Phương trình mũ - logarit

Phương trình mũ - logarit

Do đó, tập nghiệm của bất phương trình là {x|x 2 x 2} 

2, Giải phương trình log 6

6 6

x  là nghiệm duy nhất của phương trình 

Đặt t log6x Phương trình đã cho trở thành 3

t t

y   

 liên tục và đồng biến trên  nên (1) có không quá một nghiệm thực Hơn nữa, ta dễ thấy t  1 là một nghiệm của (1), nên (1) có nghiệm duy nhất t   hay phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 1,1

log 2

xy

y x

Phân tích hướng giải

Đây là một hệ phương trình " tổng hợp " theo mình nghỉ , một điều thường mình hay sử dụng giải các hệ này đó chính là sự quan sát giữa hai phương trình trong hệ để xem ta nên bắt đầu từ đâu ?

Bây giờ chúng ta để ý phương trình thứ nhất trong hệ có thể cho ta một số phép biến đổi cơ bản để đưa

về điều " dể chịu " hơn

Thật vậy :

2

1log log 16 4

5, Giải hệ phương trình:

2logx ( 2)

x y

x  y Đến đây các bạn thay vào phương trình (2) là OK 

6, Chứng minh rằng phương trình x x1(x1)x có một nghiệm dương duy nhất

Giải:

Từ điều kiện có nghiệm của phương trình đã cho dẫn đến cho ta điều kiện của bài toán là x  0

Với phương trình mũ mà bài toán cho ta thì ta sẽ ngay đến phương pháp logarit hóa ngay.Cụ thể

:x x1 (x1)x lnx x1ln(x1)x (x1) lnxxln(x1) 0

Nếu dùng cách giải thông thường cho bài toán này thì sẽ gặp khó khăn nên ta sẽ chuyển bài toán về phương pháp " sử dụng tính đơn điệu" để giải

Xét hàm số :y f x( )(x1) lnxxln(x1) , x 0

Lại có hàm số y f x( ) là hàm số liên tục với x >0

Khi giải phuơng trình bất phương trình Logarith ta thưởng đưa về cùng cơ số và dùng công thức đổi cơ

số để biến đổi Ở bài toán trên ta đưa về logarit cơ số 2



Đặt t log2x, ta có bất phương trình:

Rút gọn 9x rồi chuyển vế Sau đó đặt t3x22x Ta được phương trình 3t2t  1 0

Xét đạo hàm phương trình này chỉ có 2 nghiệm x1;x 0

Để ý đến sự giải thoát cho 2 căn thức đầu tiên, cộng thêm điều kiện của đề bài thì ta sẽ thu được:

Do đó phương trình ( )f x 0 có tối đa hai nghiệm phân biệt

Lại có : f(0) f(1) Vậy phương trình có hai nghiệm 0 x0;x  1

Do đó t  là nghiệm duy nhất của phương trình (3) 1

Với t  ta có 21 x y 1 y2x Thay vào phương trình (2) ta được phương 1

Mà f ( 1) nên phương trình (4) có nghiệm duy nhất 0 y  1 x 0

Do đó hệ phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất ( ; )x y (0 ; 1) 

12, Tìm m để phương trình: 41x41x (m1)(22x22x)2m có nghiệm thực thuộc: [0;1]

2 0

t t

t t t

Các bạn hãy để ý tới điều đặc biệt sau : 7 3 5 7 3 5 1

Đưa bài toán ban đầu về " bài toán tương giao của hai đồ thị "

Xét hàm số y f t( )8tt2,t Tính đạo hàm ,giải phương trình đạo hàm rồi lập bảng biến thiên 0Dựa vào bảng biến thiên ta sẽ tìm được các giá trị của m thỏa yêu cầu bài toán

17, Tìm a,b thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: 2a3b21 và 2 lg(a3 ) lg 4b  lgalgb

18, Giải phương trình |sin x| | cos | x

Giải:

Ta nhận thấy rằng VT của phương trình không nhỏ hơn 1, còn VP thì không lớn hơn 1

