Phương pháp tích phân phần A Tóm tắt lý thuyết Cơng thức tích phân phần:   u  x  d  v  x    u  x  v  x    v  x  d u  x   ;     b  b b      u  x  d  v  x    u  x  v  x    v  x  d u  x   a a a Vài tình gợi ý việc sử dụng cơng thức tích phân phần:      v  x  d u  x  dễ tính tích phân  u  x  d v  x   ;  Tích phân  Biểu thức dấu tích phân có chứa u '  x  dx ;  Biểu thức v '  x  đơn giản B Các dạng toán hay gặp Dạng Tích phân phần có quy tắc  Nội dung phương pháp  Quy tắc khử đa thức Xét tích phân I1   P  x  eax dx , I   P  x  sin axdx , I3   P  x  cos axdx , P  x  hàm đa thức, a số khác Ba tích phân nói có cách tính tương tự, sau ta nêu cách tính I1 I1  1 ax ax ax ax ax    P  x  d  e   a P  x  e   e d  P  x    a  P  x  e   e P '  x  dx    a   Việc tính I1 quy tính tích phân J   e ax P '  x  dx Đa thức dấu tích phân J P '  x  có bậc thấp đa thức dấu tích phân I1 đơn vị Ta lặp lại trình đa thức dấu tích phân bị khử hồn tồn Cách tích phân I , I3 tính cách tương tự  Quy tắc khử Lơ-ga Xét tích phân I   P  x  ln k xdx Ta có I   ln k xdF  x  , F  x  nguyên hàm P  x  Áp dụng cơng thức tích phân phần ta có I  ln k xF  x    F  x   ln k x  ' dx  ln k xF  x   k  F  x  k 1 ln xdx x Ta ln chọn F  x  cho F  x  có nhân tử x , biểu thức đa thức đồng bậc với P  x  Như vậy, so với I J   F x thực chất x F  x  k 1 ln xdx có lũy thừa x Lơ-ga nhỏ đơn vị Ta lặp lại trình biểu thức Lơ-ga bị khử hồn tồn Xét hai tích phân I1   eax sin bxdx I   eax cos bxdx Hai tích phân nói có  phương pháp tính tương tự Dưới đây, ta xét I1 I1  1 ax ax ax ax ax  sin bxd  e   a sin bxe   e d  sin bx   a sin bxe  b  e cos bxdx      a  b b sin bxe ax   e ax cos bxdx  sin bxe ax   cos bxd  eax  a a a a  b b b2 sin bxe ax  cos bxeax   e ax d cos bx  sin bxe ax  cos bxeax   e ax sin bxdx a a a a a  b b2 sin bxe ax  cos bxe ax  I1 a a a Từ đó, ta tính I1  Một số ví dụ Ví dụ Tính tích phân sau: 1) [ĐHD06] I    x   e2 x dx ln3 2) J   x  x  e x dx Giải 1) I  1 1 2x 2x   x   d  e    x   e 20   1  1    e2 x d  x      e2    e2 x dx  0  2  1  1 1 1  e   e2 x    e2    e2  1    e2   2 2 4 0  2) Ta có ln3 J  x  x  de x   x  x  e x ln ln3   ln e x d  x  x    ln  2ln   e  x   x  1 e dx     K Lại có ln ln ln x x   x  1 de   x  1 e K   ln e x d  x  1   ln  1  e x  3ln   e 1 Do I   ln  ln   e   3ln   e   3ln  12 ln  12  e Ví dụ Tính tích phân sau:  1) I    x  x   sin xdx ;  2) J    x  1 cos xdx Giải 1) Ta có   1 2 I     x  x  3 d cos x    x  x  3 cos x 20          cos xd  x  x  3     14     x   cos xdx     x   d sin x 2 20  1    x   sin x 2        sin xd  x            cos x 24   b Vì : cos x                 24 2      cos2x Cho nên :    1   cos2x   I    x  1 cos xdx    x  1   dx    x   dx    x  1 cos2xdx 2 20   0 0       2   1  1    x  x     x  1 d  sin x      x  1 sin x   sin x.2 dx    20 2   0   =   2  1 2     cos2x    1  8 2   0  * Chú ý : Qua ví dụ ta có nhận xét sau : - Bậc P(x) cao số lần lấy tích phân phần lớn : Nếu bậc P(x) cao ta phải láy hai lần tích phân phần kết  - Tổng quát : Nếu gặp phải tích phân có dạng :   P( x) sin n  axdx   P  x cos naxdx Ta  phải sử dụng công thức hạ bậc : Như : sin x   cos2x  cos2x 3sin x  sin x 3cos x  cos3x ; cos x  ;sin x  ; cos3 x  2 4 Sau tách tích phân cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta tìm dược nhờ gợi ý biết Ví dụ Tính tích phân sau a  x  x  x  1 e c x2ex   x  2 2x dx b x2 x e dx dx ( Cao đẳng GTVT-2004 ) Giải a  x  x  x  1 e2 x dx - Đặt : u   x  x  x  1  du   x  x   dx ; dv  -  dx  v   x Thay vào (*) 2x e e 1  x  x2  3x  1  2  3x  24xx   dx   e62  J 1 Tương tự : Ta tính J   e2 x e  0 - Đặt : u1   x  x  3  du1   x   dx ; dv1  J  dx  v1   x Do : 2x e e 1  3x  x  3  2 x 2x dx   e42  K   e2 x e 6x  dx e2 x - Ta tính K   +/ Đặt : u2  x   du2  6dx ; dv2  dx  v2   x 2x e e 1 6dx 1 1  +/ Do : K   x  x     x    x      1  2   0 e e e e e e  - Thay (3) vào (2) : J   4  2(2)   Lại thay vào (1) ta có : e e I  2 4 14   2     2 e e  e  b  dt  xdx; x   t  0, x   t  2 x3 e x dx   x 2e x xdx Đặt : t  x    t  f ( x)dx  te dt 0 Do : I   t.et dt  c x2ex   x  2 1 1 t t t  t.d  e    t.e  e   20 dx Ta giải hai cách : Cách - Đặt : u  x 2e x  du   x.e x  x 2e x  dx  xe x   x  dx ; dv  - Vậy : I   x 2e x  x  2 dx  x  2 v x2 2 x 2e x dx     xe x dx   e2   xe x  e x  1 x2 0 Cách ( Đổi biến số trước ,sau lấy tích phân phần sau )  dt  dx, x   t  2; x   t   - Đặt t  x     t   et  dt   t    et  dt f ( x)dx     t  t   4 et  dt   et  dt  J  K  L 1 t 2 - Suy : I   tet  dt   - Các tích phân J,K,L em tính * Chú ý : Qua ví dụ ta có số nhân xét quan trọng sau  - Đối với tích phân có dạng : I    eax dx , ta áp dụng cách giải dạng tích P( x)  phân I   P ( x)e ax dx  - Ta kết hợp hai phương pháp : đổi biến số tích phân phần Nghĩa trước lấy tích phân phần , ta đổi biến số Ví dụ Tính tích phân sau  a x  x  3 sin xdx  b  x.sin xdx   x c  dx cos x d  x cosxdx Giải  a x  x  3 sin xdx - Đặt : u  x  x   du   x   dx , dv  sin xdx  v   cos2x Thay vào (*)   14 - I   cos2x  x  x  3    x   cos2xdx   J 1 20 2       1  - Tính : J    x   cos2xdx    x   d  sin x   sin x  x     2sin xdx  20   0        1 5         cos2x    Thay vào (1) I        2 2 2 16   0         2 1   cos2x   b  x.sin xdx   x   dx    xdx   x.cos2xdx   2  0          11 12  x   x.d  sin x   2 20              1 2 8        x.sin x    sin xdx     cos2x     2 2 16     0            x   c  dx   x.d  t anx   x.t anx   t anxdx   ln  cosx    ln 2 cos x 4 0 0  d  x cosxdx - Đặt : u  x  du  xdx , dv  cosxdx  v=sinx        2 2   Do : I  x sinx   x.sinxdx    x.d  cosx     x.cosx   cosxdx  4   0 0     2  2 4    sinx      0   Ví dụ Tính tích phân sau e a  x ln xdx ( KD-2007) b  ln  x  x  dx ( KD-2004 ) e e c  ln xdx d x ln xdx ( Tham khảo 2005 ) Giải e a x ln xdx - Đặt : u  ln x  du  ln x - Do : I  dx , dv   x 3dx  v  x x e e e x4 e4 e4 x ln x   ln x dx    x3 ln xdx   J 1 41 x 21 e - Tính J   x3 ln xdx +/ Đặt : u1  ln x  du1  dx , dv   x3dx  v  x x e 1e e 3e  1 e4 +/ Do : J  x ln x   x dx   x  Thay vào (1) ta có : 41 4 16 16 I e4  3e   5e4      16  32 b  ln  x  x  dx - Đặt : u  ln  x  x   du  2x 1 