Phương pháp tính trong bài toán vật lý

0.1 Lý do chọn đề tài Phương pháp số là một môn học bắt buộc cho tất cả học viên Cao học vật lý. Nó cung cấp cho học viên các phương pháp nhằm giải quyết những vấn đề liên quan đến tính toán, các thuật toán và cách giải gần đúng hay xấp xỉ các phương trình, tích phân, vi phân, đạo hàm,... Phương pháp số có thể dùng để giải gần đúng các bài toán mà các phương pháp thông thường không thể giải được. Hầu hết, chúng mã hoá và đưa ra các thuật giải để thuận tiện cho việc lập trình trên máy tính. Để tìm hiểu sâu hơn về môn học nhóm chúng tôi được sự phân công của thầy giáo hướng dẫn làm đề tài : Các phương pháp số cho phương trình vi phân (numerical methods for differential equations). Để làm tiểu luận cho môn học. Do kinh nghiệm còn hạn chế nên trong tiểu luận không tránh khỏi các sai sót kính mong sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc. 0.2 Mục đích yêu cầu Đưa ra các phương pháp cho phương trình vi phân cấp một, cho hệ phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp cao, phương trình vi phân đạo hàm riêng. 0.3 Phương pháp nghiên cứu Chủ yếu là nghiên cứu tài liệu và thảo luận nhóm để đưa ra các kết luận đưa vào tiểu luận

Mục lục

0.1 Lý do chọn đề tài 3

0.2 Mục đích yêu cầu 3

0.3 Phương pháp nghiên cứu 3

0.4 Giới hạn của đề tài 3

1 Phương pháp số cho phương trình vi phân cấp 1 4 1.1 Phương pháp Euler để giải phương trình vi phân cấp 1 4

1.2 Phương pháp Euler cải tiến (Phương pháp Heun) 7

1.3 Phương pháp Runge - Kutta 9

1.4 Sai số và sự điều chỉnh bước nhãy RKF (Rung - Kutta - Fehlberg) 11

2 Phương pháp nhiều nút 14 2.1 Phương pháp Adams - Bashforth 14

2.2 Các phương pháp Adams - Moulton 15

3 Phương pháp cho hệ phương trình và phương trình vi phân bậc cao 17 3.1 Phương pháp Euler cho hệ phương trình 17

3.2 Các phương pháp Runge - Kutta cho hệ phương trình 19

3.3 Phương pháp Runge - Kutta - Nystr¨om (phương pháp RKN) 20

4 Phương pháp cho các phương trình vi phân đạo hàm riêng 22 4.1 Các phương pháp cho các phương trình vi phân kiểu Elip 23

4.1.1 Các phương trình vi phân cho phương trình Laplace và phương trình Poisson 23

4.1.2 Bài toán Dirichlet 25

4.1.3 Phương pháp ADI 28

4.2 Bài toán Neumann và nhiễu loạn Biên không chính quy 30

4.3 Phương pháp cho phương trình Parabol 34

4.4 Phương pháp cho phương trình Hypebol 40

0.1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp số là một môn học bắt buộc cho tất cả học viên Cao học vật lý

Nó cung cấp cho học viên các phương pháp nhằm giải quyết những vấn đề liên quanđến tính toán, các thuật toán và cách giải gần đúng hay xấp xỉ các phương trình,tích phân, vi phân, đạo hàm, Phương pháp số có thể dùng để giải gần đúng cácbài toán mà các phương pháp thông thường không thể giải được Hầu hết, chúng

mã hoá và đưa ra các thuật giải để thuận tiện cho việc lập trình trên máy tính

Để tìm hiểu sâu hơn về môn học nhóm chúng tôi được sự phân công của thầygiáo hướng dẫn làm đề tài : Các phương pháp số cho phương trình vi phân(numerical methods for differential equations) Để làm tiểu luận cho môn học

Do kinh nghiệm còn hạn chế nên trong tiểu luận không tránh khỏi các sai sótkính mong sự góp ý chân thành của quý thầy cô và bạn đọc

Đưa ra các phương pháp cho phương trình vi phân cấp một, cho hệ phươngtrình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp cao, phương trình vi phân đạo hàmriêng

Chủ yếu là nghiên cứu tài liệu và thảo luận nhóm để đưa ra các kết luận đưavào tiểu luận

