Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và hệ phương trình

Cung cấp được cơ sở lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán; Phân tích thực trạng, khó khăn sai lầm của học sinh khi sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và hệ phương trình; Hệ thống và phân loại các dạng phương trình và hệ phương trình từ dễ đến khó thường gặp và phù hợp với khả năng tư duy học tập của học sinh; Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết về hàm số, nghiệm của phương trình và các kỹ thuật trình bày lời giải của phương trình và hệ phương trình được giải theo phương pháp hàm số; Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đề thi Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi các cấp những năm gần đây; Giúp cho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và giáo viên có thêm nhiều kinh nghiệm trong dạy học; Nâng cao khả năng giải toán cho học sinh thông qua các phương pháp mới, có chú trọng đến việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi; Đánh giá kết quả áp dụng sáng kiến bằng định tính, định lượng, kiểm tra được độ tin cậy và nêu ra được những hướng phát triển của sáng kiến.

MỞ ĐẦU THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Rèn luyện kỹ năng sử dụng phương pháp hàm số đểgiải phương trình và hệ phương trình

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Khoa học giáo dục

5 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: (Không có)

6 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu:

Trường THPT Kinh Môn II; Xã Hiệp Sơn, Huyện Kinh Môn , Tỉnh HảiDương; Điện Thoại 03203826755

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Học sinh có lực học từ trung bình khá trở lên

8 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu:

Từ ngày 10/11/2013 đến ngày 23/11/2013

HỌ TÊN TÁC GIẢ (KÝ TÊN) XÁC NHẬN CỦA CƠ QUAN ĐƠN

VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

Cung cấp được cơ sở lý luận và thực tiễn về phương pháp dạy học theo hướngrèn luyện kỹ năng giải toán; Phân tích thực trạng, khó khăn sai lầm của họcsinh khi sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và hệ phươngtrình; Hệ thống và phân loại các dạng phương trình và hệ phương trình từ dễđến khó thường gặp và phù hợp với khả năng tư duy học tập của học sinh;Cung cấp cho học sinh cơ sở lý thuyết về hàm số, nghiệm của phương trình vàcác kỹ thuật trình bày lời giải của phương trình và hệ phương trình được giảitheo phương pháp hàm số; Minh họa được nhiều loại bài tập có trong các đềthi Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi các cấp những năm gần đây; Giúpcho các em học sinh rèn kỹ năng giải toán và giáo viên có thêm nhiều kinhnghiệm trong dạy học; Nâng cao khả năng giải toán cho học sinh thông quacác phương pháp mới, có chú trọng đến việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi;Đánh giá kết quả áp dụng sáng kiến bằng định tính, định lượng, kiểm tra được

độ tin cậy và nêu ra được những hướng phát triển của sáng kiến

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Kỹ năng và kỹ năng giải toán

1.1.1 Khái niệm kỹ năng

Theo giáo trình Tâm lý học đại cương thì: “Kỹ năng là năng lực sử dụng các dữ kiện, các tri thức hay khái niệm đã có, năng lực vận dụng chúng

để phát hiện những thuộc tính, bản chất của các sự vật và giải quyết thành công những nhiệm vụ lý luận hay thực hành xác định”

Theo giáo trình Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học Sư phạm thì: “Kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phương pháp, …)

để giải quyết một nhiệm vụ mới”

Các định nghĩa trên tuy không giống nhau về mặt từ ngữ nhưng đều nóirằng kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (khái niệm, cách thức, phươngpháp, …) để giải quyết một nhiệm vụ mới

1.1.2 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là một cách sử dụng các kiến thức cơ bản chuyển bàitoán cần giải về dạng tương đương đơn giản

Có hai phương pháp cơ bản để cung cấp cho học sinh kỹ năng giảitoán:

 Phương pháp gián tiếp: Cung cấp cho học sinh một số các bài

toán có cùng cách giải để sau khi giải xong học sinh tự rút ra những quy tắccho riêng mình Đây là phương pháp có hiệu quả nhất nhưng mất nhiều thờigian, khó đánh giá và không đầy đủ, phụ thuộc nhiều vào năng lực trình độcủa học sinh

 Phương pháp trực tiếp: Giáo viên soạn thành những bài giảng về

những kỹ năng một cách hệ thống và đầy đủ Phương pháp này hiệu quả hơn

và dễ nâng cao độ phức tạp của bài toán cần giải quyết

1.1.3 Phân loại kỹ năng trong môn Toán

1.1.3.1 Kỹ năng nhận thức

Kỹ năng nhận thức trong môn Toán bao gồm nhiều khía cạnh đó là:khả năng nắm một khái niệm, định lý, kỹ năng áp dụng thành thạo mỗi quytắc trong đó yêu cầu vận dụng linh hoạt, tránh máy móc.