Do đó, phương trình tương đương với hệ: sin 0

| cos | 1

x x

Phương trình đầu của hệ đương đương: x k hay xk22 với k 0

Phương trình thứ hai của hệ tương đương xl2 hoặc x l2 với lZ

Như vậy ta có hai trường hợp

Thứ nhất: k22 l2 trường hợp này chỉ có k l 0 thỏa, tức là x 0 là nghiệm

Bây giờ ta đi vào bài toán ta đang xét Với cách đoán nghiệm như vậy thì việc chuyển về hàm số chính

là điều cần thiết trong trường hợp hình thức bài toán như thế này

Xét hàm số : f x( )7x2x5 ,x  x 

Ta có : f x( )7 ln 7 2 ln 2 5x  x 

Tới đây thật khó mà đi giải phương trình f x  để lóe được nghiệm duy nhất của phương trình này ( ) 0

để rồi suy ra được phương trình f x  có tối đa hai nghiệm.Bây giờ ta thử điều này nhé ( ) 0

Ta có f x( )7 ln 7x 2 ln 2 5x  là hàm số liên trục trên 

Mặt khác : f(0)ln 7 ln 2 5  0 ; f(1)7 ln 7 2 ln 2 5   0

Từ đó ta có phương trình f x( ) có nghiệm duy nhất 0 x x0

Tới đây các bạn làm bảng biến thiên của hàm số y f x( ) các bạn sẽ thấy được rằng phương trình ( ) 0

f x  sẽ có tối đa không quá hai nghiệm

x  và x 1 Ta có thể giải thích rõ hơn điều này bằng cách chia trường hợp:

Ta có: f x( ) f(3)1; ( ) 1g x  nên bất phương trình vô nghiệm

Tóm lại bất phương trình đã cho có nghiệm 1 1

Viết lại phương trình trên như sau:

Tới đây nếu ta giải (1) theo hướng bình thường thì sẽ gặp khó khăn trong việc giải bất phương trình có

liên quan đến biểu thức x 1

x

x x

Ở bài toán này ta thấy ngay việc đặt ẩn phụ giải là ý tưởng tốt nhất Nhưng đứng trước hoàn cảnh đòi hỏi

là phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu thì ta nên đi phân tích một chút điều kiện bài toán

Đặt t 4 ,x t0 Khi đó nếu ta đặt ra hai nghiệm của phương trình đã cho là x1,x thì buộc lòng điều 2

kiện hai nghiệm này là x1 0x2 Với ràng buộc này ta đi đến điều kiện mới của ẩn phụ được tạo thành bằng phép toán 1 0 2

t  t t   t  u  u u  t

Vậy rõ ràng rằng với phép biến đổi này ta lại đưa về phương trình được biến đổi theo ẩn t thành

phương trình mới ẩn u mà điều kiện yêu cầu nghiệm quá cơ bản là u10u2 P 0

Bây giờ ta đi vào bài toán một cách cụ thể

Đặt t 4 ,x t Lúc đó phương trình đã cho trở thành :0 2

(m3)t (2m1)tm 1 0 (1)Gọi x1;x là hai nghiệm của phương trình đã cho khi đó theo điều kiện giả thiết ta có 2 x10x2 Từ

Mặt khác từ điều kiện t1 1 t2 t1 1 0t2 1 u10u2 v?iu   t 1 t u 1

Lúc này phương trình (1) trở thành phương trình

:(m3)(u1)2(2m1)(u1)m 1 0(m3)u2(4m5)u4m 3 0 (2)

Vậy để phương trình đã cho có hai nghiệm x1;x2 th?ax10x2 tương đương phương trình (1) phải

có hai nghiệm t1;t2 th?a t1 1 t2 tương đương với phương trình (3) phải có hai

sự cô lập m ở vế phải phương trình thì ta có thể nghỉ ngay đến việc khảo sát hàm số lập bảng biến thiên

và dựa vào phương án tương giao của hai đồ thị để biện luận điều kiện bài toán Các bạn chú ý nhé các bạn dể nhầm lần bài toán này bằng cách tìm m để một phương trình bậc hai có hai nghiệm dương lắm đấy Nhưng không phải là trong bài toán này được vì cái căn thức kia nó xuất hiện đấy

Đầu tiên ta đặt điều kiện : 2

1x 0  1 x 1Đặt t 2 1x2 Do  1 x    1 1 t 2

Lúc đó ta biến đổi phương trình về phương trình mới t2 2 m (1)

30, Bài toán biện luận phương trình:(x1) log (22 x3) 2 m 2(x1) log (2 x3)m 1 0

Giải:

Điều kiện để biểu thức có nghĩa : x  1

Đặt : u 2(x1) log (2 x3),u0 ta thu được phương trình : u24mu2m20 (2)1, Với m  1

ta có được phương trình : 2

u  u u  x  2, Xét hàm số : uu x( ) 2(x1) log (2 x3)trên đoạn [ 1,1] thì ta nhận thấy ngay u x là một hàm số đồng biến Có thể nhận thấy điều này từ định ( )nghĩa!

