Số báo danh: Chữ kí giám thị số 2:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH YÊN BÁI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021

Môn thi: TOÁN

ĐỀ 1 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 24/9/2020

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

+

=+ Tìm trên đồ thị hàm số đã cho những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất

Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 1:x+ = và 1 0 2:y− = 2 0 0,25

Khoảng cách từ M đến hai tiệm cận là

Giải bóng đá U18 gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội nước ngoài

và 3 đội của Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia các

đội đó thành ba bảng A, B và C, mỗi bảng 4 đội Tính xác suất để 3 đội bóng

của Việt Nam ở ba bảng khác nhau

Bước 2: Còn lại 8 đội (2 đội Việt Nam, 6 đội nước ngoài) Chọn 1 trong 2

đội Việt Nam, rồi chọn 3 trong 6 đội nước ngoài có 3

Thay y= −x 1 vào phương trình thứ hai của hệ ta được

2 x + −(x 1) −3 2x− =1 11 2x−1 −3 2x− −1 10= 0 0,5 Đặt u= 2x− , với 1 u  0 Ta có

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với hai đáy là A D và

BC Giả sử tam giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2 a, CD = 2 a và

a) Do SA = SB = SC và tam giác ABC vuông tại A nên hình chiếu của

Tam giác SOC vuông tại O , nên ta có

( )

24

b) Kẻ đường thẳng  đi qua C song song với AB

Gọi N là giao điểm của AO với  Do CN AB nên

AK = BK GK ACGK ⊥ ABGB=GI =GC hay G là tâm đường tròn đi qua ba điểm

C, I, B CGI =2IBC=90o, 1

/ /2

ID= IC DE IG

Phương trình đường thẳng DE: 2x− + = y 1 0 E( )1;3

F K

E

G H

I D

C B

A

CE⊥IG, suy ra phương trình CE x: +2y− =7 0 Tọa độ của G là nghiệm của hệ phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2016

Môn thi : TOÁN – Bảng A Ngày thi : 03/12/2016

Thời gian làm bài : 180 phút , không kể thời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Bài 1(3 điểm) :

Cho hàm số : y = (2 – m)x3 – 6mx2 + 9(2 – m)x – 2 có đồ thị (Cm), với m là tham số Tìm m

để (Cm) cắt đường thẳng d : y = –2 tại ba điểm phân biệt sao cho diện tích tam giác tạo bởi gốc tạo độ

O và hai giao điểm không nằm trên trục tung là 13

Bài 2(3 điểm) : Chứng minh : tan142030’ = 2  2  3  6

Bài 3(3 điểm) : Giải phương trình:

x

x

x x

x

1 2

1 2

2

2 1 1

Một học sinh tham dự kỳ thi môn Toán Học sinh đó phải làm một đề thi trắc nghiệm khách

quan gồm 10 câu Mỗi câu có 4 đáp án khác nhau, trong đó chỉ có một đáp án đúng Học sinh sẽ được chấm đỗ nếu trả lời đúng ít nhất 6 câu Vì học sinh đó không học bài nên chỉ chọn ngẫu nhiên đáp án trong cả 10 câu hỏi Tính xác suất để học sinh thi đỗ

Bài 5(6 điểm) :

1 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn

Đường thẳng chứa trung tuyến kẻ từ B và đường thẳng AC lần lượt có phương trình :

3x + 5y – 8 = 0 ; x – y – 4 = 0 Đường thẳng qua B và vuông góc với AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là D(4; –2) Tính diện tích tam giác ABC

2 Cho hình chóp đều S.ABCD, có đáy là hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a và tâm là

O Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng

600 Tính cosin của góc giữa MN và mặt phẳng (SBD)

Bài 6(2 điểm) :

Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn :5( x2  y2  z2)  6( xy  yz  zx )

2( x    y z ) ( y  z ) - Hết -

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh : Số báo danh:

Chữ ký của cán bộ coi thi số 1: Chữ ký của cán bộ coi thi số 2:

sở giáo dục và đào tạo quảng ninh h-ớng dẫn chấm thi chọn hỌC sINH gIỎI THPT năm 2016

(Cm) cắt d tại 3 điểm phõn biệt  (1) cú 3 nghiệm phõn biệt

 (2) cú 2 nghiệm phõn biệt ≠ 0

g

m m

Khi đú gọi 3 giao điểm của (Cm) và d là A(0 ; –2 ), B(x1 ; –2 ), C(x2 ; –2) với x1 , x2

là nghiệm của phương trỡnh (2) => hai điểm B, C  trục tung

2

(2 )9

m

BC m

x



2tan 2

1

t x t