1.1.3.2 Kỹ năng thực hành

Kỹ năng thực hành trong môn Toán bao gồm kỹ năng vận dụng tri thứcvào hoạt động giải toán, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn (trongToán học hoặc trong đời sống), kỹ năng thực hành cần thiết trong đời sốngthực tiễn

1.1.3.3 Kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức

Để có kỹ năng tổ chức hoạt động nhận thức đòi hỏi người học phải có

kế hoạch học tập và biết cách học phù hợp với điều kiện năng lực của bảnthân nhằm phấn đấu đạt được mục đích

1.1.3.4 Kỹ năng tự kiểm tra đánh giá

Ở trường phổ thông chúng ta thường mới quan tâm tới kết quả kiểm tra

từ phía giáo viên đối với học sinh, từ đó giáo viên có thể điều chỉnh cách dạy

mà chưa quan tâm đến việc học sinh tự kiểm tra đánh giá bản thân

Các tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy, … đã xét kỹ năng tựkiểm tra đánh giá trên các phương diện: kỹ năng vận dụng tri thức trong nội

bộ môn Toán, kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào những môn học khác,

kỹ năng vận dụng toán học vào đời sống

1.2 Thực tiễn dạy học sử dụng phương pháp hàm số giải các bài toán phương trình và hệ phương trình

1.2.1 Thực trạng việc rèn luyện kỹ năng sử giải phương trình và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số ở THPT.

Đối với giáo viên

 Giáo viên dạy chủ yếu thông qua hình thức dạy học chuyên đề và

ôn luyện đan xen vào các tiết tự chọn trên lớp

 Nội dung của sáng kiến chưa có một phần cụ thể nào trong sách

 Giáo viên mất nhiều thời gian để tìm tòi cơ sở lý thuyết và xâydựng hệ thống bài tập.

 Giáo viên gặp khó khăn khi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức vàcác ví dụ ứng dụng

 Giáo viên chưa có hoặc có rất ít kinh nghiệm giảng dạy chuyên

đề phương trình và hệ phương trình

 Giáo viên mất nhiều công sức chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóathành một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức khác nhaucủa học sinh

 Thời gian để giáo viên hướng dẫn và chữa bài tập cho học sinhkhông nhiều

 Đối với giáo viên không chủ chốt trong tổ chuyên môn ít có cơhội dạy đội tuyển và dạy luyện thi Đại học thì việc phân loại bài tập, trình bàylời giải còn hạn chế và đôi lúc còn mắc sai lầm

Đối với học sinh

 Học sinh thường có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ralúc bắt đầu giờ học Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng cácđịnh lý, hệ quả thì học sinh lại thấy trừu tượng, khó hiểu và mơ hồ khi vậndụng làm bài tập Những học sinh trung bình thì chưa thể hiểu kỹ về lý thuyết

và vận dụng ngay vào bài tập

 Nhiều học sinh hiểu chưa kỹ các khái niệm, định nghĩa và các ví

dụ mẫu dẫn đến trình bày lời giải bài toán chưa khoa học và còn mắc nhiềusai lầm

 Khả năng tìm tòi tự học của đa số học sinh còn hạn chế và khihọc chưa có khả năng rút kinh nghiệm, hệ thống dạng bài tập

 Nhiều học sinh chưa biết nhiều về các phương pháp giải toán,các kỹ năng kỹ xảo để xử lý những dạng bài tập phức tạp

1.2.2 Những khó khăn và sai lầm của học sinh

Sau khi học xong chuyên đề ứng dụng phương pháp hàm số để giải toán lúcvận dụng học sinh còn mắc nhiều sai lầm về lý thuyết, chẳng hạn ta xem xétcác bài toán sau.