Từ đó ta có : u( 1) u x( )u(1) hay là 0u4 ngoài ra ta cũng có ứng với mỗi giá trị của u ta chỉ

tìm được một giá trị của x bởi vậy yêu cầu của bài toán trở thành tìm m sao cho phương trình (2) có đúng hai nghiệm thuộc [0, 4]

Ở phương trình (2) cô lập tham số m ta có : 2

Trước tiên bài toán này đúng với mọi x  luôn chứ không phải với 0 x  thôi 0

Bây giờ ta quan sát bài toán thấy là chưa rõ ràng lắm nên ta dùng các phép biến đổi cơ bản thêm bớt và công thức loga x b bloga x Ta biến đổi bất đẳng thức đã cho trở thành bất đẳng thức

sau:log (1 2 )2  x  x log (33 x 2 )x  x log (1 2 ) log 22  x  2 x log (33 x 2 ) log 3x  3 x Hay ta có

:log2 1 2 log3 3 2 log2 1 1 log3 1 2 (1)

x x

1 log log 3 log 2 log 3 2

log (1 log 3) log (2 log 3 2) 0

(1 log 3) 4(2 log 3 2) (log 3 3)

       Suy ra phương trình này có hai nghiệm phân biệt

2log 3 1 log 3 3

3.(1 log x ) 3.log y  3 3 3log | | 3logx  y 3 log | | logx  y| |x  y

Khi đó thay vào phương trình (1) ta được :

Ở hướng dẫn làm bài trên nếu không cẩn thận, ta dễ làm thiếu trường hợp của y

Chỗ y28y15 y22y15 4y218y18 ( ). Ta nên đặt điều kiện rồi chia ra hai trường hợp

Điều kiện của y trong phương trình này là: y   hoặc 5 y  hoặc 5 y  3

Khi y  thì phương trình ( )3  nghiệm đúng

Khi y  thì 5 ( )  (y3).(y5) (y3).(y5) (y3).(2y3)  y 5 y5 2y3Khi y   thì 5

Dấu “=” xảy ra khi x2yx4,y 2

Vậy (4; 2) là nghiệm duy nhất của hệ

12

y x xy

y y

38, Giải phương trình: 3x   1 x log (23 x1)

Giải:

    với mọi t>0 Vậy hàm số f t đồng biến trên (0;( )  Theo (1) ta có: (3 )) f x  f(2x1) suy ra: 3x 2x 1Xét hàm số: ( )g x 3x2x ta có 1 ( ) 3 3 2 ( ) 0 log3 2

Lập bảng biến thiên hàm số g x ta suy ra ( )( ) g x  có tối đa 2 nghiệm 0

Ta có g(0)g(1) suy ra 0 x0;x là hai nghiệm của phương trình ( )1 g x  0

Đối chiếu với điều kiện thì cả 2 nghiệm đều thỏa mãn

Vậy phương trình ban đầu có đúng hai nghiệm là: x0;x 1

39, Giải phuơng trình: log 12  xlog3x

Dễ thấy VT là một hàm số nghịch biến nên phương trình có không quá 1 nghiệm

Mà: t 2 là 1 nghiệm của phương trình, suy ra: x 9 là nghiệm của phương trình

2 3

1( 1) 1 log

3

x x

x



2 2

2 3

1( 1) log

2

x x

2 3

1( 1) 1 log

3

x x

x



2 2

2 3

1( 1) log

2

x x

x x



 Do đó

2 2 3

1

2

x VP

x



  0<a<1 hàm số nghịch biến.Vậy đẳng thức xảy ra VT VP khi và chi khi x 1 Phương trình có nghiệm duy nhất x 1

Với bài toán về phương trình có chứa logarit thì trước khi biến đổi thì ta cần xét đến điều kiện của biến

số và cơ số Cụ thể ta có hàm số log xác d?nh khi và ch? khi 0

     