dx, dv  dx  v  x x2  x 3 x  x  1 2x   - Do : I  x.ln  x  x    dx  3ln  ln   dx 2 x  x  1 x 1 3  ln 54   dx   2 d  x  1  ln 54   ln  x  1  3ln  x 1 e c  ln xdx - Đặt : u  ln x  du  3ln x dx , dv  dx  v  x x e e e - Do : I  x ln x  3 ln xdx  e  J 1 Tính : J   ln xdx 1 +/ Đặt : u1  ln x  du1  ln x dx, dv1  dx  v1  x x  e e e e  e +/ Do : J  x ln x   ln xdx  e   x ln x   dx   e   x ln x  x   e   1 1    +/ Thay vào (1) : I  e   e     2e e d x ln xdx dx , dv   x 2dx  v  x x - Đặt : u  ln x  du  e 1e e3 e e3  - Do : I  x ln x   x dx   x  31 3 9 * Chú ý : Lũy thừa kcủa lnx số lần lấy tích phân phần , số lần lấy tích phân phần khơng phụ thuộc vào bậc đa thức P(x) Ví dụ Tính tích phân sau : a  ln x   x  1 2 dx ( KB-2009 ) b c   ln x dx ( KD-2008 ) x3 ln  x  1 dx ( CĐ khí luyện kim-2006 ) x2 Giải a  ln x   x  1 dx   - Với :   x  1 3  x  1 dx   dx   ln x  x  1 dx 1 3  x 1 - Với : 27 3 ln ln x ln  1  ln x 16   x  12 dx   x  1   x  x  1 dx      x  x   dx    ln x  1    1 ln x Thay vào (1) : I   b  ln 27 27  ln 16  16 4 ln x dx x3 - Đặt : u  ln x  du  dx dx , dv    v   x x 2x 2 dx ln 2  ln - Do : I   ln x       21 x 2x 4x 16 c ln  x  1 ln  x  1 ln  1 dx    dx  ln      dx  x2 x x  x  1  x x 1 1  ln  ln ln ln  3ln  x 2  ln   ln    ln  2  x 1   * Chú ý : Qua ví dụ ta thấy tích phân dạng : ln x  P( x) dx , áp dụng cách giải cho   tích phân dạng : I   P( x ) ln xdx  Ví dụ Tính tích phân sau a  x ln 1  x  dx ( CĐKTKT công nghiệp II-2006 )  3 b  x ln  x   dx CĐTCKT-2006 ) c   ln  t anx  dx (CĐTCHải quan -2006 ) sin x Giải a  x ln 1  x  dx    1 1 ln 1  x  d 1  x   1  x  ln 1  x    d 1  x    0 20 2     ln  1 1 1  ln  1  x    0 2 b  x ln  x   dx  dt  xdx; x   t  5, x   t  14  - Đặt : t  x     f ( x)dx  x ln   x  dx  ln tdt  14 - Do : I  14 14 ln14  5ln  11 1  ln tdt   t ln t  t   25  ln  t anx  1 c  dx   ln  t anx  d ln  t anx    ln  t anx    ln   ln   4  sin x 2 16  4     Cách khác : dx dt  dt= cos x  1  t  dx  dx   t 2t  - Đặt : t  t anx   Với : sin x  1 t2  x    t  1; x    t    - Khi : I   +/ J   ln t dt  2t  t 2 1 t2 ln t dt  t  ln t dt  J 1 t  ln t.d  ln t   ln +/ Thay vào (1) ta có : I  t  ln   ln   ln 16 * Chú ý : Qua ví dụ 3, ta thấy đổi biến trước lấy tích phân phần Ví dụ Tính tích phân sau :  a e  2x b I   e3 x sin xdx ( CĐKTKT-2005) cos3xdx 0  2x c  e sin xdx d  (e x2 sin x  e x x )dx ( ĐHTN-2000) 1 Giải  a e 2x cos3xdx Đặt : u= e x  du  2e x , dv  cos3xdx  v= sin x   12 2 2x - Do : I  sin x.e   e x sin xdx   e  J  I  J   e 1 30 3 3  - Tính J =  e2 x sin xdx Đặt : u  e2 x  du  2e2 x dx; dv  sin xdx  v   cos3x   22 2 2x - Do : J   cos3x.e   e x cos3xdx   I  J  I    30 3 3 3e  - Từ (1) (2) ta có hệ hai phương trình Giải hệ ta có I= 13  b I   e3 x sin xdx Đặt : u  e3 x  du  3e3 x dx; dv  sin xdx  v   cos5x  3  3x 3x e2 3 3 - Do : I   e cos5x   e cos5xdx   J  I  J  e 50 5 5 1 10 - Ta lại đặt : u  e3 x  du  3e3 x dx; dv  cos5 xdx  v  sin 5x  3  3x 3x e2 3 3 - Do : I  e sin 5x   e sin 5xdx   I  J  I  e 50 5 5  2  1 32 - Từ (1) (2) ta tính : I  J  e 20  c  e2 x sin