Dãy số và ứng dụng vào các bài toán vật lý

Mỗi đoạn dây có điện trở là R. Tính điện trở tương đương của 2 đầu AB. RAB = ? Liệu với hình vuông nxn thì điện trở tương đương n R bằng bao nhiêu? Kiến thức về dãy số sẽ giúp ta giải quyết vấn đề này 1.Dãy số: Nhớ lại định nghĩ trong SGK: một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương * Ν được gọi là một dãy số vô hạn hay gọi tắt là dãy số. Chính từ định nghĩa này, một số người đã nghĩ rằng, trong vật lý, các thông số vật lý thường là hàm xác định trên tập hợp số thực R nên giữa dãy số và các bài toán vật lý không có mối quan hệ. Tuy nhiên, thực tế vẫn có những bài toán vật lý, một vài thông số là hàm xác định trên tập * Ν . Dãy số được cho bởi các cách sau đây: Cách 1: cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát ( ) * n u f n n N = ∀ ∈ Ví dụ : * 1 2 3 : ; ; ;.... 1 2 3 4 n n u n N u n = ∀ ∈ ⇒ + Cách 2: cho dãy số bởi hệ thức truy hồi Hệ thức truy hồi của một dãy số là một hệ thức cho phép ta xác định một số hạng của dãy số nếu ta biết một, hai hay nhiều số hạng đứng trước nó. Ví dụ: dãy Fibonacci * 2 1 1 2 1 n n n u u u n N u u + +  = + ∀ ∈  = =  Dãy số đơn điệu: Tính đơn điệu của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính đơn điệu của dãy số xác định bởi hàm số đó. Ta thường dùng tính chất cơ bản sau

DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO CÁC BÀI TOÁN VẬT LÝ

By: Lê Đại Nam Nhớ lại một bài thi tuyển sinh lớp 10 của trường PTNK, có một năm đã ra một mạch điện thế này

Mỗi đoạn dây có điện trở là R Tính điện trở tương đương của 2 đầu AB RAB = ?

Liệu với hình vuông nxn thì điện trở tương đương R n bằng bao nhiêu?

Kiến thức về dãy số sẽ giúp ta giải quyết vấn đề này

1.Dãy số:

Nhớ lại định nghĩ trong SGK: một hàm số u xác định trên tập hợp các số nguyên dương *

Ν được gọi là một

dãy số vô hạn hay gọi tắt là dãy số

Chính từ định nghĩa này, một số người đã nghĩ rằng, trong vật lý, các thông số vật lý thường là hàm xác định trên tập hợp số thực R nên giữa dãy số và các bài toán vật lý không có mối quan hệ

Tuy nhiên, thực tế vẫn có những bài toán vật lý, một vài thông số là hàm xác định trên tập *

Ν

Dãy số được cho bởi các cách sau đây:

Cách 1: cho dãy số bởi công thức của số hạng tổng quát

n

u = f n ∀ ∈n N

: ; ; ;

n

n

n

+

Cách 2: cho dãy số bởi hệ thức truy hồi

Hệ thức truy hồi của một dãy số là một hệ thức cho phép ta xác định một số hạng của dãy số nếu ta biết một, hai hay nhiều số hạng đứng trước nó

Ví dụ: dãy Fibonacci

*





Dãy số đơn điệu:

Tính đơn điệu của hàm số đóng vai trò quan trọng trong việc xác định tính đơn điệu của dãy số xác định bởi hàm số đó Ta thường dùng tính chất cơ bản sau

Cho dãy số { }u n được xác định theo công thức u n = f u( n−1)∀ ≥n 2

Giả sử u n∈[a b, ]∀ ∈n N và f đồng biến trên [a b, ] thì

a) Nếu x1 < x2 thì dãy là đơn điệu tăng

b) Nếu x1 > x2 thì dãy là đơn điệu giảm

2 Một vài dãy số cơ bản:

1 Cấp số cộng :

Một cấp số cộng được xác định theo 2 yếu tố: số hạng thứ nhất u1 và công sai d

Theo định nghĩa ( )u n là cấp số cộng ⇔u n =u n−1+ ∀ ≥d n 2

Do đó, một cấp số cộng có thể được biểu diễn bằng một hệ thức truy hồi sau

1

1

2

n n

=







Hay bằng một công thức cho số hạng tổng quát như sau:

* 1

1

n

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là:

1 1

2

−

2 Biến thể của cấp số cộng:

Biến thể của một cấp số cộng là một dãy số u n nào dó, mà tồn tại một hàm f sao cho

( )

a = f u là một cấp số cộng

Để xác định được dãy ( )a n thì cần xác định được hàm f Thông thường dãy ( )u n được biểu diễn theo công thức truy hồi

Ví dụ:

Ta có một ví dụ đơn giải sau: ( 1 ) 1( ) ( 1 )( )

1

1

u





=



Để giải dãy này, trước hết ta có nhận xét

Nếu (u n−1+1)(u n +1)=0⇔(u n+1) (= u n−1+1)⇔u n−1=u n = − ∀ ≥1 n 2 thì vô lý, vì u =1 1

Vậy (u n−1+1)(u n +1)≠0

Từ công thức truy hồi, ta có:

1 1

1

1

n

u

−

−







 =



1

2 1 1

2

n n n

n

n

a a u

a

−





+  = thấy ngay ( )a n là cấp số cộng có 1

1 2

a = và công sai d = 2

n

n n

n

u

−

3 Cấp số nhân:

Một cấp số nhân được xác định theo 2 yếu tố: số hạng thứ nhất u1 và công bội q

Theo định nghĩa ( )u n là cấp số nhân ⇔u n =qu n−1∀ ≥n 2

Do đó, một cấp số cộng có thể được biểu diễn bằng một hệ thức truy hồi sau

1

2

u qu − n

=







Hay bằng một công thức cho số hạng tổng quát như sau:

( 1)( 1 2)( 2 3) ( 2 1) 1 1 1

1

n

n

u u q n N

−

−

Tổng n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là:

( 1)

1 1

n

i

q

q

−

−

−

4 Biến thể của cấp số nhân:

Biến thể của một cấp số cộng là một dãy số u n nào dó, mà tồn tại một hàm f sao cho

( )

a = f u là một cấp số nhân

Để xác định được dãy ( )a n thì cần xác định được hàm f Thông thường dãy ( )u n được biểu diễn theo công thức truy hồi

Ví dụ:

Ta cũng có một ví dụ đơn giản như sau: 1

1

1

u

−





=



Ta sẽ giải dãy số này như:

⇔

1

3

10

a

−

=



=

 thấy ngay ( )a n là cấp số nhân có a =1 10 và công bội q = 3 1

10.3n

n

Giải ra ta được 1 3 1

10.3

n n

n

a

5 Cấp số điều hoà

Ngoài 2 cấp số trên, còn có cấp số điều hoà Cấp số điều hoà được định nghĩa là dãy số { }u n với

0

n

u ≠ ∀ ∈n N thoả mãn điều kiện

*

1 1

2 n n

n

u u

− +

+

Từ điều kiện trên, ta thấy bản chất của cấp số điều hoà là một biến thể của một cấp số cộng

thật vậy

*

1 1

n

u u

− +

+

Tức là nếu { }u n là một cấp số điều hoà thì 1

n u

 

 

  là một cấp số cộng

6 Mỗi liên hệ giữa cấp số cộng , cấp số nhân và cấp số điều hoà

1 Xét dãy số sau:

1

ons

−





=

 Với A,B,C là hằng số và A khác 0

Nếu A + B = 0 thì dãy trên là một cấp số cộng

Nếu C = 0 thì dãy trên là một cấp số nhân

Nếu A + B , C đều khác 0 thì ta có:

1

1

1

1

1

1

ons

ons

2 ons

u c t

u c t

u c t

−

−

−





=







⇔

 =







⇔

 =



Chọn C1+C2 =C thoả 1 1

+ = −  + ∀ ≥

2

A

A B

C B C

B

A A A

A B



⇔

=

n n

C

A

= + thì dãy ( )a n là cấp số nhân với công bội q B

A

−

1 1

C

A

Dãy trên được gọi là cấp số suy rộng

Dạng này cũng thường gặp trong các bài toán về dãy số Đôi khi giải quyết các bài toán vật lý, ta cũng dùng đến chúng