2

dể đâu mà có thể toát mồ hôi đấy Vì vậy để tránh làm điều đó thì ta thường đưa nó về giải một phương trình mũ sẽ tốt hơn đấy Để đạt được điều đó ta cần một bước "giải phẩu" nữa đó là ta đặt

f  nên ta sẽ chứng minh u  là nghiệm duy nhất của phương trình (4) 2

Cụ thể ta thấy ngay được hàm số y f u( ) là hàm số nghịch biến Do đó ta có :

Ta nhẩm thấy ngay: t 2 là một nghiệm của phương trình, do đó t 2 là nghiệm duy nhất của

phương trình

Với: t 2 ta suy ra: x 26.t 212

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x 212

47, Giải phương trình :2011x x x21

\Giải:

Ta có:

2

2 2

Từ đó ta thu được phương trình: a a2 1 3a

Ta sẽ tiếp tục ứng dụng hàm số để giải quyết bài toán này

Phương trình trên tương đương với: 3 (a a2 1 a) 1Xét hàm số: g a( )3 (a a2 1 a) V?i aR

Mà ta thấy rằng: a 0 là một nghiệm của phương trình Suy ra phương trình có nghiệm: a 0

Suy ra: ab0x y 1Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: ( ; )x y (1;1)

Trước tiên ta điều kiện x  Quan sát bài toán để giải bài toán này chúng ta sẽ sử dụng giải nó bằng 0cách lấy lôgarit hóa hai vế phương trình Cụ thể ta có

2

2

lg(lg 2 lg 2) log 1 log (lg )

2(log (lg ) 1)(lg 2 lg 3) 0

  thì bất phương trình luôn nghiệm đúng

Kết luận : Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là : 0;1

2

51, Giải bất phương trình: 2x1(5x211)21xx224x[1 ( x29)2 ]x

Giải:

Trước tiên mình phải khẳng định bài toán này của h.u.n ra khá nặng tay Nếu đây là một bài toán trong

đề thi năm nay thì vào phòng thi gặp bài toán này chắc sẽ có rất nhiều thí sinh sẽ ngậm bút ngay đấy #-o Mình nghỉ như thế thật đấy vì khi nhìn vào hình thức bài toán này mình cảm giác được nó mang nặng

"sát khí" của bài toán được ghép " kiểu phương trình tích và phương trình giải bằng hàm số" Chưa hết

sự khó khăn đâu các bạn à mà nó còn là kiểu phương trình " tích" có được khi giải nó bằng kỉ thuật

"tham số biến thiên" cộng với một cái đầu hết sức sáng suốt để kéo được một hằng đẳng thức mà mình gọi là "dồn hết sức bình sinh " để cho ta một phương trình đẹp Đoạn đường đó chỉ là cái khó khăn của bước đầu thôi chứ đi vào cái cần đạt được của bài toán các bạn còn "phải tung hết tất cả những võ công tuyệt thế" để hạ nó như là cuộc chiến của bốn đại cao thủ võ hiệp kim dung "Đông tà , Tây độc , Nam đế , Bắc cái" đấy.8-> Bây giờ mình sẽ đi vào bài toán đây

Trước tiên cái mũ 2x

kia nó quá lẻ loi trong bài toán nên thôi thì ta sẽ đặt nó bởi một ẩn phụ

2 2

Xét hàm số 1( ) 2.2 ln 2 2 x

1( ) 2.2 ln 2 2.x

g x   Từ đây ta có

ta đi đến kết luận rằng nếu phương trình g x  có nghiệm thì sẽ có tối ta ba nghiệm phân biệt Mặt ( ) 0khác ta có g(0)g(1)g(2) nên ta có phương trình 0 f x  có ba nghiệm phân biệt ( ) 0

0( ) 0

P/S : Chổ tìm nghiệm của phương trình g x  có ba nghiệm phân biệt có thể giải bằng đồ thị hàm số ( ) 0

và dựa vào đó có thể suy ra nghiệm bất phương trình liên quan đến g x ( )

Và tiến tới đặt ẩn phụ rồi giải Các bạn đừng nghỉ

mình nói điều này thừa nhé vì thực tế đã chứng minh có không ít bạn khi gặp phương trình như thế này

đã làm như thế Và đó là một "điểm chết người" vì khi làm toán với phương trình mũ có chứa cặp số nghịch đảo khi nhân chúng ta cũng không được quên cái mũ nhé Nếu không quên thì phép tính trên cho

nghiệm thì ta cần phải đoán được nghiệm phương trình trước rồi sau đó ta mới tiến hành từ định hướng nghiệm đó Thực tế thì bài toán này để đoán nghiệm nó thì quả thật là rất khó cho dù ta đã dồn "hết sức bình sinh" của mình Vậy ta phải giải quyết thế nào đây khi mà mọi lối đi đã được phơi bày mà vẫn chưa tìm ra hướng giải quyết Và bây giờ ta sẽ bình tỉnh và tinh ý để ý tới các cơ số của hàm mũ ta có được

ta hãy đừng "cố nhớ những điều quen thuộc mà chúng ta đã quên" và hãy " để những gì quen thuộc dẫn dắt cho chúng ta đường đi" Thân chào

3 3

3

0;2

231

Ta có, bất phương trình đã cho tương đương:

Hơn nữa (0)f  f(1) do đó 0 a1 0,a2  là 2 nghiệm của phương trình ( )1 f a  0

Suy ra phương trình đã cho có tập nghiệm là: S 1 1; 2 

57, Giải phương trình 6x 3log (56 x1) 1 2  x

Giải:

Đặt log (56 x1) t 6t 5x1 (A) và phương trình ban đầu thành: 6x 3t2x (B) 1

Lấy (A) trừ (B) theo vế thì được: 6x6t 3t3x.(C)

Sự kiện này cộng với hàm ( )f z 6z 3z tăng trên R dẫn đến (C)x t

Đem thế lại (A) thì được: 6x 5x (D) 1

Bởi sự tăng chậm rãi của 5x 1 không thể so sánh nổi với 6x nên trong trường hợp này chúng chỉ gặp nhau có 2 lần tại 0 và 1; điều này được thể hiện rõ ràng bằng hàm số f w( )log (56 w1) 1 có đạo hàm có đúng 1 nghiệm

Tóm lại: x0;x là 2 nghiệm của phương trình 1

59, Giải phương trình: log (2 x21) log ( ) 2 x 3x22x3

Giải:

Điều kiện: x > 0

Với điều kiện trên, ta có:

2 2

1log (x 1) log ( )x log (x )

Từ (1) và (2) ta có thể kết luận được nghiệm của bài toán 

phương trình này quá cơ bản

61, Giải phương trình 2x  1 log x2( 1)

Giải:

Điều kiện : x  1

Phương trình được viết lại như sau: 2xx  1 x log2(1x)2xlog22x   1 x log2(1x) (1)

Xét hàm số đặc trưng: f t( ) t log t2 với t>0 Ta có ( ) 1 1 0

Mặt khác ta có: g(0)g(1) nên phương trình ban đầu có 2 nghiệm là : 0 x0,x 1

PS: Ta cũng có thể lập luận để chỉ ra g x  có tối đa 2 nghiệm theo cách ( ) 0

Quan sát bài toán ta thấy bài toán có hình thức f x( )

a  nên việc giải nó cũng khá cơ bản Nhưng có b

điều lúc này biểu thức f x( )log (3 x1) nên rõ ràng để giải bài toán này hiệu quả ta cần có điều kiện trước

Điều kiện là x 1 0x  1

Chú ý rằng điều kiện này ta có thể làm "hẹp" thêm một chút đấy Thật vậy :

+ Nếu  1 x0 thì rõ ràng phương trình đã cho vô nghiệm

+ Nếu x  thì phương trình đã cho trở thành 0 log ( 3 1)

+ Nếu t 1 f t( ) f(1) nên ta có phương trình (2) vô nghiệm 1

+ Nếu t 1 f t( ) f(1) nên ta có phương trình (2) vô nghiệm 1

Vậy phương trình (2) có nghiệm duy nhất t 1 x2

2 3 3 3 2 3 3 3

3log (1 log 2) log (log 2) log log log (log 2)

2

3 3 2

Đặt t 2 ;x t0 Khi đó phương trình đã cho trở thànht2 t66 t6t2 Đến đây các bạn 6

có thể giải bằng cách bình phương hai vế cũng được hoặc chọn lựa hương đi sau là đặt

6 ; 6

n t n Khi đó chuyển về hệ đối xứng loại hai như sau

2 2

66

x  là nghiệm duy nhất của phương trình

70, Giải phương trình: 3x 2 log32x11