Trong tiểu luận này chúng tôi chỉ trình bày, đưa ra phương pháp và mỗi phươngpháp chỉ trình bày một ví dụ để minh hoạ

Ta đã biết phương trình vi phân cấp 1 có dạng F (x, y, y 0) = 0, và nó có thể

viết tường minh y 0 = f (x, y) Thường phương trình vi phân người ta cho thêm một

điều kiện ban đầu về nghiệm thoả mãn Trong phần này ta sẽ xét phương trình viphân cấp 1 và điều kiện có dạng:

y 0 = f (x, y); y(x0) = y0 (1.1)

giả sữ f là bài toán có duy nhất nghiệm trên đoạn có chứa x0

Ta sẽ bàn về các phương pháp để tính các giá trị số của các nghiệm, ở đây ta chỉcần nêu một cách thức cho nghiệm của các phương trình không khả dụng hoặc quáphức tạp để tính toán

Các phương pháp mà ta thực hiện để làm điều này là phương pháp gần đúng

theo từng bứơc (step-by-step motheds) Ta bắt đầu từ việc có giá trị y0 = y(x0)

và tiến hành theo các bước, tính các giá trị gần đúng của nghiệm y(x) tại các nút

"mesh points"

x1 = x0+ h; x2 = x0+ 2h; x3 = x0+ 3h;

với h là bước nhãy (step size) cố định, chẳng hạn 0.1 hay 0.2 tuỳ chúng ta chọn.

Tính toán trong mỗi bước được thực hiện theo cách thức như nhau Cách thức đó

là dựa vào việc khai triển chuổi Taylor:

(vế phải đạt được ở trên là từ phương trình vi phân y 0 (x) = f (x, y)) và theo các quá

trình lặp Trong bước đầu tiên ta tính

Hình 1: Phương pháp Euler Công thức Taylor với khai triển dạng y(x + h) = y(x) + hy 0 (x) + 1

2h2y 00 (ξ) với

x ≤ ξ ≤ x + h Nó diễn tả rằng Phương pháp Euler là làm ngắn lại các sai số

trong mỗi bước hay nó làm ngắn sai số bộ phận (local truncation error) tỉ lệ

với h2, được viết O(h2) Trên một khoảng x cố định mà ta muốn giải một phương trình số các bước tỉ lệ với 1/h Sai số bộ phận hay sai số toàn phần ở đây tỉ lệ với

h2(1/h) = h1 Do nguyên nhân này mà phương pháp Euler được gọi là Phươngpháp cấp 1 Ngoài ra còn có sai số do làm tròn và do các phương pháp khác, nó

gây ảnh hưởng đến độ chính xác của các giá trị y1, y2, · · ·

Ví dụ 1.1 Dùng phương pháp Euler để giải bài toán điều kiện đầu, chọn h = 0.2

và tính y1, · · · , y5

Giải: f (x, y) = x + y, và ta thấy rằng (1.3) trở thành:

y n+1 = y n + 0.2(x n + y n)

Bảng 1.1 diễn tả cách tính toán, giá trị chính xác của nghiệm của (1.4) là y(x) =

e x − x − 1 Trong thực hành tính toán chính xác nghiệm là chưa biết, nhưng sự chính

xác của các giá trị có thể tìm được bằng việc áp dụng phương pháp Euler từ một

lần khác với bước nhảy 2h = 0.4 và so sánh với sai số tương ứng Kết quả tính này

ở đây sai số là của h2, trong miền từ h đến 2h nó được nhân với 22 = 4, nhưng vì

ta chỉ cần một nữa của bước nhãy trước đó, nên nó chỉ nhân với 4/2 = 2 Do đó hiệu số 2²2− ²2 = 0.040, sai số ²2 của y2 trong bảng 1.1 (với kết quả thực là 0.052)

Bảng 1.1 Phương pháp Euler áp dụng cho (1.4) trong ví dụ 1.1 và sai số.

Lựa chọn biến bước nhảy một cách ngẫu nhiên trong các mã hiện đại Những

mã này lựa chọn kiểu các biến nhãy h n sao cho sai số của nghiệm không lớn hơn giátrị cực đại TOL (dung hạn được đề nghị) Với phương pháp Euler, khi bước nhãy

y 00 (x) phải khác không trên đoạn J : x0 ≤ x ≤ x N Chọn K là giá trị cực tiểu của

| y 00 (x n ) | trên J và giả sử K > 0 Giá trị cực tiểu | y 00 (x n ) | tương ứng với giá trị cực đại h = H =

Đối với các phương pháp khác,lựa chọn biến bước nhảy một cách ngẫu nhiên là nhưnguyên tắc này.