xdx       2x 1 e 1  cos2x  dx    e2 x dx   e2 x cos2xdx   20 0   2x  1 e   e x cos2xdx   e 2  1  J 1 0 4  - Tính J=  e2 x cos2xdx Đặt : u  e2 x  du  2e2 x dx; dv  cos2xdx  v= sin x   1 - Do : J  e x sin x   e2 x sin xdx   K   Ta tính K 20 2 - Lại đặt : u  e2 x  du  2e x dx; dv  sin 2xdx  v= cos2 x   1 - Do : K  e x cos2 x   e x cos2 xdx   e2  1  J  K  J   e 2  1  3 0 2 Từ (2) (3) ta tính : J  d 1  e2  , sau lại thay vào (1) I   e  1 2 2 x x x x x x  (e sin x  e x )dx   (e sin x  e x )dx   (e sin x  e x )dx  J  K 1 1 1 - Tính J: Đặt t=-x suy dt=-dx Khi x=0 t=0;x=-1 t=1 Khi : 2 - J   et sin  t  dt     et sin tdt    e x s inxdx   J  J   J  0 +/ Tính K : Đặt u  x  du  xdx; dv  e x dx  v  e x +/ Do : K  x e x   1 x 1   x.e dx  e   x.d  e x   e   x.e x   e x dx  0 0      1  e  e  e x   e   e  1  e  0  - Vậy : I=K= e-2 11 Ví dụ Tính tích phân sau  /2 a  e x sin ( x)dx b e cos x sin xdx ( DB-2004)  /4 c   tgx  e sin x cos x  dx (DB-2005) Giải 1 1  1   cos2 x  a  e x sin ( x )dx   e x  dx    e x dx   e x cos2 xdx   2 0   0    e 1 1 x  J 1 Tính J : e  J   2 2  - Đặt : u  e x  du  e x dx; dv  cos2 xdx  v= sin 2 x Do - : 1 11 x 1 e sin 2 x   e x sin 2 xdx   e.sin 2  sin    e x sin 2 xdx   K 1 20 2 2 2 J +/ Tính K : Đặt u  e x  du  e x dx; dv  sin 2 xdx  v  +/ Do : K  cos2 x 1 x x 1 e cos2 x   e cos2 xdx  2  e  1  2 I  2 2 2 Từ (1) (2) ta có : I e 1   e       2  2  2  2   /2 b e  e 1 e 1 I  I  I   4 8  cos x sin xdx   e 0 cosx   e  1  4     e  1 I  I  8  4  1  4  t cosx  sinxdx    e t  dt    et dt 1   et  t    e   1   e   Vì :  t  cosx  dt=-sinxdx Khi x=0 t  1, x   c   tgx  e sin x   /4  t 0 cos x  dx   t anxdx   esinx cosxdx    ln sinx sinx   ln cosx   e d  s inx    ln e  e 1 4 2 0 12 C Bài tập Bài Tính tích phân sau  a x   e  cosx  cosxdx  b c  x cosxdx   x.tan e xdx  e d 2  x.sin xdx f  x.ln xdx  x e 2x   x  dx 1 Bài Tính tích phân sau  a   x.s inxcos xdx b e d x.s inx  1+cosx dx  c  e2 x sin xdx  ln x   x  1  e  s inx.ln  cosx  dx dx e f e sin x s inxcos3 xdx Bài Tính tích phân sau   a e 3x sin xdx b  2 d   ln  s inx  cos x  dx c e xcos x dx   x  sin x  cosxdx e 2x   x   e dx f x ln xdx Bài Tính tích phân sau a x xe   x  2 b dx x  1 ln 1   dx  x c  x  ln xdx f  1 x   x.ln   x  dx    e2 d 2  cos  ln x  dx e x 2 1  ln x dx x5 Bài Tính tích phân sau ln  x  1 a  dx x 1  x.sin b  s inxln 1+cosx  dx c  1  x  x cos xdx 0 e2 x dx   d   sinx x e  e dx 1+cosx f   x  1 ln xdx Bài Tính tích phân sau 13  a  x ln  x  1 dx b  ln  t anx  dx 14 ... phân I   P ( x)e ax dx  - Ta kết hợp hai phương pháp : đổi biến số tích phân phần Nghĩa trước lấy tích phân phần , ta đổi biến số Ví dụ Tính tích phân sau  a x  x  3 sin xdx  b  x.sin... 1 4 2 0 12 C Bài tập Bài Tính tích phân sau  a x   e  cosx  cosxdx  b c  x cosxdx   x.tan e xdx  e d 2  x.sin xdx f  x.ln xdx  x e 2x   x  dx 1 Bài Tính tích phân sau  a ...  cos3x ; cos x  ;sin x  ; cos3 x  2 4 Sau tách tích phân cho thành hai hay nhiều tích phân mà ta tìm dược nhờ gợi ý biết Ví dụ Tính tích phân sau a  x  x  x  1 e c x2ex   x  2 2x