2 Nếu dãy { }u n là một cấp số cộng thì dãy { }v n với u n , 0

n

v =a ∀ ∈n N a> sẽ lập thành cấp số nhân Nếu dãy { }u n là một cấp số nhân thì dãy { }v n với v n =loga u n∀ ∈n N,0<a≠1 sẽ lập thành cấp số cộng

3 Nếu ta có hàm số f x( ) thoả mãn điều kiện ( ) ( ) ( ) , 0

2

f x f y

f xy = + ∀x y> và một cấp số nhân dương { }a n thì dãy {f a( )n } là một cấp số cộng

Nếu ta có hàm số :f R→R+ thoả mãn điều kiện ( ) ( ) ,

2

x y

f  +  f x f y x y R

{ }a n thì dãy {f a( )n } là một cấp số nhân

Nếu ta có một cấp số nhân dương { }a n và một hàm :f R+ R+

→ thoả ( ) 2( )f x f y( ) ( ) ( ) ,

+

+ thì dãy {f a( )n } là một cấp số điều hoà

7 Dãy Lucas

Chắc hẳn các bạn đã quen thuộc với dãy Fibonacci rồi chứ nhỉ

Mình xin nói sơ về dãy Fibonacci

Công thức truy hồi của dãy là

*





Và công thức tổng quát của nó là 1 1 5 1 5

5

n u

=   − 

Công thức trên được gọi là công thức Binet

Thông thường, trong số học các nhà toán học thường ký hiệu F n để chỉ số Fibonacci thứ n trong dãy Fibonacci

Dãy Fibonacci có nhiều tính chất đặc biệt, tuy nhiên mình không đề cập đến các tính chất này Tổng quát hơn dãy Fibonacci là dãy Lucas Cụ thể mình đề cập đến dãy Lucas đơn giản nhất ^^

*

1, 2 ons

u u c t



 trong đó a,b là các hằng số khác 0

Chúng ta thứ giải dãy Lucas một cách bài bản nhé

Để giải dãy Lucas một cách bài bản, ta có 2 cách sau:

Cách 1:

*

1, 2 ons

u u c t





Từ u n+2 =au n+1+bu nta đặt a n =u n+1−Au n Ta tìm A sao cho ( )a n là một cấp số nhân

n

a+ =Ba ⇒a =B −a với B là hằng số chưa biết

Suy ra (u n+2−Au n+1)=B u( n+1−Au n)⇔u n+2 =(A+B u) n+1−ABu n

Đồng nhất hệ số, ta được A B a

AB b

+ =





= −

 suy ra A và B là nghiệm của phương trình r2−ar−b=0

n

a =u + −Au =B − u −Au

Do A, B tương đương nhau nên ta có thể hoán vị A, B để được: 1( )

n

u + −Bu =A − u −Bu

Ta được hệ phương trình sau:

1

1

n

n

− +

− +







Nếu A = B thì

n

Nếu A,B là 2 nghiệm phân biệt thì:

1

n

− +

− +

+



⇔

Ta có công thức tổng quát của dãy số là

( ) ( )

n

n

Cách biễu diễn u n theo n

A và n

B có một ý nghĩa Tí nữa chúng ta sẽ biết ở cách giải 2

Với dãy Fibonacci ta thay 1 2

2

1 5 2

A

B

=



−



=



5

n

u

=   − 

Cách 2:

Cách giải trên có vẻ phức tạp và ra kết quả không được đẹp

Ta thấy dãy Fibonacci có công thức tổng quát là 1 1 5 1 5

5

n F

=   − 

có dạng 1 1n 2 2n

n

u =C r +C r

Vậy ta phỏng đoán với trường hợp tổng quát hơn thì dãy Lucas vẫn có công thức tổng quát tuân theo dạng trên