Heun)

Khi ta chú ý nhiều đến các số trong (1.2) ta đạt được các phương pháp số bậc

cao và chính xác Nhưng đây là vấn đề thực hành Nếu ta thế y 0 = f (x, y(x)) vào

và các đạo hàm cấp cao f 00 , f 000 trở nên cồng kềnh hơn Phương pháp bây giờ là huỷ

bỏ các tính toán đó mà thay vào đó là tính f bởi một hay nhiều giá trị phụ trợ được chọn thích hợp của (x, y) "Thích hợp" có nghĩa là chúng được chọn làm cấp của

phương pháp cao có thể thực hiện được (có độ chính xác cao) Ta nói về hai phươngpháp thực hành quan trọng

Phương pháp thứ nhất gọi là Phương pháp Euler cải tiến hay Phương phápEuler - Cauchy cải tiến (còn gọi là Phương pháp Heun) Trong mỗi bước củaphương pháp này ta tính giá trị phụ đầu tiên (1.8a) và rồi tính giá trị mới (1.8b)

Phương pháp này có cách giải thích hình học đơn giãn Thực tế ta có thể trong

khoảng từ x n đến x n+ 1

2h ta có nghiệm gần đúng y bằng đường thẳng qua điểm

(x n , y n ) với hệ số góc f (x n , y n), và chúng ta tiếp tục dọc theo đường thẳng với hệ

số góc f (x n+1 , y ∗

n+1 ) cho đến x là x n+1.Phương pháp Euler - Cauchy cải tiến là một Phương pháp predictor -corrector, bởi vì trong mỗi bước ta đầu tiên ta tiên đoán một giá trị trong (1.8a)

và hiểu chính cho chính xác nó trong (1.8b) Ta dùng kí hiệu k1 = hf (x n , y n) trong

Thuật toán Euler (f, x0, y0, h, N)

Thuật toán này tìm nghiệm bài toán với giá trị đầuy 0 = f (x, y), y(x0) = y0 tại

các điểm cách đều x1 = x0+ h, x2 = x0+ 2h, · · · , x N = x0+ Nh, ở đây, f như một bài toán có duy nhất nghiệm trên đoạn [x0, x N]

Nhập vào: giá trị ban đầu x0, y0, bước đi(bước nhảy) h số bước đi trong khoảng khảo sát N

Giá trị ra: Giá trị gần đúng y n+1 của nghiệm y(x n+1 ) tại x n+1 = x0+(n+1)h Với n = 0, 1, · · · , N − 1.

Bảng 1.3 Phương pháp Euler cải tiến áp dụng cho (1.4) và sai số

Sai số bộ phận: Sai số bộ phận của phương pháp Euler cải tiến là số hạng h3.

Thật vậy, đặt ef n = f (x n , y(x n)) và dùng (1.7), ta được

Vì số các bước nhãy trên đoạn x tỉ lệ với 1

h, nên sai số toàn phần là h3

h = h2 ở đâyphương pháp Euler cải tiến được gọi là Phương pháp cấp hai

Vẫn còn phương pháp thực hành quan trọng chính xác hơn nửa là Phươngpháp bốn số cổ điển Runge - Kutta, thường gọi một cách ngắn gọn là Phươngpháp Hunge - Kutta Nó được diễn tả trong bảng 1.4 Ta thấy rằng trong mỗi

bước việc đầu tiên ta tính bốn số k1, k2, k3, k4 và tiếp đó tính giá trị mới y n+1 Côngthức có vẻ phức tạp ở dạng đầu tiên, nhưng thực tế nó lại dễ cho một bài toán

Việc tính tay f (x, y) bằng tay thì rất phức tạp nhưng nó sẽ không thành vấn đề đối

với máy tính Phương pháp này là hoàn hảo cho máy tính bởi vì không cần đến cáctính toán ban đầu, nó làm sáng tỏ sự tích lũy, và dùng lặp lại các kết quả một cách

trực tiếp Nó là số ổn định Chú ý, nếu f chỉ phụ thuộc vào x, ta dùng công thức

tích phân Simpson

Ví dụ 1.3 áp dụng phương pháp Runge - Kutta đối với bài toán (1.4) trong ví dụ

1.1, chọn h = 0.2 như trước và tính năm bước.