Bài toán 1 Gải phương trình

Phân tích Có một số học sinh đã thực hiện lời giải bài toán này như sau

Phương trình đã cho tương đương với phương trình (*)

Ta có , suy ra hàm số đồng biến trên , mà ta lại có

Từ đó phương trình (*) là ở dạng là nghiệm củaphương trình đã cho Nguyên nhân sai lầm ở đây là học sinh chưa nắm kỹkhái niệm tính đơn điệu của hàm số, đó là ngoài phải chú ý rằng cònphải xét tại một số điểm hữu hạn thì hàm số mới đồng biến, rõ rànglời giải này ta thấy cho ta là vô số điểm nên chưathể khảng định chắc chắn hàm số đang xét đồng biến trên được

Bài toán 2 Gải phương trình

Phân tích Sai lầm học sinh khi thực hiện lời giải bài tập này là ở chỗ tập xác

định của phương trình là nên khi tính đạo hàm của hàm số

Bài toán 3 Gải hệ phương trình

Phân tích Với một số học sinh có biết chút ít về phương pháp hàm số sẽ

và lập luận chỉ cho kết quả là , trong khi đó kết quả vẫn có trường hợp

Nguyên nhân ở đây là hàm số bị gián đoạn tại điểm

và đơn điệu trên từng khoảng và nên chẳng hạn và

thì không thể cho ta kết quả

Bài toán 4 Gải phương trình

Phân tích Bài tập này tác giả đã ra cho học sinh về nhà học theo Đã có một

số học sinh đưa ra lời giải, có một số học sinh đã không làm được và đã hỏigiáo viên dạy trên lớp và tác giả thấy rằng những lời giải đều không chínhxác Hầu hết các em đều cho kết quả nghiệm là , các em đều quên rằngkhi biến đổi phương trình về dạng thì từ đó xét hàm số

sẽ đơn điệu trên từng khoảng và khi đó đồthị hàm số có hai nhánh nên số nghiệm của phương trình có thể là hai vàkết quả bài này ngoài nghiệm còn có nghiệm nữa là

Bài toán 5 Giải hệ phương trình

Phân tích Những học sinh có lực học trung bình tương đối khó khăn khi giải

bài tập này, kể cả học sinh khá cũng nhiều em mắc sai lầm Đó là nhìn vào hệphương trình ta sẽ có điều kiện là Từ phương trình (1) các em đều

và từ đó lập luận cho kết quả .Nguyên nhân sai lầm ở đây là học sinh chưa đánh giá được vì biếnđặc trưng phải đại diện cho cả biến Do đó biến thuộcvào miền nào thì biến sẽ thuộc vào miền đó (có thể lấy miền của biến rộng hơn, không được lấy miền hẹp hơn), vậy rõ ràng ở trên với điều kiện tamới thấy biểu thức nên hàm đặc trưng biến ở trên chưa đại diệnđược cho biến hai biến Một số bài tập dưới đây trong các kỳ thi học

sinh giỏi tỉnh, thi Đại học cũng rất nhiều học sinh không nhận xét và đánh giáchặt biến nên điều kiện của biến đặc trưng không giúp cho hàm số đặctrưng đơn điệu.

( Thi HSG tỉnh Hải Dương năm 2013)

(Thi ĐH khối A, A1 năm 2013)

Bài toán 6 Giải phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là

Lời giải 2

ĐK: Phương trình đã cho tương đương với phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là

Phân tích Ta thấy lời giải 2 cho kết quả chính xác, nguyên nhân lời giải 1 sai

lầm là;

Việc xét hàm số , với trong lời giải 1 là chưa chuẩn xác, bởi

vì biến lại là một hàm số của biến Cụ thể là , nên khi thì

Như vậy theo lời giải 1 ta chỉ mới khảo sát hàm số

trên mà chưa khảo sát hàm số này trên Từ đó làm mất đi

những nghiệm

1.3 Lý do chọn sáng kiến

Qua phân tích cơ sở lý luận về phương pháp dạy học theo hướng rènluyện kỹ năng giải toán, phân tích thực trạng giảng dạy của giáo viên, phântích khó khăn và sai lầm của học sinh khi sử dụng phương pháp hàm số đểgiải phương trrình và hệ phương trình Ngoài ra bản thân tôi trong quá trìnhdạy học những năm gần đây theo dõi các đề thi ĐH, thi HSG các cấp luôn cóphần ứng dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và hệ phương trình.Quan trọng hơn cả là sách giáo khoa, tài liệu tham khảo trên thị trường chưa

có nhiều và chưa sắp xếp thành hệ thống đầy đủ các dạng bài tập sử dụngphương pháp hàm số để giải phương trình và hệ phương trình Từ nhữngkinh nghiệm qua giảng dạy nghiên cứu các mảng chuyên đề toán học củaTHPT, tôi đã đề xuất phương pháp rèn luyện kĩ năng giải phương trình

và hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

Chính vì những lý do trên nên tôi chọn tên sáng kiến là:

“Rèn luyện kĩ năng sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình và

hệ phương trình”.