Ta giả sử 1 1n 2 2n(1)

n

u =C r +C r với r r C C1, , ,2 1 2 là hằng số

Khi đó ta có:

u au bu C r C r a C r C r b C r C r

C r r ar b C r r ar b

Chọn r r1, 2 là nghiệm của phương trình r2−ar−b=0

Khi đó biểu thức (*) được thoả

Dựa vào u u1, 2 thay vào (1) ta được hệ 2 phương trình 2 ẩn bậc nhất, 2 ẩn C1 và C2 Từ đó ta giải ra C1 và C2

Cách giải này giúp ta có một cách giải nhanh và gọn các dãy Lucas

Phương trình r2−ar−b=0 là phương trình đặc trưng của dãy Lucas

Từ đó ta rút ra cách giải gọn gàng, dùng để tính dãy Lucas như sau:

- từ hệ thức u n+2 =au n+1+bu n ta rút ra phương trình đặc trưng của dãy Lucas như sau:

Chỉ số chân n nhỏ nhất coi là bậc 0, n+1 ứng với bậc 1 và n+2 ứng với bậc 2 Nghĩa là khi đó

u →r u + →r u + →r ta được phương trình đặc trưng r2−ar−b=0

- Giải phương trình đặc trưng, lưu ý rằng ta nếu biệt thức ∆ <0thì ta nhận luôn nghiệm phức

- Giải hệ phương trình

1 1 1 2 2

2 1 1 2 2

u C r C r

u C r C r







- Thay r r C C1, , ,2 1 2 ta được công thức tổng quát 1 1n 2 2n

n

u =C r +C r

*** Lưu ý:

Tổng quát hơn dãy Lucas đã nếu ở trên là các dãy Lucas với phương trình đặc trưng bậc 3

Dãy Lucas là nghiệm của một quan hệ hồi quy đơn giản

Ngoài ra, tổng quát hơn nữa là quan hệ hồi quy tuyến tính hệ số hằng

Quan hệ hồi quy tuyến tính hệ số hằng bậc k được định nghĩa là quan hệ có dạng:

f n+k =a f n+k− +a f n+k− + +a f n

Và dãy Lucas mà ta xét ở trên là nghiệm ứng với bậc k = 2

Ở đây chỉ mang tính chất giới thiệu chứ không giải chi tiết

3 Nguyên lý quy nạp toán học:

Nguyên lý quy nạp toán học là một nguyên lý giúp ta giải các dãy số theo một phương pháp mới, phương pháp quy nạp toán học

Nguyên lý quy nạp toán học được phát biểu như sau:

Giả sử S là một tập hợp nào đó các số nguyên dương, chứa số 1 Khi đó nếu với mọi n∈S, S đều chứa số n+1 thì S là tập hợp tất cả các số nguyên dương

Nếu hiểu nôm na, nguyên lý quy nạp toán học cho phép ta mở rộng một tập S ra N nếu thoả điều kiện với mọi n∈S, S đều chứa số n+1

Giả sử ta có một mệnh đề, đúng với mọi n∈S, ta hiểu như S là một tập xác định của mệnh đề đó Nếu với mọi n∈S, ta chứng minh được n+1 thuộc S thì theo nguyên lý quy nạp toán học, S = N* tức mệnh đề đó luôn đúng với mọi số nguyên dương Đó là một phương pháp quy nạp toán học đơn giản

Dựa vào phương pháp này, ta có thế giải một bài toán dãy số như sau:

- tính ra các giá trị ứng với các giá trị cụ thể của n, thường là 1,2,3

- tìm quy luật chung giữa các giá trị của các số hạng của dãy

- rút ra công thức tổng quát

- chứng minh rằng công thức nêu ra là đúng Tức nếu đúng với n thì đúng với n+1

Bước thứ 2 là bước khó nhất Đòi hỏi phải có kinh nghiệm, óc quan sát và một chút cái gọi là may mắn , hay nói gọn hơn là các tố chất nhạy cảm toán học Hoặc ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp nếu ta đã nhớ được công thức tổng quát của dãy số chẳng hạn

4.Các bài toán vật lý có sử dụng dãy số:

Hy vọng với các phần trên, các bạn đã có một vốn kiến thức kha khá về dãy số

Ta bước vào phần chính của chuyên đề này: các bài toán vật lý có sử dụng dãy số

Bài toán 1: Các mạch điện vô hạn

Các bài toán về mạch điện vô hạn quá quen thuộc với các học sinh chuyên lý phổ thông, kể cả cấp 2 lẫn cấp

3 Tuy nhiên, cách giải thông thường là mắc thêm 1 mắc xích và điện trở tương đương không đổi Vậy liệu

đó có là cách giải duy nhất Ta có thể nghĩ đến 1 cách giải khác, trâu bò hơn, nhưng cũng không phải là dở Nếu điện trở tương đương của mạch được biểu diễn như một dãy số thì sao nhỉ???

Dưới đây là một vài bài tập để ta làm thử

Bài tập 1:

Mỗi điện trở có giá trị là R tính điện trở tương đương RAB của mạch biết có vô hạn mắc xích

Giải:

Mỗi mắc xích là 2 điện trở như trên

Gọi Rn là điện trở tương đương giữa 2 đầu AB của mạch có n mắc xích

Xét mạch có n+1 mắc xích Ta dễ thấy R n+1:(R n / /R ntR) nên

n

n

RR

R R

+ = +

+

Và R1 = 2R

Ta tìm được cách biểu diễn đệ quy của dãy số (Rn) 1

1 2

n n

n

RR

R R

+





+



 =

 Bây giờ ta giải dãy số này là giải quyết được vấn đề

Thử với n = 1,2,3,4

Ta được: 2 ;5 ;13 ;34

1R 3R 8 R 21R Nhận thấy các số 1 2 3 5 8 13 21 34 là các số Fibonacci 2 3 4 5 6 7 8 9

Như vậy ta rút ra công thức tổng quát là

2 1

2

n

n

n

F

F

+

Ta cùng chứng minh thử nhé

Thay vào 1 n

n

n

RR

R R

+ = +

+ ta được

2 1

2( 1) 1

1

2

2 1

1

n

n

n

n

n

F

F

F

F

+

+ +

+

Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, nhận định của ta là đúng

Ta có 2 1

2

n n

n

F

F

+

=

Khi số mắc xinh lớn vô hạn thì n → ∞

Ta có một tính chất khá lý thú của dãy Fibonacci

Từ công thúc Binet 1 1 5 1 5

5

n F

 +   −  

=   − 

ta chứng minh được tỉ số 1 1 5

2

n n

F F

→ khi n → ∞

2

R∞ = + R

Bài tập 2:

Bây giờ ta xét một mạch điện na ná như mạch điện trên

Mỗi điện trở là R Tính điện trở tương đương RAB của mạch có vô hạn mắc xích như trên

Giải:

Trước hết xin giới thiệu một lời giải trong sách “Một số vấn đề nâng cao trong Vật lý Trung học phổ thông tập 2” của thầy Phạm Quang Thiều Ta kí hiệu các cường độ dòng điện và hiệu điện thế như hình vẽ sau:

Lời giải và ký hiệu hiệu điện thế của mình hơi khác trong sách của thầy Thiều một chút để phù hợp hơn với chuyên đề tuy nhiên vẫn giữ được ý tưởng chính của lời giải gốc

Ta có n

n

n

U

R

I

=

Áp dụng định luật Ohm, ta có các hệ thức sau:

1

1 1

2

4 2

4

n

n n

U

I I

R

−

−

−









Ta xét dãy Lucas u n =4u n−1−u n−2 Phương trình đặc trưng là r2−4r+ =1 0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt r1 =2+ 3;r1 =2− 3

Ta được 1 1n 2 2n

n

u =C r +C r

Áp dụng cho Un và In ta được

1 2

n

n

U Ar Br

I Cr Dr







Giải A,B Ta có

0 2 1

0 1 1

1 2

U r U A

U r U

U Ar Br

B

r r

−



=



⇒

−

=



0 2 1

2 1 0

0 1 1

1 2

I r I C

r r

I r I

D

r r

−



=

⇒

−



Và nhớ rằng

0 1

1 1 1

0

3 0

I

=





=



 =



Vì coi như I0 đi qua giữa 2 đầu U0 và không khí ☺ nên I0 = 0

Ta được kết quả

1

1

2 3

2 3

n

n

I R

U Ar Br

I

I Cr Dr







Ta chia Un cho In , tìm được

n

n

U

I

Để tìm được R∞ thì ta có:

lim

1

n

n n

n n

n

∞

→∞

→∞

=

−

+

−

− + Vậy R∞ =R( 3 1+ )