Giải: Với bài toán này, ta có f (x, y) = x + y nên ta có

k1 = 0.2(x n + y n ), k2= 0.2(x n + 0.1 + y n + 0.5k1)

k3 = 0.2(x n + 0.1 + y n + 0.5k2), k4 = 0.2(x n + 0.2 + y n + k3)

Từ các biểu thức đơn giản, ta tìm giá trị thích hợp của k1 và thay vào k2

ta đạt được kết quả k2 = 0.22(x n + y n ) + 0.02, thay giá trị này vào k3 ta tìm

được k3 = 0.222(x n + y n ) + 0.022, và cuối cùng thay giá trị này vào k4 ta được

k4 = 0.2444(x n + y n ) + 0.0444 Nếu ta dùng các số trên, công thức y n+1 trong bảng1.4 trở thành

y n+1 = y n + 0.2214(x n + y n ) + 0.0214. (1.11)Tất nhiên, các quá trình thay vào này là không tiêu biểu cho phương phápKunge - Kutta và sẽ không là vấn đề chung Bảng 1.5 diễn tả quá trình tính toán

Từ bảng 1.6 ta thấy rằng các giá trị là chính xác hơn các giá trị trong ví dụ 1.1

và ví dụ 1.2

Thuật toán Runge - Kutta (f, x0, y0, h, N)

Thuật toán này tìm nghiệm bài toán với giá trị đầuy 0 = f (x, y), y(x0) = y0 tại

các điểm cách đều x1 = x0+ h, x2 = x0+ 2h, · · · , x N = x0+ Nh, ở đây, f như một bài toán có duy nhất nghiệm trên đoạn [x0, x N]

Nhập vào: giá trị ban đầu x0, y0, bước đi(bước nhảy) h số bước đi trong khoảng khảo sát N

Giá trị ra: Giá trị gần đúng y n+1 của nghiệm y(x n+1 ) tại x n+1 = x0+(n+1)h Với n = 0, 1, · · · , N − 1.

Kết thúcTạm dừngKết thúc Phương pháp Runge - Kutta

Bảng 1.4 Phương pháp Runge - Kutta cổ điển cấp bốn

Phương pháp Euler Phương pháp

Euler cải tiến

Phương phápRunge - Kutta

h và 2h, thì ít lâu sau sai số cho mỗi bước bằng 25 = 32 nhân với giá trị ban đầu

Tuy nhiên, ta chỉ có một nữa bước cho 2h, nên số chính xác là 25/2 = 16 ở đây sai

số ² xấp xĩ với bước nhãy h bằng cở 1/15 nhân với độ chênh lệch δ = e y − ee y của các

giá trị tương ứng với cở bước nhãy lần lượt là h và 2h

² ≈ 1

Bảng 1.7 minh hoạ (1.12) với phương trình vi phân có giá trị đầu

y 0 = (y − x − 1)2+ 2, y(0) = 1; (1.13)

Bảng 1.7 Phương pháp Runge - Kutta được áp dụng vào phương trình vi phân

(1.13) và sái số ước tính (1.12) Nghiệm chính xác y = tan x + x + 1

cở bước h = 0.1 và 0 ≤ x ≤ 4 Ta thấy rằng sai số ước tính gần bằng sai số chính

xác Đây là phương pháp cho sai số ước tính là đơn giãn nhưng không ổn định

RKF E Fhlberg đề xuất và phát triển sai số điều chính bằng cách dùng hai

phương pháp RK với các số khác nhau đi từ (x n , y n ) đến (x n+1 , y n+1) Sự chênh lệch

của việc tính giá trị y tại x n+1 cho sai số ước tính được dùng cho điều chỉnh cở bước

nhãy h E Fhlberg đưa ra hai công thức RK với công thức này chỉ cần 6 giá trị

hàm cho mỗi bước Ta trình bày dạng các hàm ở đây vì RKF đã trở nên quá phổbiến Chẳng hạn, Maple dùng nó (cho hệ thống các phương trình vi phân)