2 HỆ THỐNG BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1 Phân tích cơ sở lý thuyết

2.1.1 Dấu hiệu của đạo hàm về tính đơn điệu của hàm số

Định lí

Cho hàm số có đạo hàm trên (Kí hiệu là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng).

a) Nếu với mọi thuộc thì đồng biến trên

b) Nếu với mọi thuộc thì nghịch biến trên

(Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên được gọi chung là hàm số đơn điệu trên ).

Chú ý Ta có định lí mở rộng sau đây.

Giả sử hàm số có đạo hàm trên và tại một số hữu hạn điểm trên

a) Nếu với mọi thuộc thì đồng biến trên

b) Nếu với mọi thuộc thì nghịch biến trên

2.1.2 Dấu hiệu của hàm số về sự tồn tại nghiệm của phương trình

Định lí

Cho hàm số liên tục trên đoạn và nếu thì phương trình có nghiệm trên khoảng

2.1.3 Các kết quả giải toán

Kết quả 1 Xét với là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

Hàm số liên tục và đơn điệu trên khoảng thì phương trình

, ( là hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên (có thể phươngtrình không có nghiệm trên )

Kết quả 2 Xét với là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

Hàm số liên tục và đơn điệu trên

Kết quả 3 Xét với là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số với

đơn điệu trên

Phương pháp giải bài tập

- Viết điều kiện của phương trình

- Nhẩm nghiệm của phương trình (có thể dùng máy tính bỏ túi giảitrước)

- Xét hàm số trên và tính đạo hàm của

- Nếu hàm số đơn điệu trên thì viết và khi đó phương trình

có dạng là nghiệm của phương trình ( hoặc cóthể lập luận phương trình có nghiệm duy nhất trên đó là ) Thông thường thì dạng phương trình này chỉ có một nghiệm duy nhất và trongcác bài tập dưới đây các hàm số ta xét đều luôn liên tục và có đạo hàm trêntập đã cho

Ví dụ 1 Giải phương trình

Lời giải

ĐK:

Để không mắc sai lầm ta nên xét phương trình tại các điểm đầu đoạn trước rồi

ta xét hàm số trên khoảng để khi tính đạo hàm của hàm số chứa dấu căn thìhàm số đạo hàm được xác định

 Thấy rằng và không là nghiệm của phương trình

 Xét Biến đổi phương trình đã cho tương đương với phươngtrình (*)Xét hàm số

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và do nên

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

ĐK:

 Thấy rằng không là nghiệm của phương trình

 Xét với Biến đổi phương trình đã cho tương đương với phươngtrình (*)

.

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng và do

nên phương trình trên có dạng

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Bài luyện tập Giải các phương trình sau

2.2.1.2 Dạng phương trình , trong đó là hằng số và hàm số

đơn điệu trên từng khoảng hoặc phương trình có nghiệm

Phương pháp giải bài tập

- Viết điều kiện của phương trình

- Nhẩm các nghiệm thuộc của phương trình (có thể dùng máy tính bỏ túigiải trước)

- Xét hàm số trên và tính đạo hàm của

- Xét tính đơn điệu của hàm số trên các khoảng của hoặc có thể lậpbảng biến thiên của hàm số

- Trên mỗi khoảng đơn điệu của hàm số thì phương trình có nhiềunhất một nghiệm hoặc dựa vào bảng biến thiên của để suy ra số nghiệmcủa phương trình đã cho

- Kết hợp với quá trình nhẩm nghiệm của bước trên cho ta tập nghiệm

Ví dụ 2 Giải phương trình

Lời giải

 Thấy rằng và không là nghiệm của phương trình

Xét hàm số

Lập bảng biến thiên của hàm số là

-3 1 5

+ 0

4

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình có nhiều nhất hai nghiệm, mà ta thấy là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là và

ĐK:

Phương trình trên tương đương với phương trình

 Thấy rằng và không là nghiệm của phương trình

Xét hàm số

Ta có

f x''( )4(x2)1 x2 4(3 ) 3  x1  x     2 0, x ( 2;3)

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (-2;3), mà

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất là

Ta lập bảng biến thiên của hàm số là

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số f x( ) ta thấy phương trình nếu

có nghiệm thì số nghiệm nhiều nhất là hai nghiệm, nhận thấy x1, x2 lànghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1, x2.