Và đây là một lời giải khác cho bài toán này

Tương tự bài tập 1, ta cũng có: gọi Rn là điện trở tương đương của mạch AB có n mắc xích Khi đó Rn+1 : R nt (Rn // R)nt R

Nên 1 2 n

n

n

RR

R R

+

Và R1=3R Ta thấy dãy này khá giống bài tập 1 nên ta sẽ nghĩ đến cách làm sau:

Ta đặt n

n

n

a

b

= thì khi đó 1

1

2

1

n

n

n

a

a

b

+

+

+

+ +

4

⇒

Như ở cách 1, ta giải dãy Lucas u n =4u n−1−u n−2 được 1 1n 2 2n

n

u =C r +C r với r1=2+ 3;r1 =2− 3

Điều kiện ban đầu là a1 =3b1 Ngoài ra khi n = 0 thì R = ∞0 nên b =0 0

0

3 1

1

a b

a

=



= ⇒

=



Giải dãy {an} và {bn} ta được

n

n

a

b









n

n

U

I

Và R∞ =R( 3 1+ )

Nhận xét

Qua 2 bài tập trên, ta rút ra một tính chất khác của dãy Lucas

Xét dãy số 1

1

n n

n

bu

u c u

+





+







Ta đặt n

n

n

x

u

y

1

n

a b u ac a b x acy x

+

+

Từ đó ta có thể suy ra

1

x a b x acy

x a b c x bcx

+









Vậy ta có thể biểu diễn số hạng tổng quát của dãy 1

1

n n

n

bu

u c u

+





+







bằng một tỉ số của 2 số hạng của 2 dãy Lucas có cùng quan hệ hồi quy dạng X n+2 =(a b+ +c X) n+1−bcX n

Dãy số 1

1

n n

n

bu

u c u

+





+







cũng hay xuất hiện trong các mạch điện bởi nếu thay R n =u R n thì

1

n n

n

bR R

R aR

R cR

+ và thường xuất hiện dưới dạng b = c Bởi số hạng n

n

bR R

R +cR khi b = c biểu diễn điện trở tương đương của Rn //(bR)

Bài tập 3

Quay lại vấn đề đã nêu ở đầu chuyên đề

Với hình vuông 3x3 thì khá dễ với những ai đã có kinh nghiệm trong việc gỡ nút mạch điện

Do mạch là đối xứng nên ta gỡ nút như sau:

Khi đó ta dễ dàng tính được 13

7

td

Khi mạch điện là một hình vuông 2x2 như hình sau

Thì ta tách nút ở giữa và tính ra được 3

2

td

R = R và khi mạch điện là một hình vuông 1x1

Thì R td =R

Liệu với hình vuông nxn thì điện trở tương đương R n bằng bao nhiêu?

Ta xét hình vuông (n+1)x(n+1) như hình sau:

Ta tách các nút ở đường chéo AB Ta được 2 nhánh song song giống hệt nhau nên mỗi nhánh có điện trở là 1

2R n+

Mỗi nhánh có hình dạng như sau:

Mạch CD có 2 nhánh, 1 nhánh gồm 2n điện trở R mắc nối tiếp nhau Nhánh còn lại có hình dạng như sau:

Ta thấy nếu 2 mạch giống như hình trên mắc song song thì ra hình vuông nxn Do đó điện trở của mạch CD trên này lả 2R n

Để đơn giản, ta đặt n 1 1

n

R

R

n

n

nu u

u n

+ = +

+ Dãy số này khác với dạng của dãy số ở 2 bài trên, khi mà b = c = n lại phụ thuộc vào n

Tuy nhiên, ta vẫn thử vận may với việc đặt n

n n

a u b

=

1

1

1

n

n a nb

u

+ +

+