Phương pháp RK bậc năm của Fhlberg là

Sự sai khác của (1.14a) và (1.15a) cho sai số ước tính

Ví dụ 1.4 Runge - Kutta - Fehlberg cho bài toán phương trình vi phân (1.13) ta

đạt được từ (1.14a), (1.14b), (1.15a), (1.15b), (1.16) với h = 0.1 trong bước đầu tiên với 12 số thập phân là

Phương pháp Hàm giá trị cho mỗi bươc Sai số toàn phần Sai số cục bộ

Bảng 1.9 Phương pháp Adams - Moulton áp dụng vào bài toán (2.9); giá trị tiên

đoán được tính bằng (2.7) và các giá trị được hiệu chính bằng (2.8).

Chương 2

PHƯƠNG PHÁP NHIỀU NÚT

Phương pháp một bước(một nút) là phương pháp mà trong mỗi bước chúng tadùng các kết quả đạt được từ các bước trước một cách có thứ tự Tất cả các phươngpháp trong chương 1 đều là phương pháp một bước Trái lại, phương pháp nhiềunút là phương pháp mà mỗi bước dùng các giá trị từ các bước thứ tự Lý do màchúng ta dùng các bước tương đương là thêm các thông tin có thể làm tăng độ chínhxác của kết quả Các phương pháp đó sẽ lần được trình bày như ở dưới đây:

Ta hãy xét phương trình vi phân có điều kiện đầu sau

f n = f (x n , y n ), f n−1 = f (x n−1 , y n−1 ),

Biểu thức này diễn tả giá trị mới y n+1 [xấp xĩ nghiệm y của (2.1) tại x n+1] trong

các số của bốn giá trị của f được tính từ giá trị của y đạt được trong thứ tự bốn bước Sai số bộ phận là số h5, có thể được biểu diễn để sai số toàn phần là số h4; vìvậy (2.5) được định nghĩa là phương pháp bậc bốn

Các phương pháp này đạt được nếu cho p(x) trong (2.2) chọn đa thức nội suy

f (x, y(x)) tại x n+1 , x n , x n−1 , · · · (trái với x n , x n−1 , · · · đã được dùng trước đó, đây

là các điểm chính) Ta giải thích quy luật cho đa thức bậc ba ep3(x) nội suy tại các điểm x n+1 , x n , x n−1 , x n−2 (Trước đây ta đã có tại các điểm x n , x n−1 , x n−2 , x n−3 Ta

tính đa thức nội suy nhưng lúc này ta thay r = (x − x n+1 h), ta được

thức ẩn vì f n+1 = f (x n+1 , y n+1 ) xuất hiện ở vế phải, vì vậy nó định nghĩa y n+1 chỉ

là ẩn, khác với (2.5), đó là biểu thức ẩn không báo hàm y n+1 ở vế phải Để dùng

(2.6) ta tiên đoán một giá trị y ∗

n+1, chẳng hạn dùng (2.5) là

y ∗ n+1 = y n+ h

Hiệu chỉnh các giá trị y n+1 trong (2.8) vừa tìm được bằng cách sữ dụng cácbiểu thức ẩn, bước này gọi là corretor và có thể lặp lại nhiều lần cho đến khi kếtquả đạt độ chính xác như ý

Ví dụ 2.1 Dùng tiên đoán Adams - Bashforth (2.7), và hiệu chỉnh Adams - Moultor

(2.8) để giải phương trình

bằng (2.7) và (2.8) trên đoạn 0 ≤ x ≤ 2, chọn h = 0.2

Giải: Đây là bài toán giống như bài toán trong ví dụ 1.1-1.2 trong chương 1

nên ta có thể so sánh các kết quả Ta tính các giá trị ban đầu y1, y2, y3 bằng phươngpháp Runge - Kutta cỗ điển Rồi trong mỗi bước ta tiên đoán bằng cách dùng (2.7)

và hiệu chỉnh bằng cách dùng (2.8) trước khi tiến hành các bước tiếp theo Các kếtquả trong bảng 1.9 được biễu diển và so sánh với kết quả chính xác Ta thấy rằngtính chính xác được cải tiến, khảo sát chính xác

Nhận xét về sự so sánh của các phương pháp Biểu thức Adams - Moulton là chínhxác hơn biểu thức Adams - Bashforth cùng bậc Phương pháp (2.7); (2.8) là phươngpháp số ổn định, trái lại ngoại trừ sữ dụng (2.7) có thể gây ra sự bất ổn định Sự

điều chỉnh ở mỗi bước sẽ tương đối đơn giản Nếu |Corrector − P redictor| > T OL,

dùng phép nội suy để phát sinh kết quả cũ tại một nữa tại bước hiện thời và thử

h/2 như bước mới Phương pháp (2.7), (2.8) chỉ cần 2 giá trị cho mỗi bước, phương

pháp Runge - Kutta cần 4 giá trị; tuy nhiên phương pháp Runge - Kutta có thể có

số bước lớn hơn hai rất lớn

và điều kiện đầu y1(x0) = K1, y2(x0) = K2, · · · , y m (x0) = K m.

Các phương pháp cho phương trình vi phân bậc nhất đơn giản có thể được mở

rộng cho hệ phương trình (3.1) bằng cách viết dưới dạng vectơ hàm y và f thay cho các hàm y và f trước đây, ở đấy x là một đại lượng vô hướng.

Ví dụ 3.1 Phương pháp Euler cho phương trình vi phấn cấp hai Hệ khối lượng

-lò xo Giải bài toán tắt dần cho hệ khối lượng - -lò xo

Các điều kiện đầu là y(0) = y1(0) = 3, y 0 (0) = y2(0) = −2.5 các tính toán được trình

bày trong bảng 3.1 Như các phương pháp đơn giãn, các kết quả sẽ không đủ chính xác cho mục đích tính toán Tất nhiên ví dụ chỉ là để minh hoạ cho phương pháp còn bài toán này ta có thể giải được nghiệm một cách chính xác

3.2 Các phương pháp Runge - Kutta cho hệ phương

trình

Được dùng cho hệ phương trình (3.1) bằng cách viết dưới dạng vectơ, thành

phần m cho m = 1 ép buộc các biểu thức vô hướng trước Từ phương pháp Runge

- Kutta cổ điển bậc bốn trong bảng 1.4 ta được

và cho n = 0, 1, · · · , N − 1 (N số các bước), ta đạt được các tính chất phụ trợ sau

Ví dụ 3.2 Phương pháp Runge - Kutta cho hệ phương trình Phương

trình Airy Hàm Airy Ai(x)

Giải bài toán sau

y 00 = xy, y(0) = 1

32/3 Γ(2/3) = 0.35502805, y

0 (0) = − 1

31/3 Γ(1/3) = −0.25881940

bằng phương pháp Runge - Kutta cho hệ phương trình với h = 0.2, làm 5 bước Đây

là phương trình Airy, được phát sinh trong quang học Γ là hàm gamma Điều kiện đầu đạt được trong điều kiện chuẩn, các hàm Ai(x) đã được liệt kê và khảo sát Giải: Cho y 00 = xy, đặt y1 = y, y2 = y 0

Bảng 3.2 diễn tả các giá trị y(x) = y1(x) của hàm Airy Ai(x) và đạo hàm của nó

là y 0 (x) = y2(x) cũng như sai số của y(x).

Bảng 3.2 Phương pháp Runge - Kutta cho hệ phương trình: Các giá trị y 1,n (x n)

của hàm Airy Ai(x) trong ví dụ 3.2

pháp RKN)

Phương pháp RKN là mở rộng trực tiếp phương pháp RK(phương pháp Runge

- Kutta) cho phương trình vi phân cấp hai y 00 = f (x, y, y 0) như đã cho bằng phéptoán E J Nystr¨om Đa thức tốt nhất được biết, ở đây n = 0, 1, · · · , N − 1 (N là

số bước nhảy) Các biểu thức dưới với K = 1

Từ các vấn đề trên ta tính xấp xĩ y n+1 của y(x n+1 ) tại x n+1 = x0+ (n + 1)h.

n+ 1

3(k1+ 2k2+ 2k3+ k4) (3.13)

Đây là phương pháp đặc biệt thuận tiện cho y 00 = f (x, y) với f không chứa y 0 vì vậy

k2 = k3 và số các hàm được giảm Tóm lại

Bảng 3.3 Phương pháp Runge - Kutta - Nystr¨om áp dụng cho phương trình Airy,

tính toán của hàm Airy y = Ai(x)