ĐK:

 Thấy rằng không là nghiệm của phương trình

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng , mà nên phương trình có nghiệm duy nhất là Lập bảng biến thiên của hàm số là -2 2

+ 0

8

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta thấy phương trình

là nghiệm của phương trình

Nhận xét

Ngoài cách trình bày như ở trên ta có thể giải bài toán này bằng cách đi tìm giá trị lớn nhất của hai hàm số trên đoạn

và trên bằng phương pháp hàm số Từ đógiá trị lớn nhất của bằng 8, nên phương trình có nghiệm tại điểm cực trịcủa hàm số Có thể dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki để đánh giá giải.

(1)ĐK:

 Ta thấy x 2,x 10không là nghiệm của phương trình

 Xét x2, x 10

Biến đổi phương trình (1) về dạng

(2)

Hàm số đồng biến trên từng khoảng ( 10;2) và (2; )

Vậy trên mỗi khoảng này phương trình (2) nếu có nghiệm thì có nghiệm duynhất, mà x1, x6 là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình có nghiệm là x1, x6.

Nhận xét

Trong quá trình biến đổi phương trình ta phải chú ý bước biến đổi làm thayđổi điều kiện của phương trình vì từ đây nó đã thay đổi khoảng đơn điệu củahàm số và dẫn đến ảnh hưởng về số nghiệm của phương trình Với bài toánnày ta thấy chính bước chia hai vế cho đã làm thay đổi điều kiện củaphương trình và khi xét hàm số ta đã xét trên hai khoảng nên số nghiệm củaphương trình là hai nghiệm

Bài luyện tập Giải các phương trình sau

2.2.1.3 Dạng phương trình trong đó và là hai biểu thức của biến

Phương pháp giải bài tập

- Viết điều kiện của phương trình

- Biến đổi phương trình đã cho về dạng , trong đó là biểu thứccủa biến và

- Xét hàm số đặc trưng trên , nếu liên tục và đơn điệu trên thìcho ta kết quả (Ta có thể mở rộng tập thành tập khác sao cho trên tậpnày hàm số đơn điệu)

- Giải tiếp phương trình để tìm nghiệm

Ta có nên hàm số đồng biến trên

Vậy nghiệm của phương trình là và

(1)ĐK:

 Thấy không là nghiệm của phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

ĐK:

Phương trình đã cho tương đương với phương trình

(*)Xét hàm số

Ta có Suy ra hàm số đồng biến trên

Bài luyện tập Giải các phương trình sau

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

Lời giải

.Phương trình đã cho tương đương với phương trình

Biến đổi phương trình đã cho tương đương với phương trình

 Giải phương trình (1): Ta thấy (1) có nghiệm suy ra

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Phương trình đã cho tương đương với phương trình .

Bài luyện tập Giải các phương trình sau

Bảng biến thiên của hàm số f x( )là

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có .

Nghiệm của phương trình đã cho là

3

x  (1)

Phương trình (1) tương đương với phương trình

 Ta thấy rằng và là nghiệm của phương trình

 Xét hàm số

Ta có

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng , mà Từ đó suy ra phương trình có nghiệm Nhận thấy hàm số liêntục trên và ta có

Suy ra trên khoảng phương trình có nghiệm duy nhất là

và trên khoảng phương trình có nghiệm duy nhất là

Ta lập bảng biến thiên của hàm số là

Dựa vào bảng biến thiên của f x( ) ta thấy đồ thị hàm số f x( ) chỉ cắt trục Ox

(đường thẳng ) tại một điểm trên khoảng  1 12 2; 

Từ phương trình trên ta suy ra .Phương trình đã cho tương đương với

Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Bài luyện tập Giải các phương trình sau

2.2.2.3 Dạng phương trình trong đó và là hai biểu thức của biến

Ví dụ 3 Giải các phương trình

Lời giải

ĐK:

 Thấy rằng hoặc không thỏa mãn phương trình

 Xét Biến đổi phương trình tương đương với

Xét hàm số

Ta có

Suy ra hàm số đồng biến trên

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Phương trình trên tương đương với phương trình

(*)

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Bài luyện tập Giải phương trình

2.2.3 Kỹ năng giải phương trình mũ và lôgarit

2.3.3.1 Dạng phương trình , trong đó là hằng số và hàm số

đơn điệu trên

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

Lời giải

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

Bài luyện tập Giải các phương trình sau

2.2.3.2 Dạng phương trình , trong đó là hằng số và hàm số

đơn điệu trên từng khoảng hoặc phương trình có nghiệm

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau